高中数学人教A版必修四课时训练：第二章章末复习课2Word版含答案

A→P
，故
A→P·(P→B＋
P→C)＝
A→P2＝
49，故选
A.]
7． 2x＋ y－ 7＝ 0 解析 设直线上任一点 P(x， y)，则 A→P＝( x－ 2， y－ 3)．
由A→P ·a＝ 2(x－ 2) ＋(y－ 3)＝ 0，得 2x＋ y－ 7＝ 0.
8． 1 解析 b 在 a 上的投影为 |b|cos θ＝ 2×cos 60 °＝ 1.
由平行四边形法则知， ∴λ＝ 4， μ＝ 2.
3× 33＝ 2， O→C＝ O→E＋ O→F ＝ 4O→A＋ 2O→B，
方法二
如图所示，以 O→A所在直线为 x 轴，过 O 垂直于 OA 的直线为 y 轴建立直角坐标系．设 B 点 在 x 轴的射影为 B′ ， C 点在 x 轴的射影为 C′ .
易知， OC′＝ 2 3cos 30 °＝ 3， CC′ ＝ OCsin 30 ＝° OB′＝ OBcos 60 ＝°12，
∴|2α＋ β|＝ 2α＋β2＝ 4α2＋ 4α·β＋ β2＝ 4＋ 4×1＋ 4＝ 10. 2
11． 解 ∵ A→B＝ (1,3)， A→C＝ (2,4)， A→D＝( － 3,5)，
B→D ＝(－4,2)， C→D ＝ (－ 5,1)， ∴A→D ＋ B→D ＋ C→D＝ (－ 3,5)＋ (－ 4,2)＋ (－ 5,1)＝ (－ 12,8)．
2．向量是一个有 “形 ” 的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行 分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．Leabharlann 章末复习课答案作业设计
1． B [a·b＝－ 3＋ 8＝ 5， a＋ b＝ (－ 2,6)， ∴( a·b)(a＋ b)＝ 5× (－ 2,6)＝ (－ 10,30)．故选 B.] 2． A [( λa＋ b) ·a＝0，∴ λa2＋a·b＝ 0. ∴10λ＋ 10＝ 0，∴ λ＝－ 1.故选 A.]
3，BB ′＝ OBsin 60 °＝ 3， 2
∴A 点坐标为 (1,0)， B 点坐标为 － 1， 3 ， 22
C 点坐标为 (3， 3)． ∵O→C＝ λO→A＋ μO→B
1 λ－2μ＝ 3，
∴ 0·λ＋ 23μ＝ 3，
λ＝4
∴
.
μ＝ 2
方法三 ∵O→C＝ λO→A＋ μO→B.
→ OC
→ ·OC
＝
λO→A＋ μO→B
→ ·OC
∴
，
→ OA
·O→C
＝
λO→A＋ μO→B
·O→A
2 3× 23λ＝ 12
∴
λ－μ2＝ 2
3×
3 2
，解得 λ＝ 4，μ＝ 2.
→ OA
、
O→B、
O→C，其中
O→A 与
O→B 的夹角为
120°， O→A与 O→C的夹角
为
30°，且
|O→A|＝
→ |OB
|＝
1，
→ |OC|＝
2
3.若 O→C＝ λO→A＋ μO→B(λ， μ∈R )，求实数
λ、 μ的值．
1． 由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有 两种方式， 因此向量问题的解决， 理论上讲总共有两个途径即基于几何表示的几何法和基于 坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．
化简得
(23m－
1)a＝
(
m－ 3
t)b，
∵a 与 b 不共线，
2
3m－ 1＝ 0
∴
，
m3－ t ＝0
m＝
3， 2
∴
1 t＝ 2.
∴t ＝12时，
a，
tb，
1 3(
a＋
b)
的终点在一直线上．
(2)|a－ tb|2＝ (a－ tb) 2＝ |a |2＋ t2|b|2－2t|a||b|cos 60 ＝°(1＋ t2－ t )|a|2.
三、解答题
11．已知
A(1，－2)、B(2,1) 、C(3,2)
和
D
(－
2,3) ，以
→ AB
、A→C为一组基底来表示
A→D ＋ B→D ＋ C→D.
12．设 a，b 是两个不共线的非零向量， t ∈R . 1
(1) 若 a 与 b 起点相同， t 为何值时 a， tb， 3(a＋b) 三向量的终点在一直线上？
O 为△ ABC 的垂
心．故选 C.]
14． 解 方法一
过点 C 分别作平行于 OB 的直线 CE 交直线 OA 于点 E，平行于 OA 的直线 CF 交直线 OB 于
点 F.如图所示．
在
Rt△ OCE
中，
|O→E |＝
→ |OC| cos 30
＝2 °
3＝ 4； 3
2
→→ |CE|＝ |OC| ·tan 30 ＝°2
，解得
A→D ＝ (－ 1,2)，∴
A→D·A→C＝ (－
1,2) (·1,2)＝ 3.故选 D.]
a·a
a·a
π
5． D [ ∵a·c＝ a·a－ a·b b ＝ a·a－ a·b ·( a·b)＝ 0，∴〈 a，c〉＝ 2.]
6． A
[ 易知
P 为△ ABC
的重心，则
→ PB
＋P→C
＝－
P→A＝
3． A [ 由题意 D 是 BC 边的中点， 所以有 O→B＋ O→C＝2O→D，
所以
2O→A＋ O→B＋ O→C＝ 2O→A＋ 2O→D＝ 2(O→A＋ O→D)＝ 0?
→ OA
＋O→D
＝
0?
A→O＝ O→D.]
4． D
[
→ AC
＝
A→B＋
A→D ＝
(1,2)
，
B→D
＝
A→D
－
A→B＝
(－
3,2)
(2) 若 |a|＝ |b|且 a 与 b 夹角为 60°，那么 t 为何值时， |a－tb|的值最小？
能力提升
13．已知点 O 为△ ABC 所在平面内一点，且
→ OA
2＋
B→C2＝
O→B2＋
C→A2＝
O→C2＋
A→B2
，则
O
一定
是△ ABC 的 ( )
A ．外心
B ．内心
C ．垂心
D ．重心
14. 如图，平面内有三个向量
D ． 2A→O＝ O→D
4．在平行四边形 ABCD 中， A→C＝ (1,2) ， B→D＝ (－ 3,2)，则 A→D ·A→C等于 (
)
A ．－ 3
B．－ 2
C．2
D．3
a·a
5．若向量 a 与 b 不共线， a·b≠ 0，且 c＝a－ a·b b，则向量 a 与 c 的夹角为 (
)
A．0
π B.6
根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对
→ AD
＋
B→D
＋
C→D
＝
mA→B
＋nA→C，
∴( －12,8)＝ m(1,3) ＋ n(2,4)．
m， n 使得
－ 12＝m＋ 2n，
∴
，得 m＝ 32， n＝－ 22.
8＝ 3m＋ 4n.
∴A→D ＋ B→D ＋ C→D＝ 32A→B－ 22A→C.
12． 解 (1)设 a－t b＝m[ a－ 13(a＋b)] ，m∈R ，
∴当 t＝ 12时， |a－t b|有最小值
3 2 |a|.
13． C
[
由
→ OA
2＋
B→C
2＝
O→B
2＋
C→A
2，得
O→A2＋ (O→C－
O→B)2＝ O→B2＋ (O→A－ O→C )2，得
O→C·O→B＝
→ OA
→ ·OC
.∴
→ OC
→ ·AB
＝
0，O
在边
AB
的高线上．同理
O 在边 AC 的高线上，即
π C.3
π D.2
6．在△ ABC 中，M 是 BC 的中点， AM＝1，点 P 在 AM 上且满足 A→P＝ 2P→M ，则 A→P·(P→B ＋P→C)
等于 ( 4
A. 9 题号 答案
) 4
B.3 1
4 C．－ 3
2
4 D．－ 9
3
4
5
6
二、填空题
7．过点 A(2,3) 且垂直于向量 a＝ (2,1) 的直线方程是 ____________ ． 8．已知向量 a， b 满足 |a|＝ 1， |b|＝ 2， a 与 b 的夹角为 60°，则 b 在 a 上的投影是 ______． 9．设向量 a＝ (1,2) ， b＝ (2,3)．若向量 λa＋ b 与向量 c＝ (－ 4，－ 7)共线，则 λ＝ ________. 10．已知平面向量 α、 β， |α|＝ 1， |β|＝ 2， α⊥ (α－ 2β)，则 |2α＋ β|的值是 ________．
2．已知平面向量 a＝ (1 ，－ 3)， b＝ (4，－ 2)， λa＋ b 与 a 垂直，则 λ等于 ( )
A ．－ 1
B． 1
C．－ 2
D．2
3．已知 O 是△ ABC 所在平面内一点，
D
为
BC
边的中点，
且
→ 2OA
＋O→B
＋
O→C
＝
0，那么
(
)
A.
→ AO
＝O→D
B.
→ AO
＝
2O→D
C. A→O＝ 3O→D
章末复习课
课时目标 1.掌握向量线性运算及其几何意义 .2.理解共线向量的含义、几何表示及坐标表 示的条件 .3.掌握数量积的含义、坐标形式及其应用． 知识结构