离散1
离散数学第1章 命题逻辑
TT F
T
TF T
F
F P、Q真值相同时为F，否则为T
T 原命题与 (P Q)真值相同
FT T
F
T
(P Q)
FF F
T
F
总结：命题公式翻译的原则（即本质的东西）：
• 列出在各种指派下的原命题的取值。
• 翻译出来的公式如果与原命题的值一致，则翻译正确，否则， 翻译的公式则是错误的。
(4) 只有有限次地应用（1）、（2）、（3）所得的结果才是公式。
其中（1）为基础，（2），（3）为归纳，（4）为界限，这是一 个递归的定义。
例如：判别下列式子是否是公式？
(P Q) (PQ (P (P Q)) (P Q) (((P Q) R) (P Q)) (PQ R) (P Q)R)
(1)以离散量为研究对象，以讨论离散量的结构和相互之间的关 系为主要目标，这些对象一般是有限个或可数个元素，充分描述了 计算机科学离散性的特点，与我们以前学过的连续数学如高等数学、 数学分析、函数论形成了鲜明对比。
(2)它是数学中的一个分支，因而它有数学的味道，比如用一 些符号、引进一些 定义、运用定理推导等等。因而学习离散数学， 对提高我们的抽象能力，归纳能力、逻辑推理能力将有很大帮助。
（5）：我正在说谎。 若它是命题，则应有确定的真值。 若为T，则我确定说谎，我讲的是真话，与说谎矛盾。 若为F，则我不在说谎，我说的是真话，原命题成立，则“我 确实是在说谎” ，与“不在说谎”矛盾。 所以它不是命题，不能确定真假，是悖论。
1-1 命题及其表示法
（6）：X=3 不是命题 不能判断真假。
应用
Image segmentation
离散数学(第1章习题课)讲解
2019/6/13
计算机学院
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基本蕴含（关系）式
I1：PP∨Q ， QP∨Q ～PP→Q ， QP→Q 扩充法则(析取引入律)
I2：P∧Q P ， P∧QQ ～（P→Q）P ，～（P→Q）～Q 化简法则(合取消去律)
I3：P∧（P→Q） Q 假言推论（分离规则） I4：～Q∧（P→Q） ～P
2019/6/13
计算机学院
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三、典型例题
1、证明 ((P∨Q) ∧～(P∧Q)) ～(PQ) ((P∨Q)∧～(P∧Q)) ((P∨Q)∧(～P∨～Q)) ((P∨Q)～P)∨ ((P∨Q)∧～Q)) ((P∧～P)∨(Q∧～P))∨((P∧～Q)∨(Q∧～Q)) (Q∧～P)∨(P∧～Q) (Q∧～P)∨(P∧～Q) ～(～Q∨P)∨～(～P∨Q) ～((Q→P)∧～(P→Q)) ～(PQ)
P∨Q∨R
～P∧～Q∧R
P∨～Q∨R
～P∧Q∧R P∧～Q∧～R P∧～Q∧R
～P∨～Q∨R P∧Q∧R
主析取范式=（～P∧～Q∧R）∨（～P∧Q∧R）∨
（P∧～Q∧～R）∨（P∧～Q∧R）∨（P∧Q∧R）
主合取范式=（ P∨Q∨R ）∧（ P∨～Q∨R ）∧（～P∨～Q∨R）
2019/6/13
计算机学院
陈瑜
Email：chenyu.inbox@
2019年6月13日星期四
第一章小结
一、基本概念
命题----具有确切真值的陈述句称为命题,该命题可以取一个“值”，
称为真值。
命题的解释----用一个具体的命题代入命题标识符P的过程,称为对
P的解释或赋值(指派)
原子命题、复合命题
逻辑联结词（～、∨、∧、、→、、与非↑、或非↓、条件否
离散数学(一)知识梳理
离散数学（一）知识梳理•逻辑和证明部分o命题逻辑题型▪命题符号化问题将自然语言转为符号化逻辑命题▪用命题变量来表示原子命题▪用命题联结词来表示连词▪命题公式的类型判断判断命题公式是否是永真式、矛盾式、可能式▪利用真值表判断▪利用已知的公式进行推理判断▪利用主析取和合取范式判断▪定理：A为含有n个命题变元的命题公式，若A的主析取范式含有2^n个极小项，则A为重言式，若极小项在0到2^n之间，则为可满足式，若含有0个极小项，则A为矛盾式；若A的主合取范式含有2^n个极大项，则A为矛盾式，若极小项在0到2^n之间，则为可满足式，若含有0个极小项，则A为重言式▪翻译：一个命题公式化成主范式后，若所有项都分布在主析取范式中（主合取范式为1）则为重言式；若所有项都分布在主合取范式中（主析取范式为0）则为矛盾式；若均有分布，则为可满足式。
【思想来源：真值表法求主范式】▪一个质析取式是重言式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式；一个质合取式是矛盾式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式▪一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每项都是矛盾式；一个合取范式是重言式当且仅当它的每项都是重言式▪求（主）析取或合取范式▪等值演算法▪ 1. 利用条件恒等式消除条件（蕴含和双条件）联结词，化简得到一个范式▪ 2. 在缺项的质项中不改变真值地添加所缺项，化简得到一个主范式▪ 3. 找出包含所有命题变元排列中剩余项，凑出另一个主范式（思想上类似于真值表法）▪真值表法▪ 1. 画出命题公式真值表▪ 2. 根据真值表结果求出主范式▪主析取范式：真值为1的所有项，每一项按对应01构成极小项▪主合取范式：真值为0的所有项，每一项按对应01构成极大项▪形式证明与命题推理利用推理规则构造一个命题公式的序列，证明结论▪形式证明：命题逻辑的论证是一个命题公式的序列，其中每个公式或者是前提，或者是由它之前的公式作为前提推得的结论，序列的最后一个是待证的结论，这样的论证也称为形式证明。
离散数学1_3
定理 1.3 -1： 一个简单合取式是永假式, 当且仅当它含
有P ,P形式的两个因子。
证： 充分性 P∧P是永假式, 而Q∧FF, 所以含有
P和P形式的两个因子时, 此简单合取式是永假式。
必要性 用反证法。设简单合取式永假但不含P和P
形式的两个因子, 则给这个 简 单 合 取 式 中不带否定符的命
求公式的范式
例 求下列公式的析取范式与合取范式 (1) (pq)r (2) (pq)r
解 (1) (pq)r (pq)r pqr
（消去） （结合律）
最后结果既是析取范式(由3个简单合取式组成的 析取式)，又是合取范式(由一个简单析取式组成 的合取式)
设公式A含命题变项p1,p2,…,pn
(1) 求A的析取范式A=B1 B2 … Bs , 其中Bj是简单 合取式 j=1,2, … ,s (2) 若某个Bj既不含pi, 又不含pi, 则将Bj展开成 Bj Bj(pipi) (Bjpi)(Bjpi) 重复这个过程, 直到所有简单合取式都是长度为n的 极小项为止 (3) 消去重复出现的极小项, 即用mi代替mimi (4) 将极小项按下标从小到大排列
范式概念
说明： 单个文字既是简单析取式，又是简单合取式 形如 PQR, PQR 的公式既是析取范式， 又是合取范式
范式的性质
定理 1.3 -1： 一个简单合取式是永假式, 当且仅当它含有 P ,P形式的两个因子。
定理 1.3 -2： 一个简单析取式是永真式, 当且仅当它含有 P ,P形式的两个因子。
极大项
定义： 在含有n个命题变项的简单析取式中，若每个 命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一 次，而且 第i个文字出现在左起第i位（1in）， 称这样的 简单析取式 为 极大项. 几点说明： n个命题变项有2n个极大项 2n个极大项均互不等值 用Mi表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的 十进制表示. Mi称为极大项的名称.
离散数学第一章
离散数学第一章1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。
A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。
R：我是一名大学生。
1.2命题联结词1.2.1 否定联结词﹁PP P0 11 01.2.2 合取联结词∧P∧P Q Q0 0 00 1 01 0 01 1 11.2.3 析取联结词∨P∨P Q Q0 0 00 1 11 0 11 1 11.2.4 条件联结词→P Q Q0 0 10 1 11 0 01 1 11.2.5 双条件联结词?P?P Q Q0 0 10 1 01 0 01 1 11.2.6 与非联结词↑P↑P Q Q0 0 10 1 11 0 11 1 0性质：（1）P↑P?﹁（P∧P）?﹁P；（2）（P↑Q）↑（P↑Q）?﹁（P↑Q）? P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）?﹁P↑﹁Q? P∨Q。
1.2.7 或非联结词↓P↓P Q Q0 0 10 1 01 0 0性质：（1）P↓P?﹁（P∨Q）?﹁P；（2）（P↓Q）↓（P↓Q）?﹁（P↓Q）?P∨Q；（3）（P↓P）↓（Q↓Q）?﹁P↓﹁Q?﹁（﹁P∨﹁Q）?P∧Q。
1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、P?Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
例如，下面的符号串都是公式：（（（（﹁P）∧Q）→R）∨S）（（P→﹁Q）?（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R以下符号串都不是公式：（（P∨Q）?（∧Q））（∧Q）1.3.2 命题的翻译可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。
离散数学1
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例8 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜就读完它。”符号 化。 解 令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
主要内容如下： 9.1 命题和命题联结词 9.2 命题公式 9.3 命题公式的等值关系和蕴含关系 9.5 命题演算的推理理论
2020/7/24
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逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由 古希腊学者亚里士多德创建的。用数学的方法研究关于推理 、证明等问题的学科就叫做数理逻辑，也叫做符号逻辑。
2020/7/24
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1847年，英国数学家布尔发表了《逻辑的数学分析》， 建立了“布尔代数”，并创造一套符号系统，利用符号来表 示逻辑中的各种概念。布尔建立了一系列的运算法则，利用 代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。
十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有了比较大的发展， 1884年，德国数学家弗雷格出版了《数论的基础》一书，在 书中引入量词的符号，使得数理逻辑的符号系统更加完备。 对建立这门学科做出贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著 作中引入了逻辑符号。从而使现代数理逻辑最基本的理论基 础逐步形成，成为一门独立的学科。
2020/7/24
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9.1 命题和命题联结词
9.1.1 命题的概念
命题：是能分辨真假的陈述句。
例1 判断下列语句是否是命题。
（1）空气是人生存所必需的 （2）请把门关上。
（3）南京是中国的首都。 （4）你吃饭了吗？
（5）x=3。
（6）明年春节是个大晴天。
（7）我正在说谎。
解 语句（1）,（3）,（5），(6)是陈述句
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3. 析取“∨” 定义9-3 由命题P和Q利用“∨”组成的复合命题，称为析
离散数学第1讲
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第一章 命题逻辑基本概念——第1讲
以上5种最基本、最常用、最重要的联结词可以组 成一个集合{,∨,∧ ,ר,}，成为一个联 结词集，其运算的优先级为：,∨,∧,ר,, 对于同一级者，先出现者先运算。参见课本 第9页，基本复合命题的真值表。 例1.7：令p：北京比天津人口多。 q：2＋2＝4。 r：乌鸦是白色的。 求下列符合命题的真值： (1)((רp∧q)∨(p∧q))r (2)(q∨r)(pרr)
1) 这朵花多好看呀！ 不是命题，感叹句 2) 请你关上门！ 3) 全体立正！
不是命题，祈使句 不是命，祈使句
4) 明天是否开大会？ 不是命题，疑问句
5) 你听懂了吗？
不是命题，疑问句
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第一章 命题逻辑基本概念——第1讲
例：凡是悖论都不是命题。
1) 我正在说谎。
不是命题，悖论
由真推出假，又由假推出真的陈述句称为悖论， 都不是命题。
命题的分类
简单/原子命题：由不能再分解为更简单的 陈述句的陈述句构成。 如上例中的命题。 复合命题：由简单命题通过联结词联结而 成的陈述句。 如下例。
16
第一章 命题逻辑基本概念——第1讲
例：将下面这段陈述句中所出现的原子命题符号化，并指出 它们的真值，然后再写出这段陈述。 2 是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2 是素数，则3也是素数；2是素数当且仅当3也是素数。 解：这段陈述句中出现5个原子命题，将它们分别符号化为： p: 是有理数； q：2是素数； r：2是偶数； 2 s：3是素数； t：4是素数。 将原子命题的符号代入上面陈述中： 非p； q并且r； 如果q，则s； q当且仅当s。（半形式 化的语言）。 形式语言：完全由符号所构成的语言。
离散数学文档1
（2）关系的性质和运算
（3）等价关系和集合的划分
（4）偏序关系
第1章关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.2二元关系及其表示
1.3关系的运算
1.4关系的性质
1.5关系的闭包
1.6等价关系与集合的划分
1.7相容关系
1.8偏序关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.1.1有序n元组
定义1.1由两个固定次序的个体x，y组成的序列称为序偶，
R◦S={<2，2>，<4，3>}。
如图所示：
1.3关系的运算
1.3.2关系的复合运算
（2）设R，S都是A上的关系，A={1，2，3，4}。
R={<1，2>，<1，3>，<3，4>}，S={<1，1>，<2，2>，<3，3>，
<4，4>}，即S为A上的恒等关系，则R◦S=S◦R=R。
如图所示：
定理1.3设A，B，C，D为四个非空集合，则A×BC×D的充
1.2.1二元关系的概念
定义1.6设IA为集合A上的二元关系，且满足IA={<x，x>xA}
，则称IA为集合A上的恒等关系。
1.2二元关系及其表示
1.2.2二元关系的表示
1．关系矩阵表示法
设给定集合A={a1，a2，…，an}，集合B={b1，b2，…，bm}，R为
从A到B的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标
A∪~B。
1.3集合的运算
1.3.4集合的对称差文氏图
定义1.10设A、B是两个集合，集合A和B的对称差记作A♁B，
它是一个集合，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A又
离散数学（1）复习笔记
离散数学（1）复习笔记Ch1 命题逻辑的基本概念1.1 命题命题：能判断真假且⾮真即假的陈述句。
命题的真值，真命题，假命题。
* 真值待定 *简单命题 | 原⼦命题，复合命题。
1.2 常⽤的5个命题联结词否定，合取，析取，蕴涵，双蕴涵。
* 异或 | 排斥或 | 不可兼或 * 注意语义判断。
* p→q = ﹁ p∨q ** 必要条件 * 只有……才……；仅当……，……；……，仅当……。
注意命题符号化的蕴涵⽅向。
* domain * A horse is white. （×）联结词集，⼀元联结词，⼆元联结词。
* 优先顺序 * （），﹁，∧，∨，→，↔1.3 合式公式及其赋值命题常项 | 命题常元（值是确定的），命题变项 | 命题变元（真值可以变化的陈述句）。
合式公式 | 命题公式 | 命题形式 | 公式（wff）（well formed formulas），原⼦命题公式（单个命题变项），⼦公式。
* 单个命题变项是合式公式，没说命题常项。
*赋值 | 解释，成真赋值，成假赋值。
真值表。
* 真值表要点：赋值从00…0开始，按照⼆进制加法，直到11…1为⽌；按照运算的优先次序写出各⼦公式。
*命题公式的分类：重⾔式 | 永真式，⽭盾式 | 永假式，可满⾜式。
1.4 重⾔式与代⼊规则代⼊规则。
* 1. 公式中被代换的只能是命题变项（原⼦命题），⽽不能是复合命题。
2.对公式中某命题变项施以代⼊，必须对该公式中出现的所有同⼀命题变项施以相同的代换。
* 1.5 命题形式化命题形式化 | 符号化。
* 注意充分条件和必要条件的区别 ** 注意语义是否考虑完整 *1.6 波兰表达式中置式 | 中缀式，前置式 | 前缀式 | 波兰式，后置式 | 后缀式 | 逆波兰式。
Ch2 命题逻辑的等值和推理演算2.1 等值定理等值 | 等价，等值定理：设A，B为两个命题公式，A = B的充分必要条件是 A↔B为⼀个重⾔式。
离散数学第一章
例2： “派小王或小李中的一人去开会” 不能符号化为形式P∨Q ，因为这里的“或”表示 的是排斥或。它表示非此即彼，不可兼得。 运算符 ∨表示可兼或，排斥或以后用另一符号表达。也可
以借助于联结词
或。
┒、∧ 、∨共同来表达这种排斥
课堂练习： 将下列命题符号化: (1) 王东梅学过日语或俄语。 (2) 张小燕生于1977年或1978年。 (3) 小元元只能拿一个苹果或一个梨。
常称为“非”运算，所有可能的运算结果可用下表
（真值表）表示。
P
┒P
T F
F T
例: (a) P: 3是偶数。
则┑P： 3不是偶数。
(b)
的”。 (c) (d)
Q: 4 是质数。
则┑Q： 4 不是质数。或 “说4 是质数是不对 R: 我们都是汉族人。 则┒R: 我们不都是汉族人。 S: 今天下雨并且今天下雪。 则 ┒S:今天不下雨或者今天不下雪。
Q：明天下雨
是两个命题，利用联结词“不”、“并且”、 “或” 等可分别构成新命题： “明天不下雪”； “明天下雪并且明天下雨”； “明天下雪或者明天下雨”等。
即 ： “非P”；
“P并且Q”；
“P或Q”等。 在代数式x+3 中， x 、 3 叫运算对象， +叫运 算符，x+3 表示运算结果。在命题演算中， 也用同样术语。 联结词就是命题演算中的运算符，叫逻辑运算符或叫命题联 结词。常用的命题联结主要有 5 个。
2.常用命题联结词 1）. 否定词┑ 定义：设P为任一命题。复合命题“非P”(或“P的 否定”)称为P的否定，记作 ┑P，读作“非P”。┒ 为否定联结词。┑P为真当且仅当P为假。 由定义可知， ┑P 的逻辑关系为P不成立，因而P
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命题逻辑 >命题及其表示
2.命题的分类 原子命题: 简单陈述句表达的判断。
用A，B，...P，Q...表示,称为命题标识符。
复合命题: 复合陈述句表达的判断。即由连接词、 标点及原子命题复合而成的命题。
(9) 我学英语或者我学日语. (复合命题)
(10) 如果天气好,我去散步. (复合命题)
复合命题的真值由各原子命题的真值及连接词的含义确定。
２是自然数，
所以，２是整数。
数理逻辑
例如： 如果今天出太阳,我就进城, 今天出了太阳， 推理正确，结论有效 (T) 若n是素数,则n是整数, 所以我进城了. 6是整数, (T) (F) 所以, 6是素数. 又例如： (推理错误，结论无效) 如果狗有翅膀,狗会飞上天,
狗有了翅膀,
所以狗飞上了天.
推理正确，结论有效
命题逻辑 1-1
回答问题： 命题及其表示
什么是命题？
命题如何取值？
命题如何分类？ 命题如何表示？
地球绕着太阳转。 X=5 钱学森和鲁迅都是著名科学家。 我学日语或我学英语。 国庆长假我去内蒙或新疆旅游。
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命题逻辑 1-1
1-2
1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 1-8
命题及其表示 逻辑连接词 命题公式与赋值 等价公式 重言式 连接词的全功能集 对偶与范式 推理理论
数理逻辑
数理逻辑是用数学方法研究形式逻辑（演 绎和推理）的一门学问。通过引入一套符号系 统,将形式逻辑中用自然语言描述的概念、判断 及判断之间的联系等符号化，并借助数学方法 把判断之间的逻辑关系及推理过程转换成符号 运算，从而将形式逻辑的推理系统变成了严密 精确、形式化、公理化的数学系统。 数理逻辑在计算机方面的直接应用主 要有程序设计、定理的机器证明,人工智能等。
命题及其表示 命 题 及 其 表 示 1-1 1-2 逻辑连接词 1-3 命题公式与赋值 1-4 等价公式 1-5 重言式 1 - 6 连接词的全功能集 1-7 对偶与范式
1-8
推理理论
命题逻辑 1-1
命题及其表示
本节主要讨论四个问题：
命题如何定义？
命题如何取值？
命题如何分类？
命题如何符号化？
命题逻辑 >命题及其表示
命题逻辑 1-1
命题及其表示 本节将讨论问题：
什么是逻辑连接词？
有哪些基本逻辑连接词？
如何使用原子命题和连接词
将命题符号化？
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命题逻辑 >命题及其表示
名词术语
命题常量: 命题标识符代表某一确定的命题。 命题变元:命题标识符代表任意一个命题.变元 的取值范围(T,F).
变元的指派:当命题变元被特定命题代入,成为具
P T T F F Q T F T F P Q T F T T
与日常用语中的 ‘如果
…则’,„必须…以便’,等 含义相当。
命题逻辑 > 逻辑连接词
例1 如果某动物是哺乳动物,则它必胎生. 解: 设 P: 某动物是哺乳动物 Q: 某动物是胎生
有因果关系(T)
符号化为: P Q
西方?
例2 如果太阳从东方升起,你就可以长生不老.
1-1命题及其表示 1. 命题（Proposition）
例 天是蓝的。太阳从西方升起。
命题： 能表达判断的陈述句称之。 每个
真命题:命题含义为真,记作T.亦称其真值为T;
假命题:命题含义为假,记作F.亦称其真值为F; {T, F }统称为命题的真值。
命题是具有唯一确定真值的陈述句.
“100是个很大的数‛是命题吗？ 一切没有判断内容的句子均非命题.
P T „以及’,„和’,„不仅...而且’ T ‘虽然…但是’等含义相当. F F
与日常用语中的 ‘并且’,
命题逻辑 > 逻辑连接词
例1
P: 我们去看电影 Q: 房间里有十张桌子
命题
我们去看电影且房间里有十张桌子. 新命题 PQ
只考虑命题与命题之间的形式关系,不顾及句子的含义.
例2
P: 张明与张亮是兄弟 不是连接词
绪论 Preface
一、什么是离散数学 二、离散数学与计算机科学
三、离散数学研究的范围
四、离散数学课程的任务
绪论PRAFACE
一、什么是离散数学
现代数学的重要分支。 研究离散量的结构及离散量之间关系。 离散性 两个特征 可计算性（能行性）
典型问题：苏格拉底三段论、信息检索 最佳编码、周游世界、最短路径...
般性的推理规律。
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目 录
绪论
第一篇 数理逻辑
1.命题逻辑
2.谓词逻辑
3.集合与关系 第二篇 集合论 4.函数 5.代数结构 第三篇 代数结构 6.布尔代数
第四篇 图论 ７.图论
第一章
Propositional Logic
以命题为研究对象，研究命题的逻
命 题 逻 辑
辑结构及命题间的推理关系。
命题逻辑 1-1
否定是个 相对概念.
命题逻辑 > 逻辑连接词
(2) 合取(Conjunction) ∧ 定义 1-2.2 两个命题P和Q的合取是一个复合命题, 记作P∧Q。 当且仅当P 、 Q同时为T时,P∧Q 为T,在其他情况下,P∧Q的真值都是F。 即 P∧Q为T,iff P与Q均为T.
Q T F T F P Q T F F F
P T T F F Q T F T F P Q T F F T
与日常用语中的‘当且仅当 ’,„充分必要’,„只有且仅有 …才能’等含义相当。
命题逻辑 > 逻辑连接词
例1 两个三角形全等,Iff 它们的三组对应边相等. P Q 例2 燕子飞回北方,春天来了. P Q 例3 2+2=4,当且仅当雪是白的. P Q
符号化为: P Q
“P当且仅当Q” 等价于“P当 Q“ 且 “P仅当Q ”
命题逻辑 > 逻辑连接词
基本连接词的真值表
归纳推理：由若干个别事实推出一般结论。
如：铜能导电。铁能导电。锡能导电。铅能导电„ 一切金属都导电。
演绎推理：由一般规律推出个别事实。
如：所有金属都导电。 铜是金属。 铜能导电
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数理逻辑
苏格拉底三段论： 人总是要死的， 已知判断
前提
结论 推 苏格拉底是人， 理 所以，苏格拉底是要死的。 推出的判断 又如： 自然数是整数， 推理形式： 凡A是X, a是A, 所以, a是 X。
离散结构（DS）
DS1. 函数,关系,集合[核心]
DS2. 基本逻辑[核心] DS3. 证明技术[核心] DS4. 计算基础[核心] DS5. 图和树[核心]
DS6. 离散概率[核心]
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四、离散数学课程的任务
１、掌握离散数学的基本理论和方法, 为后继课程准备 必要的数学工具。 后继课程：数据结构、数字逻辑、算法 编译原理、数据库、人工智能等。 ２、提高逻辑推理能力、抽象思维能力
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二、离散数学与计算机科学
计算机只能处理离散性问题 用计算机求解任何问题不仅要知道 解的存在，更要知道解的能行性。
计算机科学的理论基础和工具
信息时代的数学基础。
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三、离散数学研究的范围
数理逻辑、集合论、代数结构、图论、 概率论、可计算性理论、组合数学、
自动机理论、拟阵论等等。
解: 设 P: 太阳从东方升起 Q: 你可以长生不老. 符号化为: P Q
无因果关系(F)
命题逻辑 > 逻辑连接词
(5) 双条件(Equivalence) 定义 1-2.5 给定命题P和Q,其复合命题PQ称作 双条件命题,读作“P当且仅当Q”,当P和Q的真值 相同时,PQ的真值为T,否则PQ的真值为F。 即： P Q为T, iff P与Q同T或同F。
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数理逻辑
数理逻辑包括五个部分： •逻辑演算(logical calculus）
又称数理逻辑基础
•公理化集合论 (Set theory) •证明论(poof theory） •模型论( model theoy ） •递归论(recursive theory）
包括命题演算、谓
词演算和应用运算 讨论逻辑概念和一
答 疑 地 点 : 五教1101
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参考书目
‚离散数学‛
耿素云,屈婉玲,北京大学出版社 “离散数学及其应用” (美) kenneth H.Rosen 机械工业出版社
目 录
绪论
第一篇 数理逻辑
1.命题逻辑
2.谓词逻辑
3.集合与关系 第二篇 集合论 4.函数 5.代数结构 第三篇 代数结构 6.布尔代数
命题逻辑 >命题及其表示
(1) 中国人民是伟大的. (命题,T)
(2) 雪是黑的. (命题,F)
(3) 1+101=110. (陈述句,但不是命题) (4) 别的星球上有生物. (是命题) (5) 全体立正! (祈使句,不是命题) (6) 明天是否开会? (疑问句,不是命题) (7) 天气多好啊! (感叹句,不是命题) (8) 我正在说谎. (悖论,不是命题) 补例：今天早上又刮风又下雨. (复合命题)
第四篇 图论 ７.图论
数理逻辑
第一篇 数 理 逻 辑
Mathematics Logic
又称符号逻辑,是用数学方法研究形
式逻辑（演绎和推理）的一门学问。
数理逻辑
• 逻辑LOGIC—是研究思维规律的科学。
1.辩证逻辑：属哲学范畴，以认识论的世界观为基
础，是辩证法研究的对象。
例如：用全面的和发展的观点观察事物； 具体问题具体分析； 实践是检查事物正误的唯一标准；等等。
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ACM/IEEE 将“计算机科学” 分为14个学科领域：