五校联考数学试卷
江苏省五校2025届高三第二次联考数学试卷含解析
江苏省五校2025届高三第二次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞2．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13B ．23C ．33D ．233．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．24．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A 3236π+ B ．836πC 323163π D ．16833π5．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件6．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()x f x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-8．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A ．134B ．866C ．300D ．50010．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12B ．5C ．52D ．511．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,212．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省五校2024-2025学年高二10月联考(一)数学试卷(解析版)
2024-2025学年第一学期珠海市实验中学、河源高级中学、中山市实验中学、惠州市博罗中学、珠海市鸿鹤中学联考（一）试卷高二数学满分：150分 考试时间：120分钟1.说明：注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．310y −−=的倾斜角为（） A. 30° B. 135°C. 60°D. 150° 【答案】A 【解析】【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角． 【详解】设直线的倾斜角为α， tan 180αα=°≤<°，所以30α=°， 故选：A2. 设()()(),,1,1,1,1,,,,4,2x y a b y z c x ∈===−R ，且,//a c b c ⊥，则2a b +=（ ） A. B. 0C. 3D. 【答案】D 【解析】【分析】由向量的共线与垂直条件求解,b c的坐标，再由向量坐标运算及求模公式可得.【详解】2,,,,,,,11114,a b y z c x ===−，由a c ⊥，则有420a c x ⋅=−+= ，解得2x =，则()2,4,2c =− .由//b c ，则有1242y z==−，解得2y =−，1z =， 所以()1,2,1b =−，故()23,0,3a b += ，则2a b + .故选：D.3. 下列命题中正确的是（ ）A. 点()3,2,1M 关于平面yOz 对称点的坐标是()3,2,1−−B. 若直线l 的方向向量为()1,1,2e=−，平面α的法向量为()6,4,1m =−，则l α⊥ C. 若直线l 方向向量与平面α的法向量的夹角为120 ，则直线l 与平面α所成的角为30D. 已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =−+，则12m =−【答案】C 【解析】【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A ；由向量的数量积的性质可判断B ；由线面角的定义可判断C ；由共面向量定理可判断D.【详解】对于A ，点()3,2,1M 关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1−，A 选项错误；对于B ，若直线l 的方向向量为()1,1,2e=−，平面α的法向量为()6,4,1m =−， ()()1614210e m ⋅=×+−×+×−=，有e m ⊥ ，则//l α或l α⊂，B 选项错误；对于C ，若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120 ， 则直线l 与平面α所成的角为()9018012030−−=，C 选项正确； 对于D ，已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =−+ ，则1112m −+=，解得12m =，D 选项错误. 故选：C.4. 如图，从光源P 发出的一束光，遇到平面镜（y 轴）上的点B 后，反射光线BC 交x轴于点)C，若光线PB 满足的函数关系式为：1y kx =+，则k 的值为（ ） 的的A.B.C. 1D. -1【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得(0,1)B 和点C 关于y 轴的对称点()C ′，求得BC k ′，结合,,P B C ′三点共线，即可求解.【详解】为光线PB 满足的函数关系式为1y kx =+， 令0x =，可得1y =，即点(0,1)B ，又因为)C，则点C 关于y 轴的对称点为()C ′，可得BC ′的斜率为BC k ′=，因为,,P B C ′三点共线，可得BC k k ′=，所以k =. 故选：A.5. 过点1,13作直线l ，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线l 的条数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B【分析】设直线l 的方程为()102x ay a a +=≠，将点1,13 代入直线l 的方程，然后由判别式判断即可. 【详解】设直线l 的方程为()102x ay a a +=≠， 将点1,13代入，可得()11032aa a +=≠， 即23620a a −+=，由于Δ36432120=−××=>， 所以方程23620a a −+=有两个根， 故满足题意的直线l 的条数为2． 故选：B.6. 如图，在三棱锥O ABC −中，点D 是棱AC 的中点，若OA a = ，OB b = ，OC c = ，则BD等于（ ）A 1122a b c −+B. a b c +−C. a b c −+D. 1122a b c −+−【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理结合线性运算的坐标表示求解． 【详解】点D 是棱AC 的中点，则有()()()11211122222BD BA BC OA OB OC OB a b c a b c =+=−+−=−+=−+.故选：A7. 已知长方体1111ABCD A B C D −，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）.A. 11AD B C ⋅B. 1BD AC ⋅C. 1AB AD ⋅D. 1BD BC ⋅【答案】D 【解析】【分析】当四边形ADD 1A 1为正方形时，可证AD 1⊥B 1C 可判断A ；当四边形ABCD 为正方形时，可证AC ⊥BD 1可判断B ；由长方体的性质可证AB ⊥AD 1，分别可得数量积为0，可判断C ；可推在△BCD 1中，∠BCD 1为直角，可判BC 与BD 1不可能垂直，可得结论可判断D.【详解】选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有110⋅=AD B C ，故正确；选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，可得AC ⊥BD ，1AC BB ⊥，1BD BB B ∩=， 1,BD BB ⊂平面BB 1D 1D ，可得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有10⋅=BD AC ，故正确；选项C ，由长方体的性质可得AB ⊥平面ADD 1A 1，1AD ⊂平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有1AB AD ⋅=0，故正确； 选项D ，由长方体的性质可得BC ⊥平面CDD 1C 1，1CD ⊂平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即10⋅≠BD BC ，故错误.故选：D.8. 如图已知矩形,1,ABCD AB BC==AC 将ABC 折起，当二面角B AC D −−的余弦值为13−时，则B 与D 之间距离为（ ）A. 1B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】过B 和D 分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可．【详解】解：过B 和D 分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，在矩形,1,ABCD AB BC ==2AC ∴=， ABC ADC S S =△△，1122AB BC AC BE ∴⋅=⋅BE DF ∴==， 则12AECF ==，即211EF =−=， 平面ABC 与平面ACD 所成角的余弦值为13−，cos EB∴< ,13FD >=− ， BD BE EF FD =++ ，∴2222233()22212cos 44BD BE EF FD BE EF FD BE EF FD BE EF FD EB FD EB =++=+++⋅+⋅+⋅=++−⋅<，51512()32322FD >=−−=+= ，则||BD =即B 与D ， 故选：C ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知直线l 过点()2,3M −，且与x 轴、y 轴分别交于A ，B 点，则（ ） A. 若直线l 的斜率为1，则直线l 的方程为5y x =+B. 若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为1x y +=C. 若M 为AB 的中点，则l 的方程为32120x y −+=D. 直线l 的方程可能为3y = 【答案】AC 【解析】【分析】根据直线点斜式判断A ，由过原点直线满足题意判断B ，由中点求出A ,B 坐标得直线方程判断C ，由直线与坐标轴有交点判断D.【详解】对于A ，直线l 的斜率为1，则直线l 的方程为32y x ，即5y x =+，故A 正确； 对于B ，当直线l 在两坐标轴上的截距都为0时，l 的方程为32y x =−，故B 错误； 对于C ，因为中点()2,3M −，且A ，B 在x 轴、y 轴上，所以()4,0A −，()0,6B ，故AB 的方程为146x y−+=，即32120x y −+=，故C 正确； 对于D ，直线3y =与x 轴无交点，与题意不符，故D 错误． 故选：AC ．10. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A. CC 1⊥BDB. 1136AA BD ⋅=C. 11B C AA与夹角是60°D. 直线AC 与直线11A C 的距离是【解析】【分析】设1,,AB a AD b AA c ===，依题得||||||6,18,a b c a b b c c a ===⋅=⋅=⋅= 运用向量数量积的运算律计算即可判断A,B 两项；利用向量夹角的公式计算排除C 项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D 项.【详解】如图，设1,,AB a AD b AA c ===， 则||||||6,66cos 6018,a b c a b b c c a ===⋅=⋅=⋅=××=对于A ，因1,CC c BD b a ==−，则1()0CC BD c b a c b c a ⋅=⋅−=⋅−⋅=，故A 正确； 对于B ，因1AA c = ，1BD b a c =−+，则211()||18183636AA BD c b a c c b c a c ⋅=⋅−+=⋅−⋅+=−+= ，故B 正确； 对于C ，11,B C b c AA c =−= 211()||183618B C AA b c c b c c ⋅=−⋅=⋅−=−=− ，且11||6,||6,B C AA ==设11B C AA 与夹角为θ，则1111181cos 662||||B C AA B C AA θ⋅==−=−×⋅，因[0,π]θ∈，则2π3θ=，即C 错误；对于D,在平行六面体1111ABCD A B C D −中，易得111111////,AA BB CC AA BB CC ==, 则得11ACC A ,故11//AC A C ,故点1A 到直线AC 的距离d 即直线AC 与直线11A C 的距离.因,AC a b =+ 1()36AA AC c a b ⋅=⋅+=，且1||6,||AA AC==则d ===，故D 正确.11. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，以下说法正确的是（ ）A. 三棱锥1C EFG −的体积为13B. 1A C ⊥平面EFGC. 1BC ∥平面EFGD. 二面角G EF C −−【答案】ABC 【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法证明1//BC 面EFG ，1A C ⊥平面EFG ，转换后求棱锥的体积，由空间向量法求二面角，从而判断各选项．【详解】如图，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，1(0,0,2)D ，(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，1(2,2,2)B ，1(2,0,2)A ，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，则(1,0,0)E ，(2,1,0)F ，(1,2,2)G ，(1,1,0),(0,2,2)EF EG ==，1(2,0,2)BC − ，易知12BC EG EF =−，所以1,,BC EF EG 共面， 又1BC ⊄平面EFG ，所以1//BC 面EFG ，C 正确；1111111123323C EFG B EFG G BEF BEF V V V S BB −−−===⋅=××××= ，A 正确； 1(2,2,2)A C =−− ，12200AC EF ⋅=−++= ，同理10A C EG ⋅=， 所以1AC是平面EFG 的一个法向量，即1A C ⊥平面EFG ，B 正确； 平面CEF 的一个法向量是(0,0,1)n =，111cos ,A C n A C n A C n ⋅===G EF C −−D 错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若直线1l ：10x ay +−=与直线2l ：420ax y ++=平行，则a =___________． 【答案】2 【解析】【分析】结合已知条件，利用直线间的平行关系求出参数a ，然后对参数a 进行检验即可求解.【详解】因为直线1l ：10x ay +−=与直线2l ：420ax y ++=平行， 所以2140a ×−=，解得，2a =±，当2a =时，直线1l ：210x y +−=，直线2l ：2420x y ++=，即210x y ++=，满足题意； 当2a =−时，直线1l ：210x y −−=，直线2l ：2420x y −++=，即210x y −−=， . 综上所述，2a =. 故答案为：2.13. 已知()()2312A B −，，，，若点(),P x y 在线段AAAA 上，则3yx −的取值范围是_______. 【答案】13,2−−【解析】【分析】设(3,0)Q ，利用斜率计算公式可得：QA k ，QB k ．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】设(3,0)Q ，则30323AQ k −==−−，201132BQ k −==−−−， 点(,)P x y 是线段AB 上的任意一点， ∴3y x −的取值范围是[3−,1]2−，故答案为：[3−,1]−14. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵111ABC A B C −，中，M 是11A C 的中点，122AB AA AC ==，113BN BB = ，3MG GN =，若1AG xAA y AB z AC =++ ，则x y z ++=_________．【答案】118【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可以解决问题.【详解】设2AB =,如下图所示，建立空间直角坐标系， ()000A ，， ，()200B ，，，()001C ，，，()1010A ，，1012M ，，，1203N，，，则1121200123232MN=−=−，，，，，-， 所以13213110122432228AG AM MG++−，，，-，，， 又因为()131122,,228AG xAA y AB z AC y x z y x z ++⇒，， 所以131112488x y z ++=++= 故答案为：118四、解答题：本题共5小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知ABC 的两顶点坐标为()1,1A −，()3,0C ，()10,1B 是边AB 的中点，AD 是BC 边上的高． （1）求BC 所在直线的方程； （2）求高AD 所在直线的方程.【答案】（1）3490x y +−=； （2）4370x y −−=. 【解析】【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求B 的坐标，利用点斜式求直线BC 方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线AD 的斜率，利用点斜式求直线AD 方程，再化为一般式即可. 【小问1详解】因为1()0,1B 是边AB 的中点，所以()1,3B −， 所以直线BC 的斜率34BC k =−， 所以BC 所在直线的方程为：()334y x =−−，即3490x y +−=， 【小问2详解】因为1()0,1B 是边AB 的中点，所以()1,3B −， 因为AD 是BC 边上的高，所以1BC AD k k ⋅=−，所以30113AD k −⋅=−−−， 所以43AD k =， 因此高AD 所在直线的方程为：41(1)3y x +=−，即4370x y −−=.16. 已知直线()()1231:−=−+a y a x l . （1）求证：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；（3）若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程. 【答案】（1）证明见解析 （2）1a ≤（3）240x y +−=【解析】【分析】（1）由方程变形可得()2310a x y x y −−++=，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解；（3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【小问1详解】由()():1231l a y a x −=−+，即()2310a x y x y −−++=， 则20310x y x y −= −++=，解得12x y = = ，所以直线过定点()1,2； 【小问2详解】如图所示，结合图像可知，当1a =时，直线斜率不存在，方程为1x =，不经过第二象限，成立； 当1a ≠时，直线斜率存在，方程为11213ya a a x +−−−， 又直线不经过第二象限，则2301101a a a − > −≤ − ，解得1a <； 综上所述1a ≤； 【小问3详解】已知直线()():1231l a y a x −=−+，且由题意知1a ≠，令0x =，得101=>−y a ，得1a >， 令0y =，得1032>−xa ，得32a <，则22111112132410651444S a a a a a =××==−−−+−−−+， 所以当54a =时，S 取最小值， 此时直线l 的方程为55123144y x−=×−+，即240x y +−=. 17 已知()()()0,0,0,2,5,0,1,3,5A B C ．（1）求AC 在AB上的投影向量；（2）若四边形ABCD 是平行四边形，求顶点D 的坐标； （3）若点(0,3,0)P ，求点P 到平面ABC 的距离．【答案】（1）3485,,02929（2）()1,2,5−−（3【解析】【分析】（1）利用投影向量公式可求投影向量；.（2）根据AD BC =可求D 的坐标；（3）根据点面距公式可求点P 到平面ABC 的距离． 【小问1详解】()1,3,5AC = ，()2,5,0AB = ，故AC 在AB上的投影向量为AC AB AB ABAB⋅， 而()21534852,5,0,,0292929AC AB AB AB AB⋅+ ==.【小问2详解】设(),,D x y z ，则AD BC =，故()(),,1,2,5x y z =−−， 故D 的坐标为()1,2,5−−. 【小问3详解】()0,3,0AP =，设平面ABC 的法向量为mm ��⃗=(xx ,yy ,zz )，则00m AB m AC ⋅= ⋅=即250350x y x y z += ++= ，取5x =−，则2y =，15z =−， 故15,2,5m=−−，故点P 到平面ABC18. 如图，在长方体1111ABCD A B G D −中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.（1）求证：11D E A D ⊥.（2）当点E 为棱AB 的中点时，求CE 与平面1ACD 所成角的正弦值. （3）在棱AB 上是否存在点M ，使平面1D MC 与平面AMC 所成的角为π6？若存在，求出AM 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2（3）存在，2AM =. 【解析】【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积为0即可证得垂直； （2）先求得平面1ACD 的法向量，再利用空间向量法求线面角即可得解；（3）先求得平面1D MC 与平面AMC 法向量，再利用空间向量法求线面角即可得解. 【小问1详解】以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，02x <<，则()11,0,1A ，()10,0,1D ，()1,,0E x ，AA (1,0,0)，()0,2,0C ，所以()()111,0,11,,10DA D E x ⋅=⋅−=，则11DA D E ⊥， 所以11D E A D ⊥. 【小问2详解】因为E 为AB 的中点，所以()1,1,0E ，从而()1,1,0CE=−，()1,2,0AC =− ，()11,0,1AD =−，设平面1ACD 的法向量为(),,n a b c = ，则100n AC n AD ⋅=⋅= ， 即200a b a c −+=−+= ，得2a b a c= = ，令2a =，则()2,1,2n =， 设CE 与平面1ACD 所成角为π02θθ<<，的则sin cos ,CE θ=〈 所以CE 与平面1ACD. 【小问3详解】设这样的点M 存在，且AM x =，02x <<，平面1D MC 与平面AMC 所成的角为π6， 则()1,,0M x ，()10,0,1D ，()0,2,0C ，()1,2,0CM x =− ，()10,2,1CD =−，设平面1D MC 的法向量为(),,m a b c ′′=′ ，则()12020m CM a x b m CD b c ⋅=+−= ⋅′=−′+=′′， 取1b ′=，得()2,1,2mx =−， 易知平面AMC 的一个法向量()0,0,1p =，所以πcos 6m p m p⋅== ，由02x <<，解得2x =，所以满足题意的点M 存在，此时2AM =. 19. 已知111(,,)a x y z = ，222(,,)b x y z = ，333(,,)c x y z =，定义一种运算：123231312132213321()a b c x y z x y z x y z x y z x y z x y z ×⋅=++−−−，已知四棱锥P ABCD −中，底面ABCD是一个平行四边形，(2,1,4)AB =− ，(4,2,0)AD = ，(1,2,1)AP −（1）试计算()AB AD AP ×⋅的绝对值的值，并求证PA ⊥面ABCD ；（2）求四棱锥P ABCD −的体积，说明()AB AD AP ×⋅的绝对值的值与四棱锥P ABCD −体积的关系，并由此猜想向量这一运算()AB AD AP ×⋅的绝对值的几何意义.【答案】（1）48，证明见解析；（2）体积为16，()3P ABCD AB AD AP V −×⋅=，()AB AD AP ×⋅的绝对值表示以,,AB AD AP 为邻边的平行六面体的体积． 【解析】【分析】（1）根据新定义直接计算，由向量法证明线线垂直，得线面垂直；（2）计算出棱锥体积后，根据数据确定关系．【详解】（1）由题意()AB AD AP ×⋅221424(1)(1)0=××+××+−×−×202−××4(1)1−×−×(1)24−−××＝48．122(1)140AP AB ⋅=−×+×−+×= ，1422100AP AD ⋅=−×+×+×=，∴,AP AB AP AD ⊥⊥，即,AP AB AP AD ⊥⊥．,AB AD 是平面ABCD 内两相交直线，∴AP ⊥平面ABCD ．（2）由题意2221,20AB AD == ，24(1)2406AB AD ⋅=×+−×+×=，sin ABCDS AB AD BAD=∠==，AP =∴111633P ABCD ABCD V S PA −==×=． ∴()3P ABCD AB AD AP V −×⋅=， 猜想：()AB AD AP ×⋅的绝对值表示以,,AB AD AP 为邻边的平行六面体的体积．【点睛】本题考查向量的新定义运算，解题时根据新定义的规则运算即可．考查学生的创新意识，同时考查学生的归纳推理能力．。
安徽省淮北市“五校联考”2024-2025学年七年级上学期11月期中数学试题
安徽省淮北市“五校联考”2024-2025学年七年级上学期11月期中数学试题一、单选题1．﹣3的相反数是（）A ．13-B ．13C ．3-D ．32．下列选项中，计算结果与其它三项不同的是（）A ．()58---B ．58-C ．85-+D ．()85---3．在新能源汽车领域，今年1月至8月，安徽省新能源汽车产量93.7万辆，居全国第2位，数据93.7万用科学记数法表示为（）A ．49.3710⨯B ．493.710⨯C ．59.3710⨯D ．593.710⨯4．下列运算中，正确的是（）A ．532a a -=B ．()a b a b --=-+C ．2322a a a +=D ．()33a b a b+=+5．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为25℃，且每升高1千米温度下降6℃，则山上距离地面h 千米处的温度t 为（）A ．256h t -=B ．256t h -=C ．256t h=-D ．256h t=-6．若A 是二次多项式，B 是三次多项式，则A B +的次数是（）A ．六B ．五C ．三D ．二7．一根1米长的木棒，第一次截去它的15，第二次截去剩下的15，第三次再截去剩下的15，如此截下去，第五次截去后剩下的木棒的长度是（）A ．5115⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦米B ．515⎛⎫⎪⎝⎭米C ．5415⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦米D ．545⎛⎫⎪⎝⎭米8．如图，表中给出的是某月的月历．任意选取“H ”型框中的7个数（如阴影部分所示），这7个数的和不可能是（）A ．42B ．70C ．98D ．1479．如图，已知圆环内直径为a 厘米，外直径为b 厘米，将2024个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为（）A ．()2023a b +厘米B ．()2023b a +厘米C ．()2024a b -厘米D ．()2024b a -厘米10．在数轴上，有理数a ，b 的位置如图，将a 与b 的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，且0ab <，a b >．下列结论：①30a <；②140a a >；③33a a a a -=-；④()32b a a b -=+．其中所有正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．比较大小：49-23-．12．若代数式2m m -的值为3，则代数式2122m m +-的值为．13．如图，在直角三角形ABC 中，ACB ∠是直角，AC a =，BC b =，以直角边AC 为直径画半圆，12S S -=．（用含有a ，b 的代数式表示，结果保留π）14．将奇数1至2025按照顺序排成下表：1357911131517192123252729313335…记mn P 表示第m 行第n 个数，如2317P =表示第2行第3个数是17．（1）43P =；（2）mn P =（用含m ，n 的代数式表示）．三、解答题15．计算：(1)()2412435⎡⎤--⨯--⎣⎦；(2)()11324364⎛⎫--⨯- ⎪⎝⎭．16．先化简，再求值：()()222223222x xy y x xy y +--+-，其中1x =-，2y =-．17．某支股票上周末的收盘价格是20.00元，本周一到周五的收盘情况如下表：（“+”表示股票比前一天上涨，“-”表示股票比前一天下跌）上周末收盘价周一周二周三周四周五20.000.28+ 2.36- 1.80+0.35-0.08+(1)周一至周五这支股票每天的收盘价各是多少元？(2)本周末的收盘价比上周末收盘价是上涨了，还是下跌了多少？(3)这五天的收盘价中哪天的最高？哪天的最低？相差多少？18．某健身俱乐部有两种收费方式，甲种方式为：每次健身收费60元；乙种方式为：每月缴纳240元会员费后，每次收费20元(1)小王每月健身x 次，按甲、乙两种方式分别缴费多少元？(2)小王每月健身4次，采用哪种方式合算？7次呢？说明理由．19．已知有理数a 、b 、c 满足0a <、0b >、0c >，且||||||<<b a c (1)在数轴上将a 、b 、c 三个数填在相应的括号中．(2)化简：|2|||||a b b c c a -+---．20．某窗户的窗框如图所示，其上部是半圆形，下部是四个长为a 米，宽为b 米的小长方形．(1)求窗框（所有实线）的总长度（用含有a 、b 的代数式表示，保留π）；(2)该窗框全部用铝合金材料制作，铝合金的价格为100元/米，当1,0.6a b ==时，制作该窗框所需的费用是多少元？（π取3.14）21．对于有理数a 、b 定义一种新运算“▲”，规定：2a b a b a b +--=▲．例如：()12121212-+----==-▲．(1)填空：23=▲______，33=▲______，()()23--=▲______；(2)若a b >，则a b ▲的结果为______；(3)判断“▲”运算是否满足交换律并说明理由．22．某网约车的车费由里程费、时长费、远途费三部分构成．车费计价规则如下表：里程费时长费远途费单价1.8元/千米0.5元/分钟当里程不超过10千米，不收费用；当里程超过10千米，超过10千米的部分以0.4元/千米额外加收费用．(1)若行车里程为30千米，时长为40分钟，需付车费______元：(2)若行车里程为m 千米，时长为n 分钟，求应付的车费；（用含m 、n 的代数式表示）(3)乘坐该网约车去某地，导航显示两条路线．路线1：行车里程为()510x x <<千米，时长为()10y y >分钟；路线2：行车里程比路线1多5千米，时长比路线1少10分钟．请问选择哪一条路线所付车费较少？并说明理由．23．代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格：x …﹣2﹣1012…﹣x ﹣2…0﹣1﹣2﹣3a …2x ﹣2…﹣6﹣4b 02…2x +1…﹣3﹣1135…【初步感知】（1）根据表中信息可知：a ＝；b ＝；【归纳规律】（2）表中﹣x ﹣2的值随着x 的变化而变化的规律是：x 的值每增加1，﹣x ﹣2的值就减少1．类似地，2x +1的值随着x 的变化而变的规律是：；（3）观察表格，下列说法正确的有（填序号）；①当﹣x ﹣2＞2x +1时，x ＞﹣1②当﹣x ﹣2＜2x +1时，x ＞﹣1③当x ＞1时，﹣x ﹣2＜2x ﹣2④当x ＜1时，﹣x ﹣2＞2x ﹣2【应用迁移】（4）已知代数式ax +b 与mx +n （a ，b ，m ，n 为常数且a ≠0，m ≠0），若无论x 取何值，ax +b的值始终大于mx+n的值，试分别写出a与m，b与n的关系．。
湖北省恩施市五校2024-2025学年七年级上学期期中联考数学试卷
湖北省恩施市五校2024-2025学年七年级上学期期中联考数学试卷一、单选题1．下列数中，属于负数的是（）A ．2023B ．2023-C ．12023D ．02．我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（）A ．81.2910⨯B ．812.910⨯C ．91.2910⨯D ．712910⨯3．如图，根据某机器零件设计图纸上的信息判断，下列零件长度（L ）尺寸合格的是（）A ．9.68mmB ．9.97mmC ．10.1mmD ．10.01mm 4．下列说法正确的是（）A ．长3米和重10千克是具有相反意义的量B ．收入500元是具有相反意义的量C ．支出100元和向南走200米是具有相反意义的量D ．顺时针转3圈和逆时针转1圈是具有相反意义的量5．若()2320m n -++=，则2m n +的值为（）A ．－1B ．1C ．4D ．76．下列变形不正确的是（）A ．5×(-6）=(-6)×5B ．（14-12）×(-12)=（-12）×(14-12）C ．（-16+13）×(－4）=(-4）×（-16）+13×4D ．(-25)×(-16)×（-4）＝[（-25）×（-4）]×（-16）7．下列各式中，不是代数式的是（）A ．-3B ．22a a -C ．230x +=D ．2ab8．已知a ，b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则代数式2（a ＋b ）－3cd 的值为（）．A ．2B ．－1C ．－3D ．09．某学校计划购买甲、乙两种品牌的电子白板共40台．甲、乙两种品牌电子白板的单价分别为2.5万元/台和1.5万元/台，若购买甲品牌电子白板费用为()2.520x +万元，则购买乙品牌电子白板费用为（）A ．()1.520x -万元B ．()1.540x -万元C ．()1.520x +万元D ．1.5x 万元10．有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列式子中：①0a b +<；②0a b -<；③0ab <；④0a b <．成立的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．写出一个比5-小的数．12．比较大小：34-0.8-（填“>”“<”或“=”）．13．某商品每袋4.8元，在一个月内的销售量是m 袋，用式子表示在这个月内销售这种商品的收入为元．14．在如图所示的运算程序中，若开始输入x 的值为3，则输出y 的值为．15．如图是小明用火柴棒摆的“金鱼”图案，第1个图案用8根火柴棒，第2个图案用14根火柴棒，第3个图案用20根火柴棒……依此规律，第n 个图案用根火柴棒（用含n 的代数式表示）．三、解答题16．计算：(1)()()14122517--+--；(2)()()()2.611.5 4.4 1.3+--+--．17．计算：()1316428⎛⎫⎛⎫÷-⨯--+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭．18．计算：()221115522⎛⎫⎛⎫-⨯---÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．19．已知2(2)a =-，4(3)b =--，25c =-，求()a b c --的值．20．某检修小组从A 地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下（单位：千米）：第1次：-4；第2次：+7；第3次：-9；第4次：+8；第5次：+6；第6次：-5；第7次：-2.（1）求收工时距A 地多远？（2）若每千米耗油0.1升，问共耗油多少升？21．甲、乙两地之间公路全长240km ，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为km/h v ．(1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？(2)如果汽车的行驶速度增加3km/h ，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？22．阅读材料：求值：23420122222++++++ ．解：设23420122222S =++++++ ，将等式两边同时乘2，得23420212222222S =++++++ ，将下式减去上式，得21221-=-S S ，即234202112222221S =++++++=- ．请你仿照此法计算：(1)2310012222++++⋯+；(2)23413333n +++++ (3)（其中n 为正整数）23．现定义新运算“※”，对任意有理数a 、b ，规定a b ab a b =+-※，例如：1212121=⨯+-=※．(1)求()35-※的值；(2)若()(){}()321---※※的值与b 互为相反数，求b 的值．24．已知数轴上两点M 、N 对应的数分别为8-、4，点P 为数轴上任意一点，其对应的数为x ．(1)MN 的长为．(2)当点P 到点M 、点N 的距离相等时，求x 的值；(3)数轴上是否存在点P ，使点P 到点M 、点N 的距离之和是20？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．。
2023-2024学年广东省广州市五校联考高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市五校联考高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=−i1−i（i是虚数单位），则共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列直线中，倾斜角最大的是（）A．√3x+y+1=0B．√3x−y+1=0C．x+y+1＝0D．x﹣y+1＝03．集合A＝{y|y＝3x}，B＝{x|y＝log2（3x+2）}，则（∁R A）∩B＝（）A．(−23，+∞)B．（﹣∞，0]C．(−23，0)D．(−23，0]4．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的35，则该组数据的第40百分位数是（）A．4B．5C．6D．9 5．函数f(x)=2x+√4−x2的最大值是（）A．√5B．2√5C．2+√3D．46．将f(x)=sin2(x−π12)的图像向左平移π6个单位后，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)，得到函数g（x）的图像．已知g（x）在[0，π]上单调递增，则ω的取值范围是（）A．(0，512]B．(0，12]C．(0，34]D．(0，56]7．广州塔昵称“小蛮腰”，位于广州城市新中轴线与珠江景观轴交汇处，是中国第一高塔、国家级旅游景区、广州的地标性景点．广州塔的塔身是由倾斜扭转的24根直钢柱包围而成的一个单叶双曲面（即由双曲线一支绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面）．如图，已知广州塔的主塔体（不含天线桅杆）高O1O2＝450米，塔身最细处（直钢柱PQ和中心轴线O1O2距离最近的位置）离地面高度OO1＝300米、直径为30米，每根直钢柱与地平面所成角的正切值为20√33，则塔底直径为（）A ．40米B ．50米C ．60米D ．70米8．已知椭圆C ：x 22+y 2b2=1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|AF 2|，点M 满足F 1M →=3MF 2→，且AM ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13B ．√33 C ．23D ．√63二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知事件A ，B 发生的概率分别为P(A)=13，P(B)=16，则（ ）A ．P(A)=23B ．13≤P(A +B)≤12C ．若A 与B 互斥，则P(A ∪B)=49D ．一定有B ⊆A10．下列结论错误的是（ ）A ．若非零空间向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，b →⊥c →，则有a →∥c →B ．若非零向量AB →与CD →平行，则A ，B ，C ，D 四点共线C ．设{a →，b →，c →}是空间中的一组基底，则{a →+b →，b →+c →，c →+a →}也是空间的一组基底D ．若OP →=xOA →+yOB →+zOC →，则x +y +z ＝1是P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件11．已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M(3p2，0)，直线AM 交C 于另一点N ，若|AF |＝|AM |，则（ ） A ．直线AB 的斜率为2√2 B ．|F A |＝3|FB |C ．|OB |＝|OF |D ．直线BN 的斜率为定值12．如图，在棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，动点P 在截面AB 1D 1内（含边界），且满足A 1P =3√2．下列说法正确的是（ ）A ．点P 的轨迹长度为6πB．A1P与平面AB1D1所成角的余弦值为√3 3C．存在点P使得CP⊥BC1D．C1P与平面AB1D1所成角的正切值的取值范围是[√23，√2]三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．若f(x)=a−22x+1为奇函数，则f（1）＝．14．已知椭圆x29+y2m=1和双曲线x2−y2m−6=1共焦点，则m的值为．15．已知直线l过点P（1，2）且与x轴、y轴分别交于A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0）两点，O为坐标原点，则|OA|+2|OB|的最小值为．16．已知直线l：x+√3y−3=0与圆C1：x2+y2＝4、圆C2：x2+y2﹣2ax+a＝0（a＞0）相交于从左到右依次排列的四个不同点A，B，C，D，且满足|AB|＝|CD|，则线段AD的长为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=√32sin(2x+φ)+sin2x，其中0＜φ＜π．（1）若φ=π3，求f（x）的最小正周期和其图像的对称中心；（2）若f(π6)=−14，求cosφ的值．18．（12分）网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车．某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．（1）利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；（2）经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁．现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率．19．（12分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且4asin2B2=2a+b−2c．（1）求角A的大小：（2）若b＝1，c＝3，D为BC中点，点E在AB上且满足DE⊥AB，求CE的长．20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点P（4，4）．（1）求抛物线C的方程；（2）过点P的射线l交抛物线C于另一点Q，交准线于点M，求|PQ||PM|的最大值．21．（12分）五面体ABCDEF的底面ABCD是一个边长为4的正方形，∠ADE＝90°，DE＝CF＝2，二面角E ﹣AD ﹣C 的大小为60°． （1）求证：DF ⊥CF ；（2）设点P 为棱AE 上一点，若平面BDP 与平面BCF 的夹角的余弦值为√64，求AP AE的值．22．（12分）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与圆x 2+y 2＝a 2+b 2的一个交点为(√72，32)．（1）求双曲线E 的方程；（2）设点A 为双曲线E 的右顶点，点B ，C 为双曲线E 上关于原点O 对称的两点，且点B 在第一象限，直线BC 与直线x =12交于点M ，直线AM 与双曲线E 交于点D ．设直线AC 与BD 的斜率分别为k 1，k 2，请问k 1+k 2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．2023-2024学年广东省广州市五校联考高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=−i1−i（i是虚数单位），则共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：z=−i1−i=−i(1+i)(1+i)(1−i)=12−12i，则z=12+12i，故共轭复数z在复平面内对应的点（12，12）位于第一象限．故选：A．2．下列直线中，倾斜角最大的是（）A．√3x+y+1=0B．√3x−y+1=0C．x+y+1＝0D．x﹣y+1＝0解：直线√3x+y+1=0的斜率为−√3，倾斜角为120°；直线√3x−y+1=0的斜率为√3，倾斜角为60°，直线x+y+1＝0的斜率为﹣1，倾斜角为135°；直线x﹣y+1＝0的斜率为1，倾斜角为45°，∴直线x+y+1＝0的倾斜角最大．故选：C．3．集合A＝{y|y＝3x}，B＝{x|y＝log2（3x+2）}，则（∁R A）∩B＝（）A．(−23，+∞)B．（﹣∞，0]C．(−23，0)D．(−23，0]解：A＝{y|y＝3x}＝{y|y＞0}，B＝{x|y＝log2（3x+2）}＝{x|x＞−23}，故∁R A＝{y|y≤0}，所以（∁R A）∩B＝（−23，0]．故选：D．4．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的35，则该组数据的第40百分位数是（）A．4B．5C．6D．9解：根据题意，数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，则极差为17﹣2＝15，故该组数据的中位数是15×35=9，数据共6个，故中位数为m+122=9，解得m＝6，6×40%＝2.4，故该组数据的40百分位数为从小到大第3个数，故该组数据的40百分位数是m＝6．故选：C．5．函数f(x)=2x+√4−x2的最大值是（）A．√5B．2√5C．2+√3D．4解：由4﹣x2≥0，得﹣2≤x≤2，令x＝2sinθ（−π2≤x≤π2），则原函数化为y＝4sinθ+√4−4sin2θ=4sinθ+2cosθ=2√5sin（θ+φ），tanφ=1 2，∴当θ+φ=π2时，y取最大值为2√5，即函数f(x)=2x+√4−x2的最大值是2√5．故选：B．6．将f(x)=sin2(x−π12)的图像向左平移π6个单位后，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)，得到函数g（x）的图像．已知g（x）在[0，π]上单调递增，则ω的取值范围是（）A．(0，512]B．(0，12]C．(0，34]D．(0，56]解：f(x)=sin2(x−π12)=1−cos(2x−π6)2的图像向左平移π6个单位后，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)，得到函数g（x）=1−cos(2ωx+π6)2的图像，令2kπ≤2ωx+π6≤2kπ+π，k∈Z，解得，kπω−π12ω≤x≤kπω+5π12ω，k∈Z，因为g（x）在[0，π]上单调递增，所以5π12ω≥π且ω＞0，解得，0＜ω≤5π12．故选：A．7．广州塔昵称“小蛮腰”，位于广州城市新中轴线与珠江景观轴交汇处，是中国第一高塔、国家级旅游景区、广州的地标性景点．广州塔的塔身是由倾斜扭转的24根直钢柱包围而成的一个单叶双曲面（即由双曲线一支绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面）．如图，已知广州塔的主塔体（不含天线桅杆）高O1O2＝450米，塔身最细处（直钢柱PQ和中心轴线O1O2距离最近的位置）离地面高度OO1＝300米、直径为30米，每根直钢柱与地平面所成角的正切值为20√33，则塔底直径为（）A．40米B．50米C．60米D．70米解：由题意设直钢柱PQ中MQ在底面圆O1上的投影线段为NQ，连接O1N，OM，所以在Rt△MNQ中，tan∠PQN=20√33=|MN||NQ|=300|NQ|，得|NQ|=15√3，由题意可得四边形O1NOM为矩形，又因为点M是圆O的切点，所以O1N⊥NQ，且ON1＝15，设圆O 1的半径为r ，所以在Rt △O 1NQ 中，r 2=O 1N 2+NQ 2=152+(15√3)2=900，得r ＝30，所以圆O 1的直径为60． 故选：C ．8．已知椭圆C ：x 22+y 2b2=1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|AF 2|，点M 满足F 1M →=3MF 2→，且AM ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13B ．√33 C ．23D ．√63解：如图：因为过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|AF 2|， 所以|AF 1|+|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|=3a 2，|AF 2|=a 2， 又因为F 1M →=3MF 2→，所以|MF 1|＝3|MF 2|， 所以AM 是∠F 1AF 2的平分线，又因为AM ⊥F 1B ， 所以|AF 1|＝|AB |=3a2=|AF 2|+|BF 2|， 所以|BF 2|＝a ，|BF 2|：|AF 2|＝2．所以A （3c 2，b2），点A 在椭圆：x 22+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上，所以9c 28+14=1，解得c 2=23，e 2=c 2a 2=232=13，所以e =√33．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知事件A ，B 发生的概率分别为P(A)=13，P(B)=16，则（ ）A ．P(A)=23B ．13≤P(A +B)≤12C ．若A 与B 互斥，则P(A ∪B)=49D ．一定有B ⊆A解：∵P （A ）=13，∴P （A ）=23，故A 正确；当A ，B 互斥时，P （AB ）＝0，当B ⊆A 时，P （AB ）=16，故13≤P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）≤12，故B 正确；当A ，B 互斥时，P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）=13+16=12，故C 错误； 不一定B ⊆A ，故D 错误． 故选：AB ．10．下列结论错误的是（ ）A ．若非零空间向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，b →⊥c →，则有a →∥c →B ．若非零向量AB →与CD →平行，则A ，B ，C ，D 四点共线C ．设{a →，b →，c →}是空间中的一组基底，则{a →+b →，b →+c →，c →+a →}也是空间的一组基底D ．若OP →=xOA →+yOB →+zOC →，则x +y +z ＝1是P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件解：对于A ：若非零平面向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，b →⊥c →，故a →∥c →，但在空间内不一定成立，故A 错误； 对于B ：若非零向量AB →与CD →平行，则A ，B ，C ，D 四点共线也可能平行，故B 错误；对于C ：设{a →，b →，c →}是空间中的一组基底，不存在实数λ和μ使a →+b →=λ(b →+c →)+μ(a →+c →)，故C 正确；对于D ：点P 、A 、B 、C 四点共面的充要条件是存在实数m ，n 使AP →=mAB →+nAC →，整理得OP →=(1−m −n)OA →+mOB →+nOC →=xOA →+yOB →+zOC →，所以x +y +z ＝1，故D 正确． 故选：AB ．11．已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M(3p2，0)，直线AM 交C 于另一点N ，若|AF |＝|AM |，则（ ） A ．直线AB 的斜率为2√2 B ．|F A |＝3|FB |C ．|OB |＝|OF |D ．直线BN 的斜率为定值解：根据题意可得F （p 2，0），又点M(3p2，0)，且|AF |＝|AM |，∴A的横坐标为p2+3p22=p，将其代入y2＝2px中，可得A（p，√2p），∴直线AB的斜率为√2pp−p2=2√2，∴A选项正确；∴直线AB的方程为y=2√2（x−p2），联立{y=2√2(x−p2)y2=2px，解得x＝p或x=p4，∴B点横坐标为p4，将其代入y2＝2px中，可得B（p4，√2），∴|F A|=p2+x A=p2+p=3p2，|FB|=p2+x B=p2+p4=3p4，∴|F A|＝2|FB|，∴B选项错误；∴|OB|=√p216+p22=3p4，而|OF|=p2，∴|OB|≠|OF|，∴C选项错误；∵直线AB的斜率为2√2，|AF|＝|AM|，∴AM直线的斜率为−2√2，∴直线AM的方程为y=−2√2（x−3p2），联立{y=−2√2(x−3p2)y2=2px，解得x＝p或x=9p4，∴N点横坐标为9p4，将其代入y2＝2px中，可得N（9p4，√2），∴直线BN的斜率为√2−√29p 4−p4=√22，∴直线BN的斜率为定值，∴D选项正确．故选：AD．12．如图，在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点P在截面AB1D1内（含边界），且满足A1P= 3√2．下列说法正确的是（）A．点P的轨迹长度为6πB．A1P与平面AB1D1所成角的余弦值为√3 3C．存在点P使得CP⊥BC1D．C1P与平面AB1D1所成角的正切值的取值范围是[√23，√2]解：对于A，取B1D1的中点O1，三棱锥A1﹣AB1D1为正三棱锥，过A1作A1G⊥面AB1D1于G，则G为正△AB1D1的中心，又AB1=6√2，AO1=√32AB1=√32×6√2=3√6，∴GO1=13AO1=√6，AG=23AO1=2√6，由V A1−AB1D1=V A−A1B1D1，得13S△AB1D1⋅A1G=13S△A1B1D1⋅AA1，∴13×√34×(6√2)2×A1G=13×12×6×6×6，∴A1G=2√3，由于A1P=3√2，∴GP=√A1P2−A1G2=√6，∴点P的轨迹是以G为圆心，√6为半径的圆，即正△AB1D1的内切圆，∴点P的轨迹长度为2π×√6=2√6π，故A错误；对于B，设A1P与平面AB1D1所成角为α，∵A1到平面AB1D1距离为A1G=2√3，∴sinα=A1GA1P=√332=√63，0≤α≤π2，∴cosα=√1−sin2α=√33，即A1P与平面AB1D1所成角的余弦值为√33．故B正确；对于C，当P为该内切圆与AD1的切点，即P为AD1与A1D的交点时，CP⊥BC1，证明如下：连接B1C，则BC1⊥B1C，∵A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又B1C∩A1B1＝B1，B1C，A1B1⊂平面CDA1B1，∴BC1⊥平面CDA1B1，∵CP⊂平面CDA1B1，∴CP⊥BC1，故C正确；对于D ，如图，该内切圆与AO 1的交点为E ，取BD 的中点O ，作EF ⊥AO 于F ，EF ∥OO 1， EF ⊥面ABCD ，∵AE ＝AO 1﹣2GO 1=√6=13AO 1，∴EF =13OO 1=2，AF =13AO =13×3√2=√2，CF ＝AC ﹣AF =5√2，C 1E =√CF 2+(CC 1−EF)2=√(5√2)2+(6−2)2=√66，C 1O 1=3√2， 当P 与E 重合时，C 1P 取最大值；当P 与O 1重合时，C 1P 取最小值．∴3√2≤C 1P ≤√66，∵O 1 为A 1C 1的中点，∴C 1到平面AB 1D 1距离d 与A 1到平面AB 1D 1距离相等， 即d =A 1G =2√3，设C 1P 与平面AB 1D 1 所成角为θ， 则tanθ=√C1P −d2=√3√C1P −12，∵3√2≤C 1P ≤√66，∴6≤C 1P 2−12≤54，√6≤√C 1P 2−12≤3√6， ∴√23≤√3√C 12≤√2，即√23≤tanθ≤√2，即C 1P 与平面AB 1D 1所成角的正切值的取值范围是[√23，√2]，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若f(x)=a −22x +1为奇函数，则f （1）＝ 13．解：根据题意，若f(x)=a−22x+1为奇函数，则f（0）＝a﹣1＝0，即a＝1，当a＝1时，f（x）＝1−22x+1，f（﹣x）＝1−22(−x)+1=1−2⋅2x2x+1=−（1−22x+1）＝﹣f（x），f（x）为奇函数，符合题意，故f（x）＝1−22x+1，则f（1）＝1−23=13；故答案为：1 314．已知椭圆x29+y2m=1和双曲线x2−y2m−6=1共焦点，则m的值为7．解：∵双曲线x2−y2m−6=1中a2＝1，b2＝m﹣6，可得焦点在x轴上，且c2＝1+m﹣6＝m﹣5，又椭圆x29+y2m=1和双曲线x2−y2m−6=1共焦点，∴9﹣m＝m﹣5，解得m＝7．故答案为：7．15．已知直线l过点P（1，2）且与x轴、y轴分别交于A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0）两点，O为坐标原点，则|OA|+2|OB|的最小值为9．解：根据题意，可得直线l方程为xa +yb=1（a＞0，b＞0），代入P点得1a+2b=1，因此，|OA|+2|OB|＝a+2b=(a+2b)(1a+2b)=5+2ba+2ab≥5+2√2ba⋅2ab=9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，故|OA|+2|OB|的最小值为9．故答案为：9．16．已知直线l：x+√3y−3=0与圆C1：x2+y2＝4、圆C2：x2+y2﹣2ax+a＝0（a＞0）相交于从左到右依次排列的四个不同点A，B，C，D，且满足|AB|＝|CD|，则线段AD的长为√3+√7．解：圆C1：x2+y2＝4的圆心C1（0，0），半径为2，圆C2：x2+y2﹣2ax+a＝0（a＞0）的圆心C2（a，0），半径为√a2−a，a＞1，由直线l与圆C2相交，可得|a−3|2＜√a2−a，解得a＞2√7−13，由|AB|＝|CD|，可得|AC|＝|BD|，即有2√4−(32)2=2√a2−a−(a−32)2，解得a ＝2，圆C 2的方程为x 2+y 2﹣4x +2＝0， 圆心C 1C 2的距离为2，弦长AC =√7， 则|AD |=√72+√22−(32−12)2+√72=√3+√7． 故答案为：√3+√7．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知函数f(x)=√32sin(2x +φ)+sin 2x ，其中0＜φ＜π．（1）若φ=π3，求f （x ）的最小正周期和其图像的对称中心；（2）若f(π6)=−14，求cos φ的值．解：（1）φ=π3时，f(x)=√32sin(2x +φ)+sin 2x=√32sin （2x +π3）+1−cos2x2 =√34sin2x +14cos2x +12=12sin （2x +π6）+12， 故T ＝π， 令2x +π6=k π，k ∈Z ，则x =kπ2−π12，k ∈Z ， 故函数的对称中心为（kπ2−π12，12），k ∈Z ； （2）因为f(x)=√32sin(2x +φ)+sin 2x ，所以f （π6）=√32sin （π3+φ）+14=−14，即sin （π3+φ）=−√33，因为0＜φ＜π， 所以π3＜π3+φ＜4π3，所以cos （π3+φ）=−√63，所以cos φ＝cos （π3+φ−π3）=12cos （π3+φ）+√32sin （π3+φ）=12×(−√63)+√32×(−√33)=−3−√66．18．（12分）网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车．某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．（1）利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；（2）经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁．现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率．解：（1）从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．∴样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为100﹣60﹣43+8＝5， 利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为5×3000100=150人． （2）样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁， 现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，基本事件总数n =C 52=10，这2名学生都坐过高铁包含的基本事件个数m =C 32=3，∴这2名学生都坐过高铁的概率P =m n =310． 19．（12分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且4asin 2B2=2a +b −2c ． （1）求角A 的大小：（2）若b ＝1，c ＝3，D 为BC 中点，点E 在AB 上且满足DE ⊥AB ，求CE 的长． 解：（1）由4asin 2B2=2a +b −2c ， 可得2a （1﹣cos B ）＝2a +b ﹣2c ，由余弦定理，可得−2a ×a 2+c 2−b22ac=b −2c ，整理得b 2+c 2﹣a 2＝bc ，则cosA=b2+c2−a22bc=12，又A∈（0，π），所以A=π3；（2）法一：由b＝1，c＝3，A=π3及余弦定理，可得a2=1+9−2×1×3×12=7，故a＝BC=√7，又D为BC中点，故BD＝DC=√72，由正弦定理，可得sinB=b⋅sinAa=1√32√7=√2114，又DE⊥AB，所以DE=BD⋅sinB=√72×√2114=√34，由sinB=√2114，可得cos∠BDE=√2114，又∠BDE+∠CDE＝π，则cos∠CDE=−√2114，在△CDE中，由余弦定理，可得CE2=74+316−2×√72×√34×(−√2114)=3716，所以CE=√374；法二：由b＝1，c＝3，A=π3及余弦定理，可得a2=1+9−2×1×3×12=7，故a＝BC=√7，又D为BC中点，故BD＝DC=√72，由正弦定理，可得sinB=b⋅sinAa=1√327=√2114，故cosB=√1−sin2B=5√7 14，则BE=BD⋅cosB=√72×5√714=54，在△BCE中，由余弦定理，可得CE2=7+2516−2×√7×54×5√714=3716，所以CE=√374．20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点P（4，4）．（1）求抛物线C的方程；（2）过点P的射线l交抛物线C于另一点Q，交准线于点M，求|PQ||PM|的最大值．解：（1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点P（4，4），可得16＝8p，解得p＝2，即抛物线的方程为x2＝4y；（2）设射线l的方程为y﹣4＝k（x﹣4），k＞0，由抛物线的准线方程为y＝﹣1，可得M（4−5k，﹣1），联立{x2=4yy=kx+4−4k，可得x2﹣4kx﹣16+16k＝0，Δ＝16k2﹣4（﹣16+16k）＞0，即有k≠2，由韦达定理可得4+x Q＝4k，即x Q＝4k﹣4，由4k﹣4＜4，可得0＜k＜2，则|PQ||PM|=√1+k2|4k−4−4|√1+k2|4−5k−4|=45|k2﹣2k|=45|（k﹣1）2﹣1|，由0＜k＜2，可得k＝1时，|PQ||PM|取得最大值45．21．（12分）五面体ABCDEF的底面ABCD是一个边长为4的正方形，∠ADE＝90°，DE＝CF＝2，二面角E﹣AD﹣C的大小为60°．（1）求证：DF⊥CF；（2）设点P为棱AE上一点，若平面BDP与平面BCF的夹角的余弦值为√64，求APAE的值．（1）证明：由底面ABCD 是正方形，可得AD ⊥DC ， 又∠ADE ＝90°，可得AD ⊥DE ，则∠EDC 即为二面角E ﹣AD ﹣C 的平面角，即∠EDC ＝60°， 在正方形ABCD 中，AB ∥CD ，又AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，所以AB ∥平面CDEF ， 又AB ⊂平面ABEF ，平面ABEF ∩平面CDEF ＝EF ， 所以AB ∥EF ，即CD ∥EF ，故四边形CDEF 为梯形， 又DE ＝CF ＝2，所以四边形CDEF 为等腰梯形， 故∠DCF ＝60°，又CD ＝4，CF ＝4，由余弦定理，可得DF 2＝CD 2+CF 2﹣2CD •CF •cos60°＝16+4﹣2×4×2×12=12，所以DF =2√3， 故DF 2+CF 2＝CD 2，则有DF ⊥CF ； （2）解：由（1）知，AD ⊥DC ，AD ⊥DE ，又CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDEF ，故AD ⊥平面CDEF ， 又AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面CDEF ， 过D 作Dz ⊥平面ABCD ，则Dz ⊂平面CDEF ， 故以D 为坐标原点，建立如图所示坐标系D ﹣xyz ，则有A （4，0，0），B （4，4，0），C （0，4，0）， D （0，0，0），E （0，1，√3），F （0，3，√3）， 设AP →=λAE →(0≤λ≤1)，则有AP →=λ(−4，1，√3)， 故P (4−4λ，λ，√3λ)，设平面BDP 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， 由DB →=(4，4，0)，DP →=(4−4λ，λ，√3λ)， 可得{n →⋅DB →=4x +4y =0n →⋅DP →=(4−4λ)x +λy +√3λz =0，令x =√3，则y =−√3，z =5−4λ，可得n →=(√3，−√3，5−4λ)，设平面BCF 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)， 由BC →=(−4，0，0)，BF →=(−4，−1，√3)， 可得{m →⋅BC →=−4a =0m →⋅BF →=−4a −b +√3c =0，令c ＝1，则b =√3，a ＝0，可得m →=(0，√3，1)， 由平面BDP 与平面BCF 的夹角的余弦值为√64， 可得|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=|2−4λ|2×√6+(5−4λ)2=√64，整理得16λ2−88λ+85=0，令1λ=t ， 则有16t 2﹣88t +85＝0，解得t =174或t =54， 即λ=417或λ=45，即AP AE =417或45． 22．（12分）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与圆x 2+y 2＝a 2+b 2的一个交点为(√72，32)．（1）求双曲线E 的方程；（2）设点A 为双曲线E 的右顶点，点B ，C 为双曲线E 上关于原点O 对称的两点，且点B 在第一象限，直线BC 与直线x =12交于点M ，直线AM 与双曲线E 交于点D ．设直线AC 与BD 的斜率分别为k 1，k 2，请问k 1+k 2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）由双曲线E 与圆x 2+y 2＝a 2+b 2的一个交点为(√72，32)， 可得{74a 2−94b 2=174+94=a 2+b 2，所以{7b 2−9a 2=4a 2b 2a 2+b 2=4， 所以7（4﹣a 2）﹣9a 2＝4a 2（4﹣a 2），所以a 4﹣8a 2+7＝0， 解得a 2＝7，b 2＝﹣3（舍去）或a 2＝1，b 2＝3， 所以双曲线E 的方程为x 2−y 23=1； （2）设B （m ，n ），m ＞1，n ＞0，则C （﹣m ，﹣n ）， 则l BC ：y =n m x ，令x =12，则y =n2m，即M(12，n2m)，则l AM：y=n2m−012−1(x−1)=−nm(x−1)，代入x2−y23=1，得x2−[−nm(x−1)]23=1，所以3m2−n2m2x2+2n2m2x−n2m2−3=0，所以x A+x D=−2n23m2−n2，即x D=−2n23m2−n2−1=−n2−3m23m2−n2，故y D=−nm(−n2−3m23m2−n2−1)=6mn3m2−n2，所以D(−n2−3m23m2−n2，6mn3m2−n2)，则k1=−n−0−m−1=nm+1，k2=6mn3m2−n2−n−n2−3m23m2−n2−m=6mn−3m2n+n3−n2−3m2−3m3+mn2，由B（m，n）在双曲线上，可得m2−n23=1，即n2＝3m2﹣3，所以k2=6mn−3m2n+n3−n2−3m2−3m3+mn2=n(6m−3m2+3m2−3)−3m2−3m3+(m−1)(3m2−3)=3n(2m−1)−3m2−3m3+3m3−3m2−3m+3=3n(2m−1)−3(2m2+m−1)=n(2m−1)−(2m−1)(m+1)=−nm+1，所以k1+k2=nm+1−nm+1=0，所以k1+k2为定值，且该定值为0．。
上海市五校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题(含答案)
五校联考高三期中数学试卷（奉贤中学/复兴高中/金山中学/行知中学/松江二中）2024.11一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知集合，，则______2.已知向量，，则在方向上的数量投影为______3.曲线在点处的切线方程为______4.某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为______5.二项式的展开式中，常数项为______6.关于x的方程的解集为______7.已知，，，则的最小值为______8.《九章算术》卷五《商功》中有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺.”（注：刍童为上下底面是相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），则《商功》中提及的这个刍童的外接球表面积为______平方尺9.意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和______10.已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点，则内切圆{}2650A x x x =-+<{}0,1,2B =A B = ()1,2a =-()3,2b = b a e xy =()0,163x ⎛- ⎝100910152024x x x +++-=0x >0y >4x y xy +=x y +e e sh 2x xx --=12()y f x ={}n a 2025n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭{}n a 2024S =22:143x y Γ+=1F 2F 12PF F △半径的最大值为______11.在中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，若，则______12.若关于x 的方程在上有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是______二.选择题（本大题共4题，满分20分）13.设，则是的（ ）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既不充分也不必要14.在中，，M 为中点，，则（ ）A. B. C.9D.1615.已知定义在R 上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（ ）①；②的图象关于对称；③；④.A.1个B.2个C.3个D.4个16.已知正项数列满足，下列说法正确的是（ ）A.当时，数列单调递减B.当时，数列单调递增C.当时，存在正整数，当时，D.当时，存在正整数，当时，三.解答题（本大题共有5题，满分76分）17.某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图：ABC △2222024a b c +=()2tan tan tan tan tan A BC A B =+()2e ln 20x x a x x a -⋅-+-=(]0,1z ∈C 1z z+∈R 1z =ABC △10BC =BC 4AM =AB AC ⋅=9-16-()y f x =()f x '()()g x f x '=()()4f x f x x --=()()20g x g x +-=()01g =()f x y x =()0,2()()20f x f x +-=()21n k g k n n ==-∑{}n a 1112ln n n n a a a ++=-101a <<{}n a 11a >{}n a 101a <<0n 0n n ≥012n n a <11a >0n 0n n ≥02n n a <[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100（1）若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设X 为其中达到90分及以上的学生的人数，求X 的概率分布及数学期望.18.已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，.（1）求函数的表达式；（2）求关于x 的不等式的解集.19.如图，在三棱锥中，平面平面，，，E ，F 分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线l .（1）求证：直线平面；（2）若直线l 上存在一点Q （与B 都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.已知点G 是圆T :上一动点（T 为圆心），点H 的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点R ，动点R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）M ，N 是曲线C 上的两个动点，O 是坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）设P 为曲线C 上任意一点，延长至Q ，使，点Q 的轨迹为曲线E ，过点P 的直线l 交曲线E 于A 、B 两点，求面积的最大值.21.已知函数的表达式为.（1）当时，求的单调增区间；（2）若当时，恒成立，求a 的取值范围；[]80,100()y f x =()1,1-0x >()cossin 223x x f x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭22x()y f x =()()21log 102f x f x f ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭P ABC -AC BC ⊥PAC ⊥ABC 2PA PC AC ===4BC =PC PB AEF ABC EF ⊥PAC AC PQ EF 4πPBQAEF ()22116x y ++=()1,0GH TG OM ON 1k 2k 1234k k =-MON △OP 3OQ OP =AQB △()y f x =()()()2ln f x x ax x a =-∈R 1a =()y f x =1x >()1f x >（3）证明：.5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯参考答案一.填空题1.3. 4.120 5. 6. 7.9 8. 9.404811.2023 12.二.选择题13.B 14.A 15.B 16.D三.解答题17.解：（1）成绩在区间的比例为：；成绩在区间的比例为：，因此65%分位数位于区间；因此入围分数为：，因此入围分数应设为75分；（2）在这六个人中，有两人的分数在90分及以上，因此，1，2，，则X 的概率分布为：；所以X 的数学期望为.18.解：（1）当时，时，；当时，，；因此；（2）当时，，因此有在上严格增；{}21y x =+18-{}041π311,e 3e ⎛⎤⎥⎝⎦[]80,100()0.0100.005100.150.35+⨯=<[]70,1000.150.04100.550.35+⨯=>[)70,800.40.27010750.4-+⨯=0X =()2426205C P X C ===()1124268115C C P X C ⋅===()22261215C P X C ===01228151515⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭[]8121215153E X =⨯+⨯=01x <<()1sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭0x =()0f x =10x -<<0x ->()()1sin 23f x f x x π⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭()1sin 01230,01sin 1023x x f x x x x ππ⎧⎛⎫-+<<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪+--<< ⎪⎪⎝⎭⎩()0,1x ∈13336x ππππ-<-<-<()y f x =()0,1而当时，因此有在上严格增；原不等式可化为：；而是定义在上的严格增函数，所以；因此不等式的解集为.19.解：（1）证明：，平面平面，平面平面平面；又E 、F 分别为、的中点，；平面；（2），以C 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，过C 垂直于平面的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，而，不在平面上，平面，平面，，设Q 点坐标为，，，即，则Q 点坐标为；设平面的法向量，即，即，取，可得；设平面法向量为，则，取，可得；与平面20.解：（1），则，0x =1sin 023x π⎛⎫-+=> ⎪⎝⎭()y f x =()1,1-()21log 12f x f x ⎛⎫+<-⎪⎝⎭()y f x =()1,1-221log 1111121log 12x x x x ⎧⎪-<+<⎪⎪-<-<⎨⎪⎪+<-⎪⎩11,42⎛⎫⎪⎝⎭BC AC ⊥ PAC ⊥ABC PAC ABC AC =BC ∴⊥PAC PB PC //BC EF ∴EF ∴⊥PAC BC AC ⊥ ∴CA CB ABC ()2,0,0A ()0,4,0B (P 12E ⎛⎝1,2F ⎛ ⎝//EF BC BC AEF EF ⊂AEF //BC ∴AEF //l BC ∴()()2,,00y y ≥(1,PQ y = ()0,2,0EF = cos ,PQ EF ∴==2y =()2,2,0PBQ ()000,,n x y z =00n PQ n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0000020220x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩01x =(n = AEF ()111,,m x y z = 0m AE m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11x =(m = cos ,m ∴ PBQ AEF RH RG =42RT RH RT RG GT TH +=+==>=则曲线C 是以和为焦点，4为长轴的椭圆；设椭圆方程为，则，，，曲线；（2）设，，则，即；为定值；（3）设点，则点，代入椭圆方程得到曲线；当直线l 的斜率不存在时：设，代入E 中有，则当直线l 斜率存在时：设，，，代入E 的方程：，则，；；而l与椭圆C 有公共点，代入得：，由有，记，则综上，面积的最大值为21.解：（1）时，，则令，则，则在上严格减，上严格增，则，即在上严格增，因此函数的增区间为；()1,0-()1,022221x y a b +=2a =1c =2223b a c =-=22:143x y C +=()2cos M ϕϕ()2cos N θθ1234k k ==-()cos 0θϕ-=()12cos 2cos sin 2MON S ϕθθϕθϕ∴=-=-=△(),Q x y ,33x y P ⎛⎫⎪⎝⎭22:13627x y E +=[]():2,2l x n n =∈-223274y n =-2AQB AOB S S ==≤△△:l y kx m =+()11,A x y ()22,B x y ()22243841080k x mkx m +++-=122843kmx x k -+=+2122410843m x x k -=+122AQB AOB S S m x x ==-==△△()2224384120k x kmx m +++-=0∆≥2243k m +≥2243m t k =+AQB S =≤△AQB △1a =()()22ln 2ln f x x x x x x x =-=-()()2ln 1f x x x '=--()ln 1g x x x =--()11g x x'=-()g x ()0,1()1,+∞()()10g x g ≥=()f x ()0,+∞()y f x =()0,+∞（2），记，则，若，则，即时，在上严格增，，满足要求；若，则，时，则在上严格减，故当时，，不满足要求；若，则，在上严格减，则，不满足要求；综上，a 的取值范围是.（3）由（2）可知时，则，取，则，即；，即.()()()221ln 2ln 1f x ax x ax x '=-+=--()ln 1h x ax x =--()1h x a x'=-1a ≥11a≤1x >()0h x >()f x ∴()1,+∞()() 11f x f a >=>()0,1a ∈11a >11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x <()f x 11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()11f x f a <=<(],0a ∈-∞()0h x <()f x ()1,+∞()()11f x f a <=<[)1,+∞1a =()22ln 1f x x x x =->()12ln 1x x x x <->21n x n +=+()()221232ln11212n n n n n n n n n ++++<-=+++++()()2322ln 121n n n n n ++>+++20222022112323420242ln 2ln 2ln 2012(1)(2)1232023n n n n n n n ==++⎛⎫∴>=⨯⨯⨯= ⎪+++⎝⎭∑∑ 5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯。
浙江省衢州五校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题含答案
2024学年第一学期衢州五校联盟期中联考高二年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4．考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}sin 2A y y x ==，{B x y ==，则A B = （）A.[]0,1 B.(]0,1 C.[)0,1 D.∅【答案】A 【解析】【分析】由正弦函数的值域得到集合A ，二次根式定义得到集合B ，再由集合交集的定义得到结果.【详解】∵[]sin 21,1x ∈-，∵y =，∴[)0,x ∈+∞∴[]0,1A B =I ，故选：A2.设复数z 满足(2i)i z +=，则z 的虚部为（）A.2 B.2- C.2iD.2i-【答案】B 【解析】【分析】运用除法运算进行复数化简，再根据虚部概念判断.【详解】复数z 满足()2i i z +=，则2i12i iz +==-.则z 的虚部为−2.故选：B.3.已知直线:2l y kx =-的一个方向向量为)，则直线l 的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】A 【解析】【分析】先根据方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角.【详解】已知直线l 的一个方向向量为，根据直线方向向量与斜率的关系，直线的斜率3k ==.因为直线的斜率tan k α==0πα≤<，所以π6α=.故选：A.4.“14a <”是方程“221341x y a a +=-表示双曲线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线方程求出a 的取值范围使得方程表示双曲线，然后再判断14a <与这个取值范围的关系.【详解】要使方程221341x y a a +=-表示双曲线，则3(41)0a a -<.解不等式3(41)0a a -<，可得10a 4<<.当14a <时，不一定满足10a 4<<，例如当1a =-时，方程221341x y a a +=-不表示双曲线；而当方程221341x y a a +=-表示双曲线时，一定有10a 4<<，那么一定满足14a <.所以14a <是方程221341x y a a +=-表示双曲线的必要不充分条件.故选：B.5.已知cos 2cos(3π)2π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭αα，则21cos sin 22αα+=（）A.15-B.25C.35D.1【答案】C 【解析】【分析】首先利用诱导公式将已知条件化简，求出tan α的值，再将所求式子利用二倍角公式化简，最后将tan α的值代入化简后的式子进行计算.【详解】根据诱导公式πcos()sin 2αα+=-，cos(3π)cos αα+=-，则sin 2cos αα-=-，即sin tan 2cos ααα==.根据二倍角公式sin 22sin cos ααα=，则221cos sin 2cos sin cos 2ααααα+=+.将其分子分母同时除以2cos α得到222cos sin cos sin cos ααααα++，进一步化为21tan tan 1αα++.把tan 2α=代入上式，可得2123215+=+.故选：C.6.已知正四面体PABC 的棱长为1，动点M 在平面ABC 上运动，且满足PM PA PB mPC =--+，则PM AB ⋅的值为（）A.2- B.1- C.0D.2【答案】C 【解析】【分析】由,,,M A B C 四点共面推得3m =，再以,,PA PB PC为基底进行向量运算可得.【详解】动点M 在平面ABC 上运动，且,AB AC不共线，则存在实数,x y ，使AM xAB y AC =+.即()()PM PA x PB PA y PC PA -=-+-，所以(1)PM x y PA xPB yPC =--++ .又PM PA PB mPC =--+，,,PA PB PC 不共面，由空间向量基本定理可知111x y x y m --=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故21m -=，解得3m =.即3PM PA PB PC =--+.因为四面体PABC 正四面体，且棱长为1.所以12PA PB PB PC PB PA ⋅=⋅=⋅= ，2221PA PB PC === .所以()()3PM AB PA PB PC PB PA⋅=-+-⋅- ()33PA PB PB PB PC PB PA PA PB PA PC PA=-⋅+⋅-⋅-⋅-⋅+⋅ ()221313PA PB PB PA=---+⋅-+ 0=.故选：C.7.已知事件,A B 满足()0.6,()0.1P A P B ==，则（）A.若A 与B 相互独立，则(0.06P AB =B.若A 与B 互斥，()0.06P AB =C.若()()1P B P C +=，则C 与B 相互对立D.若B A ⊆，则()0.6P A B ⋃=【答案】D 【解析】【分析】A 项，相互独立事件同时发生概率乘法公式可得；B 项，由互斥定义可知两事件不可能同时发生即可判断；C 项，不能判断,B C 是否互斥与对立；D 项，由A B A = 可得.【详解】选项A ，若A 与B 相互独立，则A 与B 相互独立，所以()()()()0.610.10.540.06P AB P A P B =⋅=⨯-=≠，故A 错误；选项B ，若A 与B 互斥，则,A B 不可能同时发生，即()0P AB =，故B 错误；选项C ，若()()1P B P C +=，则由于不确定C 与B 是否互斥，所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果，设事件C =“出现奇数点”；事件B =“出现点数不大于3”，则1()(),()()12P B P C P B P C ==+=，但事件,B C 并不互斥，也不对立，故C 错误；选项D ，若B A ⊆，则A B A = ，则()()0.6P A B P A == ，故D 正确.故选：D.8.设2()(8)sin f x x x ω=-，若存在a ∈R ，使()f x a +为偶函数，则ω可能的值为（）A.π4B.π8C.π16D.π32【答案】C 【解析】【分析】直接利用函数2y x =的奇偶性与三角函数的对称性质，结合两个偶函数的积函数的性质，选出满足题意的选项即可.【详解】由函数()()()28sin f x x x ω=-⋅，x ∈R .则()()()28sin f x a x a x a ω⎡⎤+=+-⋅+⎣⎦是偶函数，因为()28y x a =+-不可能是奇函数，由两函数解析式可知，若()28y x a =+-和()sin y x a ω⎡⎤=+⎣⎦都是偶函数，满足题意.要使()()()2228288y x a x a x a =+-=+-+-为偶函数，则80a -=，即8a =，当8a =时，()()28sin 8f x x x ωω+=+，函数2y x =为偶函数，要使()()28sin 8f x x x ωω+=+为偶函数，只需()sin(8)g x x ωω=+为偶函数即可.由()()g x g x -=恒成立，即sin(8)sin(8)x x ωωωω-+=+对任意x R ∈恒成立，882πx x k ωωωω-+=++（不合题意，舍去），或882ππx x k ωωωω-+++=+，k ∈Z .可得π8π2k ω=+，k ∈Z ，即21π16k ω+=，取0k =可得π16ω=，故C 正确，其余选项不存在k ∈Z ，使其成立.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．9.已知圆221:2O x y +=与圆222:4230O x y x y +-++=交于,M N 两点，则（）A.两圆半径相同B.两圆有3条公切线C.直线MN 的方程是4250x y -+=D.线段MN【答案】AD 【解析】【分析】由圆的方程得到圆心和半径，由此判断A 选项正确；由圆心距和半径的关系得到圆与圆的位置关系知道公切线条数，判断B 选项错误；两个方程作差即可得到交点弦的方程，判断C 错误；由垂径定理求得线段长，判断D 选项正确.【详解】1r =，22r ==，所以A 选择正确；()10,0O ，()22,1O -，∴12O O =<，两个圆相交，所以有2条公切线，B 选项错误；两个方程相减得4250x y --=，C 选项错误；垂径定理可得221225322244MN O O r ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴MN =D 选项正确；故选：AD.10.已知样本数据是两两不同的四个自然数1234,,,x x x x ，且样本的平均数为4，方差为5，则该样本数据中（）A.众数为4B.上四分位数为6C.中位数为4D.最小值为1【答案】BCD 【解析】【分析】我们可以根据这两个公式列出关于1234,,,x x x x 的方程，再结合数据是自然数以及各个选项的特点进行分析判断.【详解】已知样本数据1234,,,x x x x 的平均数为4，根据平均数公式12344x x x x x +++=，可得123416x x x x +++=.又已知方差为5，根据方差公式2222212341[(4)(4)(4)(4)]54s x x x x =-+-+-+-=，则22221234(4)(4)(4)(4)20x x x x -+-+-+-=.展开结合123416x x x x +++=，则2222123484x x x x +++=，则222222412344844x x x x x x <+++=<即2244844x x <<，则242184x <<.开方则4459,N x x ≤≤∈.不妨设1234x x x x <<<，则123409x x x x ≤<<<≤，（1）当49x =时，1237x x x ++=，2221233x x x ++=，显然无解.（2）当48x =时，1238x x x ++=，2222231233203x x x x x <++=<，则2320203x <<，开方则3334,N x x ≤≤∈.再讨论：令33,x =222121215,311,x x x x x x ++=<<=，显然无满足题意自然数解.令34,x =221121224,4,4x x x x x x +=<+<=，显然无满足题意自然数解.（3）当47x =时，1239x x x ++=，2222231233353x x x x x <++=<，则2335353x <<，开方则3345,N x x ≤≤∈.再讨论：令34,x =222121215,419,x x x x x x ++=<<=，显然无满足题意自然数解.令35,x =222121214,410,x x x x x x ++=<<=，显然121,3x x ==满足题意自然数解.（4）当46x =时，12310x x x ++=，2222231233483x x x x x <++=<，则231648x <<，开方则3356,N x x ≤≤∈.又346x x <=，则35,x =222121215,523,x x x x x x ++=<<=，显然无满足题意自然数解.（5）当45x =时，12311x x x ++=，2222231233593x x x x x <++=<，则2359593x <<，开方则3357,N x x ≤≤∈.又345x x <=，则显然无满足题意自然数解.综上所得，满足题意得自然数解只有：12341,3,5,7x x x x ====.分析各个选项.众数：众数是一组数据中出现次数最多的数，这里数据两两不同，没有众数，所以A 选项错误.上四分位数：40.753⨯=，即7562+=，所以上四分位数为6，B 选项正确.中位数：将数据从小到大排序为1,3,5,7，中位数为3542+=.C 选项正确最小值：最小值为1，D 选项正确.故选：BCD.11.数学家伯努利仿照椭圆的定义，找到了一种新的曲线：伯努利双纽线．他是这样定义双纽线的：设两个定点12(,0),(,0)(0)F a F a a ->，动点P 到12,F F 的距离之积为的点的轨迹．则下列说法正确的是（）A.双纽线有对称中心和对称轴B.双纽线的方程是()()2222222x y a x y +=-C.12PF PF +的最大值为2aD.12PF F 面积的最大值为22a 【答案】ABD 【解析】【分析】运用对称性验证即可；求曲线方程，需要根据距离公式建立等式；求12||||PF PF +的最大值以及12PF F 面积的最大值则可以根据基本不等式和根据已有的条件和相关数学知识进行分析推导.【详解】对于A ，因为1(,0)F a -，2(,0)F a 关于原点对称，设点(,)P x y 是双纽线上的点，那么点P 关于原点对称点(,)P x y '--到1F ，2F 的距离之积与P 到1F ，2F 的距离之积相同.关于x 轴，设(,)P x y 在双纽线上，点P 关于x 轴对称的点(,)P x y ''-到1F ，2F 的距离之积与P 到1F ，2F 的距离之积相同，所以双纽线有对称中心和对称轴，A 选项正确.对于B ，设(,)P x y ，1||PF =2||PF =因为212||||PF PF a =，所以2a =.展开可得22224(())(())x a y x a y a ++-+=.进一步展开2222224(2)(2)x ax a y x ax a y a +++-++=.令222m x y a =++，则4(2)(2)m ax m ax a +-=，即22244m a x a -=.将222m x y a =++代回得2222224()4x y a a x a ++-=.展开2222224224()2()4x y a x y a a x a ++++-=.整理得222222()2()x y a x y +=-，B 选项正确.对于C ，由均值不等式12PF PF +≥.已知212||||PF PF a =，所以122PF PF a +≥，当且仅当12||||PF PF =时取等号，12PF PF +的最小值为2a ，C 选项错误.对于D ，设12F PF θ∠=，根据三角形面积公式121||||sin 2S PF PF θ=.因为212||||PF PF a =，所以21sin 2S a θ=.因为sin θ最大值为1，所以S 的最大值为212a ，D 选项正确.故选；ACD.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知点F 为抛物线2y x =的焦点，则点F 坐标为______．【答案】1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据抛物线方程和焦点坐标公式计算.【详解】已知点F 为抛物线2y x =的焦点，则焦点在x 轴上，则124p =,由抛物线焦点坐标公式知道点F 坐标为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：1,04⎛⎫⎪⎝⎭.13.若关于x 的方程20x m +-=有解，则m 的取值范围是______．【答案】⎡-⎣【解析】【分析】利用三角换元转化为函数值域问题求解可得【详解】令2sin ,x θ=2,ππ2θ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则cos 0θ≥，2cos θ==，即2sin 2cos 2m θθ+=.方程20x m =有解，可转化为sin cos m θθ=+，即关于θ的方程π4m θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2,ππ2θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解.设π()4f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2,ππ2θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则,ππ3π444θ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦，则当ππ42θ+=即π4θ=时，()f θ取最大值，max π()2f θ==；当π4π4θ+=-即π2θ=-时，()f θ取最小值，min π()14f θ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；则()f θ的值域为⎡-⎣，要使()m f θ=有解，则m 的取值范围是⎡-⎣.故答案为：⎡-⎣.14.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1A BD 内一点，且AP =，则1BP C P +的最小值为______．【答案】3+【解析】【分析】连接1AC 与平面1A BD 交于点O ，可得1AC ⊥平面1,3A BD AO =，从而可得点P 在圆上，结合圆的性质可得BP 的最小值，以及1C P 的值，即可得结果.【详解】如图，连接1AC 与平面1A BD 交于点O ，因为ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，又因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1AA BD ⊥，且1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ，则BD ⊥平面11ACC A ，由1AC ⊂平面11ACC A ，则1BD AC ⊥，同理可得：11A B AC ⊥，且1BD A B B = ，1,BD A B ⊂平面1A BD ，所以1AC ⊥平面1A BD ，因为11A A BD A ABD V V --=，且1A BD 为边长为即111122232322AO ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得3AO =，又因为AP =3OP ==，且1A BD 的内切圆半径63r =，外接圆半径263R =，即333<<，可知点P 在以O 为圆心，半径为3的圆上（且在1A BD 内），当且仅当点P 在线段OB 上时，BP 取到最小值333=-，又因为113C O AC AO =-=，可得1C P =，所以1BP C P +26153+.26153+.【点睛】关键点点睛：本题的关键是求得3OP =，分析可知点P 在以O 为圆心，半径为3的圆上（且在1A BD 内），结合圆的性质分析求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知直线:10l x y +-=．（1）若直线()()21:21232l m x m y m ++-=+与直线l 平行，求m 的值；（2）若圆22:4450C x y x y ++++=关于直线l 的对称图形为曲线Γ，直线2l 过点()2,2P ，求曲线Γ截直线2l 所得的弦长的最小值．【答案】（1）3m =（2）2【解析】【分析】（1）根据两直线平行可得出关于实数m 的等式与不等式，即可解得实数m 的值；（2）求出圆T 的标准方程，分析可知，当2TP l ⊥时，圆心T 到直线2l 的距离最大，此时，圆T 截直线2l 的弦长最短，利用勾股定理可求得弦长的最小值.【小问1详解】因为直线()()21:21232l m x m y m ++-=+与直线:10l x y +-=平行，则()232212111m m m -++-=≠-，解得3m =.【小问2详解】圆()()22:223C x y +++=关于直线l 的对称图形为曲线Γ是圆T ，圆C 的圆心为()2,2C --，半径为，设圆心(),T a b ，直线l 的斜率为1-，由题意可得()2112221022b a a b +⎧⋅-=-⎪⎪+⎨--⎪+-=⎪⎩，解得3a b ==，所以，圆T 的标准方程为()()22333x y -+-=，因为()()2223233-+-<，所以，点()2,2P 在圆T 内，当2TP l ⊥时，圆心T 到直线2l 的距离取最大值，且TP ==所以，圆T 截直线2l的弦长的最小值为2==.16.在平面四边形ABCD 中，120,2B AB ∠=︒=，点E 在BC 上且满足AB BE AC EC=，且3AE =（1）求BAE ∠；（2）若60ADC ∠=︒，求四边形ABCD 周长的最大值【答案】（1）π12；（2）226【解析】【分析】（1）在ABE 中，由正弦定理，sin sin AE AB B BEA =∠，求解得BEA ∠和BAE ∠.（2）由（1）结合已知求得2BC AB ==令AD m =，CD n =，由余弦定理及基本不等式可求出AD CD +的最大值，即可求出四边形ABCD 周长的最大值.【小问1详解】在ABE 中，由正弦定理得：sin 22sin 23AB B AEB AE ∠==，又AEB B ∠<∠，则45AEB ∠=︒，于是1801204515BAE ∠=︒-︒-︒=︒．【小问2详解】依题意，1sin sin 21sin sin 2ABE CBE AB AE BAE S AB BE AB BAE AC EC S AC CAE AC AE CAE ⋅∠∠====∠⋅∠ ，则sin sin BAE CAE ∠=∠，有15B CAE AE ∠=︒∠=，30,30BAC ACB ︒︒∠=∠=，则2BC AB ==，在ABC 中，221(2)(2)222()62AC =+-⋅⋅-，令,AD m CD n ==，在ACD 中，由余弦定理得22262cos 60()3m n mn m n mn =+-=+-︒，于是22()6363()2m n m n mn ++=+≤+，解得26m n +≤，当且仅当6m n ==时取等号，所以四边形ABCD 周长的最大值为2226+.17.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形，4π//,AD BC BAD ∠=，224,.AD BC PB AP CD ===⊥（1）求证：CD ⊥平面APB ；（2）若四棱锥P ABCD -的体积为2，求二面角D PC B --的平面角的余弦值【答案】（1）证明见解析（2）33-【解析】【分析】（1）过点B 作//BH CD ，根据角度关系证明AB CD ⊥，结合AP CD ⊥可证明CD ⊥平面APB ；（2）方法一：根据四棱锥的体积先计算出四棱锥的高，然后建立空间直角坐标系分别求解出平面PCD 和平面PBC 的法向量，根据法向量夹角的余弦值求解出二面角的平面角的余弦值；方法二：通过三垂线作法先找到二面角的平面角，然后结合线段长度求解出二面角的平面角的余弦值.【小问1详解】过点B 作//BH CD 交AD 于H 点，如下图所示，四边形ABCD 为等腰梯形，π4BAD ∠=，∴π4BHA ADC BAD ∠=∠=∠=，所以π2ABH ∠=，即AB BH ⊥，即AB CD ⊥，又,,,AP CD AP AB A AP AB ⊥=⊂∩平面PAB ，CD \^平面PAB .【小问2详解】方法一：设四棱锥的高为h ，12,3P ABCD ABCDV S h -=⋅=梯形//,//AD BC BH CD ，∴四边形BCDH 为平行四边形，2,AH AD BC ∴=-=222,AH AB BH BH AB =+=，AB BH ∴==()()πsin 2442322ABCD CB AD AB S +⨯+=== 梯形，2,h ∴=又2,PB PB =∴⊥平面ABCD ；如图，以B 为原点，以,,BH BA BP 方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系B xyz -，ππ2sin ,2sin ,044C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，)C ∴，BH CD =，()D ∴，且()()0,0,0,0,0,2,BP)())2,,PC DC BC ∴=-==- ，设平面PCD 的法向量为 =s s，则200PC m z DC m ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1z =-，则0,x y ==∴()1m =- ，设面PBC 法向量为 =s s，则200PC n c BC n ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1a =，则1,0b c ==，∴得()1,1,0n =，由题意，cos ,3m n m n m n ⋅=== ，设二面角D PC B --夹角为,θθ是钝角，则cos 3θ=-．方法二：设四棱锥的高为h ，123P ABCD ABCDV s h -=⋅=梯形，()()πsin 2442322ABCD CB AD AB S ++===梯形，2,h ∴=又2,PB PB =∴⊥平面ABCD ；又PB ⊂平面,PBC ∴平面PBC ⊥平面ABCD ，过D 作DF BC ⊥交BC 延长线于F ，平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，DF ⊂平面ABCD ，∴DF ⊥平面PBC ，PC ⊂ 平面PBC ，,DF PC ∴⊥过F 作PC 的垂线，垂足为E ，连DE ，由于,,,,EF PC DF PC EF DF F EF DF ⊥⊥=⊂ 平面DEF ，∴PC ⊥平面,DEF DE ⊂ 平面DEF ，PC DE ∴⊥，则DEF ∠为所求二面角的平面角的补角．//,//AD BC BH CD ，∴四边形BCDH 为平行四边形，π2sin 4BH CD AB ∴====，2,PB BC == ，π4BCP ∴∠=，AD //BC ，π4ADC DCF ∴∠=∠=，2sin 1,1,s ,πin 4π42DF CD CF DF EF CF ∴======DF ⊥Q 平面PBC ，EF ⊂平面PBC ，DF EF ∴⊥，2DE ∴==，32cos ,362DEF D E E F ∴∠===设二面角D PC B --的平面角为,θ则cos cos 3DEF θ=-∠=-．18.椭圆22:143x y C +=，动直线l 与椭圆C 相切于点P ，且点P 在第一象限．（1）若直线l 的斜率为1-．求点P 的坐标；（2）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，垂足为Q ，求OPQ △面积的最大值．【答案】（1）4737,77P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭（2）14【解析】【分析】（1）设直线l ：y x b =-+，与椭圆方程联立，根据直线与椭圆相切，所以方程组只有一解，可求b 的值，进而可得切点坐标.（2）设直线l ：y kx m =+，根据直线与椭圆相切，可得,k m 的关系；再根据直线l OQ ⊥，得到直线OQ 的方程，联立直线l 的方程，可得Q 点坐标，表示出OPQ △的面积，结合基本（均值）不等式求最大值.【小问1详解】设直线l ：y x b =-+，代入椭圆22:143x y C +=，得：22784120x bx b -+-=动直线l 与椭圆C 相切于点()2,Δ163210,P b b ∴=-+==．又因为点P在第一象限，b ∴=方程27160x -+=的解为477x =，得4737,.77P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【小问2详解】如图：设直线:(0,0)l y kx m k m =+<>交x 轴于,0,m A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为直线1l 与l 垂直，11:l y x k ∴=-．联立1l 与l ，得22,.11km m Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭将:(0,0)l y kx m k m =+<>代入椭圆22:143x y C +=得()2223484120,k x kmx m +++-=动直线l 与椭圆C 相切于点()()2222,Δ644344120,P k m k m ∴=-+-=得2243,k m +=3,P m m ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭即43,k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2211311,22142112OPQ Q P k m m S OA y y k k m k k k =⋅-=⨯⋅-==≤+⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭ 当且仅当1||||k k =，即1k =-时取等号．OPQ △面积的最大值为14．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中有关最值的问题，通常解法有：（1）转化成二次函数的最值问题解决；（2）有时候要经过换元，转化成利用基本（均值）不等式求最值；（3）采用三角换元，利用三角函数的性质求值域；（4）少数题目利用求导，分析函数的单调性求最值.19.曼哈顿距离是一个充满神秘与奥秘的距离，常用于需要按照网格布局移动的场景，例如无人驾驶出租车行驶、物流配送等．在算法设计中，曼哈顿距离也常用于图像处理和路径规划等问题．曼哈顿距离用于标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和．例如在平面直角坐标系内有两个点()()1122,,,,A x y B x y 它们之间的曼哈顿距离1212(,).D A B x x y y =-+-（1）已知点(2,1),(3,3)A B -，求(,)D A B 的值；（2）已知平面直角坐标系内一定点(2,1)A ，动点P 满足(,)2D A P =，求动点P 围成的图形的面积：（3）已知空间直角坐标系内一定点(2,1,3)A ，动点P 满足(,)(0)D A P m m =>，若动点P 围成的几何体的体积是，求m 的值．【答案】（1）5（2）8（3）【解析】【分析】（1）根据定义计算即可；（2）设(,),(,)|2||1|2(04,13)P x y D A P x y x y ∴=-+-=≤≤-≤≤，分类讨论，去绝对值即可得到正方形，后求面积；（3）动点P 的正三角形，根据公式得到体积，求m ．【小问1详解】(,)|23||13|5D A B =-++=．【小问2详解】设(,),(,)|2||1|2(04,13)P x y D A P x y x y ∴=-+-=≤≤-≤≤，当24,13x y ≤≤≤≤时，5x y +=；当24,11x y ≤≤-≤<时，3x y -=；当02,13x y ≤≤≤≤时，1x y -=-；当02,11x y ≤≤-≤<时，1x y +=．所以动点P 围成的图形是正方形，边长为，面积为8．【小问3详解】动点P 的正三角形，其体积为3186V m m =⨯==．证明如下：不妨将A 平移到(0,0,0)A '，处，设(,,)P x y z ，若()(),0D A P m m '=>，则||||||x y z m ++=，当,,0x y z ≥时，即()0,,x y z m x y z m ++=≤≤，设123(,0,0),(0,,0),(0,0,)M m M m M m ，由112233OP OM OM OM λλλ=++ ，得1231λλλ++=所以123,,,P M M M 四点共面，所以当,,0x y z ≥时，P 的等边三角形123M M M 内部（含边界），同理可知等边三角形内部任意一点(),,Q x y z '''，均满足()0,,x y z m x y z m '''++=≤≤．所以满足方程()0,,x y z m x y z m ++=≤≤的点P ，的等边三角形内部（含边界）、由对称性可知，P 的等边三角形．故该几何体体积3186V m m =⨯==。
江苏镇江市“五校联考”2025届高三上学期10月数学试卷(解析版)
江苏省镇江市“五校联考”2025届高三10月数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3A =，{}1ln(1)2B x x =<+<，则A B = （ ）A. {}3B. {}1,2C. {}2,3D. {}1,2,3【答案】C 【解析】【分析】由对数函数的性质求出集合B ，再集合交集的概念求解可得答案.【详解】由题意得{}2e 1e 1Bx x =−<<−，又因为e 2.7≈，所以24e9<<，所以{}2,3A B ∩=， 故选：C.2. 将函数()sin f x x =图象先向左平移π4个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到函数()y g x =的图象，则π2g=（ ）A. B. 1C.D. －1【答案】A 【解析】【分析】根据题意，先求出yy =gg (xx )的表达式，再求π2g的值. 【详解】函数()sin f x x =的图象先向左平移π4个单位得到πsin()4y x =+， 将πsin()4y x =+图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到函数()πsin(2)4g x x =+，所以ππππsin(2+)sin 2244g=×=−， 故选：A.的3. 已知函数()2121xf x =−+，则对任意实数x ，有（ ） A. ()()0f x f x −+=B. ()()0f x f x −−=C. ()()2f x f x −+=D. ()()2f x f x −−=【答案】A 【解析】【分析】计算()f x −后与()f x 比较可得．【详解】()22112121x x x f x −=−=++，则2112()()2112x xx x f x f x −−−−−===−++，即()()0f x f x ， 故选：A ．4. “11a −<<”是“函数()()2lg 21f x x ax =−+的值域为R ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】若函数()()2lg 21f x x ax =−+的值域为R ，则函数221=−+y x ax 与x 轴有交点，列出不等式求解出a 的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解．【详解】若函数()()2lg 21f x x ax =−+的值域为R ，则函数221=−+y x ax 与x 轴有交点，所以()2240a −≥，则1a ≤−或1a ≥，“11a −<<”是1a ≤−或1a ≥的既不充分也不必要条件， 故选：D ．5. 已知α，β都是锐角，1cos 7α=，()11cos 14αβ+=−，求cos β=（ ） A.12B.3998 C.5998D.7198【答案】A 【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系可求得sin α，()sin αβ+，再利用两角差的余弦公式可得结果.【详解】由1cos 7α=，()11cos 14αβ+=−以及α，β都是锐角可得sin α=，()sin αβ+；所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+−=+++111491147982=−×+==. 故选：A6. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（ ）()3.14π≈A. 1895秒B. 1896秒C. 1985秒D. 2528秒【答案】C 【解析】【分析】由圆锥的体积公式计算细沙体积和沙堆体积，根据细沙体积不变即可求解． 【详解】沙漏中的细沙对应的圆锥底面半径为284=33×，高为163， 所以细沙体积为()2318161024cm 33381ππ ×××=所以该沙漏的一个沙时为10248119850.02π≈秒， 故选：C7. 在,,A B C 三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5:7:8，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（ ） A. 0.515B. 0.05C. 0.0495D. 0.0485【答案】D 【解析】【分析】考虑患流感的这个人可能来至于哪个地区，结合互斥事件的概率计算可得答案.【详解】由题意得，从这三个地区中任意选取一人，则这个人可能来至于三个地区中患流感的人当中，故这个人患流感概率为5786%5%4%0.0485578578578P =×+×+×=++++++，故选：D8. 已知()2cos f x x x =−−，若34e a f − =，4ln 5b f = ，14c f=− ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. c a b <<C. b c a <<D. a c b <<【答案】D 【解析】【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到5ln4b f=，14c f = ，通过指数函数单调性得31411e e e 4−−>=>，再根据幂函数性质证明出145e 4>，同取对数得到15ln 44>，则有3415e ln 44−>>，再利用()f x 单调性即可得到大小关系. 【详解】因为2()cos ,R f x x x x =−−∈，定义域关于原点对称，()22()()cos()cos f x x x x x f x −=−−−−=−−=，所以()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时,()2sin ,f x x x ′=−+，设()2sin g x x x =−+， 则()2cos g x x ′=−+，1cos 1x −≤≤ ，()0g x ′∴<， 所以()g x 即()f x ′在[0,)+∞上单调递减,所以()(0)0f x f ′′≤=, 所以()f x 在[0,)+∞上单调递减,又因为()f x 为偶函数, 所以()f x 在(,0]−∞上单调递增，的又因为41ln0,054<−<,445ln ln ln 554b f f f==−=, 1144c f f=−=又因为31411ee e 4−−>=>,因为141ln e 4=,41445e e, 2.4e 4 =≈<，所以145e 4>, 所以145ln e ln4>，即15ln 44>,所以3415eln 44−>>, 所以3441e 5ln 4f f f −<<,即a c b <<. 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对,,a b c 进行一定的变形得5ln 4b f = ，14c f =,然后就是比较3415,,ln 44e −的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 一组数据：x 1，x 2，…，x 10是公差为－2的等差数列，去掉首末两项x 1，x 10后得到一组新数据，则（ ） A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的平均数相同 D. 两组数据的标准差相同【答案】BC 【解析】【分析】根据平均数的概念结合等差数列的性质判断C ，由中位数的概念可判断B ，由方差及等差数列的通项公式计算即可判断D ，根据极差及等差数列的通项公式可判断A ．【详解】对于C ，原数据的平均数为1210511()5(1010x x x x x =+++=×+ 6561)()2x x x =+， 去掉1x ，10x 后平均数为2395656111()4()()882x x x x x x x x x ′=+++=×+=+=，则C 正确； 对于B ，原数据的中位数为561()2x x +，去掉1x ，10x 后的中位数仍为561()2x x +，即中位数没变，则B 正确；对于A ，原数据的极差为110918x x d −=−=， 去掉1x ，10x 后的极差为29714x x d −=−=，即极差变小，则A 错误； 对于D ，设公差为d ，则原数据的方差为222215625610561111()()()10222s x x x x x x x x x=−++−+++−+2221975()()()10222[d d d =−+−+−222311()()()222d d d +−+−++22223579()()()()3322]22d d d d +++=， 去掉1x ，10x 后的方差为22222563569561111()()()8222s x x x x x x x x x′=−++−+++−+22222222175311357()()()()()()()()2182222222[]2d d d d d d d d =−+−+−+−++++=， 即方差变小．标准差也变小，则D 错误. 故选：BC10. 已知函数π()sin 33f x x=+，下列说法正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π3B. 点π,06为()f x 图象的一个对称中心 C. 若()(R)f x a a =∈在ππ,189x∈−1a ≤< D. 若()f x 的导函数为()f x ′，则函数()()y f x f x =+′【答案】ACD 【解析】的【分析】对于A ，直接由周期公式即可判断；对于B ，直接代入检验即可；对于C ，画出图形，通过数形结合即可判断；对于D ，求得后结合辅助角公式即可得解. 【详解】由题意可得2π3T =，故A 正确； π5π1sin 0662f==≠ ，所以π,06不是()f x 图象的一个对称中心，故B 错误；令π33t x =+，由ππ189x −≤≤得π2π63t ≤≤， 根据题意可转化为直线y a =与曲线π()sin 33f x x=+，ππ,189x∈−有两个交点，1a ≤<，故C 正确； 设ff ′(xx )为()f x 的导函数，则()()πππsin 33cos 33333f x f x x x x ϕ+=+++=++≤′，其中tan 3ϕ=，当且仅当ππ32π,Z 32x k k ϕ++=+∈，即当且仅当π2π,Z 3183k x k ϕ=−++∈时等号成立，故D 正确， 故选：ACD ．11. 在正方体1111ABCD A B C D −中，1AB =，点P 满足1CP CD CC λµ=+，其中[][]0,1,0,1λµ∈∈，则下列结论正确的是（ ）A. 当1//B P 平面1A BD 时，1B P 不可能垂直1CDB. 若1B P 与平面11CC D D 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π2C. 当1λ=时，正方体经过点1A 、P 、C 的截面面积的取值范围为]D. 当λµ=时，1||||DP A P +【答案】BD 【解析】【分析】对A ，作出如图空间直角坐标系A xyz −，由向量法结合向量垂直判断即可；对B ，由几何关系得出1B P 与平面11CC D D 所成线面角11B PC ∠，可得11C P =，则点P 的轨迹是以1C 为圆心，以1为半径的14个圆； 对C ，由1λ=得点P 在1D D 上，利用几何关系可得1PAC △的面积最值在端点及中点位置；对D ，将平面1CDD 与平面11A BCD 沿1CD 展成平面图形，线段1A D 即为1||||DP A P +的最小值，利用余弦定理即可求.【详解】对A ，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz −，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,1,0D ，()1,1,0C ，()10,0,1A ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，所以()11,0,1CD =− ，11B PB C CP =+ 11B C CD CC λµ=++ (),1,1λµ=−−， 则()11,0,1BA − ，()1,1,0BD =−，设平面1A BD 的一个法向量为(),,n x y z =，所以100BA n x z BD n x y ⋅=−+= ⋅=−+= ，令1x =，则1y z ==，即平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1n = ，若1//B P 平面1A BD ，则10n B P ⋅=，即λµ=，由1110B P CD λµ⋅=+−= ，则12λμ==，即P 为1CD 中点时，有1//B P 平面1A BD ，且11B P CD ⊥，A 错；对B ，因为11B C ⊥平面11CC D D ，连接1C P ，则11B PC ∠即为1B P 与平面11CC D D 所成角，若1B P 与平面11CC D D 所成角为π4，则11111tan 1B C B PC C P ∠==，所以1111C P B C ==， 即点P 的轨迹是以1C 为圆心，以1为半径的14个圆，于是点P 的轨迹长度为π2，B 对； 对C ，因为1λ=，所以点P 一定在1D D 上，又因为当0µ=或1时，1PAC △的面积取最大值，此时截，设1D D 的中点为H ，由图形的变化可得当点P 在DH 和1D H 运动时，所得截面对称相同，于是当12µ=时，1PAC △，C 错； 对D ，如图，将平面1CDD 与平面11A BCD 沿1CD 展成平面图形，线段1A D 即为1||||DP A P +的最小值，利用余弦定理可知22211111113π2cos 24A D A D DD A D DD =+−⋅+所以1A D =，D 对.故选：BD【点睛】（1）容易建系的几何体一般可通过建系快速解决长度、角度等问题. 本题A 中，通过线面平行得线与该面的法向量垂直，即可得参数间的关系，即可进一步讨论线线垂直的问题；（2）B 中轨迹问题，关键结合正方体的线面垂直性质得出线面角，即可得出所求轨迹为圆弧；（3）C 中截面问题，关键结合正方体的对称性，转化为三角形面积的和，再进一步转换成讨论高的范围问题；（4）D 中求不同表面线段和问题，一般展开成平面讨论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设,A B 是一个随机试验中的两个事件，若()()()312,,533P B P A B P A B === ∣，则()P A =______． 【答案】415【解析】【分析】运用条件概率和并事件的概率公式即可解决.【详解】()()1()3P AB P A B P B ==∣，将()35P B =代入可以求得1()5P AB =， ()()()()23P A B P A P B P AB ∪=+−=，将()35P B =，1()5P AB =代入，求得()415P A = 故答案为：415. 13. 高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：][2.13,3.13 −=−= ，若函数)2521x xf x +=+，则函数()y f x = 的值域为___________. 【答案】{}1,2,3,4 【解析】【分析】分离常数，求出函数()2521x x f x +=+的值域，再根据高斯函数的定义即可得出答案.【详解】解：()25411,20,121,01212121x x x x x x f x +==+>∴+><<+++ ，则411521x<+<+，即()15f x <<， 当()12f x <<时，()1f x =； 当()23f x ≤<时，()2f x = ；当()34f x ≤<时，()3f x = ； 当()45f x ≤<时，()4f x = ， 综上，函数()y f x = 的值域为{}1,2,3,4. 故答案为：{}1,2,3,4.14. 已知函数()32f x x x =+，若0m >，0n >，且()()()210f m f n f +−=，则12m n+的最小值是______ 【答案】8 【解析】【分析】由函数奇偶性的定义可知()f x 为奇函数，根据单调性可知21m n +=，然后结合基本不等式即可求解.【详解】函数()f x 的定义域为R ，且()()()32f x x x f x −=−−=−， 所以()f x 为奇函数，又()2320f x x +′=>，所以函数单调递增， 又()00f =，所以()()210f m f n +−=， 所以210m n +−=，即21m n +=，所以()121242448n m m n m n m n m n +=++=++≥+= ， 当且仅当4n m m n=，即12n =，14m =，等号成立，所以12m n+的最小值为8.故答案为：8.四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 设三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且()2sin 2AB C +． （1）求角A 的大小；（2）若3b =，BC ，求三角形ABC 的周长． 【答案】（1）π3A =（2）5+【解析】【分析】（1）利用内角和为180°化简()sin sin B C A +=，利用二倍角公式化简21cos sin 22A A −=，再利用辅助角公式化简即可求得π3A =； （2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可. 【小问1详解】因为A ，B ，C 为ABC 内角，所以()sin sin B C A +=， 因为21cos sin22A A−=，所以()2sin 2A B C +可化为：)sin 1cos A A =−，即sin A A +πsin 3A+， 因为ππ4π,333A +∈ ，解得：π2π+33A =，即π3A =．【小问2详解】 由三角形面积公式得11sin 22b c A ⋅=，3b =代入得：1π13sin 232c ×⋅=，所以a =，由余弦定理222272cos 4a b c bc A c =+−=得：24120c c −=+， 解得：2c =或6c =−舍去，即a =所以ABC的周长为516. 如图，一个质点在随机外力作用下，从原点O 处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位.（1）求质点移动5次后移动到1的位置的概率；（2）设移动5次中向右移动的次数为X ，求X 的分布列和期望. 【答案】（1）516（2）分布列见解析；52【解析】【分析】（1）根据题意，质点向左或向右移动的概率均为12，且是等可能的，要使得质点移动5次后移动的到1的位置，只需质点向右移动3次，向左移动2次，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，得到随机变量X 可能取值为0,1,2,3,4,5，结合独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】由题意，从原点O 处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位， 可得质点向左或向右移动的概率均为12，且是等可能的， 要使得质点移动5次后移动到1的位置，则质点向右移动3次，向左移动2次，所以概率为332511105C ()()223216P ===. 【小问2详解】由题意知，质点向左或向右移动的概率均为12，且是等可能的， 移动5次中向右移动的次数为X ，可得随机变量X 可能取值为0,1,2,3,4,5，可得0055111(0)C ()()2232P X ===，()14151151C 2232P X === ， 22351110(2)C ()()2232P X ===，33251110(3)C ()()2232P X ===， 4415115(4)C ()()2232P X ===，5505111(5)C ()()2232P X ===， 所以变量X 的分布列为则期望为()1510105150123453232323232322E X =×+×+×+×+×+×=. 17. 设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈. （1）求函数22yf x π+的最小正周期；（2）求函数()4yf x f x π−在0,2π 上的最大值.【答案】（1）π；（2）1+. 【解析】【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得1sin 2y x =−，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得sin 24y x π=−+，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x π=++，则2223332sin 1cos 21sin 22442y f x x x x x ππππ=++=+=−+=−， 所以该函数的最小正周期22T ππ==;（2）由题意，()2sin sin 444y f x f x x x x x πππ=−=+=+22sin cos x x x x x x =⋅+1cos 2222sin 224x x x x x π−=+=−=−+， 由0,2x π∈可得32,444x πππ −∈− ，所以当242x ππ−=即38x π=时，函数取最大值118. 如图，直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB BC ⊥，60DAB ∠=°，4AB AD ==，等腰直角三角形ADE 中，AE DE =，且平面ADE ⊥平面ABC ，平面ABE 与平面CDE 交于EF .（1）求证：CD EF ∥；（2）若CD EF =，求二面角A BC F −−的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由已知利用线面平行的判定定理得CD ∥平面ABFE ，进而由线面平行的性质定理即可证明结论；（2）取AD 中点O ，连接OE ，OB ，DB ，由等边三角形的性质得OB AD ⊥，又由面面垂直的性质定理可得OE ⊥平面ABCD ，可得,,OA OB OE 三线两两垂直，建立以O 为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案. 【小问1详解】因为AB CD ∥，AB ⊂平面ABFE ，CD ⊄平面ABFE ，所以CD ∥平面ABFE ， 又因为平面ABE 与平面CDE 交于EF ，CD ⊂平面CDE ，所以CD EF ∥； 【小问2详解】取AD 中点O ，连接OE ，OB ，DB ，因为60DAB ∠=°，4AB AD ==， 所以ABD △是等边三角形，由三线合一得：OB AD ⊥， 又因为ADE 是等腰直角三角形，所以OE AD ⊥， 因为平面ADE ⊥平面ABC ，平面ADE 平面ABCAD =，OE ⊂平面ADE ，所以OE ⊥平面ABCD ，又OB ⊂平面ABCD ，所以OE OB ⊥， 故,,OA OB OE 三线两两垂直，如图以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OE 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,0,,,2,0,0,0,0,2A B C D E −−， 因为CD EF =且由（1）知CD EF ∥，所以四边形CDEF为平行四边形，可得()2F −，所以()()3,,2,0,2BC CF =−= ，设平面BCF 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1130220n BC x n CF x z ⋅=−=⋅=+=，取1x =，则()11,1n =− ，又平面ABC 的一个法向量可取()20,0,1n =，所以121212cos ,n n n n n n ⋅===， 设二面角A BC F −−的大小为θ，由题意θ为锐角，所以12cos cos ,n n θ==所以二面角A BC F −−19. 已知函数()1ln f x x a x x=−−. （1）若不等式()0f x ≥在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：()()()22211ln 21ni n n i i n n =+− > +∑. 【答案】（1）(],2−∞ （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）求导，结合导函数特征，分2a ≤与2a >两种情况，结合()10f =，得到实数a 的取值范围； （2）在第一问的基础上，取2a =，得到12ln 0x x x−−>在()0,x ∈+∞上恒成立，令2x n =≥，则2112ln n n n n n−<−=()()()2211111n n n n n n >=−−+−，再用裂项相消法求和，不等式得证.【小问1详解】()1ln f x x a x x=−−，()1,x ∈+∞，R a ∈，()10f =， ()22111a x ax f x x x x−+′=+−=， 2a ≤时，()22212110x ax x x x −+≥−+−≥，∴()0f x ′≥，函数()f x 在()1,x ∈+∞上单调递增，∴()()10f x f >=恒成立，满足条件. 2a >时，对于方程210x ax −+=，其240a ∆=−>，方程有两个不相等的实数根12,x x ， 122x x a +=> ，121x x =，120x x x ∴<<<，当()21,x x ∈时，()0f x ′<，此时函数()f x 单调递减，()21,x x ∀∈，则()()10f x f <=，不满足条件，舍去. 综上可得：实数a 取值范围是(],2−∞. 【小问2详解】证明：由（1）可知：取2a =时，函数()f x 在()0,x ∈+∞上单调递增， ∴12ln 0x x x−−>在()0,x ∈+∞上恒成立， 令2x n =≥，则2112ln n n n n n−<−=，∴()()()221211ln 111n n n n n n n n >=−−+−， ∴()()()()()()2221111111111ln 26612112121ni n n i i n n n n n n n n =+− >−+−++−=−= −+++∑ ， ∴()()()22211ln 21ni n n i i n n =+− >+∑. 【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数n 的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.的。
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罗江县2014年春期九年级诊断性考试 数 学 试 卷
（满分120分，考试时间120分钟，命题人：魏刚）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在 答题纸的相应位置上．】 1. -2的相反数是
A. 2
B.12
- C. 2- D.21
2.某校七年级有5名同学参加射击比赛，成绩分别为7，8，9，10，8（单位：环）。
则这
5名同学成绩的众数是
A.7
B.8
C. 9
D. 10 3．下列各式计算正确的是
A.72
9
()a a = B.7214a a a ⋅= C.235
235a a a += D.3
33
()ab a b =
4不等式5215+>-x x 的解集在数轴上表示正确的是
5.第六次全国人口普查数据显示：泸州市常住人口大约有4220000人，这个数用科学记数法表示正确的是
A.5
4.2210⨯ B. 5
42.210⨯ C. 6
4.2210⨯ D. 7
4.2210⨯
6.四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是
A.AB//DC,AD//BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AB//DC,AD=BC 7.函数1
x y -=
x 取值范围是 A.1x ≥且3x ≠ B.1x ≥ C.3x ≠ D. 1x >且3x ≠
8.若关于x 的一元二次方程2
210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是
O 第6题图
D
C
A.1k >-
B.1k <且0k ≠
C. 1k ≥-且0k ≠
D. 1k >-且0k ≠ 9.已知O e 的直径CD=10cm,AB 是o e 的弦，AB CD ⊥，垂足为M,且AB=8cm,则AC 的长为
A.cm
B. cm
C. cm
或cm
D. cm
或
cm
10.设12,x x 是方程2
330x x +-=的两个实数根，则
21
12
x x x x +的值为 A.5 B.-5 C.1 D.-1
11.如图，点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，把ADE ∆沿AE 对折，点D 的对称点F 恰好
落在BC
一，已知折痕AE =cm ，且3
tan 4
EFC ∠=
，那么该矩形的周长为 A.72cm B. 36cm C. 20cm D. 16cm
12.如图，在等腰直角ABC ∆中，90ACB O
∠=，O 是斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直
角边AC 、BC 上，且90DOE O
∠=，DE 交OC 于点P.则下列结论： （1）图形中全等的三角形只有两对；
（2）ABC ∆的面积等于四边形CDOE 面积的2倍； （3
）CD CE +=
；
（4）2
2
2AD BE OP OC +=⋅.其中正确的结论有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13.分解因式：2
4x y y -= .
14.在一只不透明的口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n 个。
这些球除颜色不同外，
其它无任何差别，搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为1
3
，则放入口袋中的黄球总数n= .
15.如图，从半径为9cm 的圆形纸片上剪去
1
3
圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 cm .
16. .已知210k k <<,则是函数11-=x k y 和x
k
y 2=的图象大致是（
三、解答题（共72分）
17． （1011
1()2
π--+ （4分） ．
（2）先化简：2
223(1)11
a a a a --÷---，再求值，其中a =（5分） 18． 解方程：
23112
x x x x -=-+-（5分）
第11题图
第12题图
19．某校开展以感恩教育为主题的艺术活动，举办了四个项目的比赛。
它们分别是演讲、唱歌、书法、绘画。
要求每位同学必须参加，且限报一项活动。
以以九年级（1）班为样本进行统计，并将统计结果绘成如下两幅统计图。
请你结合下图所给出的信息解答下列问题：
（1）求出参加绘画比赛的学生人数占全班总人数的百分比？
（2）求出扇形统计图中参加书法比赛的学生所在扇形圆心角的度数？
（3）若该校九年级学生有600人，请你估计这次艺术活动中，参加演讲和唱歌的学生各有多少人？（共6分）
20．如图， 在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90° （1）画出旋转之后的△''C AB （3分）
（2）求线段AC 旋转过程中扫过的扇形的面积（5分）
21如图，一次函数11y x =+的图像与反比例函数2k y x
=
（k 为常数，且0≠k ）的图像都经过点)2,(m A （共8分）
（1）求点A 的坐标及反比例函数的表达式； （2）结合图像直接比较：当0>x 时，1y 和2y 的大小.
22如图，点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，连接DP 并延长DP 交边AB 于点E ，连接BP 并延长BP 交边AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ．
(1)求证：△APB ≌△APD ；（4分）
(2)已知DF ：FA ＝1：2，设线段DP 的长为x ，线段PF 的长为y ．（6分） ①求y 与x 的函数关系式； ②当x ＝6时，求线段FG 的长．
G D C
P A E B
23.如图,AB 为⊙O 的直径,AC 、DC 为弦,∠ACD =60°,P 为AB 延长线上的点,∠APD =30°.
（共10分）
⑴求证:DP 是⊙O 的切线;
⑵若⊙O 的半径为3cm ,求图中阴影部分的面积.
24．如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为2-（，0）
，点B 的坐标为13-（，），已知抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠经过三点A 、B 、O(O 为原点).
（1）求抛物线的解析式；（5分）
（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C ，使BOC ∆的周长最小。
若存在，求出点C
绘画书法演讲28%
唱歌40%第19题图
C
P
B
A
O
（第23题图）
D
的坐标。
若不存在，请说明理由；（5分）
∆是否有最大面积。
若有，（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么PAB
∆的最大面积；若没有，请说明理由。
（注意：本题中的结果求出此时P点的坐标及PAB
均保留根号）。
（6分）。