狄拉克方程1
狄拉克方程
狄拉克方程1928年英国物理学家狄拉克（Paul Adrien MauriceDirac）提出了一个电子运动的相对论性量子力学方程，即狄拉克方程。
利用这个方程研究氢原子能级分布时，考虑有自旋角动量的电子作高速运动时的相对论性效应，给出了氢原子能级的精细结构，与实验符合得很好。
从这个方程还可自动导出电子的自旋量子数应为1/2，以及电子自旋磁矩与自旋角动量之比的朗德g因子为轨道角动量情形时朗德g因子的2倍。
电子的这些性质都是过去从分析实验结果中总结出来的，并没有理论的来源和解释。
狄拉克方程却自动地导出这些重要基本性质，是理论上的重大进展。
1概念自然单位制下的狄拉克方程为了避免克莱因－高顿方程中概率不守恒的问题，狄拉克在假设方程关于时间与空间的微分呈一次关系后得出了有名的狄拉克方程。
但该方程仍无法避免得出负能量解的问题。
2应用既然实验已充分验证了狄拉克方程的正确，人们自然期望利用狄拉克方程预言新的物理现象。
按照狄拉克方程给出的结果，电子除了有能量取正值的状态外，还有能量取负值的状态，并且所有正能状态和负能状态的分布对能量为零的点是完全对称的。
自由电子最低的正能态是一个静止电子的状态，其能量值是一个电子的静止能量，其他的正能态的能量比一个电子的静止能量要高，并且可以连续地增加到无穷。
与此同时，自由电子最高的负能态的能量值是一个电子静止能量的负值，其他的负能态的能量比这个能量要低，并且可以连续地降低到负无穷。
这个结果表明：如果有一个电子处于某个正能状态，则任意小的外来扰动都有可能促使它跳到某个负能状态而释放出能量。
同时由于负能状态的分布包含延伸到负无穷的连续谱，这个释放能量的跃迁过程可以一直持续不断地继续下去，这样任何一个电子都可以不断地释放能量，成为永动机，这在物理上显然是完全不合理的。
3空穴理论针对这个矛盾，1930年狄拉克提出一个理论，被称为空穴理论。
最多只能容纳一个电子，物理上的真空状态实际上是所有负能态都已填满电子，同时正能态中没有电子的状态。
狄拉克方程
第三步：克朗内克δ函数
为了简洁和统一描述(3.9)式，狄拉克采用了克朗内克δ函 数（Kronecker），其定义为：
（3.10）
克朗内克δ函数常用来描述矩阵。通俗地理解就是：如果 i和j表示矩阵的行列序号，那么克朗内克δ函数描述的就 是一个对角元素全部为1、其余元素全部为0的单位矩阵。 如果令 a4 ，则全部(3.9)式都可以用下式统一描述：
（3.7）
展开(3.7)式右边乘式，（注意：展开时，动量各分量 , a a 之间可以对易，但矩阵a 之间不可对易。也就 1 2, 3, a a 是p ，但是 a xp y p yp x 1 2 a 2 1 。矩阵乘法一般不满 足交换律）
（3.8）
要保证(3.8)式成立，可以让系数 a , a a 满足如下关系 1 2, 3,
为了得到一组矩阵系数，狄拉克介绍了一种方法。他先把 表示。 、 2×2的泡利矩阵扩展为如下4×4的矩阵，用 、
1 2 3
、 、 1 2 3
（3.15）
然后，狄拉克参照这三个4×4的泡利矩阵，又拼凑出了三 、 、 、 、 、 、 1 2 3 ，（ 个类似的4×4矩阵 不是从 1 2 3 1 2 3 变过来的，是狄拉克凭经验拼凑出来的，两者没有关系），
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狄拉克方程
展开(3.7)式右边乘式，（注意：展开时，动量各分量 , a a 之间可以对易，但矩阵a 之间不可对易。也就 1 2, 3, a a 是p ，但是 a xp y p yp x 1 2 a 2 1 。矩阵乘法一般不满 足交换律）
（3.8）
要保证(3.8)式成立，可以让系数 a , a a 满足如下关系 1 2, 3,
玻恩，1954年获诺贝尔物理学奖
粒子在t时刻r点出现的几率
注意
(1)
概率振幅 归一化条件 态叠加、干涉
(2) (3)
干涉项
薛定谔方程
薛定谔、奥地利物理学家，1926 年建立了以薛定谔方程为基础的 波动力学，1933年获诺贝尔物理 学奖。
质点运动、电磁波(光学) 牛顿方程、麦克斯韦方程
物质波函数满足的规律
第二步：待定系数能量动量关系
为了去掉根号，狄拉克采用了一种很巧妙的思路，实际上 就是一种待定系数法。 对自由粒子，可以把相对论能量动量关系写成如下形式：
（3.4）
狄拉克假定自由粒子的能量E与动量分量 (px ,py ,pz ) 质量m 0 之间存在最简单的一次线性关系。这样，对应于(3.4)式， 可以拼凑出一个去掉根号的待定系数方程
《高等量子力学》 狄拉克方程
苏小强
内容提要
1.背景知识回顾：波函数、薛定谔方程
（非相对论的）
2.克莱因-戈尔登方程
相对论的
3.狄拉克方程
一、波函数和薛定谔方程
1. 物质波
德布罗意，1929年的诺贝尔物理学奖
2. 玻恩统计解释
电子源
感 光 屏
1926年，德国物理学家玻恩提出了几率波的概 念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个 函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（波 函数模的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。 这样描写粒子的波叫几率波。
狄克拉函数
狄克拉函数
狄拉克函数（Dirac function），也称为广义函数，是一种在数学和物理学中常用的函数。
它由英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）于20世纪20年代引入并研究。
狄拉克函数通常表示为δ(x)，其中x是自变量。
狄拉克函数的定义如下：
1.若x = 0，则δ(x) = +∞；
2.若x ≠ 0，则δ(x) = 0。
即狄拉克函数在x = 0处“集中”成无穷大的脉冲，而在其他点上为零。
需要强调的是，狄拉克函数并不是一个实际的函数，而是一种分布（分布理论中的概念），常用作数学上的工具。
狄拉克函数具有一些非常有用的性质，例如：
1.归一性：∫δ(x)dx = 1。
狄拉克函数的积分在实数轴上等于1。
2.平移性：δ(x - a)表示在x = a处的狄拉克函数。
通过平移函
数，可以表示在不同的位置上的狄拉克脉冲。
3.放大性：δ(ax) = δ(x) / |a|。
通过放大或缩小自变量，可以
改变狄拉克函数脉冲的幅度。
狄拉克函数在物理学中有重要的应用，特别是在量子力学中的波函数描述中。
例如，它可以用于描述粒子位置的位置本征态、粒子间的相互作用等现象。
狄拉克方程的意义
狄拉克方程的意义
狄拉克方程是物理学界最重要的方程之一，也是物理研究最重要的工具之一，几乎每一个重大物理发现都与它息息相关。
该方程由德国物理学家Maxwell Planck发现，他现在被认为是现代物理学的先驱。
狄拉克方程的原始形式可以表述为：
$∇^2u- \frac{1}{c^2}\frac{∂^2u}{∂t^2}=0$
该方程可以用来解释物理世界中一类现象——以光为例，它定义了光在空气中传播的方式。
其中，因为光传播速度固定，所以其特殊形式可以写为：
$∇^2u+\frac{1}{v}∂u∂t=0$
其中，V是光传播速度，仅当光传播速度v恒定时，狄拉克方程才可以得到特殊形式。
狄拉克方程在物理学中用于描述任何类型的自由波动，包括电磁波、声音波、光波等。
它可以用来描述电磁的相互耦合作用，它在预测和理解绝缘体中的电场波动方面有着重要的意义。
它还可以用来解析电动势，以及解释电流和电场的变化。
同时，狄拉克方程也有着广泛的应用。
它可以用来描述乐器的声音传播，描述潮流流动，描述晚着和早着的图案，还可以用来计算声反射和衰减率等。
由于它的简洁性和精确性，狄拉克方程可以用来作为传热领域中有效传热参数研究的基础。
总之，狄拉克方程是物理学界众多工具中最重要的一员，在解释物理现象，研究电磁场和传热领域中有重要意义。
1的定积分
1的定积分1的定积分是一个重要的数学概念，也是微积分中的一个重要内容。
它是由著名的微积分学家、微分几何学家、力学学家狄拉克首先提出来的。
他发现，积分可以用来表达一个函数的空间变化。
对于同一个函数，不同的被积分区域是不同的，因此，对于不同的被积分区域，可以求出不同的积分值。
1的定积分就是这样一个积分，它可以用来研究函数的变化率，从而确定函数的行为。
1的定积分定义如下：给定一个函数f(x)，它的1的定积分为：∫f(x)dx,其中a∈[a,b]，这里的定积分被称为狄拉克积分。
1的定积分有一个重要的性质，即它可以有效地表示一个函数在某一个区域内的变化率。
通常情况下，当函数的积分值大于0时，函数在该区域内是增加的，而当函数的积分值小于0时，函数在该区域内是减少的。
1的定积分的计算方法有多种。
其中，最简单的是采用梯形法，即将被积分区域分成若干小矩形，然后分别求其下面的矩形的面积，最后把这些面积相加求和，得出1的定积分的值。
另外，也可以采用更复杂的数值积分方法，如Simpson积分法，Gauss-Kronrod求积法，Trapezoidal积分法等，以计算出更精确的定积分结果。
1的定积分在数学，物理，化学和工程学等多个领域有着广泛的应用。
在物理学中，它可以用来求解微分方程，即求解物理系统中的动态变化；在数学中，它可以用来求解定积分和无穷级数的值；在化学和工程学中，它可以用来求解复杂的物理和化学过程的传递系数等等。
总之，1的定积分在数学、物理、化学和工程等各个领域均有着重要的作用，它可以有效地帮助我们了解函数的变化规律，研究物理和化学等复杂过程的传递系数，甚至可以应用在定积分和无穷级数的求解中。
因此，1的定积分是一个非常重要的概念，并且可以应用到很多不同领域中。
狄拉克方程的解
狄拉克方程的解狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的运动方程，是量子力学的重要基础之一。
它由英国物理学家狄拉克于1928年提出，被认为是量子力学史上的重要里程碑。
狄拉克方程的解可以分为平面波解和非平面波解两种情况。
平面波解是指具有确定动量和能量的解，而非平面波解则是指具有连续能谱和自旋极化的解。
这两种解都对应着不同的物理现象和粒子性质。
让我们来看看狄拉克方程的平面波解。
平面波解可以用来描述自由粒子的运动，即没有外界力场作用的粒子。
根据狄拉克方程，平面波解可以写成一个旋量形式的波函数，包括了自旋上和自旋下两个分量。
这个波函数随时间和空间的变化而改变，描述了粒子在空间中的传播和自旋的演化。
平面波解的特点是具有确定的能量和动量，可以通过动量算符和能量算符来进行测量。
这些算符作用在平面波解上，可以得到粒子的动量和能量的本征值。
根据量子力学的原理，测量结果是离散的，而且符合能量-动量关系。
除了平面波解，狄拉克方程还有非平面波解。
非平面波解的特点是具有连续的能谱和自旋极化。
这种解描述了粒子在外界力场中的运动，比如电磁场或引力场。
在这种情况下，粒子的能量和动量不再是确定的，而是具有一定的不确定性。
非平面波解可以用来描述粒子在外界力场中的散射和反应。
通过狄拉克方程的非平面波解，可以计算出粒子的散射截面和反应概率，从而了解粒子在外界力场中的行为。
狄拉克方程的解不仅仅是理论上的结果，它在实际的物理实验中也得到了验证。
例如，电子的存在和性质可以通过狄拉克方程的解来解释和预测。
实验观测到的电子的自旋、动量和能量都与狄拉克方程的解相符合，这进一步验证了狄拉克方程的正确性和实用性。
狄拉克方程的解是描述自旋1/2粒子运动的重要工具，它可以用来描述自由粒子和在外界力场中的粒子的运动。
狄拉克方程的解不仅在理论上具有重要意义，而且在实际的物理实验中也得到了验证。
通过狄拉克方程的解，我们可以更深入地了解粒子的性质和行为，为量子力学的发展和应用提供了重要的基础。
量子力学狄拉克方程
量子力学狄拉克方程量子力学狄拉克方程是描述自旋1/2粒子行为的基本方程，它由英国物理学家狄拉克于1928年提出。
这个方程将相对论和量子力学相结合，成功地解释了电子的自旋，为粒子物理学的发展作出了巨大贡献。
狄拉克方程是一个四分量波函数方程，描述了自旋1/2粒子的运动。
它的形式非常复杂，包含了四个复数分量。
这四个分量分别代表了粒子的两种自旋状态，以及正负能量的运动。
狄拉克方程的解被称为狄拉克旋量，它描述了自旋1/2粒子的波函数随时间和空间的演化。
狄拉克方程的提出极大地推动了量子力学的发展。
它不仅成功地解释了电子的自旋，还预言了反物质的存在。
根据狄拉克方程，每个粒子都有一个反粒子与之对应，它们具有相同的质量但电荷相反。
这个预言在随后的实验证实了，为粒子物理学的研究打开了新的方向。
狄拉克方程的形式非常复杂，但它的实际应用却非常广泛。
它在量子电动力学、量子色动力学和弦理论等领域都有重要的应用。
狄拉克方程提供了描述粒子行为的基本工具，为我们理解微观世界的奥秘提供了重要线索。
狄拉克方程的提出也引发了许多深刻的思考。
它揭示了自然界的对称性，如时间反演对称性和空间反演对称性。
狄拉克方程还激发了人们对粒子自旋的研究，以及对粒子性质的更深层次的理解。
通过对狄拉克方程的研究，我们可以更好地理解粒子的本质和行为规律。
量子力学狄拉克方程是一个重要的物理方程，描述了自旋1/2粒子的运动行为。
它的提出推动了量子力学的发展，为粒子物理学的研究提供了重要线索。
狄拉克方程的成功解释了电子的自旋，并预言了反物质的存在。
通过对狄拉克方程的研究，我们可以更好地理解微观世界的奥秘，推动科学的进步。
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为了得到一组矩阵系数，狄拉克介绍了一种方法。他先把 2×2的泡利矩阵扩展为如下4×4的矩阵，用 1、2、3 表示。
1、 2、 3
（3.15）
然后，狄拉克参照这三个4×4的泡利矩阵，又拼凑出了三 个类似的4×4矩阵 1、2、3 ，（ 1、2、3 不是从 1、 2、3 变过来的，是狄拉克凭经验拼凑出来的，两者没有关系），
A B
i i
t t
A B
mc 2 A mc 2
B
i
t
A
mc2
A
i
t
B
mc2
B
2. 狄拉克方程 (自旋)：
i
(c
P
mc2
)
t
i
t
(c z Pz
mc2 )
i
t
ic
z
0
z
z
0
mc2 10
01
i
0
i
0
i
i
t
ic
z
0
z
0
z
mc2 10
01
i
t
A B
第四步：泡利矩阵
为了最终确定这四个系数，狄拉克从泡利矩阵入手进行分析。 最初，电子的自旋是作为假设提出来的，泡利就是为了描述 电子的自旋角动量而创建的三个2阶矩阵 1、 2、3。有时 为了表示方便，还可以加入两个辅助矩阵：单位矩阵I和0矩 阵O，
（3.12）
泡利矩阵满足如下关系（可以直接验证），或者说有如下一
对自由粒子，有
（3.1） （3.2）
对力场中的粒子，有（注意，因为有势能项V，光速c不能 放到等号左边）
（3.3）
与薛定谔方程相比，(3.2)式和(3.3)式的潜在问题是动量 算符在根号内，这不是量子力学标准波动方程形式。
第二步：待定系数能量动量关系
为了去掉根号，狄拉克采用了一种很巧妙的思路，实际上 就是一种待定系数法。
第一步：建立相对论方程的条件
与建立薛定谔方程类似，我们也是先建立自由粒子的狄
拉克方程，然后建立力场中的狄拉克方程。这里先列出
建立狄拉克方程的两个假设条件：
第一、方程具有量子力学标准波动方程
仅哈密顿算符 Hˆ 不一Байду номын сангаас。 Pˆ
形式，
第二、方程必须满足相对论的一次能量动量关系，所以
应该是(2)式，而不是(1)式。
对自由粒子，可以把相对论能量动量关系写成如下形式：
（3.4）
狄拉克假定自由粒子的能量E与动量分量 (px,py ,pz ) 质量m 0 之间存在最简单的一次线性关系。这样，对应于(3.4)式， 可以拼凑出一个去掉根号的待定系数方程
（3.5）
其中 a(a1,a2,a3 ) β是待定系数。不过它们不是一般的系 数，因为一般的系数很难满足(3.4)式。狄拉克后来从 泡利矩阵得到启发：它们如果是4×4的矩阵，那么就 有可能满足(3.4)式。
玻恩，1954年获诺贝尔物理学奖
注意
粒子在t时刻r点出现的几率
(1)
概率振幅
(2) 归一化条件 (3) 态叠加、干涉
干涉项
薛定谔方程
薛定谔、奥地利物理学家，1926 年建立了以薛定谔方程为基础的 波动力学，1933年获诺贝尔物理 学奖。
质点运动、电磁波(光学) 牛顿方程、麦克斯韦方程
物质波函数满足的规律 薛定谔方程
这提醒我们，任何没有实数或复数解的方程，很可能都是 我们没有找到合适的数学工具。这种思路将是创造新数学 工具的重要源泉，也正是因为这个原因，狄拉克通常也被 看作是一个重要的数学家。
第三步：克朗内克δ函数
为了简洁和统一描述(3.9)式，狄拉克采用了克朗内克δ函 数（Kronecker），其定义为：
ic
z
0
z
0
z
A B
mc2
10
01
A B
i
t
A B
ic
z
z z
B A
mc
2
10
01
A B
i
t
A
ic
x
z
B
mc2
A
i
t
A
ic
z
z
B
mc2
A
1 0
z 0 1
i
t
A1 A2
ic
z
10
0 -
1
B1 B2
mc2
A1 A2
i
t
A1 A2
ic
z
10
0-1
B1 B2
mc2
A1 A2
i
1933年、狄拉克和薛定谔共同获得了诺贝尔物理学奖。
三、狄拉克方程
薛定谔方程因为不是相对论性的，它必然要向 相对论扩展。克莱因-戈登方程就是第一个相对论性 的波动方程，然而却不能计算氢原子，且一直为负 能态和负概率所困扰，所以长期不被物理学家所接 受。狄拉克方程正是在这种困境中应运而生的。它 融合了狭义相对论、海森伯矩阵力学、薛定谔波动 力学三方理论，能够计算氢原子光谱的精细结构， 并且自动产生电子的自旋量子数。更巧妙的是，狄 拉克认为负能态对应着一种电子的反粒子，由此预 言了正电子的存在，并避免了负概率的困难。下面 详细介绍狄拉克方程的建立过程。
第六步：自由粒子狄拉克方程
得到狄拉克矩阵后，实际上(3.5)式的待定系数a(a1,a2,a3 ) 和 a4 就求出来了，这样，去掉根号的自由粒子相 对论能量动量关系也就得到了，其一般形式就是
利用能量和动量算符
进行代换，并作用于波函数，就得到了自由粒子的狄拉克 方程
i H
t
H 1cPx 2cPy 3cPz mc2
t
这两个条件归结为要确定一个合适的、满足相对论能量
动量关系的哈密顿算符 Hˆ ，这是建立狄拉克方程的关键。 因为波动方程左边是能量算符，所以右边的哈密顿算符 Hˆ
中就应该包含动量算符Pˆ 。
因为量子力学标准波动方程要求的是能量的一次项，但 是 (2)式包含有根号，如果直接作算符代换，动量算符将出 现在根号内：
（3.10）
克朗内克δ函数常用来描述矩阵。通俗地理解就是：如果 i和j表示矩阵的行列序号，那么克朗内克δ函数描述的就 是一个对角元素全部为1、其余元素全部为0的单位矩阵。
如果令 a4 ，则全部(3.9)式都可以用下式统一描述：
（3.11）
(3.11)式表明，当 i j 时，有 ai2 aj2 1；当i j 时， 有 aiaj ajai 0 。也就是说，(3.11)式与(3.9)式完全等 价，待求的这四个系数 a1、a2、a3、a4 必须满足(3.11)式 或(3.9)式。
1、 2、 3
（3.16）
最后，所求的四个矩阵系数 a1、a2、a3、a4 就由 1、2、3 和 1、2、3 组合出来，组合的公式和结果为
1、2、3
（3.17）
这就是狄拉克构造出来的满足(3.9)式或(3.11)式的一组矩 阵系数，所有满足这种关系的四个矩阵都称为狄拉克矩阵。 不过，(3.17)式并不是唯一的狄拉克矩阵，它们一般被称 为“泡利组”，因为它们是2泡利矩阵的最简扩展形式。 费米也介绍过另外一种从泡利矩阵扩展出不同狄拉克矩阵 的方法，费米称之为“标准组”，现在也称为矩阵，它在 量子场论中有着广泛的应用。
些性质：
（3.13）
（3.14）
这与(3.9)式非常相似，说明用类似泡利矩阵这样的数学工 具来构造狄拉克方程是非常合理和自然的。这就是狄拉克 会想到系数可能是矩阵的原因，也是狄拉克在数学和物理 上的巨大突破。
第五步：狄拉克矩阵
狄拉克认为，如果把这四个系数看成矩阵，那么它们应该 具有与泡利矩阵类似的性质。但是，基于两个理由，它们 应该是4×4的矩阵，而不是2×2的矩阵：第一、 2×2的 矩阵无法描述超过三个以上的反对易量，而现在有四个反 对易量。第二、原来假设的电子自旋只要求波函数有两个 分量，但是现在因为出现了负能量的状态，波动方程解的 数目必定是以前的两倍，即波函数必须要有四个分量。
1928年狄拉克提出了描述电子的相对论性方程： 狄拉克方程。并独立于泡利的工作发现了描述自 旋的2x2矩阵。然而狄拉克方程与克莱因-戈登方 程有相同的问题，存在无法解释的负能量解。 这促使狄拉克预测电子的反粒子（正电子）的存 在。正电子于1932年由安德森在宇宙射线中观察 到而证实。狄拉克方程同时能够解释自旋是 作为一种相对论性的现象。
《高等量子力学》 狄拉克方程
苏小强
内容提要
1.背景知识回顾：波函数、薛定谔方程
（非相对论的）
2.克莱因-戈尔登方程 3.狄拉克方程
相对论的
一、波函数和薛定谔方程
1. 物质波
德布罗意，1929年的诺贝尔物理学奖
2. 玻恩统计解释
电子源 感 光 屏
1926年，德国物理学家玻恩提出了几率波的概 念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个 函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（波 函数模的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。 这样描写粒子的波叫几率波。
H 2 (1cPx 2cPy 3cPz mc 2 )2
c2 (Px2 Py2 Pz2 ) m2c4
E2 c2 p2 m2c4