习题课基本计数原理
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习题课基本计数原理
一、基础过关
1.如图,小圆点表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可沿不同的路径同时传递,则单位时间传递的最大信息量是
()
A.26 B.24 C.20 D.19
2.已知x∈{1,2,3,4},y∈{5,6,7,8},则xy可表示不同值的个数为() A.4 B.8 C.16 D.15
3.从0,1,2,…,9这10个数字中,任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a,b)的坐标,能够确定不在x轴上的点的个数是() A.100 B.90 C.81 D.72
4.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是() A.48 B.18 C.24 D.36
5.现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有()
A.24种B.30种C.36种D.48种
6.将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,如图是一种填法,则不同的填写方法共有
()
A.6种B.12种C.24种D.48种
二、能力提升
7.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1项,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案有________种.
8.有10本不同的数学书,9本不同的语文书,8本不同的英语书,从中任取两本不同类的书,共有______种不同的取法.
9.某班从6名学生中选出4人分别参加数、理、化、生四科竞赛且每科只有1人,其中甲、
乙两人不能参加生物竞赛.则不同的选派方法共有________种.
10.若把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有________对.
11.三边长均为整数,且最大边长为11的三角形个数是多少?
12.从{-3,-2,-1,0,1,2,3}中,任取3个不同的数作为抛物线方程y=ax2+bx+c的系数,如果抛物线经过原点,且顶点在第一象限,则这样的抛物线共有多少条?
三、探究与拓展
13.(1)从5种颜色中选出三种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,每个顶点上染一种颜色,并使同一条棱上的两端点异色,求不同的染色方法总数.
(2)从5种颜色中选出四种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,每个顶点上染一种颜
色,并使同一条棱上的两端点异色,求不同的染色方法总数.
答案
1.D 2.D 3.C 4.D 5.D 6.B 7.96 8.242 9.240 10.24
11.解 设较小的两边长为x ,y ,且x ≤y ,
则x ≤y ≤11,x +y >11,x ,y ∈N *. 当x =1时,y =11; 当x =2时,y =10,11; 当x =3时,y =9,10,11; 当x =4时,y =8,9,10,11; 当x =5时,y =7,8,9,10,11; 当x =6时,y =6,7,8,9,10,11; 当x =7时,y =7,8,9,10,11; 当x =8时,y =8,9,10,11; 当x =9时,y =9,10,11; 当x =10时,y =10,11; 当x =11时,y =11. 所以不同三角形的个数为
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36.
12.解 因为抛物线经过原点,所以c =0,从而知c 只有1种取值.
又抛物线y =ax 2
+bx +c 顶点在第一象限,所以顶点坐标满足⎩⎪⎨⎪
⎧
-b
2a
>0,4ac -b
2
4a >0,
由c =0解得a <0,b >0,
所以a ∈{-3,-2,-1},b ∈{1,2,3},
这样要求的抛物线的条数可由a ,b ,c 的取值来确定: 第一步:确定a 的值,有3种方法; 第二步:确定b 的值,有3种方法; 第三步:确定c 的值,有1种方法.
由分步乘法计数原理知,表示的不同的抛物线有N =3×3×1=9(条).
13.解 (1)如图,由题意知,四棱锥S -ABCD 的顶点S 、A 、B 所染色互不相同,则A 、C 必须颜色相同,B 、D 必须颜色相同,所以,共有5×4×3×1×1
=60(种).
(2)由题意知,四棱锥S -ABCD 的顶点S 、A 、B 所染色互不相同,则A 、C 可以颜色相同,B 、D 可以颜色相同,并且两组中必有一组颜色相同.所以,先从两组中选出一组涂同一颜色,有2种选法(如:B 、D 颜色相同);再从5种颜色中,选出四种颜色涂在S 、A 、
B 、
C 四个顶点上,有5×4×3×2=120(种)涂法;根据分步乘法计数原理,共有2×120
=240(种)不同的涂法.