简单数学建模应用例子

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建模实例
图中椅脚连线为正 方形ABCD，对角线 AC与x轴重合 椅子 绕中心点旋转角度 后，正方形ABCD转 至A`B`C`D`的位置， 所以对角线AC与x
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建模实例
轴的夹角 表示了椅子的位置。 其次要把椅子脚着地，用数学符号表示出 来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖 直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚 着地了，椅子在不同的位置椅脚与地面的 距离不同，所以这个距离就是位置变量 的 函数。
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建模实例
产生上述现象的主要原因是，随着人口的增加， 自然资源，环境条件等因素对人口继续增长的 阻滞作用越来越显著，人口增长率会逐渐减少。 许多国家人口增长的实际情况完全证实了这一 点。
为了使人口增长的预期与实际更好地相符，必 须修改指数增长模型关于人口增长率是常数的 基本假设。
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建模实例
在xoy坐标系上画出如图所示的方格，方格点 上的坐标同时也表示状态s = ( x , y ). 允许状 态集是沿方格 线移动1或2格，k为奇数时向左、 下方移动，k为偶数
时向右、上方移动。
要确定一系列的dk使 由s1=(3,3)经过那些 点最终移至原点（0，
0），左图中给出了
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建模实例
用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量 表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变 化的规律。问题转化为在状态的充许变化范围 内，确定每一步的决策，达到渡河的目标 模型的过成： 记第k次渡河前此岸的商人数为xk随从数为yk, k=1,2,……，xk , yk =0,1,2,3，将二维向量 sk=(xk,yk)定义为状态，
若今年人口数为x0, k年后人口为xk, 年增长率为 r， 则预报公式为
xk x0 (1 r)k （1）
显然，这个公式成立的基本前题是年增长率r 保持不变，这个条件在什么情况下才成立，如 果不成立又该怎么办。历史上，人口模型的发 展过程回答了这个问题。
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早在18世纪人们就开始进行人口预报工作了， 一二百年来发展了许多模型，下面将介绍最简 单的两种。
x(t t) x(t) rx(t)t
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于是x(t)满足如下方程：
dx rx dt x(0) x0
易知其解为 x(t) x0ert
（2） （3）
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上式表明了人口增长的指数规律，此时将t离 散化，并认为r较小，则可得（1）式，即（1） 为指数增长模型的一种离散形式的近似表示。 人们发现，在地广人稀的加拿大领土上，法国 移民后代的人口比较符合指数增长模型，而同 一血统的法国本土居民人口的增长却远低于这 个模型。
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当x=xm时增长率为零，即r(xm)=0,由此确定出 s，此时人口增长率函数可以表示为
r(x) r(1 x ) xm
（4）
其中r ,xm是根据人口统计数据或经验确定的常数，
因子
(1 x体) 现了阻滞增长作用，
xm
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在（4）的假设下指数增长模型（2）应为
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阻滞增长模型（Logistic模型）
将增长率r表示为人口x(t)的函数r(x),按照前 面的分析，r(x)应是x的减函数。一个最简单的 假设是设 r(x)为x的线性函数， r(x)=r-sx, s>0, 这里r相当于x=0时的增长率，称为固有增长率， 它与指数模型中的增长率r不同，显然，对于 任意的x>0，增长率r(x)<r。为确定系数s的意 义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大 人口数量xm, 称为最大人口容量。
指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766-1834） 根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了 著名的人口指数增长模型。这个模型的基本假 设是：人口的增长率是常数，或者说，单位时 间内人口的增长量与当时的人口成正比。
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记t时刻的人口数为x(t), 考查一个国家或一个 很大地区的人口时， x(t)是很大的整数。为了 利用微分这一工具，将x(t)视为连续、可微函 数。记初始时刻的人口为x0，人口增长率为r， r是单位时间内x(t)的增量与x(t)的比例系数， 根据r是常数的基本假设，t到t+Δt时间内人口 的增长为
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安全渡河条件下的状态集称为允许状态集合， 记作S，不难写出
S={（x,y）|x=0, y=0, 1, 2, 3; x=y=1,2} - (1)
记第k次渡船上的商人数为uk ,随从数为vk ,将 二维向量dk = (uk,vk)定义为决策，允许决集合 记作D，由小船的容量可知
2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不 会出现间断，即地面可视为数学上的连续曲面。
3. 对椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是 相对平坦的，使椅子在任何位置至少三只脚着 地。
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这里假设1显然是合理的，假设2相应于 给出了椅子能放稳的条件，因为如果地面 高度不连续，譬如在有台阶的地方是无法 使椅子四脚同时着地的，至于假设3是要 排除这样的情况：地面上与椅脚间距和椅 腿长度的尺寸大小相应的范围内，出现深 沟或凸峰，致使三只脚无法同时着地。
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例3 如何预报人口的增长 人口增长是当前世界上引起普遍关注的问题， 我们经常在报刊上看见关于人口增长的预报， 说到本世纪末，全世界人口将达到多少多少亿， 你可以注意到不同报刊对同一时期人口的预报 在数字上常有较大差别，这显然是由于用了不 同的人口模型计算的结果。
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数学建模
简单建模实例
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实例一：椅子能在不平的地面上放稳吗？ 把椅子往不平的地面上放，通常只有三只脚着 地，放不稳，然而只需挪动几次，就可以使四 脚同时着地，放稳了。这看来似乎与数学无关 的现象能够用数学语言以表述，并用数学工具 来证实吗？
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模型假设：对椅子和地面应该作一些必要的假 设。 1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可 视为一个点，四脚的连线呈正方形。
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模型构成： 这里首先要解决的中心问题是用数学语言把椅 子四脚同时着地的条件和结论表示出来。 首先要用变量表示椅子的位置，注意到椅脚连 线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心 的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以 用旋转角度这一变量表示椅子的位置。
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dx r(1 x )x
dt
xm
x(0) x0
（5）
称为阻滞增长模型，非线性微分方程（5）可 以用分离变量法求解，结果为
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x(t)
xm
1 ( xm 1)ert
x0
（6）
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一种决策方案，最终
20有20/2/2s912=(0,0).
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评注 这里介绍的模型是一种规格化的方 法，使我们可以用计算机求解，从而具有 推广意义，譬如当商人和随从人数增加或 小船容量加大时，靠逻辑思考就困难了， 而这种模型则仍可方便地求解，如商人及 随从数各增加1名，小船不变如何求解？
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这里是要用数学方法求解，一是为了给出建模 的示例，二是因为这类模型可以解决相当广泛 的一类问题，比逻辑思索的结果容易推广。
由于问题已经理想化了，所以不必再作假设。 安全渡河问题可以视为一个多步决策过程。每 一步即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸， 都要对船上的人员作出决策，在保证安全的前 题下，在有限步内使人员全部过河，
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这样，改变椅子的位置，使四脚同时着地， 就归结为证明如下数学命题：
已知f()与g()是 的连续函数，对任意 的 ，f()g()=0且g(0)=0，f(0)>0 .则存在
0使f( 0)=g(0)=0.
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可以看到，引入了变量和函数 f ( ),g( )
D={（u,v）| u + v = 1 , 2 }-
(2)
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因为k为奇数时船由此岸驶向彼岸，k为
奇数时船由彼岸驶回此岸，所以状态sk 随 决策dk变化的规律是：
sk+1 = sk + (-1) k d k
- (3)
(3)式称状态转移律，这样，制定安全渡
河方案归结为如下的多步决策问题：
就把模型的假设条件和椅脚同时着地的结 论用简单、精确的数学语言表述出来，从 而构成了这个实际问题的数学模型。
模型求解
上述命题有多种证明方法，这里介绍其中 的一种，将椅子旋转900 ，对角线AC与 BD 互 换 ， 由 于 g(0)=0, f(0)>0 ， 可 知
20g20/2(/299 0)>0, f(90)=0.
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评注：这个模型的巧妙之处在于用一元变量
表示椅子的位置，用 的两个函数表示椅子的 四脚与地面的距离，利用正方形的中心对称及 旋转900并不是本质的，大家可以考虑四脚呈 长方形的情形（作业）
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例2 商人怎样安全过河？