三次样条曲线

' '
同理可得，当 t=1 时
P (1) n( Pn Pn1 )
'
这两个式子说明：Bezier曲线在两端 点处的切矢方向与特征多边形的第一 条边和最后一条边相一致。
２.二次和三次Bezier曲线 (1) 三个顶点：P0,P1,P2 可定义一条 二次(n=2) Bezier曲线： 其相应的混合函数为：
法国的 Bezier 为此提出了一种新的 参数曲线表示方法，因此称为Bezier 曲线。后来又经过 Gordon、Forrest 和 Riesenfeld等人的拓广、发展， 提出了Ｂ样条曲线。 这两种曲线都因能较好地适用于 外形设计的特殊要求而获得了广泛的 应用。
一、Bezier曲线 Bezier曲线的形状是通过一组多边折 线（特征多边形）的各顶点唯一地定 义出来的。在这组顶点中： (1) 只有第一个顶点和最后一个顶点 在曲线上； (2) 其余的顶点则用于定义曲线的导 数、阶次和形状； (3) 第一条边和最后一条边则表示了 曲线在两端点处的切线方向。
t=1: i=n ,Bi,n(t)=1 in ,Bi,n(t)=0 P(1)=Pn
n! n 0 P(1) 1 (1 1) Pn Pn n!1
所以说，“只有第一个顶点和最后一个 顶点在曲线上”。即 Bezier曲线只通过多边折线的起点 和终点。
下面我们通过对基函数求导，来分析 两端切矢的情况。
3.1.2 B样条曲线和曲面
在我们工程中应用的拟合曲线，一般 地说可以分为两种类型：一种是最终 生成的曲线通过所有的给定型值点， 比如抛物样条曲线和三次参数样条曲 线等，这样的曲线适用于插值放样； 另一种曲线是，它的最终结果并不一 定通过给定的型值点，而只是比较好 地接近这些点，这类曲线（或曲面） 比较适合于外形设计。
３.二次Ｂ样条曲线 在二次Ｂ样条曲线中，n=2,k=0,1,2 故其基函数形式为：
1 2 F0 , 2 (t ) ( 1) j C 3j (t 2 j ) 2 2! j 0 1 3! 3! 3! 2 1 2 2 2 [ (t 2) (t 1) t ] (t 1) 2 3! 2! 2! 2 1 F1, 2 (t ) ( 2t 2 2t 1) 2 1 2 F2 , 2 (t ) t 2
P P 在数学上，可以很容易将参数曲线段 P P 拓张为参数曲面片。因为无论是前面 P P P P 的 Bezier 曲线还是Ｂ样条曲线，它 P P v P v P P P 们都是由特征多边形控制的。而曲面 P P 是由两个方向（比如 u 和 v ）的特征 u u P P 多边形来决定，这两个方向的特征多 双二次Bezier曲面和Ｂ样条曲面 边形构成特征网格。
B (t ) n[Bi 1,n1 (t ) Bi,n1 (t )]
' i ,n
得：
P ' (t ) n P i [ Bi 1, n 1 (t ) Bi , n 1 (t )]
i 0 n 1
讨论：
(n 1)! Bi 1, n 1 (t ) t i 1 (1 t ) n 1i (i 1)! ( n i )! (n 1)! Bi , n 1 (t ) t i (1 t ) n 1i i!( n 1 i )!
有了基函数，因此可写出二次Ｂ样条 曲线的分段表达式为：
Pi (t ) F0,2 (t ) Pi F1,2 (t ) Pi 1 F2,2 (t ) Pi 2
( i= 0,1,2,…,m )
m+1段
写成一般的矩阵形式为：
P (t ) Fk , 2 (t ) Bk t 2
P3 P1
P2 P0
P4
４.三次Ｂ样条曲线 分段三次Ｂ样条曲线由相邻四个顶点 定义，其表达式为： P( t )=F0,3(t)•B0+F1,3(t)•B1+F2,3(t)•B2 +F3,3(t)•B3 (0 t 1) 可见，由 n 个顶点定义的完整的三次 Ｂ样条曲线是由 n-3 段分段曲线连接 而成的。很容易证明，三次Ｂ样条曲 线在连接处达到二阶连续。 ***
2! B0, 2 (t ) t 0 (1 t ) 20 (1 t ) 2 0!2! 2! 1 2 1 B1, 2 (t ) t (1 t ) 2t (1 t ) 1 !1 ! 2! B2, 2 (t ) t 2 (1 t ) 2 2 t 2 2!0!
缺乏灵活性 一旦确定了特征多 边形的顶点数(m个)，也就决定了曲 线的阶次(m-1次)，无法更改； 控制性差 当顶点数较多时，曲 线的阶次将较高，此时，特征多边形 对曲线形状的控制将明显减弱；
不易修改 由曲线的混合函数可 看出，其值在开区间 ( 0 , 1 ) 内均不为 零。因此，所定义之曲线在 ( 0 < t < 1) 的区间内的任何一点均要受到全部顶 点的影响，这使得对曲线进行局部修 改成为不可能。
（而在外形设计中，局部修改是随时要进行的）
为了克服 Bezier 曲线存在的问题， Gordon 等人拓展了 Bezier曲线，就 外形设计的需求出发，希望新的曲线 要： 易于进行局部修改； 更逼近特征多边形； 是低阶次曲线。 于是，用 n次Ｂ样条基函数替换了伯 恩斯坦基函数，构造了称之为Ｂ样条 曲线的新型曲线。
i 0 j 0 n m
式中：(0 ≤ u,v ≤ 1) ; Bi,n(u) 为 n 次 Bernstein 基函数；连接点列 bi,j 中相 邻两点组成特征网格。
t=0: i=0: Bi-1,n-1(t)=0； Bi,n-1(t)=1。 i=1: Bi-1,n-1(t)=1； Bi,n-1(t)=0。 i2: Bi-1,n-1(t)=0； Bi,n-1(t)=0。
（均出现 0 的非 0 次幂）
t=0
P (0) P (t 0) n( P 1P 0)
因为在外形设计中(比如汽车、船舶)， 初始给出的数据点往往并不精确；并 且有的地方在外观上考虑是主要的， 因为不是功能的要求，所以为了美观 而宁可放弃个别数据点。因此不须最 终生成的曲线都通过这些数据点。 另一方面，考虑到在进行外形设计时 应易于实时局部修改，反映直观，以 便于设计者交互操作。第一类曲线在 这方面就不能适应。
k 0 2

1 2 1 B0 1 B t 1 2 2 0 1 2 1 0 1 B2

式中，Ｂk为分段曲线的Ｂ特征多边形 的顶点：B0,B1,B2。对于第i段曲线的 Bk 即为：Pi,Pi+1,Pi+2 连续的三个顶 点。 （见下图）
B0 1 B 1 0 B2
与以上这些式子所表达的性质相符的 曲线是何种形状：（见下图）
B1 P(1/2) P(0) P'(1/2) P(1)
M
B0
是什么曲线？ 与Bezier曲线有 何差别？
B2
结论：分段二次B样条曲线是一条抛 物线；有n个顶点定义的二次B样条曲 线，其实质上是n-2段抛物线（相邻三 点定义）的连接，并在接点处达到一 阶连续。（见下图）
Ｂ样条曲线是一种非常灵活的曲线， 曲线的局部形状受相应顶点的控制很 直观。这些顶点控制技术如果运用得 好，可以使整个Ｂ样条曲线在某些部 位满足一些特殊的技术要求。如： 可以在曲线中构造一段直线； 使曲线与特征多边形相切； 使曲线通过指定点； 指定曲线的端点； 指定曲线端点的约束条件。
三、B样条曲面
12 12 22 22 02 02 01 11 21 01 11 21 10 10 00 20 00 20
１.Bezier 曲面
给定了(m+1)(n+1)个空间点列 bi,j (i=0, 1,2,…,n; j=0,1,2,…,m)后，可以定义m n次 Bezier 曲面如下式所示：
P(u, v) Bi ,n (u ) B j ,m (v) bi , j
伯恩斯坦基函数的表达式为：
n! Bi , n (t ) t i (1 t ) n i i!(n i )!
假如规定：０＝１，０！＝１，则 t=0: i=0 ,Bi,n(t)=1 i0 ,Bi,n(t)=0 P(0)=P0
n! 0 n P(0) 0 (1 0) P0 P0 1 n!
B: P1,P2,P3 P1
i=1 P1,2(t)
P3
n=2,二次B样条曲线 m+n+1个顶点，三 点一段，共m+1段。
i=0 P0,2(t)
P2
P4
P0 B: P0,P1,P2
二次Ｂ样条曲线的性质
先对 P(t)求导得：
P (t ) t 1 1 1
2 1
然后分别将 t=0,t=0.5,t=1 代入 P(t) 和 P’(t)，可得： P(0)=1/2(B0+B1), P(1)=1/2(B1+B2); P’(0)=B1-B0, P’(1)=B2-B1; P(1/2)=1/2{1/2[P(0)+P(1)]+B1} P’(1/2)=1/2(B2-B0)=P(1)- P(0)
P(1/2) P'(1/2) P0 Pm P2 P1
二次 Bezier 曲 线是一条抛物线
(2) 四个顶点 P0、P1、P2、P3 可 定义一条三次 Bezier 曲线：
P(t ) (1 t ) P0 3t (1 t ) P1 3t (1 t ) P2 t P3
3 2 2 3
在以上表达式中： F k,n ( t ) 为 n 次B样条基函数，也称Ｂ 样条分段混合函数。其表达式为：
1 nk j j n Fk ,n (t ) (1) C n1 (t n k j ) n! j 0
式中： 0 ≤ t ≤1 k = 0, 1, 2, …, n