北师大高中数学必修四培优新方案同步课时跟踪检测五 单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质 单位圆的对称性

课时跟踪检测（五） 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本

性质 单位圆的对称性与诱导公式

一、基本能力达标 1．sin 480°的值为( )

A ．－1

2

B ．－32

C. 12

D.

32

解析：选D sin 480°＝sin(360°＋120°)＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝32

. 2．已知sin ????5π2＋α＝1

5

，那么cos α＝( ) A ．－2

5

B ．－15

C. 15

D. 25

解析：选C sin ????5π2＋α＝sin ????2π＋????π2＋α＝sin ????π2＋α＝cos α＝15. 3．函数y ＝sin x ，x ∈????－π4，π

4的最大值和最小值分别是( ) A ．1，－1 B ．1，

2

2 C.

22，－2

2

D ．1，－

22

解析：选C 函数y ＝sin x 在区间????－π4，π4上是增加的，则最大值是sin π4＝2

2，最小值是sin ????－π4＝－2

2.

4．sin(π－2)－cos ????

π2－2化简的结果为( )

A ．0

B ．－1

C ．2sin 2

D ．－2sin 2

解析：选A 原式＝sin 2－sin 2＝0，所以选A. 5．若sin(9π＋α)＝－1

2

，则cos ????7π2－α＝( ) A ．－1

2

B.12

C.

32

D ．－

32

解析：选A ∵sin(9π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α＝－1

2，

∴sin α＝1

2

，

∴cos ????7π2－α＝cos ????3π2－α＝－sin α＝－12. 6．函数y ＝2＋1

3

cos x 的定义域为________．

解析：由条件知定义域为R. 答案：R

7．函数y ＝sin x ，x ∈?

???－π，π

3的增区间为________，减区间为________． 解析：借助单位圆可知，y ＝sin x ，x ∈????－π，π3，在区间????－π，－π2上是减少的，在????－π2，π3上是增加的．

答案： ????－π2，π3 ?

???－π，－π

2 8．已知α为第二象限角，化简1＋2sin (5π－α)cos (α－π)

sin ????α－3π2－ 1－sin 2????3π2＋α＝________.

解析：原式＝1＋2sin α(－cos α)cos α－????cos ????3π2＋α＝|sin α－cos α|

cos α－|sin α|.

∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴原式＝sin α－cos α

cos α－sin α＝－1.

答案：－1

9．设f (θ)＝2cos 3θ＋sin 2???

?θ＋π

2－2cos (－θ－π)2＋2cos 2(7π＋θ)＋cos (－θ)

，

求f ????2 017π3的值．

解：因为f (θ)＝2cos 3θ＋sin 2???

?θ＋π

2－2cos (－θ－π)2＋2cos 2(7π＋θ)＋cos (－θ)

＝2cos 3θ＋cos 2θ＋2cos θ2＋2cos 2θ＋cos θ

＝cos θ(2cos 2θ＋cos θ＋2)2＋2cos 2

θ＋cos θ＝cos θ， 所以f ????2 017 π3＝cos 2 017 π

3 ＝cos ????336×2π＋π3＝cos π3＝1

2. 10．求下列函数的最小正周期及值域．

(1)y ＝－cos x ＋2；(2)y ＝a sin x ＋b (a ＜0)．

解：(1)当y ＝cos x 取得最大值时，y ＝－cos x ＋2取得最小值，而当y ＝cos x 取得最小值时，y ＝－cos x ＋2取得最大值，所以y ＝－cos x ＋2的值域是[1,3]，最小正周期是2π. (2)∵－1≤sin x ≤1，且a ＜0，∴当sin x ＝－1时，

y max ＝－a ＋b ；当sin x ＝1时，y min ＝a ＋b ，∴y ＝a sin x ＋b 的值域是[a ＋b ，－a ＋b ]，y ＝a sin x ＋b 的最小正周期是2π.

二、综合能力提升

1．如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是( )

A ．cos α＝cos β

B ．cos α＝－cos β

C ．sin α＝－sin β

D ．sin α＝cos β

解析：选B 由α＋β＝180°得α＝180°－β，两边同时取正弦函数得sin α＝sin(180°－β)＝sin β，两边同时取余弦函数得cos α＝cos(180°－β)＝－cos β. 2．化简sin (π＋α)cos (2π－α)

cos ????π2＋α所得的结果是( )

A ．sin α

B ．－sin α

C ．cos α

D ．－cos α

解析：选C 原式＝－sin αcos α

－sin α

＝cos α.

3．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，x ∈R ，且f (2 017)＝3，则f (2 018)的值为( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

解析：选C ∵f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝3，∴a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＝－1，∴f (2 018)＝a sin(2 017π＋α＋π)＋b cos(2 017π＋β＋π)＋4＝－a sin(2 017π＋α)－b cos(2 017π＋β)＋4＝1＋4＝5.

4．如果角α的终边经过点P (sin 780°，cos(－330°))，则sin α＝( ) A.3

2 B.12 C.22

D ．1

解析：选C sin 780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin 60°＝

3

2

，cos(－330°)＝cos(－360°＋30°)＝cos 30°＝32.所以P 32，32，所以r ＝|OP |＝62.由三角函数的定义，得sin α＝y r ＝3

262＝2

2

.

5．y ＝3sin x ，x ∈???

?－π3，4π

3的值域为________． 解析：借助单位圆可知，函数y ＝sin x ，x ∈????－π3，4π3在x ＝π2处取最大值1，在x ＝－π

3和x ＝4π3处同时取得最小值－32，即－32≤sin x ≤1，所以－33

2≤3sin x ≤3.

答案： ???

?－

332，3

6．已知sin ????π4－x ＝35，则cos ????x ＋π

4＝________. 解析：∵π4－x ＋x ＋π4＝π

2

∴cos ????x ＋π4＝sin ????π4－x ＝35. 答案：35

7．已知α是第四象限角，且

f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)

cos ????π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α).

(1)若cos ????α－3π2＝1

5，求f (α)的值； (2)若α＝－1 860°，求f (α)的值．

解：f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)

cos ????π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α)

＝sin αcos α

－sin αsin (π＋α)cos α

＝

1sin α

. (1)∵cos ????α－3π2＝15， ∴cos ????α－3π2＋2π＝15， ∴cos ????π2＋α＝15

， ∴sin α＝－15，∴f (α)＝1

sin α＝－5.

(2)当α＝－1 860°时，f (α)＝1sin α＝1sin (－1 860°)＝1－sin 1 860°＝1－sin (5×360°＋60°)

＝1－sin 60°＝－233.

8．已知函数f (x )＝

1

2－sin x

.

(1)判定函数f (x )是否为周期函数； (2)求函数f (x )的单调递增区间； (3)当x ∈???

?－π6，5π

6时，求f (x )的值域． 解：(1)由于－1≤sin x ≤1，所以f (x )的定义域是R. 又f (x ＋2π)＝12－sin (2π＋x )＝1

2－sin x ＝f (x )，

故f (x )是周期函数．

(2)由正弦函数的基本性质，可知在区间????2k π－π2，2k π＋π

2(k ∈Z)上，函数y ＝sin x 是增函数，而此时函数h (x )＝2－sin x 是减函数，从而可知此时函数f (x )是增函数， 故可知函数f (x )的单调递增区间为????2k π－π2，2k π＋π2 (k ∈Z)．

(3)设t ＝sin x ????x ∈????－π6，5π6，则t ∈???

?－12，1，

所以1≤2－t ＜52，则25＜1

2－t ≤1.

故f (x )的值域为????

25，1.