高等代数第五章单元复习题

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高等代数-第5章习题及解答

习题 5.1解答A ⊆B A B =A A B =B 1. 设，证明：，.ααααααα∀∈A ⊆B ∈B ∴∈A B⊆A BAB ⊆AB =A∀∈A B ∈∈B A ⊆B ∈BA B ⊆B B ⊆A BAB =B证 A ，由，得即得证A 又A 故，则A 或但，因此无论那一种情形都有此即，但所以(B C C 2. :1)A =A B A 证明）（）（）；(((((((x x x x x x x x x x x x x x ∀∈∈∈∈∈∈∈⊆∈∈∈∈∈∈∈证 A （B C ），则A 且（B C ）在后一情形,B 或C, 于是AB 或AC 所以AB)AC ）由此得A （B C ）A B)AC ）反之,若A B)A C ）,则AB 或AC在前一情形,A,B,因此B C 故A B C ）在后一情(((((((x x x x ∈∈∈∈⊆形,A,C, 因此BC也得A BC ）故A B)AC ）AB C ）于是AB C ）=AB)AC ）C C 2A B =A B A .）（）（）（）x x x x x x x x x x x ∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∴⊆⊆ 证若A （B C ），则A 或者BC在前一情形AB 且A C因而（A B ）（AC ）在后一情形B ，C ，因而AB 且AC即（A B ）（A C ） A （B C ）（A B ）（A C ）同理可证（A B ）（AC ）A （BC ）故A （BC ）=（AB ）（AC ）3:|,:|a b a b b f a bc d c d a ⨯⎛⎫⎛⎫→→+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22 、问：法则g 是否为Q 到Q 的映射？单射还是双射？22(((a f f Q g g g ⨯⎛⎫⎛⎫∀∈∈⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴解当取0时在中没有象,所以不是映射；a 0a 0 a Q,有)=a,但000012121212)=3=)，而00420042g 是满射不是单射.2()(),:()|()[]f x f x f x f x Q x φϕ'→→4. 问：满足：|是否为的变换？单射还是双射？φφφ'∈∴∀∈Φ解 (f(x))=f (x)Q[x] 是变换;又f(x)Q[x],有((x))=f(x),而22(())()(())(())()()f x f x f x f x f x f x φφφϕϕϕϕϕΦ∈'≠∴∀∈=∈∴∀∈=-=-≠∴⎰x(x)=f(x)dx Q[x],又 (f(x))=(f(x)+1)=f (x),而f(x)f(x)+1是满射不是单射.又f(x)Q[x],Q[x]是变换,又f(x)Q[x],但f(x)并且-f(x)没有原象,既不是单射又不是满射.{}|01y y y A B ≤<5. 设是一切非负实数构成的集合,又=是实数且:|1x f x x→A B + 证明：是到的一个双射.()(),1,,1,111a ba b f a f b a ba b f yy y yyy fy y y f f ∀∈=+∴=∴∀∈≤≤∴≥-⎛⎫∴∈= ⎪--⎝⎭∴ 证 A,==1+ 是A 到B 的一个单射. B 00,A,且使得是A 到B 的满射.综上所述得，是A 到B 的一个双射.{},:11,21,32,42;1223,4,1f g A →→→→→→→→6. 设=1,2,3,4规定 :,34.,f g fg gf fg gf A 1) 说明都是的变换;2) 求和,问和是否相等?(),():11,22,32,41:12,22,33,43.f x Ag x Af g fg gf g gf ∀∈∈∈∴→→→→→→→→≠证明 (1)x A,与都是由A 到A 的映射, 从而都是A 的变换. (2)所以f,,:::A B C f A B g B C gf A C g →→→7.证明是三个非空集合,是满射，，但是单射，证明是单射.1212121212,(),()()()()()f a a f a f a f a f a f a a f a f a ∈∴∃∈==⇒=⇒==∴12121212证明：设b ,b B,且g(b )=g(b )因是满射,A,使得b b 即有g()=g()g 是单射即b b g 是单射习题 5.2解答1. 检验以下集合对所规定的代数运算是否作成数域上F 的线性空间.{}{}{}{}()|,()|,()|0,()|0n n n ij n ij i j a i j a 1) S=A M F A =A T=A M F A =-A U=A M F 时 L=A M F 时'∈'∈∈>=∈<=∴解S ，T ，U ，L 分别对称矩阵、反对称矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵，所以S 、T 、U 、L 都非空，又根据其相应性质知，S 、T 、U 、L 中的元素关于矩阵的加法与F 中的数与矩阵的乘法都封闭，S 、T 、U 、L 都作成数域F 上的线性空间。

第五-九章高等代数春季复习题

第五章二次型自测题一、填空题1.二次型4232434143218228),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的矩阵为 .2.n 元正定二次型的正惯性指数为 .二、选择题1.下列说法错误的是（）.A.若两个矩阵合同，则它们必等价B.若两个矩阵合同，则它的秩相等，反之亦然C.用非退化线性替换将二次型化为标准形，实质上是将二次型的矩阵施行合同变换化为对角形D.n 元正定二次型的矩阵与n 阶单位矩阵合同2.设A 、B 为n 阶实对称矩阵，则下列命题为假的是（）.A.若A 正定，则A -1也正定B.若A 、B 正定，则A +B 也正定C.若0>A ，则A 正定D.若A 的主子式都大于0，则A 正定_______.二. 用非退化的线性替换化下列二次型为标准形：22212312232344x x x x x x x ++--；三、t 取什么值时, 下列二次型是正定的:2221231213235224x x x tx x x x x x +++-+;第六章自测题一．填空题1.当_____λ时，),1,1(),2,3,1(),1,2,1(221λααα===线性相关.2.若向量组321,,ααα线性相关，则向量组1332212,2,2αααααα+++线性_______.3.L(),,(),,,2121n n L βββαααΛΛ=的充要条件.________4.数域P 上的n 维线性空间V 的三组基分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅰ到Ⅲ的过度矩阵为A ，Ⅱ到Ⅲ的过渡矩阵为B ，则Ⅰ到Ⅱ的过渡矩阵为___________.5.1W 与2W 都是线性空间V 的子空间,则dim (1W +2W )=____________.二.选择题1.设}0,)0,,0{(2},0,)0,,0{(1≠∈+=≠∈=x R x y x V x R x x V ,则( )是3R的子空间.A.1VB. 2VC. 1V ⋂2VD. 1V +2V2.向量组线性相关的充要条件是( ).A.向量组中存在零向量B.任何非空部份组都线性相关C.向量组中每一个向量都是该向量的线性组合.D.向量组中至少一一个向量是其余向量的线性组合3.五元齐次线性方程组0543254321=++++x x x x x 的解空间的维数是( ).A.5B.1C.3D.44.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d b b a 在基,00011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ε,01002⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ε,00103⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ε,20004⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ε下的坐标是( ). A.2(a,b,c,d) B.(a,b,c,d) C.21(a,b,c,d) D.(a.b,c,21d) 5.设n ααα,,,21Λ与n βββ,,,21Λ都是数域P 上的线性空间V 的基，且（n βββ,,,21Λ）=（n ααα,,,21Λ）A ，其中A=n n j i a ⨯)(，而j β关于基n ααα,,,21Λ的坐标是（）。

高数第五章测试题及答案(1)

高等数学第五章定积分测验题一、选择题（每题３分，共１５分） 1 设2()sin ,x xI x tdt =⎰则'()I x =（）（Ａ）2cos cos xx -；（Ｂ）22cos cos x x x -；（Ｃ）22sin sin x x x -；（Ｄ）22sin sin x x x +。

2 定积分⎰badx x f )(表示和式的极限是（）．（A ）))((lim 1a b n k f n a b n k n --∑=∞→；（B ）))(1(lim 1a b n k f n a b n k n ---∑=∞→；（C ）k nk kn x f ∆∑=∞→)(lim1ξ（k ξ为],[1k k x x -上任一点）；（D ）k nk kx f ∆∑=→)(lim1ξλ（}{max 1k nk x ∆=≤≤λ，k ξ为],[1k k x x -上任一点）． 3 设12200()11xx dt dt F x t t =+++⎰⎰，则（）（Ａ）()0F x =；（Ｂ）()2F x π=；（Ｃ）()arctan F x x =；（Ｄ）()2arctan F x x =. 4 广义积分0d e +ex xx+∞-=⎰（）（Ａ）2π；（Ｂ）4π；（Ｃ）发散；（Ｄ）π. 5 设()f x 连续，且2140()d 1x f t t x -=-⎰，则(8)f = （）（Ａ）108；（Ｂ）48；（Ｃ）18；（Ｄ）８二、填空题（每题3分，共15分） 1 若反常积分11q dx x +∞⎰发散，则必有q _____；反常积分10=⎰_________. 2 131(cos )cos x x xdx -+=⎰_________． 3240sin ______.xdx π=⎰4 1000sin ()xdx t dt dx -=⎰____________；5 0x →时，3x ⎰是x αβ的等阶无穷小，则____,_____.αβ==三、解答题（每题5分，共40分）1求03[ln(1sin )]limxx t t dtx →+-⎰。

高等代数第五章

3
问题的引入:
解析几何中中心与坐标原点重合的有心二次曲线
f ax 2bxy cy
2 2
2
选择适当角度 θ ,逆时针旋转坐标轴

x x cos y sin y x cos y sin
x 2 cy 2 f a
(标准方程)
4
代数观点下
二次齐次多项式
2 22 2
an1 xn x1 an 2 xn x2 an3 xn x3 a x
2 nn n
9
f ( x1 , x2 , , xn ) a11 x12 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a1n x1 xn
2 a21 x2 x1 a22 x2 a23 x2 x3 a2 n x2 xn
7
二、二次型的表示方法
1．用和号表示对二次型 2 2 2 f x1 , x 2 ,, x n a11 x1 a 22 x 2 a nn x n
2a12 x1 x 2 2a13 x1 x 3 2a n1,n x n1 x n
取 a ji aij , 则2 aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是 2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n 2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n
事实上，
f ( x1 , x2 ,..., xn ) X AX
Y (C AC )Y
a33 x3 2a3 n x3 xn
2

大学高等代数二次型试题

第五章二次型§1 二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示设P 是一个数域,一个系数在P 中的n x x ,,1 的二次齐次多项式2221211112121122222(,,,)222n n n n n nn nf x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++ (1) 称为数域P 上的一个n 元二次型,简称二次型.令,ij ji a a i j =<由于i j j i x x x x =,所以二次型(1)可写成22121111212112121222222112211(,,,)n n n n nnnn n n n nn n ij i j i j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x ===++++++++++++=∑∑其系数排成一个nn ⨯矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭(2)它称为二次型的矩阵.因为,,1,2,,ij ji a a i j n ==,所以A A =',这样的矩阵是对称矩阵,因此,二次型的矩阵都是对称的.令()()11121111112212122222112222121211121122,,,,,,n n n n n n n n n n ij i ji j n n nn n n n nn n a a a x a x a x a x a a a x a x a x a x X AX x x x x x x a x x a a a x a x a x a x ==+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪+++ ⎪⎪ ⎪'=== ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑或AX X x x x f n '=),,,(21 . (3)例1写出21231121323(,,)5226f x x x x x x x x x x =++-的矩阵及矩阵形式.注意二次型(1)的矩阵A 的元素,当j i ≠时ji ij a a =正是它的j i x x 项的系数的一半,而ii a 是2i x 项的系数,因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型12(,,,)n f x x x X AX X BX ''==,且B B A A ='=',,则B A =. 定义1设n n y y x x ,,;,,11 是两组文字,系数在P 中关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111,,(4)称为由n x x ,,1 到n y y ,,1 的一个线性替换,或简称线性替换.如果系数行列式0≠ijc ,那么线性替换(4)就称为非退化的.线性替换把二次型变成二次型.令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n y y y Y c c c c c c c c c C 21212222111211,,于是线性替换(2)可以写成⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n y y y c c c c c c c c c x x x 2121222211121121 或者.经过一个非退化的线性替换,二次型变成二次型,替换后的二次型与原二次型之间有什么关系?下面就来讨论.二、矩阵的合同关系设A A AX X x x x f n '='=,),,,(21 是一个二次型,作非退化线性替换得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y ',因12(,,,)()()().n f x x x X AX CY A CY Y C ACY Y C AC Y Y BY '''''''=====容易看出矩阵AC C '也是对称的,由此即得AC C B '=.这是前后两个二次型的矩阵间的关系。

《高等代数》各章习题+参考答案期末复习用

1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。

2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。

3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。

4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。

5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。

《工程高等代数》5第五章线性方程组习题解答

习题五A 组1．填空题（1）当方程的个数等于未知数的个数时，=Ax b 有惟一解的充分必要条件是．解因为()()R R n ==A A b 是=Ax b 有惟一解的充要条件．故由()R n =A 可得||0≠A ．（2）线性方程组121232343414,,,x x a x x a x x a x x a +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 有解的充分必要条件是．解对方程组的增广矩阵施行初等行变换()12341100011000111001a a a a ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎪⎝⎭B A b12341231100011000110000a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪→ ⎪ ⎪⎪-+-⎝⎭．所以方程组有解的充要条件是()()R R =A B ，即43210a a a a -+-=．（3）设n 阶方阵A 的各行元素之和均为零，且()1R n =-A ，则线性方程组=Ax 0的通解为．解令111⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x显然x 满足方程组，又因为()1R n =-A ，所以()1n R -=A ，即方程组的基础解系中有一个向量，通解为T 11(1,1,,1)1k k ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x ，k 为任意常数．（4）设A 为n 阶方阵，||0=A ，且kj a 的代数余子式0kj A ≠（其中，1k n ≤≤；1,2,,j n =），则=Ax 0的通解．解因为0=A ，又0kj A ≠，所以()1R n =-A ，并且有11220, ;||0, i k i k in kn i k a A a A a A i k ≠⎧+++=⎨==⎩．A 所以()T12,,,k k kn A A A 是方程组的解，又因为()1R n =-A ，可知方程组的通解为()T12,,,k k kn c A A A =x ，其中c 为任意常数．（5）设11222221231111211111,,11n n n n n n n x a a a x a a a x a a a x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A x b ，其中，(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠=，则非齐次线性方程组T =A x b 的解是=x ．解 T (1,0,0,,0)=x ．（6）设方程123111111112a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多个解，则a = ．解 2a =-．2．单项选择题（1）齐次线性方程组355⨯⨯1=A x 0解的情况是．(A) 无解； (B) 仅有零解；(C) 必有非零解； (D) 可能有非零解，也可能没有非零解．答（C ）．（2）设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩()3R n =-A ，且123,,ξξξ为此方程组的三个线性无关的解，则此方程组的基础解系是．(A) 12312,2,32+- -ξξξξξ； (B) 122331,,+-+ ξξξξξξ；(C)122132-2,-2,32+-+ ξξξξξξ； (D) 12231324,2+,++ - ξξξξξξ．答（A ）．（3）要使T 1(1,0,2)=ξ，T 2(0,1,1)=-ξ都是线性方程组=Ax 0的解，只要A 为． (A) (211)-； (B) 201011⎛⎫⎪⎝⎭；(C) 102011-⎛⎫⎪-⎝⎭； (D)011422011-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭．答（A ）．（4）已知12,ββ是=Ax b 的两个不同的解，12,αα是相应的齐次方程组=Ax 0的基础解系，12,k k 为任意常数，则=Ax b 的通解是．(A) 12()k k 12112-+++2ββααα； (B) 12()k k 12112++-+2ββααα；(C) 12()k k 12112-+-+2ββαββ； (D) 12()k k 12112++-+2ββαββ．答（B ）．（5）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*≠A 0 若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax =b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax =0的基础解系是．(A) 不存在； (B) 仅含一个非零解向量；(C) 含有两个线性无关的解向量； (D) 含有三个线性无关的解向量．答（B ）．（6）设有齐次线性方程组Ax =0和Bx =0，其中A ，B 均为m n ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax =0的解均是Bx =0的解，则()()R R ≥A B ；② 若()()R R ≥A B ，则Ax =0的解均是Bx =0的解； ③ 若Ax =0与Bx =0同解，则()()R R =A B ；④ 若()()R R =A B ，则Ax =0与Bx =0同解．以上命题正确的是．（A ） ①，②；（B ）①，③；（C ）②，④；（D ）③，④．答（B ）．（7）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()=AB x 0 ．（A ）当n m >时仅有零解；（B ）当n m >时必有非零解；（C ）当m n >时仅有零解；（D ）当m n >时必有非零解．答（D ）．（8）设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量．若秩T0⎛⎫=⎪⎝⎭αAα秩()A ，则线性方程组．（A ）=αAx 必有无穷多解；（B ）=αAx 必有惟一解；（C ）T 0y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭αA αx 0仅有零解；（D ）T 0y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭αA αx 0必有非零解．答（D ）．3．求下列齐次线性方程组的一个基础解系(1) 12341234123420,20,2220;x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩解对系数矩阵施行初等行变换，有41001121321110103221240013⎛⎫-⎪-⎛⎫⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭A ．与原方程组同解的方程组为14243440,330,40,3x x x x x x ⎧-=⎪⎪+=⎨⎪⎪-=⎩或写为1241344343944331x x x k x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭x ，其中143k =为任意常数．所以，基础解系为 14943⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ．(2) 12341234123420,3630,51050;x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩解1211120136130010510150000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，与原方程组同解的方程组为12432 0,0,x x x x +-=⎧⎨=⎩或写为124223442,,0,x x x x x x x x =-+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩, 其中，24,x x 可取任意常数12,k k ，故12123421100001x x k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ．所以，基础解系为122110,0001-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ．(3) 12341234123412342350,3270,4360,2470;x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解231512473127012126413600151247000327--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ， ()4R n ==A ，方程组组只有零解．(4) 123412341234123434570,23320,41113160,7230x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=⎪⎪-++=⎩．解3131017173457192001233217174111316000072130000⎛⎫-⎪⎪-⎛⎫⎪-⎪⎪--⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，与原方程组同解的方程组为134234313 017171920 01717x x x x x x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，．或写为1342343344313171719201717x x x x x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪=⎩，，，．故1212343131920170017x x k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ．所以基础解系为123131920,170017-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ． 4．求解下列非齐次线性方程组．(1) 123123124+2232101138x x x x x x x x -=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩，，；解对增广矩阵施行初等行变换42121338312100101134113080006---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭B ，所以()2,()3R R ==A B ．无解．(2) 23424538213496x y z x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=-⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩，，，；解231410211245011238213000041960000-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B()()2R R ==A B ，所以原方程组有解．与原方程组同解的方程组为21,2,x z y z z z =--⎧⎪=+⎨⎪=⎩．故211210x y k z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (3) 21,4222,21x y z w x y z w x y z w +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩；解111102222111142212000102111100000⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪⎪⎪=-→ ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭B ，()()2R R ==A B ，原方程组有解．与原方程组同解的方程组为111222,,0x y z y y z z w ⎧=-++⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩，．所以原方程组的通解为111222100010000x y y z z w ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121211020020000k k ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭． (4) 21,3234,4352x y z w x y z w x y z w +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩．解116107772111159532134017771435200000⎛⎫-- ⎪-⎛⎫ ⎪⎪⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭B ，()()2R R ==A B ，原方程组有解．与原方程组同解的方程组为116777595777x z w y z w z z w w ⎧=++⎪⎪⎪=--⎨⎪=⎪⎪=⎩，，，．故通解为1267115597700070x y k k z w ⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 5．问λ取何值时，非齐次线性方程组12312321231x x x x x x x x x ⎧λ++=⎪+λ+=λ⎨⎪++λ=λ⎩，，(1)有惟一解；(2)无解；(3)有无穷个解？解系数行列式21111(1)(2)11D λλλλλ==-+．当1≠λ且2-≠λ时0≠D ，方程组有惟一解．当1=λ时，对增广矩阵施行初等行变换111111111111000011110000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ，则()()13R R ==<A B ，故原方程组有解且有无穷多解．当2-=λ时，对增广矩阵施行初等行变换211111241212121211242111--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B112411240336033603390003--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, ()2,()3R R ==A B ．所以方程组无解．6．非齐次线性方程组1231231232x x x x x x x x x 2⎧-2++=-⎪-2+=λ⎨⎪+-2=λ⎩，，当λ取何值时有解？并求出它的全部解．解对增广矩阵施行初等行变换，得222112112121033(1)112000(1)(2)λλλλλλλ⎛⎫---⎛⎫⎪ ⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭B ，当1λ≠且2λ≠-时，()2,()3R R ==A B 方程组无解．当1λ=时，有101101100000-⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭B()()2R R ==A B ，方程组有解，且与原方程组同解的方程组为13233310x x x x x x =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩，，．故原方程组的解为1213111010x x k x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ．当2λ=-时，有101201120000-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭B与原方程组同解的方程组为13233322x x x x x x =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩，，．故方程组的解为123121210x x k x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ．7．设12312312322124224x x x x x x x x x (2-λ)+-=⎧⎪+(5-λ)-=⎨⎪--+(5-λ)=-λ-1⎩，，，问λ为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解．解系数行列式2222254(1)(10)245D λλλλλ--=--=------．当1λ≠且10λ≠时，方程组有惟一解．当1λ=时，有122112212442000024420000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭B()()1R R ==A B ，方程组有无穷多解，此时123221x x x +-=通解为12123221100010x x k k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ．当10=λ时，有8221254225420111245110003----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭B ，()2,()3R R ==A B ，故方程组无解．8．问,a b 为何值时，非齐次线性方程组123423423412340,221,(3)2,321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩ (1) 有惟一解，求出惟一解；(2) 无解；(3) 有无穷多解，并写出通解．解方程组的增广矩阵11110111100122101221.013200101321100010a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪----+ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B当1≠a 时，()()4R R ==A B ，方程组有惟一解．此时2100012301001.10010100010a b a a b a b a -++⎛⎫ ⎪- ⎪-- ⎪ ⎪-→⎪+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B所以，12342231,,,0111a b a b b x x x x a a a -+--++====---．当1=a 时，有11110012210000100000b ⎛⎫⎪⎪→ ⎪+ ⎪⎪⎝⎭B ，所以，当1=a 且1-≠b 时，()2R =A ，()3R =B ，方程组无解．而当1=a 且1b =-时，有10111012210000000000---⎛⎫⎪⎪→ ⎪⎪⎪⎝⎭B ，()()2R R ==A B ，方程组有解，且与原方程组同解的方程组为1342341,221,x x x x x x --=-⎧⎨++=⎩ 或写为13423433441,221,,.x x x x x x x x x x =+-⎧⎪=--+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 故原方程组的通解为121234111221100010x x k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ，其中12,k k 为任意实数．9．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知123,,ηηη是它的三个解向量，且1232132,4354⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ηηη，求该方程组的通解．解 4,()3n r R ===A ，所以1n r -=，令11124136242()8351046⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξηηη，则1ξ为基础解系，故方程组的通解为1132435465k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ξη，其中k 可取任意常数．10．设,A B 都是n 阶方阵，且=AB 0．证明()()R R n +≤A B ．证明设12(,,,)n =B b b b ，则有(1,2,,)j j n ==Ab 0．可见每个j b 都是=Ax 0的解向量．因()R r =A ，可知=Ax 0的解空间的维数是n r -，所以向量组12,,,n b b b 的秩小于等于r n -，从而()R n r ≤-B ，于是()()()R R r n r n +≤+-=A B ．11．已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解．（1）证明方程组的系数矩阵A 的秩()2R =A ；（2）求,a b 的值及方程组的通解．解（1）设123,,ααα是方程组=βAx 的3个线性无关的解，其中111114351,1131a b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A β．则有1213(),()-=-=ααααA 0A 0，即1213,--αααα是对应齐次线性方程组=Ax 0的解，且线性无关．（否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾）．所以()2n R -≥A ，即4()2()2R R -≥⇒≤A A ．又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2R ≥A ．因此()2R =A ．（2）因为11111111111143510115011513013004245a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A又()2R =A ，则420,2,,450 3.a ab a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩ 对原方程组的增广矩阵施行初等行变换，111111024243511011532133100000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭B ，故原方程组与下面的方程组同解13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩．选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩．故所求通解为12242153100010k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ，12,k k 为任意常数．12．已知三阶矩阵A 的第一行是()a b c ，,,a b c 不全为零，矩阵12324636k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =（k 为常数），且AB =0，求线性方程组Ax =0的通解．解由于AB =0，故()()3R R +≤A B ，又由,,a b c 不全为零，可知()1R ≥A ．当9k ≠时，()2R =B ，于是()1R =A ；当9k =时，()1R =B ，于是()1R =A 或()2R =A ． ① 对于9k ≠，由AB =0可得123⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭A =0和36k ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A =0．由于()()TT121,2,3,3,6,k ==ηη线性无关，故12,ηη为Ax =0的一个基础解系，于是Ax =0的通解为1122c c =+x ηη，其中12,c c 为任意常数．② 对于9k =，分别就()2R =A 和()1R =A 进行讨论．如果()2R =A ，则Ax =0的基础解系由一个向量构成．又因为123⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭A =0，所以Ax =0的通解为()T11,2,3c =x ，其中1c 为任意常数．如果()1R =A ，则Ax =0的基础解系由两个向量构成．又因为A 的第1行是(),,a b c ，且,,a b c 不全为零，所以Ax =0等价于1230ax bx cx ++=．不妨设0a ≠，()()TT12,,0,,0,b a c a =-=-ηη是Ax =0的两个线性无关的解，故Ax =0的通解为 1122c c =+x ηη，其中12,c c 为任意常数．13．确定常数a ,使向量组T1(1,1,),a =αT 2(1,,1),a =αT 3(,1,1)a =α可由向量组T 1(1,1,)a =β，T 2(2,,4)a =-β，T 3(2,,)a a =-β线性表示，但向量组123,,βββ不能由向量组123,,ααα线性表示．解对矩阵123123(,,,,)=B βββααα作初等行变换，有123123(,,,,)=B βββααα=12211111411a aa a a a a --⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ →1221102201000403(1)1a a a a a a a --⎛⎫⎪++- ⎪ ⎪---⎝⎭，当2a =-时，→B 122112000030006033---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，显然2α不能由123,,βββ线性表示，因此2-≠a ；当4a =时，→B 122114066030000093--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭，显然23,αα均不能由123,,βββ线性表示，因此4≠a ．而当2-≠a 且4≠a 时，秩123(,,)3R =βββ，此时向量组123,,ααα可由向量组123,,βββ线性表示．又12312311122(,,,,)111114a a a a a a a --⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭C αααβββ 2111220110220110423a a a a a a a a a --⎛⎫ ⎪→--++ ⎪ ⎪--+⎝⎭21112201102200206342aa a a a a a a a --⎛⎫⎪→--++ ⎪ ⎪--++⎝⎭，由题设向量组123,,βββ不能由向量组123,,ααα线性表示，必有01=-a 或022=--a a ，即1a =或2-=a ．综上所述，满足题设条件的只能是1a =．14．已知齐次线性方程组（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x （Ⅱ）⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求,,a b c 的值．解方程组（Ⅱ）的未知量个数大于方程个数，故方程组（Ⅱ）有无穷多解．因为方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解，所以方程组（Ⅰ）的系数矩阵的秩小于3．对方程组（Ⅰ）的系数矩阵施以初等行变换12310123501111002a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，从而2a =．此时，方程组（Ⅰ）的系数矩阵可化为123101235011112000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故T (1,1,1)--是方程组（Ⅰ）的一个基础解系．将1,1,1321=-=-=x x x 代入方程组（Ⅱ）可得2,1==c b 或 .1,0==c b当2,1==c b 时，对方程组（Ⅱ）的系数矩阵施以初等行变换，有112101213011⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然此时方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解．当1,0==c b 时，对方程组（Ⅱ）的系数矩阵施以初等行变换，有101101202000⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然此时方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的解不相同．综上所述，当2,1,2a b c ===时，方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解． 15．设有齐次线性方程组)2(,0)(,02)2(2,0)1(212121≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n x a n nx nx x x a x x x x a n n n试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．解对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有111111112222200.00aa a a a n n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B 当0a =时，()1R n =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为,021=+++n x x x由此得基础解系为T 1(1,1,0,,0),=-η T 2(1,0,1,,0),=-ηT 1,(1,0,0,,1),n -=-η于是方程组的通解为1111,n n x k k --=++ηη其中11,,-n k k 为任意常数．当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有(1)1111000221002100.0101n n a a n n +⎛⎫++⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-⎪-→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-⎝⎭B 可知2)1(+-=n n a 时，()1R n n =-<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x 由此得基础解系为T (1,2,,)n =η，于是方程组的通解为k =x η，其中k 为任意常数．16．设T 1(1,2,0)=α,T 2(1,2,3)a a =+-α, T 3(1,2,2)b a b =---+α, T (1,3,3)=-β, 试讨论当b a ,为何值时,(1) β不能由123,,ααα线性表示；(2) β可由123,,ααα惟一地线性表示, 并求出表示式；(3) β可由123,,ααα线性表示, 但表示式不惟一, 并求出表示式．解设有数,,,321k k k 使得112233k k k ++=αααβ．记123(,,)=A ααα．对矩阵(,)A β施以初等行变换, 有1111(,)22230323a b a a b -⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭A β111101000a b a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭．（1）当0=a 时, 有1111(,)0010001b -⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭A β．可知()(,)R R ≠A A β．故方程组无解, β不能由123,,ααα线性表示．（2）当0≠a , 且b a ≠时, 有1111(,)01000a b a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭A β1100110100010a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()(,)3R R ==A A β, 方程组有惟一解：a k 111-=, ak 12=, 03=k ．此时β可由123,,ααα惟一地线性表示, 其表示式为1211(1)a a=-+βαα．（3）当0a b =≠时, 对矩阵(),A β施以初等行变换, 有1111(,)01000a b a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭A β1100110110000a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， ()(,)2R R ==A A β，方程组有无穷多解，其全部解为a k 111-=, c ak +=12, c k =3，其中c 为任意常数．β可由123,,ααα线性表示, 但表示式不惟一，其表示式为12311(1)()c c a a=-+++βααα．17．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++=+++,14)4()2(3,022,0432143214321x x μx λx x x x x x x μx λx 已知T (1,1,1,1)--是该方程组的一个解，试求（1）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；（2）该方程组满足32x x =的全部解．解将T (1,1,1,1)--代入方程组，得μλ=．对方程组的增广矩阵B 施以初等行变换, 得1101021211200131132441002(21)2121λλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++---⎝⎭⎝⎭B ，（1）当21≠λ时，有1001011010*********⎛⎫⎪ ⎪⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ，()()34R R ==<A B ，故方程组有无穷多解，且T 011(0,,,0)22=-ξ为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 T(2,1,1,2)=--η，故方程组的全部解为T T 011(0,,,0)(2,1,1,2)22k k =+=-+--ξξη (k 为任意常数)．当12λ=时，有11101220131100000⎛⎫-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ，()()24R R ==<A B ，故方程组有无穷多解，且T 01(,1,0,0)2=-ξ为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 T 1(1,3,1,0)=-η，T 2(1,2,0,2)=--η，故方程组的全部解为T T T 01122121(,1,0,0)(1,3,1,0)(1,2,0,2)2k k k k =++=-+-+--ξξηη(21,k k 为任意常数)．（2）当21≠λ时，由于32x x =，即k k -=+-2121，解得21=k ，故方程组的解为T T T 111(1,,,0)(2,1,1,2)(1,0,0,1)222=-+--=-ξ ．当21=λ时，由于32x x =，即121231k k k =--，解得212141k k -=，故方程组的全部解为T T T 22111(,1,0,0)()(1,3,1,0)(1,2,0,2)242k k =-+--+--ξT T 2111311(,,,0)(,,,2)444222k =-+---其中2k 为任意常数．18．已知平面上三条不同直线的方程分别为123:230,:230,:230.l ax by c l bx cy a l cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=．解必要性．设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组23,23,23ax by c bx cy a cx ay b +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩有惟一解，故系数矩阵222a b b c c a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 与增广矩阵232323a b c b c a c a b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B 的秩均为2，于是0=B ．由于22223236()[]23a b cb c a a b c a b c ab ac bc c a b-=-=++++----B=])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++, 但根据题设0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a充分性．由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=B ，故秩()3<B ．由于])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ，故秩()2=B ．于是，秩()=A 秩()B 2=．因此方程组有惟一解，即三直线321,,l l l 交于一点．*19．求方程组12311231231,0,1,242,x x x x x x x x x x -+=⎧⎪=⎪⎨++=-⎪⎪++=⎩ 的最小二乘解．解方程组的系数矩阵和常数项矩阵为111100111124-⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，1012⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭b ，记123x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x ，则方程组的正规方程TT=A Ax A b 为1234262268268188x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解之得1233/54/51x x x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，方程组的最小二乘解为12334,, 1.55x x x =-=-=*20．当外加电压E (单位:V )分别为5，8，10，12时，测得电源中对应的电流I (单位:A )分别为4，6，8，9，试根据公式00E E R I =+确定电源内阻0R 与电源的端电势0E ．解根据公式00E E R I =+，把测得的数据代入方程，得0000000045,68,810,912.E R E R E R E R +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 该方程组的系数矩阵和常数项矩阵为14161819⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭A ，581012⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭b ，记00E R ⎛⎫= ⎪⎝⎭x ，则方程组的正规方程TT=A Ax A b 为004273527197256E R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解之得0017/5979/59E R -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即000.288(), 1.339()E V R ≈-≈Ω。

大一高数高5-4习题

+∞,
q ≥1
13
3. 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互相转化 . 例如 ,
∫
1 0
dx 1 − x2
=
∫
π 2 0
dt
(令 x = sin t）
4. 当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间, 分别讨论每一区间上的反常积分.
第五章
14
1 1. 用定积分表示极限 lim n→∞ n
解
又F ( a ) =
由零点定理， F ( x ) = 0在 ( a , b )至少有一根；
又 F ′( x ) ≥ 2 > 0 ∴ F ( x )在[a , b]单调递增，
综上所述， F ( x ) = 0在(a , b)内有且仅有一个根 .
∫
a
b
1 dt < 0, f (t )
F (b) =
∫
∫
∫
b −∞
+∞
f ( x ) dx = F ( x )
f ( x ) dx = F ( x )
b −∞
= F ( b ) − F ( −∞ )
+∞ −∞
−∞
= F ( +∞ ) − F ( −∞ ) F ( −∞ ) = lim F ( x )
x→ −∞
F ( +∞ ) = lim F ( x ) ;
( x − a )1 − q dx ∫a ( x − a ) q = 1 − q
b
a+
= +∞,
(b − a q ; 1− q
12
所以当 q < 1 时, 该积分收敛 , 其值为当 q ≥ 1 时, 该积分发散 .

高等代数单元自测题5

高等代数单元自测题(第五章)姓名___________学号____________一. 选择题(20分)1.二次型2221213212),,(x x x x x x x f +-=的矩阵是（）A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1021B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111C. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000010021 D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011011 2.对于矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-300020001，存在可逆矩阵C ，使E AC C =/，则C 是( ) A. 有理数域上的矩阵 B.实数域上的矩阵C. 复数域上的矩阵D.任意数域上的矩阵3.矩阵A 与B 等价是A 与B 合同的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.都不对4.在复数域上，已知A 是秩为2的三阶复对称矩阵，另有四个对角矩阵： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000010001，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000010001，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001则这些对角矩阵中有且仅有（）个与A 合同。

A.1B.2C.3D.45.二次型222132132),,(x x x x x f --=是( )A.负定的B.半负定的C.不定的D.半正定的6.若),,,(21n x x x f 与),,,(21n x x x g 分别是正定和半正定二次型，则它们的和g f +是( )A.正定二次型B.半正定二次型C.不定二次型D.半负定二次型二. 判断题:（２０分）1.数域P 上每一个n 级对称矩阵都可以是数域P 上某一n 元二次型的矩阵.( )2.任一n 元实二次型的符号差与它的秩同为奇偶. ( )3.设B A ,是两个n 阶正定矩阵，则B A +也是正定矩阵. ( )4.设A 为n 阶实对称矩阵，0<A 则存在实的n 维向量00≠X ，使00/0<AX X .( )5.AX X x x x f n /21),,,(= 是负定二次型的充要条件是它的矩阵A 的n 个顺序主子式都小于零 ( )6.若A 是正定矩阵，则A -是负定矩阵. ( )三．计算题:（３０分）1. 已知实二次型32212221321442),,(x x x x x x x x x f --+=1) 写出f 的矩阵.2) 用配方法化f 为标准形,并写出所施行的非退化线性替换.3) 写出f 的正负惯性指数及符号差.4) 判定f 是属于哪一类二次型.2.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110101011A ,试用矩阵的初等变换法求可逆矩阵C ,使AC C /为对角形矩阵.四．证明题:（３０分）1. 证明:二次型21111)(),,(n in ni i n x a x a x x f ++=∑= 的矩阵为A A /,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211. 2. 证明:实二次型AX X f /=为正定二次型,则f 的矩阵A 的所有对角线元素0>ii a .3. 设A 是m ×n 实矩阵，秩(A )=n ，证明A ′A 是正定矩阵.4．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2100A A A ，其中21,A A 为实对称矩阵.证明A 正定的充分必要条件是21,A A 正定.。

高数第五章A卷

⾼数第五章A卷⼀、填空题1. ⼆次型()21,2,31121323248f x x x x x x x x x x =-++对应的对称矩阵112124240A -?? ?=-- ?旦增卓嘎1225081012.矩阵A=124221413??- -对应的⼆次型2221,2,3123121323()23482T f x x x X AX x x x x x x x x x ==++++-冯玲 1225081023、⼆次型22212132122),,(x x x x x x x f -+=的秩为2。

解：⼆次型矩阵为→+03121-11221r r 所以此⼆次型的秩为⼆次型矩阵的秩为2.韩婷婷1225081034 f )(123x ,,x x =()()2221231x +k +k-2k x x +为正定⼆次型，则k 满⾜()k 2＞解 f )(123x ,,x x 为正定⼆次型∴ k +10k 0k-20??＞＞＞∴k ＞2韩燕楠1225081045.设 3 0 0 -5 A ??=，则⼆次型TX AX 的规范型为______。

3 0 0 -5 A ??=221235T f X AX X X ∴==-令11y =22y =11X y =22X y =0 30 X ??=2212f y y ∴=-吉海燕 1225081056. 设矩阵A=-+a a 100021011为正定矩阵，则a 的取值范围是-1由2+a-1>0 (a-1)(a+1)>0可得 -1⼆、单项选择题1、若矩阵A 与B 是合同的，则它们（ C ）（A ）相似（B ）相等（C ）等价（D ）满秩解：∵A 与B 合同∴存在可逆矩阵P ，使得TP AP B =∴()()A B R R =，且A 、B 为同型矩阵∴A 、B 等价，故选C李明⾼ 1225081072.设实⼆次型f 的矩阵A 的秩等于r ，且有m 个正特征值，则该⼆次型的符号差为（C ）A rB m-rC 2m-rD r-m解：因为矩阵有m 个正特征值，且矩阵的秩为r.所以矩阵的负特征值为r-m,所以该⼆次型的符号差为m-(r-m)=2m-r 李佗1225081083.实⼆次型12(,,,)n f x x x 的秩为3，符号差为-1，则123(,,)f x x x 的标准形可能为（ A ）222322232223.2.2y y B y y C y yD +--++-21212121A.-y y y .-y解：秩为3，∴排除D⼜符号差为-1，B 项符号差为0，C 项符号差为2∴选A李霞1225081094.⼆次型f =X T AX 经过正交替换X=QY 可化为⼆次型Y T BY ，则关于矩阵A 与B 不正确的是：（D ）A ⼀定合同B ⼀定相似C 即相似⼜合同D 即不相似也不合同解：线性替换X=QY 中，矩阵Q 是正交矩阵，所以A 与B 既合同⼜相似故C 正确 AB 不全⾯题中问不正确故选D李跃明1225081105.设A 为3阶矩阵，且已知023=+E A ,则A 必有⼀特征值为（ B ）（A ）23- (B)32- (C)32 (D)23 解：032332=---=+A E E A 即032=--A E 根据定义可知32-=λ故选B刘然1225081116.实⼆次型()12,,n f x x x =T X AX 是正定⼆次型的充要条件是（B ）A. A 0B. 对任意向量X=()12,,0Tn x x x ≠ ，都T X AX 0C 负惯性指数全为零D 存在n 阶矩阵P 使A=T P P 解析：依据：正定⼆次型的定义可知正定⼆次型的正惯性系数为n 或顺序主⼦式全⼤于零。

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高等代数第五章复习题
一、选择题
1.设矩阵101011112P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
,那么在实数域上与P 合同的矩阵是（）. A .000010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； B .300040000-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； C .100020000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； D .200010003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
2.实数域上的四元二次型的不同规范形的个数是（）.
A .4；
B .8；
C .15；
D .无穷多
3.n 元二次型X AX '正定的充分必要条件是（）.
A . 存在n 阶矩阵C ，使得C C A '=；
B .A 与单位矩阵合同；
C ．A 的负惯性指数为零；
D .存在n 阶可逆矩阵C ，使得1C AC
E -=
4.设P 是一个正定矩阵，则下列叙述不正确的是（）
A .P 是实矩阵；
B .P 是可逆矩阵；
C .P 反对称矩阵；
D .P 是对称矩阵
5.设A 是一个正定矩阵，那么下面不一定为正定矩阵的是（）
A .*A
B .1A -
C .A A
D .,kA k 是任意实数
二、填空题
1.二次型2224424f x xy y xz z yz =+++++的矩阵是____________.
2.二次型2227244f x y z xy xz yz =+----的矩阵是____________.
3.二次型22221234121314232424264f x x x x x x x x x x x x x x =+++-+-+-的矩阵是________.
4.二次型123456789T f x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的矩阵是__________________。

5.A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=20001011k k 是正定阵，则k 满足条件__________________。

6. 当t 满足条件，使二次型32312123222122232x tx x x x x x x x f +-+++=是正定的。

7.已知2101
10003a a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭
是正定矩阵，则a = 。

8.实二次型 122334142222f x x x x x x x x =+++的的规范形为，正惯性指数等于，秩等于。

9. 实二次型 222124142f x x x x x =+--的的规范形为，正惯
性指数等于，秩等于。

三、解答题
1.证明：任意两个n 级正定矩阵是合同的，且正定矩阵只能与正定矩阵合同。

2. 设,A B 为n 阶方阵，证明：若A 与B 合同，则()()R A R B =,反之，是否成立？。