平面向量知识点归纳及常考题型分析

平面向量知识点归纳及常考题型分析

【知识点回顾】

1、实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;

(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ;

(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb

2、向量的数量积的运算律：

(1) a ·b = b ·a （交换律）;

(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b =a ·（λb ）;

(3)（a +b ）·c = a ·c +b ·c

3、平面向量基本定理

如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．

不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

4、向量共线（平行）的坐标表示

设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a //b (b ≠0)1221x y x y ?-=

5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ

6、a ·b 的几何意义：

数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．

7、平面向量的坐标运算

(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++

(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --

(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,AB OB OA x x y y =-=--(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,x y λλ (5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212(x x y y +

8、两向量的夹角公式 12

cos ||||a b a b x θ?==?+a =11(,)x y ,b =

22(,)x y )9、平面两点间的距离公式

,A B d =||AB AB AB =?=11(,)x y ，B 22(,)x y ) 10、向量的平行与垂直 ：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 a ||b ?b =λa 1221x y x y ?-=

a ⊥

b (a ≠0)? a ·b =01212x x y y ?+=11、线段的定比分公式 ：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则1212

11x x x y y y λλλλ+?=??+?+?=?+?

?121OP OP OP λλ+=+?12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+） 12、三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,33

x x x y y y G ++++ 13、点的平移公式

''''x x h x x h y y k y y k

??=+=-?????=+=-????''OP OP PP ?=+ 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'

PP 的坐标为(,h k 14、“按向量平移”的几个结论

（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'

(,P x h y k ++ (2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'

C 的函数解析式为()y f x h k =-+ (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'

C 的函数解析式为()y f x h k =+-(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'

C 的方程为(,)f x h y k --= (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,x y

15、 三角形五“心”向量形式的充要条件

设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则

（1）O 为ABC ?的外心222

OA OB OC ?== （2）O 为ABC ?的重心OA OB OC ?++=

（3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC ??=?=?

（4）O 为ABC ?的内心aOA bOB cOC ?++=

（5）O 为ABC ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+

【题型归纳】 一、向量的概念和基本运算 例1、（1）判断下列命题是否正确： ①若a b =，则a b =；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；

③若AB DC =，则ABCD 是平行四边形；④若ABCD 是平行四边形，则AB DC =；

⑤若,a b b c ==，则a c =；⑥若//,//a b b c ，则//a c 。

（2）关于平面向量，

，a b c ．有下列三个命题： ①若??a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，

，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60．

其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）

例2、如图，OADB 是以向量,OA a OB b ==为边的平行四边形，又

11,33

BM BC CN CD ==，试用,a b 表示,,OM ON MN 。 二、平面向量的数量积

例3、已知(1,2),(,1),2,2a b x u a b v a b ===+=-，根据下列情况求x ：（1）//u v ；（2）u v ⊥。

例4、（1）已知,a b 是两个非零向量，且,a b a b a a b ==-+求与的夹角.

（2）已知(1,2),(1,1),a b a a b λ==+且与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.

例5、已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),a x x b y y ==a 与b 之间有关系式 3,0ka b a kb k +=->其中。

（1）用k 表示a b ?；（2）求a b ?的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小。

三、定比分点及平移公式

例6、将函数72sin(2)13y x π=-+图像，按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否 唯一？若唯一，求出a ；若不唯一，求出模最小的向量。

例7、已知三点(0,8),(4,0),(5,3)A B C --，点D 分AB 所成的比为13

，E 为BC 上的点且使BDE ?的面积是ABC ?的面积的一半，求E 的坐标.

四、平面向量综合题

例8、已知向量a = ( 3 sin ωx ，cos ωx )，b =( cos ωx ，cos ωx )，其中ω＞0，记函数()f x =a ·b ，已知)(x f 的最小正周期为π．

（1）求ω；

（2）当0＜x ≤π3

时，试求f (x )的值域．

例9、已知{a n }是等差数列,公差d ≠0，其前n 项和为Sn,点列P 1（1,S 11）,P 2(2, S 22 )，……P n （n ，S n n

）及点列M 1(1,a 1)，M 2(2,a 2)，……，Mn （n ，a n ）

（1）求证：1n PP (n>2且n ∈N*)与12PP 共线；

（2）若12PP 与12M M 的夹角是α，求证：|tan α|≤

24

练 习

1、在ABC ?中，已知1AB =，2BC =，且3ABC π∠=

，则AB BC ?=（ ）

A. B. C. 1 D .1-

2、已知向量a 、2b 、3c -、d 首尾相连能构成四边形，其中(2,3)a =，(1,2)b =，(3,6)c =，则d 为（ ）

A.（5，-11）

B.（-5，11）

C.（-5，-11）

D.（5，11）

3、设(1,cos )a α=-，(2cos ,1)b α=，且//a b ，则α的值为（ ）

A .()4k k Z παπ=+

∈ B.()4k k Z παπ=-∈ C. ()24k k Z ππα=-∈ D.()24

k k Z ππα=+∈ 4、已知(1,)A x ，(5,)B x ，(4,)C x ，则C 分BA 所成的比为（ ）

A 3-

B 13

C 3

D 13

- 5、若a 与b 同向，且15b =，(3,4)a =-，则b 为（ ）

A.（9，12）

B.（－9，12）

C.（－9，12）或（9，－12）

D.（9，12）或（－9，－12）

6、已知(3,1)b =-，(2,1)c =，若//a c ，则a b +的最小值为（ ）

A B C 5 D 5-

7、设(1,1)A -，(4,5)B -, A 、B 、C 三点共线，13BA AC =，则C 点坐标为（ ） A （16，－19） B （14，－17） C （16，－19）或（－14，17） D （16，－19）或（14，－17）

8、下列命题中真命题的个数为（ ）

①a b c b ?=?? a c =；②a c =? ()()a b c a b c ?=?；③a c ⊥，b c ⊥?()a b c -⊥；④若,,互不共线，则)//(),//(++?)//(+

A 0

B 1

C 2

D 3

9、ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若c b ==120B =，则a 等于 A

B ．2

C

D 10、已知(1,2),(3,)OA OB m =-=，若OA OB ⊥，则m = .

11、已知平面向量(2,4)a =，(1,2)b =-．若()c a a b b =-?，则||c =_________________。 12、a ，b 的夹角为120?，1a =，3b = 则5a b -=_________________。

13、在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为_________________。

14、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()

C a A c b cos cos 3=-，则=A co s _________________。 15、已知点12(2,1),(4,3)P P -，求下列情况下，点P 分有向线段12P P 所成的比λ及点P 的坐标： （1）点P 在线段12P P 上，且12114

PP PP = （2）点P 在12P P 的反向延长线上，2123P P PP =

16、已知三点(0,8)A ，(4,0)B -，(5,3)C -，D 内分AB 之比为

13

，E 点在线段BC 上，且使BDE ?的面积是ABC ?面积的一半，求DE 中点的坐标。

17、已知||2a =，||1b =，,60a b =，若a b λ+与27a b λ+的夹角为钝角，求λ的范围。 18、已知平面向量13(3,1),(,)2a b =-=。 （1）证明：a b ⊥；（2）若存在不同时为零的实数k 和t ，使2(3),x a t b y ka tb =+-=-+，且x y ⊥，试求函数关系式()k f t =；（3）根据（2）的结论，确定函数()k f t =的单调区间。