人教版初中数学九年级上册《初中数学几何模型——手拉手模型》
注意什么?
两张矩形纸片ABCD和CEFG完全相同，且AB=CE，AD＞AB． 操作发现： （1）如图1，点D在GC上，连接AC、CF、CG、AG，则AC和CF有 何数量关系图1中的纸片CEFG以点C为旋转中心逆时针旋转， 当点D落在GE上时停止旋转，则AG和GF在同一条直线上吗？请 判断，并说明理由．
初中数学几何模型 ——手拉手模型
数学的魅力是什么？
从一道题学会一种方法，
从一个模型学会做一类题。
初中数学几何模型 ——手拉手模型
一、为什么？ 二、是什么？ 三、怎么做？ 四、注意什么？
模型可以让学生更快的进入到 几何之中，产生兴趣,也是学习初中 几何不可或缺的一种重要方法。 其中一种经典的几何模型--“手拉手”模型，这也是历年数学 中考常考的几何压轴题型之一。
（1）观察猜想 图（1）中，线段PM与PN的数量关系是
位置关系是
（2）探究证明 把△ADE绕点A逆时针旋转到图（2）的位置，连接MN，BD，CE， 判断△PMN的形状，并说明理由。
在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在 边AB,AC上，AD=AE，连接DC 。 ，点M，P，N分别为 DE，DC，BC的中点
课堂小结
…… …… …… …… ……
结束语：
在最美的年龄 为最纯的梦想尽最大的努力！
手拉手模型的概念:
1、手的判别：
判断左右：将等腰三角形顶角顶点朝上，正对读者，
读者左边为左手顶点，右边为右手顶点。
2、手拉手模型的定义：
两个顶角相等且有公共顶点的等腰三角形形成的图形。
（左手拉左手，右手拉右手）
在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E 分别在边AB,AC上，AD=AE，连接DC，点M， P，N分别为DE，DC，BC的中点
（1）在平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=6，AD=8 ，E,F分别是AB，AD边 的中点,四边形AEGF为平行四边形，连接CG，判断DF与CG存在怎样的数量关系？ （2）当平行四边形AEGF绕着点A旋转（如顺时针旋转）其他条件不变时， 仍发现CG与DF存在着特定数量关系。请你直接写出它们的数量关系。
（3）拓展延伸 把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出 △PMN面积的最大值
在矩形ABCD中 ，AB=6，AD=8.E，F分别为AB， AD边的中点，四边形AEGF为矩形，连接CG
（1）请直接写出CG的长是 （2）如图2，当矩形AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转）至点G落在 边AB上时，请计算DF与CG的长，通过计算试猜想DF与CG之间的数 量关系。 （3）当矩形AEGF绕点A旋转至如图（3）的位置时，（2）中DF与 CG之间的数量关系是否还成立？请说明理由
初中数学几何模型之手拉手模型
即∠DAC=∠EAB，
在△ACD与△ABE中
，
∴△ACD≌△ABE（SAS）；
（2）∵△ACD≌△ABE，
∴∠ADC=∠AEB，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE=∠AED =45°，
∴∠AEB=∠ADE+∠CDE=45°+60°=105°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定进行解答．
一、模型类别
二、相关结论的运用
（一）有公共顶点的等边三角形
典例精讲：
[问题提出]
（1）如图①， 均为等边三角形，点 分别在边 上．将 绕点 沿顺时针方向旋转，连结 ．在图②中证明 ．
[学以致用]
（2）在（1）的条件下，当点 在同一条直线上时， 的大小为度．
[拓展延伸]
（3）在（1）的条件下，连结 ．若 直接写出 的面积 的取值范围．
（3）①
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠CAE=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠AOB=∠FOC，
∴∠BFC=∠BAC=90°，
∴S四边形BCDE=S△BCE+S△DCE ；
数学模型-----手拉手
有些同学在学习数学时无从下手，找不到突破的方法，做不到举一反三，所以在数学的学习过程中，必须深入本质，做到知识、规律、法则掌握准确，及时反思．下面先给大家介绍一种常见的数学模型---手拉手模型，通过对模型的理解和掌握，把模型的结论融会贯通，理解透彻，那么这一类题型，都是可以迎刃而解的．
手拉手模型
手拉手模型手拉手模型，属于初中几何中图形的旋转，是最常见的一类重要模型。
全等型手拉手模型有以下三个主要特征：双等腰、共顶点、顶角相等。
如下左图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且具有公共的直角顶点A，顶角都是900。
这两个三角形就像两个人手拉着手一样，所以我们称之为手拉手模型。
如下右图，我们易证△ACE与△ABD全等（SAS）。
实际上以点A为旋转中心，把△ACE顺时针旋转900，就得到了△ABD。
又如下左图，△ABC与△ADE都是等边三角形，且具有公共的顶点A，顶角都是600。
这个图形满足以下三个主要特征：双等腰、共顶点、顶角相等，所以它就属于手拉手模型。
如下右图，我们易证△ACD与△ABE全等（SAS）。
实际上以点A为旋转中心，把△ACD顺时针旋转600，就得到了△ABE。
例 1. 如图，△ABC与△A DE都是等腰直角三角形，其中∠BAC=∠DAE=900，AB=AC，AD=AE。
直线CE交BD于点F，交AB 于点G。
求证：（1）CE=BD；（2）CE⊥BD；（3）A、E、F、D四点共圆；（4）AF平分∠CFD。
解析：图中△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，而且他们具有公共顶点A，顶角都是900，所以该图形就是典型的手拉手模型。
简解：(1)易证△ACE≌△ABD（SAS），所以CE=BD；（2）由△ACE≌△ABD可得：∠1=∠2。
再由八字形可得：∠GFB=∠GAC=900，所以CE⊥BD。
（3）由（2）得CE⊥BD，又∠DAE=900，所以∠DAE+∠DFE=1800。
所以A、E、F、D四点共圆。
（4）过A作AM⊥CE于M，作AN⊥BD于N。
由△ACE≌△ABD，可得他们的面积相等，又由全等得CE=BD，所以AM=AN。
所以AF 平分∠CFD。
（或者由A、E、F、D四点共圆，得到∠DFA=∠DEA=450。
所以∠EFA=∠DFA=450。
所以AF平分∠CFD。
）例2. 如下左图，点C、A、E在一条直线上，△ABC与△ADE 都是等边三角形。
初中数学课件全等三角形-手拉手模型
∠ = 90°．
（1）求证： = ；
（2）求证：和垂直。
确认预判Ⅲ
• 如图，分别以△ 的边，向外作等边三角形和等边三角形，
线段与相交于点，连接．
（1）求证： = ；
（2）求∠的度数；
（3）求证：平分∠．
课程目标
∴ ∠ = ∠
∠ = ∠ = 60°
∵∠ = ∠，
∴ ∠ = ∠
∠ + ∠ + ∠ = 180°
∴ △ ≌ △
∠ + ∠ + ∠ = 180°
(2). ∵△ ≌ △
∴ ∠ = ∠ = 60°，
，
例题讲解
•
如图，已知△ 和△ 都是等腰直角三角形，∠ = ∠ = 90°，
点为边上一点．
（1）求证：△ ≅△ ；
（2）求证：△ 是直角三角形；
例题解析
（1） 证明： ∵△ 和 △ 都是等腰直角三角形，
∴ ∠ = ∠ = 45°， = ， = ，
、分别是线段、的中点．
（1）求证：＝；
（2）求∠的度数；
应用练习
• 如图，点是线段上一点，且 < ．如图，当△ 和△ 都是等
边三角形时，连接，，分别交、于点、．
(1)求证： = ；
(2)判断△ 是何特殊三角形并说明理由；
∴ =
即与的夹角为60°
解题方法
应用练习
如图，点、、在同一条直线上，△ 与△ 都是等边三角形，则下
列结论不一定成立的是（
A. △ ≅△
B. △ ≅△
C. △ ≅△
D. △ ≅△
）
应用练习
• 已知：如图，△ 、 △ 都是等边三角形，、相交于点，点
专题3 全等模型——手拉手
初中数学 ︵ 手拉手模型 ︶培优篇全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握．【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等．公共顶点A 记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”．对应操作：左手拉左手（即连结BD ），右手拉右手（即连结CE ），得△ABD≅△ACE．【常见模型及证法】 （等边）初中数学 ︵ 手拉手模型 ︶培优篇 （等腰直角）（等腰）例1．如图，点O 是等边三角形ABC 内的一点，BOC ，将△BOC 绕点C 顺时针旋转60°得△ADC ，连接OD ．（1）当100 时，ODA °； （2）当120时，ODA°；（3）若150 ，8OB ，4OC ，则OA 的长为 ．初中数学 ︵ 手拉手模型 ︶培优篇 例2．已知△ABC 中，∠BAC =60°，以AB 和BC 为边向外作等边△ABD 和等边△BCE ．（1）连接AE 、CD ，如图1，求证：AE =CD ；（2）若N 为CD 中点，连接AN ，如图2，求证：CE =2AN ；（3）若AB ⊥BC ，延长AB交DE 于M ，DB 3，则BM =_______（直接写出结果）初中数学 ︵ 手拉手模型 ︶培优篇 例3．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若△ABC 和△ADE 是顶角相等的等腰三角形，BC ，DE 分别是底边．求证：BD CE ；（2）解决问题：如图2，若△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE = 90°，点A ，D ，E 在同一条直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系并说明理由．图1 图2初中数学 ︵ 手拉手模型 ︶培优篇【模型解读】将两个多边形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个多边形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等．【常见模型及证法】如图，在任意△ABC 中，分别以AB 、AC 为边作正方形ABDE 、ACFG ，连接EC 、BG ，则△AEC ≌△ABG ．例1．（1）作图发现：如图1，已知ΔABC ，小涵同学以AB 、AC 为边向ΔABC 外作等边ΔABD 和等边ΔACE ，连接BE 、CD ．这时他发现BE 与CD的数量关系是．（2）拓展探究：如图2，已知ABC ，小涵同学以AB 、AC 为边向外作正方形ABFD 和正方形ACGE ，连接BE 、CD ，试判断BE 与CD 之间的数量关系，并说明理由．初中数学 ︵ 手拉手模型 ︶培优篇 例2．如图，ΔABD 和ΔACE 均为等边三角形，连接BE 、CD ． （1）请判断：线段BE 与CD 的大小关系是 ；（2）观察图，当ΔABD 和ΔACE 分别绕点A 旋转时，BE 、CD 之间的大小关系是否会改变？（3）观察如图3和4，若四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，猜想类似的结论是________，在如图中证明你的猜想．初中数学 ︵手拉手模型 ︶培优篇1．如图，在ABC 中，45,4,60ACB AB BAC ，D 是边BC 上的一个动点，连接AD ，并将线段AD 绕点A 逆时针旋转60 后得线段AD ，连接BD ，在点D 运动过程中，线段BD 长度的最小值是_________．初中数学 ︵ 手拉手模型 ︶培优篇（1）如图2，将△BDE 绕点B 逆时针旋转任意角度α，连接AD ，EC ，则线段EC 的关系是 ；（2）如图3，DE ∥BC ，连接AE ，判断△EAC 的形状，并求出EC 的长； （3）继续旋转△BDE ，当∠AEC ＝90°时，请直接写出EC 的长．初中数学 ︵ 手拉手模型 ︶培优篇 4．【问题发现】（1）如图1，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，容易发现：①BEC 的度数为 ；②线段BD 、CE 之间的数量关系为 ；【类比探究】（2）如图2，△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE = 90°，点B ，D ，E 在同一直线上，连接CE ，试判断BEC 的度数以及线段BE 、CE 、DE 之间的数量关系，并说明理由；【问题解决】（3）如图3，90AOB ACB ，4OA ，8OB ，AC BC ，则2OC 的值为 ．。
旋转中的三种全等模型(手拉手、半角、对角互补模型)—2023-2024学年九年级数学上册(解析版)
旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型）本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。
模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。
其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。
1）双等边三角形型条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BFD。
3）双等腰三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠BFD。
4）双正方形形型条件：△ABCFD和△CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。
结论：①△△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。
【答案】(1)40；(2)60；(3)【分析】（1）证明△COD是等边三角形，得到∠ODC=60°，即可得到答案；∠=∠ADC-∠ODC求出答案；（3）由△BOC≌△ADC，推出∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，根据（2）利用ODA△COD 是等边三角形，得到∠ODC=60°，OD=4OC =，证得△AOD 是直角三角形，利用勾股定理求出．【详解】（1）解：∵CO=CD ，∠OCD=60°，∴△COD 是等边三角形；∴∠ODC=60°，∵∠ADC=∠BOC=100α=︒，∴ODA ∠=∠ADC -∠ODC=40°，故答案为：40；（2）∵∠ADC=∠BOC=120α=︒，∴ODA ∠=∠ADC -∠ODC=60°，故答案为：60；（3）解：当150α=︒，即∠BOC=150°，∴△AOD 是直角三角形．∵△BOC ≌△ADC ，∴∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，又∵△COD 是等边三角形，∴∠ODC=60°，OD=4OC =，∴∠ADO=90°，即△AOD 是直角三角形，∴OA =故答案为：【点睛】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力． 备用图【答案】(1)△BEF 是等边三角形(2)证明见解析(3)131−【分析】（1）根据旋转即可证明△BEF 是等边三角形；（2）由△EBF 是等边三角形，可得FB=EB ，再证明∠FBA=∠EBC ，又因为AB=BC ，所以可证明△FBA ≌△EBC ，进而可得AF=CE ；（3）当点D ，E ，F 在同一直线上时，过B 作BM ⊥EF 于M ，再在Rt △BMD 中利用勾股定理列方程求解即可．（1）∵将线段EB 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EF ，∴EB=EF ，60FEB =︒∠∴△BEF 是等边三角形（2）∵等边△ABC 和△BEF ∴BF=BE ，AB=BC ，60EBF ABC ∠=∠=︒∴EBF ABE ABC ABE ∠+∠=∠+∠即∠FBA=∠EBC∴△FBA ≌△EBC （SAS ）∴AF=CE（3）图形如图所示：过B 作BM ⊥EF 于M ，∵△BEF 是等边三角形∴2BE EM =，BM =∵点D 是AB 的中点，∴142BD AB == 在Rt △BMD 中，222BM DM BD +=∵DE=2∴222)(2)4EM ++=解得EM 或EM =（舍去）∴21BE EM == 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解一元二次方程，利用手拉手模型构造全等三角形是解题的关键．例3．（2022·吉林·九年级期末）如图①，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC ==点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且CD CE =AD BE =，AD BE ⊥成立．（1）将CDE △绕点C 逆时针旋转90︒时，在图②中补充图形，并直接写出BE 的长度；（2）当CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中，AD 与BE 的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当A ，D ，E 三点在同一条直线上时，请直接写出AD 的长度．【答案】（1）补充图形见解析；BE =（2）AD BE =，AD BE ⊥仍然成立，证明见解析；（3）1AD或1=AD ．【分析】（1）根据旋转作图的方法作图，再根据勾股定理求出BE 的长即可；（2）根据SAS 证明E ACD BC ≅∆∆得AD=BE ，∠1=∠2，再根据∠1+∠3+∠4=90°得∠2∠3+∠4=90°，从而可得出结论；（3）分两种情况，运用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图所示，根据题意得，点D 在BC 上，∴BCE ∆是直角三角形，且由勾股定理得，BE ==（2）AD BE =，AD BE ⊥仍然成立. 证明：延长AD 交BE 于点H ，∵90ACB DCE ∠=∠=︒，ACD ACB BCD ∠=∠−∠，BCE DCE BCD ∠=∠−∠，∴ACD BCE ∠=∠，又∵CD CE =，AC BC =，∴ACD BCE ≅△△，∴AD BE =，12∠=∠，在Rt ABC 中，13490∠+∠+∠=︒，∴23490∠+∠+∠=︒，∴90AHB ∠=︒，∴AD BE ⊥.（3）①当点D 在AC 上方时，如图1所示，同（2）可得ACD BCE ≅△△∴AD=BE 同理可证BE AE ⊥在Rt △CDE 中，CD CE =2=在Rt △ACB 中，AC BC =AB ==设AD=BE=x ，在Rt △ABE 中，222BE AE AB +=∴222(2)x x ++=解得,1x ∴ 1AD =②当点D 在AC 下方时，如图2所示，同（2）可得ACD BCE ≅△△∴AD=BE 同理可证BE AE ⊥在Rt △CDE 中，CD CE =2=在Rt △ACB 中，AC BC =AB ==设AD=BE=x ，在Rt △ABE 中，222BE AE AB +=∴222(2)x x +−=解得,x = ∴ 1AD .所以,AD 1【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识，熟练解答本题的关键．例4．（2022·黑龙江·虎林市九年级期末）已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠ACB ＝90°，F 为AB 边的中点，且DF =EF ，∠DFE ＝90°，D 是BC 上一个动点．如图1，当D 与C 重合时，易证：CD 2＋DB 2＝2DF 2；（1）当D 不与C 、B ，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．（2）当D 在BC 的延长线上时，如图3，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）CD2+DB2=2DF2 ；（2）CD2+DB2=2DF2，证明见解析【分析】（1）由已知得222DE DF =，连接CF ，BE ，证明CDF BEF ∆≅∆得CD=BE ，再证明BDE ∆为直角三角形，由勾股定理可得结论；（2）连接CF ，BE ，证明CDF BEF ∆≅∆得CD=BE ，再证明BDE ∆为直角三角形，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）CD2+DB2=2DF2证明：∵DF=EF ，∠DFE ＝90°，∴222DF EF DE += ∴222DE DF =连接CF ，BE ，如图∵△ABC 是等腰直角三角形，F 为斜边AB 的中点∴CF BF =， CF AB ⊥，即90CFB ∠=︒ ∴45FCB FBC ∠=∠=︒，90CFD DFB ∠+∠=︒又90DFB EFB ∠+∠=︒ ∴CFD EFB ∠=∠在CFD ∆和BFE ∆中CF BF CFD BFE DF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴CFD ∆≅BFE ∆∴CD BE =，45EBF FCB ∠=∠=︒ ∴454590DBF EBF ∠+∠=︒+︒=︒ ∴222DB BE DE +=∵CD BE =，222DE DF =∴CD2+DB2=2DF2 ；（2）CD2+DB2=2DF2 证明：连接BE∵CF=BF ，DF=EF 又∵∠DFC+∠CFE=∠EFB+∠CFB=90°∴∠DFC=∠EFB ∴△DFC ≌△EFB ∴CD=BE ，∠DCF=∠EBF=135°∵∠EBD=∠EBF －∠FBD=135°－45°=90° 在Rt △DBE 中，BE2+DB2=DE2∵ DE2=2DF2 ∴ CD2+DB2=2DF2【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．例5．（2022·山西大同·九年级期中）综合与实践：已知ABC 是等腰三角形，AB AC =．（1）特殊情形：如图1，当DE ∥BC 时，DB ______EC ．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）发现结论：若将图1中的ADE 绕点A 顺时针旋转α（0180α︒<<︒）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点P 是等腰直角三角形ABC 内一点，90BAC ∠=︒，且1BP =，2AP =，3CP =，求BPA ∠的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将BAP △绕点A 顺时针旋转90°得到CAE V ，连接PE ，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出BPA ∠的度数．【答案】（1）=；（2）成立，理由见解析；（3）∠BPA=135°．【分析】（1）由DE ∥BC ，得到∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，结合AB=AC ，得到DB=EC ；（2）由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ，得到DB=CE ；（3）由旋转构造出△APB ≌△AEC ，再用勾股定理计算出PE ，然后用勾股定理逆定理判断出△PEC 是直角三角形，在简单计算即可．【详解】解：（1）∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴∠ADE=∠AED AD=AE ，∴DB=EC ，故答案为：=；（2）成立．证明：由①易知AD=AE ，∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴DB=CE ；（3）如图，将△APB 绕点A 旋转90°得△AEC ，连接PE ，∴△APB ≌△AEC ，∴AE=AP=2，EC=BP=1，∠PAE=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，在Rt △PAE 中，由勾股定理可得，在△PEC 中，PE2=（2=8，CE2=12=1，PC2=32=9，∵PE2+CE2=PA2，∴△PEC 是直角三角形，∴∠PEC=90°，∴∠AEC=135°，又∵△APB ≌△AEC ，∴∠BPA=∠CEA=135°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点．【答案】（1）见解析；（2）48；（3）15︒【分析】（1）通过边角边判定三角形全等；（2）连接,BD GE ，设,BG DE 交于点O ，,DE CG 交于点M ，先证明DE BG ⊥，由勾股定理可得2222DG BE DB GE +=+；（3）作CK GE ⊥于点K ，则122CK GE ==，且1452GCK GCE ∠=∠=︒，由含30度角的直角三角形的性质求解．【详解】（1）四边形ABCE 与CEFG 为正方形，CG CE =，90BCG DCE ∠=∠=︒，90BCG α=∠︒+，90DCE α∠=︒+，BCG DCE ∴∠=∠，在BCG 和DCE △中，BC DC BCG DCECG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BCG DCE ∴≌ (SAS)， （2）连接,BD GE ，设,BG DE 交于点O ，,DE CG 交于点M ，90BCG α=∠︒+，90DCE α∠=︒+，BCG DCE ∴∠=∠， 在△BCG 和DCE △中，BC DC BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BCG DCE ∴△≌，BGC DEC ∠=∠，GMO EMC ∠=∠，18090GOM GMO BGC EMC DEC GCE ∴∠=︒−∠−∠=︒−∠−∠=∠=︒DE BG ∴⊥，由勾股定理得222DG DO GO =+，222BE OB OE =+，22222222DG BE DO GO OB OE DB GE ∴+=+++=+，4,AB CG ==，BD ∴==4GE ==，2222(448DG BE ++∴==，(3)作CK GE ⊥于点K ，如图，△CEG 为等腰直角三角形，122CK GE ==，且1452GCK GCE ∠=∠=︒，在Rt CDK 中，12CK CD =，30CDK ∴∠=︒，903060DCK ∴∠=︒−︒=︒， 604515DCG DCK GCK =∠−∠=︒−︒=︒∠．∴15α=︒．【点睛】本题考查四边形与三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握正方形与直角三角形的性质，通过添加辅助线求解．模型2.半角模型【模型解读】半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④∆AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
人教版九年级数学上册《23章 旋转 初中数学几何模型--“手拉手”模型》优质课教案_16
《初中数学几何模型------“手拉手”模型》教学设计教学目标：1.了解并熟悉“手拉手”模型，掌握基本特征。
2.借助“手拉手”模型，利用旋转有关知识解决相关问题。
3.通过小组合作学习，培养学生的合作意识，从中体验到学数学的快乐。
教学重难点：1.能熟练的找出“手拉手”模型，并能解决问题。
2.掌握“手拉手”模型的方法。
教学方法：探究发现法，鼓励学生自主学习。
课前准备：多媒体课件，几何画板教学过程：本节课贯穿四个问题“为什么”、“是什么”、“怎么做”、“注意什么”【设计意图】对本节内容的梳理，引起学生的好奇心与求知欲。
一．“为什么”模型可以让学生更快的进入到几何之中，产生兴趣,也是学习初中几何不可或缺的一种重要方法。
其中一种经典的几何模型---“手拉手”模型，这也是历年数学中考常考的几何压轴题型之一。
【设计意图】研究近几年中考题，发现“手拉手”模型是一个重要的考点，通过本节课的设计能帮助学生建立良好的解题思路，克服做题时的恐惧和盲目心理。
二．“是什么”“手拉手”模型的概念1.“手”的判别判断左右：将等腰三角形顶角顶点朝上，正对读者，读者左边为左手顶点，右边为右手顶点。
2、手拉手模型的定义：定义: 两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。
（左手拉左手，右手拉右手）【设计意图】通过“手拉手”模型的概念，能让学生认识基本图型。
三．“怎么做”（一）知识应用（直击中考）如图1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点.（1）观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明把ADE ∆绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN ∆的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4AD =，10AB =，请直接写出PMN ∆面积的最大值.（二）．巩固提升在矩形ABCD 中 ，AB=6，AD=8.E ，F 分别为AB ，AD 边的中点，四边形AEGF 为矩形，连接CG（1） 请直接写出CG 的长是（2） 如图2，当矩形AEGF 绕点A 旋转（比如顺时针旋转）至点G 落在边AB 上时，请计算DF 与CG 的长，通过计算试猜想DF 与CG 之间的数量关系。
几何辅助线之手拉手模型(初三)
手拉手模型教学目标:1：理解手拉手模型的概念，并掌握其特点2：掌握手拉手模型的应用知识梳理：1、等边三角形条件：△OAB，△OCD均为等边三角形结论：；；导角核心：2、等腰直角三角形条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形结论：；；导角核心：3、任意等腰三角形条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD 结论：；；核心图形：核心条件：；；典型例题：例1:在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE，连接AE 与CD ，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC ；（3）AE 与DC 的夹角为60°；（4）△AGB≌△DFB；（5）△EGB≌△CFB；（6）BH 平分∠AHC；GF∥AC例2：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE，连接AE 与CD ，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC ；（3）AE 与DC 的夹角为60°；（4）AE 与DC 的交点设为H,BH平分∠AHCA 例3：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE，连接AE 与CD ，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC ；（3）AE 与DC 的夹角为60°；（4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC例4：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？F例5：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.问（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？A例6：两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE，连接AE与CD. 问（1）△ABE≌△DBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分∠AHC？A例7：如图，分别以△ABC的边AB、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ，AC =AD，∠BAE=∠CAD=90°，点G为BC中点，点F 为BE 中点，点H 为CD中点。
初中几何模型之手拉手模型
∠1=25°,∠2=30°,则∠3=_______.
A
1
E
3
D
2
C
B
模型练习5
模型练习6
如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AD,BE分别为BC,AC边上的高,AD,BE相交
于点F,连结CF,则有下列结论:①BF=AC;②∠FCD=45°.③若BF=2EC,则
①②③
△FDC的周长等于AB的长.其中正确的有_______.
C
模型练习8
2
2
已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形(
∠AOB=∠MON=90°.
(1)如图1,连结AM,BN,求证:△AOM≌△BON.
A
A
N
N
O
O
B
M
M
图1
图1
B
< = ),
(2)若将△MON绕点O顺时针旋转.
①如图2,当点N恰好在AB边上时,求证: 2 + 2 = 2 2 .
A
E
F
B
D
模型练习6
C
模型练习7
如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=36°.
连结AC,BD交于点M,连结OM.有下列结论:①∠AMB=36°.②AC=BD.③OM
①②④
平分∠AOD.④MO平分∠AMD.其中正确的结论有________.
O
A
B
D
M
模型练习7
∴∠1+∠3=∠2+∠3(等角共点推等角)
∴∠ABE=∠CBD
=
在△ABE和△CBD中, ቐ∴∠ABE=∠CBD
=
相似三角形几何模型(手拉手与十字架模型)(解析版)--九年级数学上册
相似三角形几何模型（手拉手与十字架模型）第一部分【知识点归纳】【模型一】“手拉手（旋转）”模型图1 图222ADE ABC ABC ACF ADE ∆ ∆∆ →A 绕点旋转如图：∽如图：∽ 以上就是相似三角形中的“手拉手模型”在复杂的图形中可以由这一线索寻找新的相似形，即一转成双，由一得二（由一对相似三角形得第二对相似三角形）。
【模型二】“十字架”模型图3 图41EG AB HF BC⊥==如图3：正方形ABCD 中，EG HF,则有；EG AB HF BC ⊥=如图4：矩形ABCD 中，EG HF,则有. 以上就是矩形中的十字架模型，即矩形中两条互相垂直的线段之比等于矩形的两邻边之比。
第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】三角形中的的“手拉手（旋转）模型”【例1】（23-24九年级上·山西大同·期末）综合与实践-问题情境：如图1，已知在ABC 中，D E ，分别是AB AC ，上的点，且DE BC ∥．（1）操作发现：求证：AB DB =．（2）深入探究：在图1的基础上，将ADE 绕着点A 逆时针旋转一个角度得到图2，连接BD CE ，，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由．拓展探究：（3）如图3，当ADE 旋转到点B D E ，，在一条直线上时，BE 与AC 交于点F ，若7BF =，9BE =，求AF CF ⋅的值．【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)14【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例的综合运用，掌握相似三角形的判定是解题的关键．（1）根据平行线的性质可证ADE ABC △△∽，由此即可求解；（2）根据旋转的性质可证ABD ACE ∽，由此即可求解；（3）根据题意可得ABD ACE ∽，ABF ECF ∽△△，根据相似三角形的性质即可求解．（1）证明：∵DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽， ∴AD AE AB AC=， ∴AB DB AC EC AB AC −−=，即DB EC AB AC =， ∴AB DB AC EC=． （2）解：成立，理由如下：由旋转的性质得BAC DAE ∠=∠， ∴BAC DAC DAE DAC ∠−∠=∠−∠，即BAD CAE ∠=∠， 由（1）得AD AE AB AC=， ∴ABD ACE ∽， ∴AB DB AC EC=， ∴（1）中的结论仍成立．（3）解：由（2）得ABD ACE ∽，∴ABD ACE ∠=∠， ∵AFB EFC ∠=∠， ∴ABF ECF ∽△△， ∴BF AF CF EF=， ∴BF EF CF AF ⋅=⋅，∵7BF =，9BE =，∴2EF BE BF =−=，∴7214AF CF ⋅=×=．【变式1】（23-24九年级上·山西晋中·期中）如图，一副三角板（90C E ∠=∠=°，30B ∠=°，45D ∠=°），AD BC =，顶点A 重合，将ADE 绕其顶点A 旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的判定方法依次判断是解决问题的关键．解：选项A ，∵90C C ∠=∠=°，30CAF B ∠=∠=°，∴ACF BCA ∽△△，故选项A 不符合题意．选项B ，如图，设CD 与AE 交于点O ，90ACO DEO ∠=∠=°∴ACO DEO △∽△，故选项B 不合题意；选项C ，∵90BCA AED ∠=∠=°，CAF DAE ∠=∠， ∴ACF AED △∽△，故选项C 不合题意；选项D 中没有相似三角形，符合题意．故选：D ．【变式2】（22-23九年级·上海·假期作业）在ABC 中，CA CB =，在AED △中，DA DE =，点D 、E 分别在CA 、AB 上．（1）如图1，若90ACB ADE ∠=∠=°，则CD 与BE 的数量关系是 ； （2）若120ACB ADE ∠=∠=°，将AED △绕点A 旋转至如图2所示的位置，则CD 与BE 的数量关系是 ．【答案】CD = CD 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理计算即可．（２）过点C 作CH AB ⊥交AB 于点H ，求得AC AB ，再证明ACD ABE ∆∆∽列式计算即可． 解：（1）90ACB ADE ∠=∠=° ∴DE BC ∥，∴AD DC AE EB ==，∴CD =．故答案为：CD =． （2）过点C 作CH AB ⊥交AB 于点H ，120ACB ∠=° ，30CAB ∴∠=° ，∴CA AH =，∴AC AB = 由ADE ACB ∽， 得：AD AC AE AB=， DAE CAB ∠=∠ ，∴ACD ABE △∽△，∴CDAC BE AB ==，∴CD =．故答案为：CD ． 【点拨】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形的相关知识，三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．【题型2】四边形中的的“手拉手（旋转）模型”【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形ABCD 与四边形BEFG 都是正方形，将正方形BEFG 绕点B 按顺时针方向旋转，连接AG ，DF ，CE ．则AG 和CE 的数量关系为 ；在正方形BEFG 绕点B 按顺时针方向旋转的过程中，DF CE的值为 ．【答案】 AE CE =【分析】此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据SAS证明ABG CBE ≌△△，即可证明AE CE =；连接BD BF ，．由1245∠+∠=°，2345∠+∠°得到13∠=∠．在Rt DBC △中，BD BC =在Rt FBE中，BF BE，则BD BF BC BE =，则BDF BCE ∽△△，即可得到结论．熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．解：∵四边形ABCD 与四边形BEFG 都是正方形，∴90ABC GBE ∠=∠=°，AB BC =，BG BE =， ∴ABC GBC GBE GBC ∠−∠=∠−∠，即ABG CBE ∠=∠． 在ABG 和CBE △中，AB BC ABG CBE BG BE = ∠=∠ =， ∴()SAS ABG CBE ≌，∴AG CE =．如图，连接BD BF ，．∵1245∠+∠=°，2345∠+∠°， ∴13∠=∠．在Rt DBC △中，∵22222BD BC CD BC =+=，∴BD =，∴BD BC= 在Rt FBE中，同理可求BF BE= ∴BD BF BC BE =， ∴BDF BCE ∽△△，∴DF BD ==故答案为：AG CE =【变式1】（2023·广东广州·一模）如图，正方形ABCD 中，等腰直角EBF △绕着B 点旋转，BF EF =，90BFE ∠=°，则:DE AF = ．【分析】连接BD ，证AFB DEB ∽，得DE BD AF AB=，根据等腰直角三角形斜边与直角边的比例关系即可得出比值．解：如右图，连接BD ，由题知，四边形ABCD EBF △为等腰直角三角形45FBA ABE FBE ∠+∠=∠=° ，45ABE EBD ABD ∠+∠=∠=°，FBA EBD ∴∠=∠，由题知，EBF △为等腰直角三角形，ABD △为等腰直角三角形，FB AB BE BD ∴== AFB DEB ∴ ∽，DE BD AF AB ∴==【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，根据FBA EBD ∠=∠，FB AB BE BD ==AFB DEB ∽是解题的关键． 【变式2】如图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC绕C 点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，则DM:MC 的值为（）A．5:3 B．3:5 C．4:3 D．3:4【答案】C解：由题意知△BCE绕点C顺时转动了90度，∴△BCE≌△DCF，∠ECF=∠DFC=90°，∴CD=BC=5，DF∥CE，∴∠ECD=∠CDF，∵∠EMC=∠DMF，∴△ECM∽△FDM，∴DM：MC=DF：CE，∵=4∴DM：MC=DF：CE=4：3．故选C．【题型3】正方形中的“十字架模型”【例3】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动=；点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP MN（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，=+；BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF ME FN【答案】（1）见解析；（2）见解析；【分析】（1）过B点作BH∥MN交CD于H，则AP BH⊥，根据平行四边形和正方形的性质求证()≌，然后根据三角形全等的性质即可证明；ABP BCH ASA=，然后根据等边对等角和等量代换求得（2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得FP FC∠=°，根据直角三角形斜边中线的性质得到FE=190AFPAP，结合（1）问结论即可求证．2解：（1）如图1，过B点作BH∥MN交CD于H，则AP BH⊥，∥NH，BM∴四边形MBHN为平行四边形，∴=，MN BH四边形ABCD是正方形．∴=，90AB BC∠=°=∠，ABP C∠+∠=°，∴∠+∠=CBH ABH BAP ABH90∴∠=∠，BAP CBH()∴≌，ASAABP BCH∴=，BH AP∴=；MN AP（2）如图2，连接FA，FP，FC正方形ABCD 是轴对称图形，F 为对角线BD 上一点，FA FC ∴=，又FE 垂直平分AP ，FA FP ∴=，FP FC ∴=，FPC FCP ∴∠=∠，FAB FCP ∠=∠ ， FAB FPC ∴∠=∠，180FAB FPB ∴∠+∠=°，180ABC AFP ∴∠+∠=°，90AFP ∴∠=°，FE ∴=12AP ， 由（1）知，AP MN =，2MN ME EF FN AP EF ∴=++==，EF ME FN ∴=+．【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各部分定理和性质是本题的关键．【变式1】（23-24九年级上·重庆南岸·期中）如图，在矩形ABCD 中，10AD =，8AB =，点E 为AD 边上一点，将ABE 沿BE 翻折到FBE 处，延长EF 交BC 于点G ，延长BF 交CD 于点H ，且FH CH =，则FG 的长是（ ）A ．95B ．94C ．45D ．185【答案】A【分析】本题考查矩形的判定与性质、翻折性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用相关知识求解是解答的关键．过E 作EM BC ⊥于M ，根据矩形性质和折叠的性质，结合勾股定理求得94FH CH == 941844BH =+=，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：过E 作EM BC ⊥于M ，则90EMB EMG ∠=∠=°，四边形ABCD 是矩形，90A ABC C °∴∠=∠=∠=，10BC AD ==，ABE 沿BE 翻转到FBE 处，EF AE ∴=，8BFAB ==， 90EFB BFG A ∠=∠=∠=， 设FHCH x ==，则8BH x =+， 在Rt BCH △中，根据勾股定理得222BC CH BH +=()222108x x ∴+=+ 则94x =， 94FH CH ==， 941844BH =+=， FBG CBH =∠∠ ，BFG BCH ∠=∠BFG BCH ∴ ∽BG FG BF BH CH BC∴==8441910544BG FG === 解得：95FG =故选：A ． 【变式2】（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 边的中点，AE 的垂直平分线分别交AD ，BC 边于点F ，G ，垂足为点H ．若4AB =，则GH 的长为 ．【分析】过点B 作BN GF ∥交AD 于点N ，先证明()AAS AED BNA ≌，推出AEBN FG ==，利用勾股定理求出AE ，再证明AFH AED ∽，利用相似三角形的性质求出FH =解：过点B 作BN GF ∥交AD 于点N ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，4AB =，∴,4,90AD BC AD AB CD BAN D ===∠=∠=°∥， ∴四边形BGFN 是平行四边形，∴BN GF =，∵,AE FG BN GF ⊥∥，∴BN AE ⊥，∴90BNA EAD∠+∠=°， 90AED EAD∠+∠=°∴BNA AED ∠=∠， 在AED △和BNA 中，AED BNA D BAN AD AB ∠=∠ ∠=∠ =， ∴()AAS AED BNA ≌，∴AEBN FG ==， ∵点E 是DC 边的中点，∴2DECD ==，∴AE∴FG =∵H 是AE 的中点，∴12AH AE == ∵90,AHF D FAH EAD ∠=∠=°∠=∠，∴AFH AED ∽ ， ∴FH AH DE AD =，即2FH =∴FH =∴GH FG FH =−==，【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，构造辅助线，证明三角形全等是解题的关键．【题型4】矩形中的“十字架模型”【例4】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题．（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 为AB 上一点，连接DE ，过点A 作AG DE ⊥于点F ，交BC 于G ，则AG 与DE 的数量关系是：AG ______DE （填“>”“=”“<”号）．(2)①如图2，在矩形ABCD 中，AB nBC M N =，、为AB CD 、上的点，连接MN ，过点D 作DE MN ⊥于点F ，交BC 于E ．小明发现，过M 作MG CD ⊥于点G ，可以得到MN 与DE 的数量关系．这个数量关系是什么？请说明理由；②填空：由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上且互相垂直的两条线段的比等于______； ③应用上述结论解决问题：在Rt ABC △中，9086ACB AC BC ∠°=，=，=，点D 是AB 的中点，连接CD ，过B 作CD 的垂线BE ，交直线AC 于E ，垂足是点F ，直接写出BE 的长度．【答案】(1)=(2)①数量关系为DE nMN =，理由见解析；②矩形两邻边的比；③152； 【分析】（1）证明ABG DAE ≌即可；（2）①证明MNG DEC ∽，由相似的性质即可得到MN 与DE 的数量关系；②由①的解答即可完成；③延长CD 到N ，使DN CD =，分别连接AN BN ，，则可得四边形ACBN 是矩形，且BE CN ⊥，由①的结论即可求得BE 长度．（1）解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴90AB AD DAE ABG =∠=∠=°，， ∴90DAF BAG ∠+∠=°，∴90ADE DAF ∠+∠=°，∴ADE BAG ∠=∠， ∴(ASA)ABG DAE ≌，∴AG DE =，故答案为：=；（2）解：①数量关系为DE nMN =理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ADC C ∠=∠=∠=°，AD BC AB CD ==，； ∵MG CD ⊥，∴四边形ADGM 是矩形，AD MG BC ==；∵DE MN MG CD ⊥⊥，，∴90EDC MNG MNG NMG ∠+∠=∠+∠=°，∴EDC NMG ∠=∠， ∵90MGN C ∠=∠=°， ∴MNG DEC ∽， ∴MN MG DE CD=； ∵AB nBC =，∴CD nMG =， ∴1MN DE n=， 即DE nMN =；②由①知，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上且互相垂直的两条线段的比等于矩形两邻边的比；故答案为：矩形两邻边的比；③如图，延长CD 到N ，使DN CD =，分别连接AN BN ，，∵D 为AB 的中点，∴BD AD =，∴四边形ACBN 是平行四边形，∵90ACB ∠=°， ∴四边形ACBN 是矩形，∴8BNAC ==，由勾股定理得：10CN =；∵BE CN ⊥，∴由①的结论知：86CN AC BE BC ==， ∴661015882CN BE ×===．【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性．【变式1】（2024·湖南永州·一模）如图，在矩形ABCD 中，BE AC ⊥于点F ，若1,BF BC ==则DE 的长度为（ ）A ．1B C ．32 D 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，通过证明ABF BCF ∽ ，可得AF BF BF CF =，可求AF 的长，通过证明AEF CBF ∽△△，可得AF AE CF BC=，可求DE 的长． 解：∵四边形ABCD 是矩形，∴,90,AD BC AD BC ABC =∠=°∥∵BE AC ⊥，1,BF BC ==∴CF =，∵90AFB CFB ABC ∠=∠=∠=°， ∴90ABF CBF ABF BAC ∠+∠=°=∠+∠，∴BAC CBF ∠=∠， ∴ABF BCF ∽ ，∴AF BF BF CF=，∴1AF =，∴AF = ∵AD BC ∥，∴AEF CBF ∽△△，∴AF AE CF BC=，=∴AE =∴DE AD AE BC AE =−=−， 故选：B ．【变式2】（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，在矩形ABCD 中，连接BD ，点E 在AD 上，连接CE ，交BD 于点F ，且DEF DBA ∽ ．（1）BD 与CE 是否垂直？ （填“是”或“否”）；（2）若1AB =，30CBD ∠=°，则EF CF的值为 ．【答案】 是 13【分析】（1）根据矩形ABCD 的性质可得90DAB ∠=°，已知DEF DBA ∽ 即可证得．（2）根据矩形ABCD 的性质可得AD ，根据DEF DBA ∽ 可得DF =，在证明DFC DCB ∽ ，根据相似比即可解得．（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴90DAB ∠=°，∵DEF DBA ∽ ，∴90DFE DAB ∠=∠=°，∴BD CE ⊥；故答案为：是；（2）1AB =，30CBD ∠=°，四边形ABCD 为矩形，∴1AB CD ==，2BD =，∴AD BC ===，∵DEF DBA ∽ ，∴ EFDFAB AD =，即 1EF= ∴DF =，∵DFC BCD ∠=∠，BDC BDC ∠=∠，∴DFC DCB ∽ ，∴ DFCFCD BC =，即 1DF=∴ =，∴ 12EFCF =．故答案为： 13．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2021·四川内江·中考真题）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，对角线BD 的垂直平分线EF 交AD 于点E 、交BC 于点F ，则线段EF 的长为 ．【答案】152/7.5 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD ，证明△BOF ∽△BCD ，根据相似三角形的性质得到比例式，求出EF 即可．解：如图：四边形ABCD 是矩形，90A ∴∠=°，又6AB =，8AD BC ==，10BD ∴=，EF 是BD 的垂直平分线，5OB OD ∴==，90BOF ∠=°，又90C ∠=°，BOF BCD ∴∆∆∽， ∴OF BO CD BC =， ∴568=OF ， 解得，15OF =，四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，90A ∠=°，EDO FBO ∴∠=∠，EF 是BD 的垂直平分线，BO DO ∴=，EF BD ⊥，在DEO ∆和BFO ∆中，EDO FBO BO DOEOD FOB ∠=∠ = ∠=∠， ()DEO BFO ASA ∴∆≅∆，OE OF ∴=，1522EF OF ∴==． 故答案为：152． 【点拨】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．【例2】（2022·湖南娄底·中考真题）如图，已知等腰ABC 的顶角BAC ∠的大小为θ，点D 为边BC 上的动点（与B 、C 不重合），将AD 绕点A 沿顺时针方向旋转θ角度时点D 落在D 处，连接BD ′．给出下列结论：①ACD ABD ′≅△△；ACB ADD ′ △；③当BD CD =时，ADD ′ 的面积取得最小值．其中正确的结论有 （填结论对应的序号）．【答案】①②③【分析】依题意知，ABC 和ADD ′ 是顶角相等的等腰三角形，可判断②；利用SAS 证明ADC AD B ′≌△△，可判断①；利用面积比等于相似比的平方，相似比为AD AC ，故最小时ADD ′ 面积最小，即AD BC ⊥，等腰三角形三线合一，D 为中点时 .解：∵AD 绕点A 沿顺时针方向旋转θ角度得到AD ′∴DAD θ′∠=，AD AD =′ ∴CAB DAD ′∠=∠ 即CAD DAB DAB BAD ′∠+∠=∠+∠∴CAD BAD ′∠=∠ ∵AC AB CAD BAD AD AD ′= ∠=∠ =′得：ADC AD B ′≌△△（SAS ）故①对∵ABC 和ADD ′ 是顶角相等的等腰三角形∴ACB ADD ′ △△故②对 ∴2()AD D ABC S AD S AC′=△△ 即AD 最小时AD D S ′△最小当AD BC ⊥时，AD 最小点是BC 中点故③对故答案为：①②③【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，手拉手模型，选项③中将面积与相似比结合是解题的关键 .2、拓展延伸【例1】（2024·辽宁沈阳·二模）如图1，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，4AB =，2BC =，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接.DE 将CDE 绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．(1)问题发现：①当0α=°时AE BD =______； ②当180α=°时，AE BD=______． (2)拓展探究：试判断当0360α°<<°时，AE BD的大小有无变化？以下是就图2的情形给出的证明过程，请你补全：∵ECD ACB ∽，EC AC∴=③ ． 又∵旋转ECA DCB ∠=∠， ∴ECA DCB ∽△△，AE EC BD DC∴== ． (3)用以上结论解决问题：当CDE 绕点C 逆时针旋转至A ，B ，E 三点在同一条直线上时，请在备用图中画出图形，并写出求线段BD 的长 ．【答案】DC BC【分析】（1）①先利用勾股定理可得AC =AE =，1BD =，由此即可得；②先画出图形，根据旋转的性质可得90CDE°∠=，2DE CE==，1CD =，然后根据线段和差分别求出AE ，BD 的长，由此即可得；（2）根据相似三角形的判定证出ECA DCB ∽△△，再根据相似三角形的性质即可得；（3）分①点E 在AB 的延长线上和②点E 在线段AB 上，利用勾股定理求出1BE =，从而可得AE 的长，再根据AE BD= （1）解：①当0α=°时，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，4AB =，2BC =，AC ∴=点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，12CE AE AC ∴===112BD CD BC ===，②如图1，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，4AB =，122DE AB ==，DE AB ∥， 90ABC ∴∠=°，90CDE ABC ∠=∠=°； 如图，当180α=°时，由旋转的性质得：CDE ∠的大小不变，仍等于90°，DE 长度不变，仍等于2，CE 的长度不变，AE AC CE ∴=+=1CD ，3BD BC CD ∴=+=，AE BD ∴==（2）解：当0360α°<<°，大小没有变化； 证明：ECD ACB ∽，EC CD AC BC ∴=， 又∵旋转ECA DCB ∠=∠， ECA DCB ∴ ∽，AE EC BD DC ∴==故答案为：CD CB （3）①如图2，当点E 在AB 的延长线上时，在Rt BCE 中，CE =2BC =，1BE ∴=，415AE AB BE ∴=+=+=，AE BD∴BD ∴== ②如图3，当点E 在线段AB 上时，在Rt BCE 中，CE =2BC ，1BE ∴=，413AE AB BE ∴=−=−=，AE BD∴BD ∴==，综上，线段BD 【点拨】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．【例2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）【问题发现】如图①，正方形ABCD ，DEFG ，将正方形DEFG 绕点D 旋转，直线AE 、CG 交于点P ，请直接写出线段AE 与CG 之间的数量关系是______，位置关系是______；（2）【拓展探究】如图2，矩形ABCD ，DEFG，22AD DE AB DG AD DG ===，，，将矩形DEFG 绕D 旋转；直线AE ,CG 交于点P ，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系；（3）【解决问题】若2428AD DE AB DG ====，，矩形DEFG 绕D 旋转过程中当点P 与点G 重合时，求线段AE 的长．【答案】（1）AE CG =，AE CG ⊥；（2）AE 、CG 的数量关系不成立，位置关系仍成立，AE 、CG 的数量关系为：2CG AE =，理由见解析；（3）AE 的长为【分析】（1）证明ADE CDG ≌得到AE 与CG 的数量关系，通过角的等量代换，求得90∠=°GPE ，得到AE 和CG 的位置关系；（2）可通过已知对应角，和对应边的比例关系，证明 ∽EDA GDC ，求得AE 和CG 的数量关系；然后利用角的等量代换，求得90∠=°GPE ，得到AE 和CG 的位置关系； （3）分情况讨论，①当点P 和点G 在边CD 上方重合时，②当点P 和点G 在边CD 下方重合时，分别求解．解：（1）AE CG =，AE CG ⊥；∵四边形ABCD ，DEFG 都是正方形，∴AD CD =，DE DG =，90ADC EDG °∠=∠=．∴ADC ADG EDG ADG ∠+∠=∠+∠，∴ADE CDG ∠=∠． ∴ADE CDG ≌．∴AE CG =，DEA DGC ∠=∠， DEA EDG DGC GPE ∠+∠=∠+∠∴90∠=°GPE ． ∴AE CG ⊥；（2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立．2CG AE =，AE CG ⊥．理由如下：由题意知在矩形ABCD 、DEFG 中，90EDG ADC °∠=∠=，∴EDG GDA ADC GDA ∠+∠=∠+∠．∴EDA GDC ∠=∠．∵2AD DE =，2AB DG =， ∴12ED DG AD DC ==．∴ ∽EDA GDC ．∴2CG AE =，DEA DGC ∠=∠．∵DEA EDG DGC GPE ∠+∠=∠+∠，∴90GPE °∠=．∴AE CG ⊥．综上所述：2CG AE =，AE CG ⊥；（3）如解图①，AE如解图2，连接AC ，设AE x =，则2CG x =，EG AC =在Rt AGC 中，222+=AG GC AC ，222((2)++x x ，∴x ==−x综上所述，当点P 与点G 重合时，线段AE 的长为 【点拨】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键．。
初中数学经典几何模型05-手拉手模型构造全等三角形(含答案)
初中数学经典几何模型专题05 手拉手模型构造全等三角形【专题说明】两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。
【知识总结】【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等图1 图2图3 图4二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；图1图2图3图41、如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：△DAB≌△DCE;DA∥EC.2、已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连结AE,BD交于点O,AE与DC交于点0，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.3、已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？4、如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.若AB=√2，AG=1，则EB=________________.5、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点，点G、E分别在线段AD、AB上，若将正方形AEFG 绕点A按顺时针方向旋转，连接DG,在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等？并说明理由。
6、已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上，连接BD,BE.以下四个结论:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠BDC=45°；④BE2=2(AD2+AB2)其中结论正确的个数是_______【基础训练】1、已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）.以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.如图1，当点D在边BC上时，求证：△ABD≌△ACE;直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需要证明）；如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程.2、如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点.若DE=13，BD=12，求线段AB的长.3、如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD,△BCE均为等边三角形，连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q，连接PQ,BM.下面结论：△ABE≌△DBC;∠DMA=60°；△BPQ为等边三角形；MB平分∠AMC.其中正确的有____________4、如图1，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M,连接CM.求证：BE=AD;用含α的式子表示∠AMB的度数；当α=90°时，取AD、BE的中点分别为点P、Q，连接CP,CQ,PQ,如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明.【巩固提升】1、已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD 的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．2、如图，△ABC中AB＝AC＝5，tan∠ACB＝，点D为边BC上的一动点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转得AE，使∠DAE＝∠BAC，DE与AB交于点F，连接BE．（1）求BC的长；（2）求证∠ABE＝∠ABC；（3）当FB＝FE时，求CD的长．3、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．（1）求证：△BCD≌△ACE；（2）如图2，连接ED，若CD＝2，AE＝1，求AB的长；（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CF⊥EB．4、如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，点F为线段AD的中点，连接CF．（1）如图1，当D点在BC上时，试判断线段BE、CF的关系，并证明你的结论；（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转一个锐角，其他条件不变时，请探究BE、CF的关系并直接写出结论．5、如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转a角（0°＜a＜180°），得到△AB′C′（如图2），连接DB'，EC'．（1）探究DB'与EC'的数量关系，并结合图2给予证明；（2）填空：①当旋转角α的度数为时，则DB'∥AE；②在旋转过程中，当点B'，D，E在一条直线上，且AD＝时，此时EC′的长为．6、如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM与射线OA相交于M点，CN与直线BO相交于N点．把∠MCN绕着点C旋转．（1）如图1，当点N在射线OB上时，求证：OC＝OM+ON；（2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是（直接写出结论，不必证明）专题05 手拉手模型构造全等三角形答案【专题说明】两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。