高等数学第七章 向量代数与空间解析几何

第七章向量代数与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z 轴的交点依次为P、Q、R（图7-3）.这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z.这样，空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组（x，y，z），它称为点M的直角坐标，并依次把x,y和z叫做点M的横坐标，纵坐标和竖坐标.坐标为（x,y,z）的点M通常记为M（x,y,z）.图7-3反过来，给定了一有序数组（x,y,z），我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴，y轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标（x,y,z）的点（图7-3）.从而对应于一有序数组（x,y,z），必有空间的一个确定的点M.这样，就建立了空间的点M和有序数组（x,y,z）之间的一一对应关系.如图7-3所示x轴，y轴和z轴上的点的坐标分别为P（x,0,0），Q（0,y,0）,R（0,0,z）；xOy面，yOz面和zOx面上的点的坐标分别为A（x,y,0），B（0，y,z）,C（x,0,z）；坐标原点O的坐标为O（0,0,0）.它们各具有一定的特征，应注意区分.二、空间两点间的距离设M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1，M2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有图7-4｜M 1M 2｜2＝｜M 1N ｜2＋｜NM 2｜2＝｜M 1P ｜2＋｜M 1Q ｜2＋｜M 1R ｜2.由于｜M 1P ｜＝｜P 1P 2｜＝｜x 2－x 1｜,｜M 1Q ｜＝｜Q 1Q 2｜＝｜y 2－y 1｜,｜M 1R ｜＝｜R 1R 2｜＝｜z 2－z 1｜,所以d ＝｜M 1M 2｜＝212212212)()()(z z y y x x -+-+-，这就是两点间的距离公式.特别地，点M （x,y,z ）与坐标原点O （0,0,0）的距离为d ＝｜OM ｜＝222z y x ++。

第二节 向量代数一、向量及其线性运算1.向量概念我们曾经遇到的物理量有两种：一种是只有大小的量，叫做数量，如时间、温度、距离、质量等；另一种是不仅有大小而且还有方向的量，叫做向量或矢量，如速度、加速度、力等.在数学上，往往用一条有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.如图7-5所示，以M 1为始点、M 2为终点的有向线段所表示的向量，用记号12M M 表示.有时也用一个黑体字母或上面加箭头的字母来表示向量.例如向量a ，b ，i ，u 或 a ，b ，i ，u 等.图7-5向量的大小叫做向量的模，向量12M M ，a 的模分别记为｜12M M ｜，｜a ｜.在研究向量的运算时，将会用到以下几个特殊向量：单位向量模等于1的向量称为单位向量.逆向量（或负向量）与向量a的模相等而方向相反的向量称为a的逆向量，记为－a.零向量模等于0的向量称为零向量，记作0，零向量没有确定的方向，也可以说它的方向是任意的.相等向量两个向量a与b，如果它们平行、同向且模相等，就说这两个向量相等，记作a＝b.自由向量与始点位置无关的向量称为自由向量（即向量可以在空间平行移动，所得向量与原向量相等）.我们研究的向量均为自由向量，今后，必要时我们可以把一个向量平行移动到空间任一位置2．向量的线性运算（1）向量的加（减）法仿照物理学中力的合成，我们可如下规定向量的加（减）法.定义1 设a，b为两个（非零）向量，把a，b平行移动使它们的始点重合于M，并以a，b为邻边作平行四边形，把以点M为一端的对角线向量MN定义为a，b的和，记为a ＋b（图7-6）.这样用平行四边形的对角线来定义两个向量的和的方法叫做平行四边形法则.图7-6由于平行四边形的对边平行且相等，所以从图7-6可以看出，a＋b也可以按下列方法得出：把b平行移动，使它的始点与a的终点重合，这时，从a的始点到b的终点的有向线段MN就表示向量a与b的和a＋b（图7-7）.这个方法叫做三角形法则.图7-7定义2向量a与b的差规定为a与b的逆向量（－b）的和a－b＝a＋（－b）.按定义容易用作图法得到向量a与b的差.把向量a与b的始点放在一起，则由b的终点到a的终点的向量就是a与b的差a－b（图7-8）.图7-8向量的加法满足下列性质：a ＋b ＝b ＋a ; （交换律）（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）;（结合律）a ＋0＝a ; a ＋（－a ）＝0.（2） 向量与数量的乘法定义3 设λ是一实数，向量a 与λ的乘积λa 是一个这样的向量：当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，它的模等于｜a ｜的λ倍，即｜λa ｜＝λ ｜a ｜； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反，它的模等于｜a ｜的｜λ｜倍，即λλ=a a . 当λ＝0时，λa 是零向量，即λa ＝0.向量与数量的乘法满足下列性质（λ, μ为实数）：λ（μa ）＝（λμ）a ; （结合律）（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ;（分配律）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb .（分配律）设e a 是方向与a 相同的单位向量，则根据向量与数量乘法的定义，可以将a 写成a ＝｜a ｜e a这样就把一个向量的大小和方向都明显地表示出来.由此也有e a ＝aa就是说把一个非零向量除以它的模就得到与它同方向的单位向量.二、向量的坐标表示1.向量在轴上的投影为了用分析方法来研究向量，需要引进向量在轴上的投影的概念.（1） 两向量的夹角.设有两个非零向量a ，b ，任取空间一点O ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则称这两向量正向间的夹角θ为两向量a 与b 的夹角（图7-9），记作图7-9θ＝（,a b ）或θ=（,b a ），0≤θ≤π.当a 与b 同向时，θ＝0；当a 与b 反向时，θ＝π.（2）点A在轴u上的投影过点A作与轴u垂直的平面，交轴u于点A′，则点A′称为点A在轴u上的投影（图7-10）.图7-10 图7-11（3）向量AB在轴u上的投影首先我们引进轴上的有向线段的值的概念设有一轴u,AB是轴u上的有向线段.如果数λ满足|λ|=|AB|,且当AB与u轴同向时λ是正的，当AB与u轴反向时λ是负的，那么数λ叫做轴u上有向线段AB的值，记作AB，即λ=AB.设A、B两点在轴u上的投影分别为A′，B′（图711），则有向线段A B''的值A′B′称为向量AB在轴u上的投影，记作Pr j u AB＝A′B′,它是一个数量.轴u叫做投影轴.这里应特别指出的是：投影不是向量，也不是长度，而是数量，它可正，可负，也可以是零.关于向量的投影有下面两个定理：定理1 向量AB在轴u上的投影等于向量AB的模乘以u与向量AB的夹角α的余弦，即Pr j u AB＝｜AB｜cosα.证过A作与轴u平行且有相同正向的轴u′，则轴u与向量AB间的夹角α等于轴u′与向量AB间的夹角（图7-12）.从而有图7-12Pr j u AB＝Pr j u′AB＝AB″＝｜AB｜cosα..显然，当α是锐角时，投影为正值；当α是钝角时，投影为负值；当α是直角时，投影为0.定理2 两个向量的和在某轴上的投影等于这两个向量在该轴上投影的和，即Pr j u（a1＋a2）＝Pr j u a1＋Pr j u a2.证设有两个向量a1，a2及某轴u,由图7-13可以看到图7-13Pr j u（a1＋a2）＝Pr j u（AB+BC）＝Pr j u AC＝A′C′, 而Pr j u a1+Pr j u a2＝Pr j u AB+Pr j u BC＝A′B′＋B′C′＝A′C′，所以Pr j u（a1＋a2）＝Pr j u a1＋Pr j u a2.显然，定理2可推广到有限个向量的情形，即Pr j u（a1＋a2＋…+a n）＝Pr j u a1＋Pr j u a2＋…＋Pr j u a n.2.向量的坐标表示（1）向量的分解设空间直角坐标系Oxyz，以i，j，k分别表示沿x轴、y轴、z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量.始点固定在原点O、终点为M的向量r＝OM称为点M的向径.设向径OM的终点M的坐标为（x,y,z）.过点M分别作与三个坐标轴垂直的平面，依次交坐标轴于P，Q，R（图7-14），根据向量的加法，有图7-14r＝OM＝OP＋PM'＋M M'，但PM'＝OR，M M'＝OQ，所以r＝OP＋OQ＋OR.向量OP ，OQ ，OR 分别称为向量r ＝OM 在x ，y ，z 轴上的分向量，根据数与向量的乘法得 OP ＝x i , OQ ＝y j ，OR ＝z k .因此有 OM ＝r ＝x i ＋y j ＋z k .这就是向量r 在坐标系中的分解式.其中x,y,z 三个数是向量r ＝OM 在三个坐标轴上的投影.一般地，设向量a ＝12M M ,M 1、M 2的坐标分别为M 1（x 1,y 1,z 1）及M 2（x 2, y 2,z 2），如图7-15所示，由于图7-1512M M ＝2OM －1OM ＝r 2－r 1,而r 2＝x 2i ＋y 2j ＋z 2k ,r 1＝x 1i ＋y 1j ＋z 1k ,所以a ＝12M M ＝（x 2i ＋y 2j ＋z 2k ）－（x 1i ＋y 1j ＋z 1k ）＝（x 2－x 1）i ＋（y 2－y 1）j ＋（z 2－z 1）k .这个式子称为向量12M M 按基本单位向量的分解式.其中三个数量a x ＝x 2－x 1,a y ＝y 2－y 1,a z ＝z 2－z 1是向量a ＝12M M 在三个坐标轴上的投影.我们也可以将向量a 的分解式写成a ＝a x i ＋a y j ＋a z k .（2） 向量的坐标表示.向量a 在三个坐标轴上的投影a x ，a y ，a z 叫做向量a 的坐标，并将a 表示为a ＝（a x ,a y ,a z ），上式叫做向量a 的坐标表示式.从而基本单位向量的坐标表示式是i ＝（1,0,0）, j ＝（0,1,0）, k ＝（0,0,1）.零向量的坐标表示式为0=（0,0,0）.起点为M 1（x 1,y 1,z 1）、终点为M 2（x 2,y 2,z 2）的向量的坐标表示式为12M M ＝（x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1）， 特别地，向径的坐标就是终点的坐标，即 OM ＝（x,y,z ）（3） 向量的模与方向余弦的坐标表示式.向量可以用它的模和方向来表示，也可以用它的坐标来表示，为了找出向量的坐标与向量的模、方向之间的联系，我们先介绍一种表达空间方向的方法.与平面解析几何里用倾角表示直线对坐标轴的倾斜程度相类似，我们可以用向量a ＝12M M 与三条坐标轴（正向）的夹角α，β，γ来表示此向量的方向，并规定0≤α≤π、0≤β≤π、0≤γ≤π（图7-16），α，β，γ叫做向量a 的方向角. 过点M 1，M 2各作垂直于三条坐标轴的平面，如图7-16所示，可以看出由于∠PM 1M 2＝α,又M 2P ⊥M 1P ，所以图7-16同理a x ＝M 1P ＝｜12M M ｜cos α＝｜a ｜cos α，a y ＝M 1Q ＝｜12M M ｜cos β＝｜a ｜cos β， （7-2-1）a z ＝M 1R ＝｜12M M ｜cos γ＝｜a ｜cos γ.公式（7-2-1）中出现的不是方向角α，β，γ本身而是它们的余弦，因而，通常也用数组cos α、cos β、cos γ来表示向量a 的方向，叫做向量a 的方向余弦.把公式（7-2-1）代入向量的坐标表示式，就可以用向量的模及方向余弦来表示向量：a ＝｜a ｜（cos αi ＋cos βj ＋cos γk ）， （7-2-2）而向量a 的模为｜a ｜＝｜12M M ｜＝222111M P M Q M R ++ 由此得向量a 的模的坐标表示式｜a ｜＝222x y za a a ++（7-2-3）再把上式代入（7-2-1）式，可得向量a 的方向余弦的坐标表示式cos αcos βa （7-2-4）cos γ把公式（7-2-4）的三个等式两边分别平方后相加，便得到cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1，即任一向量的方向余弦的平方和等于1.由此可见，由任一向量a 的方向余弦所组成的向量（cos α,cos β,cos γ）是单位向量，即e a ＝cos αi ＋cos βj ＋cos γk .例1 已知两点P 1（2,－2,5）及P 2（－1,6，7），试求：①12PP 在三个坐标轴上的投影及分解表达式；②12PP 的模；③12PP 的方向余弦；④12PP 上的单位向量12P P e解 ①设12PP ＝（a x ,a y ,a z ），则12PP 在三个坐标轴上的投影分别为：a x ＝－1－2＝－3，a y ＝6－（－2）＝8,a z ＝7－5＝2，于是 12PP 的分解表达式为12PP ＝－3i ＋8j ＋2k .② ｜12PP. ③ cos α＝12P P xa＝, cos β＝12p p ya＝,cos γ＝12p p z a ＝77. ④ 12P P e ＝77（－3i ＋8j ＋2k ）.（4） 用坐标进行向量的线性运算利用向量的分解式，向量的线性运算可以化为代数运算.设λ是一数量，a ＝a x i ＋a y j ＋a z k , b ＝b x i ＋b y j ＋b z k ;则a ±b ＝（a x i ＋a y j ＋a z k ）±（b x i ＋b y j ＋b z k ）＝（a x ±b x ）i ＋（a y ±b y ）j ＋（a z ±b z ）k ;λa ＝λ（a x i ＋a y j ＋a z k ）＝λa x i ＋λa y j ＋λa z k或（a x ,a y ,a z ）±（b x ,b y ,b z ）＝（a x ±b x ,a y ±b y ,a z ±b z ）,λ（a x ,a y ,a z ）＝（λa x ,λa y ,λa z ）.这就是说，两向量之和（差）的坐标等于两向量同名坐标之和（差）；数与向量之积，等于此数乘上向量的每一个坐标.例2 从点A （2，－1,7）沿向量a ＝8i ＋9j －12k 的方向取线段AB ，使｜AB ｜＝34，求点B 的坐标.解 设点B 的坐标为（x,y,z ），则AB ＝（x －2）i ＋（y ＋1）j ＋（z －7）k .按题意可知AB 上的单位向量与a 上的单位向量相等，即e AB ＝e a .而｜AB ｜＝34,｜a ｜＝2228912++-()＝17,所以e AB ＝ABAB ＝234x - i ＋134y +j ＋734z - k , e a =a a ＝817 i ＋917 j -1217k 比较以上二式得： 234x -＝817, 134y +＝917, 734z -＝－1217. 解得 x ＝18,y ＝17,z ＝－17.所以点B 的坐标为（18，17，－17）.例3 已知a ＝2i －j ＋2k ,b ＝3i ＋4j －5k ,求3a －b 方向的单位向量.解 因为c ＝3a －b ＝3（2i －j ＋2k ）－（3i ＋4j －5k ）=3i －7j ＋11k于是｜c ｜＝2223(7)(11)+-+＝179,所以e c ＝c c ＝33a b a b --＝179（3i －7j ＋11k ）. 三、向量的数量积与向量积1.两向量的数量积在物理学中，我们知道当物体在力F 的作用下（图7-17），产生位移s 时，力F 所作的功图7-17W ＝｜F ｜cos （,F s ）·｜s ｜=｜F ｜｜s ｜cos （,F s ）.这样，由两个向量F 和s 决定了一个数量｜F ｜｜s ｜cos （,F s ）.根据这一实际背景，我们把由两个向量F 和s 所确定的数量｜F ｜｜s ｜cos （,F s ）定义为两向量F 与s 的数量积.定义4 两向量a 与b 的模与它们的夹角余弦的乘积，叫做a 与b 的数量积，记为a·b ，即a·b ＝｜a ｜｜b ｜cos （,a b ）.因其中的｜b ｜cos （,a b ）是向量b 在向量a 的方向上的投影，故数量积又可表示为a·b ＝｜a ｜Pr j a b ，同样 a·b ＝｜b ｜Pr j b a .数量积满足下列运算性质：（1） a·b ＝b ·a ； （交换律）（2） a·（b ＋c ）＝a·b ＋a·c ； （分配律）（3） （λa ）·b ＝λ（a·b ）＝a ·（λb ）. （结合律）由数量积的定义，容易得出下面的结论：（1） a·a ＝｜a ｜2；（2） 两个非零向量a 与b 互相垂直的充要条件是a·b ＝0.数量积的坐标表示式设a＝a x i＋a y j＋a z k, b＝b x i＋b y j＋b z k,根据数量积的性质可得a·b＝（a x i＋a y j＋a z k）·（b x i＋b y j＋b z k）=a x b x i·i＋a x b y i·j＋a x b z i·k＋a y b x j·i+a y b y j·j＋a y b z j·k+a z b x k·i＋a z b y k·j＋a z b z k·k.由于基本单位向量i,j,k两两互相垂直，从而，i·j＝j·k＝k·i=j·i＝k·j＝i·k＝0.又因为i,j,k的模都是1，所以i·i＝j·j＝k·k＝1，因此a·b＝a x b x＋a y b y＋a z b z.即两向量的数量积等于它们同名坐标的乘积之和.由于a·b＝｜a｜｜b｜cos（,a b），当a，b都是非零向量时有cos（,a b ）＝a ba b＝a b a b a b++.这就是两向量夹角余弦的坐标表示式.从这个公式可以看出，两非零向量互相垂直的充要条件为a xb x＋a y b y＋a z b z＝0.例4求向量a＝（3,－b＝（3,0,0）的夹角.解因为a·b＝3·3＋（－2）·0＋20＝9，｜a＝5，｜b｜＝3，所以cos（,a b）＝a ba b＝953⨯＝35.故其夹角（,a b）＝arccos 35≈53°8′.例5求向量a＝（4,－1,2）在b＝（3,1,0）上的投影. 解因为a·b＝4·3＋（－1）·1＋2·0＝11,｜b所以Pr j b a ＝a bb＝.例6在xOy平面上求一单位向量与p＝（－4,3,7）垂直.解设所求向量为(a,b,c)，因为它在xOy平面上，所以c＝0.又（a ,b ,0）与p＝（－4,3,7）垂直，且是单位向量，故有－4a ＋3b ＝0，a 2＋b 2＝1.由此求得a ＝±35,b ＝±45，因此所求向量为(±35,±45,0).2.两向量的向量积在研究物体转动问题时，不但要考虑此物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩.下面举例说明表示力矩的方法.设O 为杠杆L 的支点，有一个力F 作用于这杠杆上P 点处，F 与OP 的夹角为θ（图7-18）.由物理学知道，力F 对支点O 的力矩是一向量M ，它的模图7-18｜M ｜＝｜OQ ｜｜F ｜＝｜OP ｜｜F ｜sin θ.而M 的方向垂直于OP 与F 所确定的平面（即M 既垂直于OP ，又垂直于F ），M 的指向按右手规则，即当右手的四个手指从OP 以不超过π的角转向F 握拳时，大拇指的指向就是M 的指向.由两个已知向量按上述规则来确定另一向量，在其他物理问题中也会遇到，抽象出来，就是两个向量的向量积的概念.定义5 两向量a 与b 的向量积是一个向量c ，记为c ＝a ×b ，它的大小与方向规定如下：（1） ｜a ×b ｜＝｜a ｜｜b ｜sin （,a b ），即等于以a,b 为邻边的平行四边形的面积；（2） a ×b 垂直于a,b 所确定的平面，并且按顺序a ，b ，a ×b 符合右手法则（见图7-19）.图7-19向量积满足下列规律：（1） a×b ＝－b ×a （向量积不满足交换律）.（2） （a ＋b ）×c ＝a ×c ＋b ×c .（3） （λa ）×b ＝a ×（λb ）＝λ（a ×b ）.由向量积的定义，容易得出下面的结论：（1） a ×a ＝0.（2） 两个非零向量a 与b 互相平行的充要条件是a ×b ＝0.3.向量积的坐标表示式设a ＝a x i ＋a y j ＋a z k, b ＝b x i ＋b y j ＋b z k .则a ×b ＝（a x i ＋a y j ＋a z k ）×（b x i ＋b y j ＋b z k ）＝a x b x （i ×i ）＋a x b y （i ×j ）＋a x b z （i ×k ）＋a y b x （j ×i ）＋a y b y （j ×j ）＋a y b z （j ×k ）＋a z b x （k ×i ）＋a z b y （k ×j ）＋a z b z （k ×k ）.由于i ×i ＝j ×j ＝k ×k ＝0，i ×j ＝k , j ×k ＝i ,k ×i ＝j ， j ×i ＝－k ，k ×j ＝－i , i ×k ＝－j .所以a ×b ＝（a y b z －a z b y ）i ＋（a z b x －a x b z ）j ＋（a x b y －a y b x ）k .这就是向量积的坐标表示式.这个公式可以用行列式（行列式的定义及简单运算见本书后附录）写成下列便于记忆的形式：a ×b ＝xy z x y za a ab b b ij k 从这个公式可以看出，两非零向量a 和b 互相平行的条件为a yb z －a z b y ＝0, a z b x －a x b z ＝0, a x b y －a y b x ＝0,或y x z x y za a ab b b ==. 例7 设a ＝2i ＋j －k ,b ＝i －j ＋2k .计算a ×b .解 a ×b ＝211112--ij k＝［1·2－（－1）2］i ＋［（－1）·1－2·2］j ＋［2·（－1）－1·1］k＝i －5j －3k .例8 求以A （1，2，3），B （3，4，5），C （2,4,7）为顶点的三角形的面积S .解 根据向量积的定义，可知所求三角形的面积S 等于12｜AB ×AC ｜. 因为 AB ＝2i ＋2j ＋2k , AC ＝i +2j ＋4k ,AB ×AC ＝222124i j k＝4i －6j +2k ,所以S ＝12｜AB ×AC ｜例9 已知a ＝（2,1,1）, b ＝（1,－1,1），求与a 和b 都垂直的单位向量.解 设c ＝a ×b ,则c 同时垂直于a 和b ，于是，c 上的单位向量是所求的单位向量.因c ＝a ×b ＝2i －j －3k ,｜c所以，e c =c c ＝及－e c ＝(都是所求的单位向量.第三节 平面与直线本节将以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的空间图形——平面和直线.一、曲面方程的概念平面解析几何把曲线看作动点的轨迹，类似地，空间解析几何可把曲面当作是一个动点或一条动曲线按一定规律而运动产生的轨迹.一般地，如果曲面S 与三元方程F （x,y,z ）＝0之间存在如下关系：（1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程F （x,y,z ）＝0；（2） 不在曲面S 上的点的坐标都不满足这个方程，满足方程的点都在曲面上. 那末称F （x,y,z ）＝0为曲面S 的方程，而曲面S 称为方程的图形.二、平面及其方程 1平面的点法式方程 垂直于平面的非零向量叫做该平面的法向量.容易看出，平面上的任一向量都与该平面的法向量垂直.图7-20我们知道，过空间一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直线，所以当平面Π上的一点M 0（x 0,y 0,z 0）和它的法向量n ＝（A ,B ,C ）为已知时，平面Π的位置就完全确定了. 设M 0（x 0,y 0,z 0）是平面Π上一已知点，n ＝（A ,B ,C ）是它的法向量（图7-20），M （x,y,z ）是平面Π上的任一点，那么向量0M M 必与平面Π的法向量n 垂直，即它们的数量积等于零：n ·0M M ＝0. 由于n ＝（A,B,C ）, 0M M ＝（x －x 0,y －y 0,z －z 0）,所以有A （x －x 0）＋B （y －y 0）＋C （z －z 0）＝0. （7-3-1） 平面Π上任一点的坐标都满足方程（7-3-1），不在平面Π上的点的坐标都不满足方程（7-3-1）.所以方程（7-3-1）就是所求平面的方程.因为所给的条件是已知一定点M 0（x 0,y 0,z 0）和一个法向量n ＝（A ,B ,C ），方程（7-3-1）叫做平面的点法式方程.例 1 求过点（2，－3,0）及法向量n ＝（1,－2,3）的平面方程.解 根据平面的点法式方程（7-3-1），得所求平面的方程为（x －2）－2（y ＋3）＋3z ＝0或x －2y ＋3z －8＝0.2平面的一般式方程将方程（7-3-1）化简，得Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0,其中D ＝－Ax 0－By 0－Cz 0，由于方程（7-3-1）是x ，y ，z 的一次方程，所以任何平面都可以用三元一次方程来表示.反过来，对于任给的一个三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0, （7-3-2） 我们取满足该方程的一组解x 0,y 0,z 0，则Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D ＝0. （7-3-3） 由方程（7-3-2）减去方程（7-3-3），得A （x －x 0）＋B （y －y 0）＋C （z －z 0）＝0. （7-3-4）图7-21把它与方程（7-3-1）相比较，便知方程（7-3-4）是通过点M 0（x 0,y 0,z 0）且以n ＝（A ，B ，C ）为法向量的平面方程.因为方程（7-3-2）与（7-3-4）同解，所以任意一个三元一次方程（7-3-2）的图形是一个平面.方程（7-3-2）称为平面的一般式方程.其中x,y,z 的系数就是该平面的法向量n 的坐标，即n ＝（A ，B ，C ）.例 2 已知平面Π在三坐标轴上的截距分别为a ，b ，c ，求此平面的方程（设a ≠0,b ≠0,c ≠0）（图7-21）.解 因为a ，b ，c 分别表示平面Π在x 轴、y 轴、z 轴上的截距，所以平面Π通过三点A （a ,0,0）,B （0,b ,0）,C （0,0,c ），且这三点不在一直线上.先找出这平面的法向量n ，由于法向量n 与向量AB 、AC 都垂直，可取n ＝AB ×AC ，而AB ＝（－a ,b ,0）, AC ＝（－a ,0,c ）,所以得n ＝AB ×AC ＝00a b a c--ij k ＝bc i ＋ac j ＋ab k .再根据平面的点法式方程（7-3-1），得此平面的方程为bc （x －a ）＋ac （y －0）＋ab （z －0）＝0.由于a ≠0,b ≠0,c ≠0，上式可改写成 x a ＋y b ＋z c＝1. （7-3-5） （7-3-5）式叫做平面的截距式方程.3.特殊位置的平面方程（1） 过原点的平面方程因为平面通过原点，所以将x ＝y ＝z ＝0代入方程（7-3-2），得D ＝0.故过原点的平面方程为Ax ＋By ＋Cz ＝0. （7-3-6） 其特点是常数项D ＝0.（2） 平行于坐标轴的平面方程如果平面平行于x 轴，则平面的法向量n ＝（A ，B ，C ）与x 轴的单位向量i ＝（1,0,0）垂直，故n·i ＝0,即A ·1＋B ·0＋C ·0＝0.由此，有A＝0.从而得到平行于x轴的平面方程为By＋Cz＋D＝0.其方程中不含x.类似地，平行于y轴的平面方程为Ax＋Cz＋D＝0.平行于z轴的平面方程为：Ax+By+D=0.（3）过坐标轴的平面方程因为过坐标轴的平面必过原点，且与该坐标轴平行，根据上面讨论的结果，可得过x 轴的平面方程为By＋Cz＝0;过y轴的平面方程为Ax＋Cz＝0;过z轴的平面方程为Ax＋By＝0.（4）垂直于坐标轴的平面方程如果平面垂直于z轴，则该平面的法向量n可取与z轴平行的任一非零向量（0,0,C），故平面方程为Cz＋D＝0.类似地，垂直于x轴的平面方程为Ax+D=0；垂直于y轴的平面方程为By+D=0；而z ＝0表示xOy坐标面；x＝0表示yOz坐标面；y＝0表示zOx坐标面.例3 指出下列平面位置的特点，并作出其图形：（1）x＋y＝4; （2）z＝2.解（1）x＋y＝4，由于方程中不含z的项，因此平面平行于z轴（图7-22）.（2）z＝2，表示过点（0，0，2）且垂直于z轴的平面（图7-23）.图7-22图7-234两平面的夹角及平行、垂直的条件设平面Π1与Π2的方程分别为A1x＋B1y＋C1z＋D1＝0和A2x＋B2y＋C2z＋D2＝0，它们的法向量分别为n1＝（A1,B1,C1）和n2＝（A2,B2,C2）.如果这两个平面相交，它们之间有两个互补的二面角（见图7-24），其中一个二面角与向量n1与n2的夹角相等.所以我们把两平面的法两平面的法向量的夹角中的锐角称为两平面的夹角.根据两向量夹角余弦的公式，有cos θ=|cos（12,n n）|＝121212222222111222A AB BC CA B C A B C++++++. （7-3-7）图7-24从两非零向量垂直、平行的条件立即推得两平面垂直、平行的条件.两平面Π1，Π2互相垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＋C1C2＝0.两平面Π1，Π2互相平行的充要条件是12AA＝12BB＝12CC例4 设平面Π1与Π2的方程分别为x -y+2z-6=0及2x+y+z-5=0,求它们的夹角.解根据公式（7-3-7）得cosθ22222212(1)1211(1)2211⨯+-⨯+⨯+-+++12，所以平面Π1与Π2的夹角为θ=π3.例5一平面通过点P1（1,1,1）和P2（0,1,－1），且垂直于平面x＋y＋z＝0，求这平面的方程.解平面x＋y＋z＝0的法向量为n1＝（1,1,1），又向量12PP＝（－1,0,－2）在所求平面上，设所求平面的法向量为n，则n同时垂直于向量12PP及n1,所以可取n＝n1×12PP＝（1,1,1）×（－1,0,－2）＝（－2,1,1），故所求平面方程为－2（x－1）＋（y－1）＋（z－1）＝0，或2x －y －z ＝0.三、直线及其方程 1一般式方程空间直线L 可以看作两个平面Π1和Π2的交线.如果平面Π1和Π2的方程分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1z ＋D 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2z ＋D 2＝0，那末空间直线L 上点的坐标应同时满足这两个平面方程，即应满足方程组1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ （7-3-8）反过来，如果点M 不在直线L 上，那末它不可能同时在平面Π1和Π2上，所以它的坐标不满足方程组（7-3-8）.因此，直线L 可以用方程组（7-3-8）来表示.方程组（7-3-8）叫做空间直线的一般方程.2标准式方程为了建立直线的标准式方程，我们先引入直线的方向向量的概念.直线的方向向量 与已知直线平行的非零向量称为该直线的方向向量.显然，直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.我们知道，过空间一点可作且只可作一条直线平行于一已知直线，所以当直线L 上一点M 0（x 0,y 0,z 0）和它的方向向量s ＝（m,n,p ）为已知时，直线L 的位置就完全确定了（图7-25）.下面我们来建立此直线的方程.图7-25设点M （x,y,z ）是直线L 上的任意一点，那末向量0M M 与L 的方向向量s 平行.所以两向量的对应坐标成比例，由于0M M ＝（x －x 0,y －y 0,z －z 0）, s ＝（m,n ,p ），从而有0x x m -＝0y y n-＝0z z p - （7-3-9） 当m,n,p 中有一个为零时，例如m ＝0，这时方程组应理解为0000,;x x y y z z n p -=⎧⎪--⎨=⎪⎩当m,n,p 中有两个为零时，例如m ＝n ＝0，应理解为0000x x y y -=⎧⎨-=⎩ 反过来，如果点M 不在直线L 上，那末由于0M M 与s 不平行，这两向量的对应坐标就不成比例.因此，方程组（7-3-9）就是直线L 的方程，叫做直线的标准式方程. 3参数式方程 直线L 上点的坐标x,y,z 还可以用另一变量t （称为参数）的函数来表达.如设000x x y y z z t m n p---=== 那么000,,.x x mt y y nt z z pt -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩即000,,x x mt y y nt z z pt =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩（7-3-10）称为直线的参数式方程.例6 求过两点M 1（x 1,y 1,z 1），M 2（x 2,y 2,z 2）的直线的方程.解 可以取方向向量s ＝12M M ＝（x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1）.由直线的标准式方程可知，过两点M 1,M 2的直线方程为111212121x x y y z z x x y y z z ---==--- （7-3-11）（7-3-11）称为直线的两点式方程.例7 用标准式方程及参数式方程表示直线 10,2340.x y z x y z +++=⎧⎨+++=⎩ 解 先找出此直线上的一点（x 0,y 0,z 0）.例如，可以取x 0＝1，代入题中的方程组，得00002,3 6.y z y z +=-⎧⎨+=-⎩ 解此二元一次方程组，得y 0＝0,z 0＝－2.即（1，0，－2）是此直线上的一点.为寻找这直线的方向向量s ，注意到两平面的交线与这两平面的法向量n 1＝（1,1,1）,n 2＝（2,1,3）都垂直，所以有s ＝n 1×n 2＝111213ij k ＝2i －j －k , 即s ＝（2,－1,－1）.因此，所给直线的标准式方程为12211x y z -+==--. 令比值等于t ，又可得所给直线的参数方程为12,,2.x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩，注意：本例提供了化直线的一般方程为标准方程和参数方程的方法.4两直线的夹角及平行、垂直的条件设两直线L 1和L 2的标准式方程分别为 111111x x y y z z m n p ---== 和222222x x y y z z m n p ---==， 两直线的方向向量s 1＝（m 1,n 1,p 1）与s 2＝（m 2,n 2,p 2）的夹角(这里指锐角或直角)称为两直线的夹角，记为θ，则cos θ121212222222111222m m n n p p m n p m n p ++++++ （7-3-12）由此推出，两直线互相垂直的充要条件是m 1m 2＋n 1n 2＋p 1p 2＝0； （7-3-13） 两直线互相平行的充要条件是111222m n p m n p == . （7-3-14） 例8 求直线L 1：13141x y z -+==-和直线L 2：2221x y z +==--的夹角. 解 直线L 1的方向向量s 1＝（1，－4，1）；直线L 2的方向向量为s 2＝（2，－2，－1）；故直线L 1与L 2的夹角θ的余弦为cos θ22222212(4)(2)1(1)1(4)12(2)(1)⨯+-⨯-+⨯-+-++-+-＝2＝22. 所以 θ＝π4. 例9 求经过点（2，0，－1）且与直线2360,42390x y z x y z -+-=⎧⎨-++=⎩平行的直线方程.解 所求直线与已知直线平行，其方向向量可取为：s ＝n 1×n 2＝（2,－3,1）×（4,－2,3）=（－7,－2,8）.根据直线的标准式方程，得所求直线的方程为21728x y z -+==--. 例10 求过点（2，1，3）且与直线11321x y z +-==-垂直相交的直线方程. 解 先作一平面过点（2，1，3）且垂直于已知直线，那么这平面的方程应为3（x －2）＋2（y －1）－（z －3）＝0.再求已知直线与这平面的交点.把已知直线的参数方程13,12,x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩代入平面方程，解之得t ＝37,再将求得的t 值代入直线参数方程中，即得 x ＝27, y ＝137,z ＝－37. 所以交点的坐标是(27,137,－37). 于是，向量（27－2, 137－1,－37－3）是所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为2132133213777x y z --==-----, 即 213214x y z ---==-. 5直线与平面的夹角及平行、垂直的条件直线L 与它在平面Π上的投影所成的角称为直线L 与平面Π的夹角，一般取锐角（图7-26）图7-26 设直线L的方程为00ox x y y z zm n p---==,其方向向量s＝（m,n,p）;平面Π的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，其法向量n＝（A，B，C），则cos（π2θ-）＝n sn s，即sinθ＝222222Am Bn CpA B C m n p++++++. （7-3-15）从而得直线L与平面Π平行的充要条件是Am＋Bn＋Cp＝0；（7-3-16）直线L与平面Π垂直的充要条件是A B Cm n p==.（7-3-17）例11设平面Π的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0,M1（x1,y1,z1）是平面外的一点，试求M1到平面Π的距离.解在平面Π上取一点M0（x0，y0，z0）（见图7-27）.则点M1到平面Π的距离图7-27d＝｜Prj n01M M｜＝01M Mnn而｜n·01M M｜＝｜A（x1－x0）＋B（y1－y0）＋C（z1－z0）｜＝｜Ax1＋By1＋Cz1－Ax0-By0-Cz0｜.由于点（x 0，y 0，z 0）在平面Π上，有Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D ＝0，即Ax 0＋By 0＋Cz 0＝－D ，得｜n ·01M M ｜=｜Ax 1＋By 1＋Cz 1＋D ｜，所以d ＝111222Ax By Cz DA B C +++++ （7-3-18）公式（7-3-18）称为点到平面的距离公式.第四节曲面与空间曲线一、曲面及其方程上一节我们考察了最简单的曲面——平面，以及最简单的空间曲线——直线，建立了它们的一些常见形式的方程.在这一节里，我们将介绍几种类型的常见曲面.1. 球面方程到空间一定点M 0之间的距离恒定的动点的轨迹为球面.例1 建立球心在点M 0（x 0,y 0,z 0），半径为R 的球面的方程.解 将球面看作空间中与定点等距离的点的轨迹.设M （x ,y ,z ）是球面上的任一点，则｜M 0M ｜＝R .由于｜M 0M ｜＝222000()()()x x y y z z -+-+-，所以 222000()()()x x y y z z -+-+-＝R .两边平方，得（x －x 0）2＋（y －y 0）2＋（z －z 0）2＝R 2 （7-4-1） 显然，球面上的点的坐标满足这个方程；而不在球面上的点的坐标不满足这个方程，所以方程（7-4-1）就是以M 0（x 0,y 0,z 0）为球心，以R 为半径的球面方程.如果M 0为原点，即x 0＝y 0＝z 0＝0，这时球面方程为x 2＋y 2＋z 2＝R 2 （7-4-2） 方程（7-4-1）也可以写为x 2＋y 2＋z 2－2x 0x －2y 0y －2z 0z ＋222000x y z ++－R 2＝0.若记A = -2x 0，B = -2y 0，C = -2z 0，D =2222000x y z R ++-，则有。