向量基本概念

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向量的基本概念

向量的基本概念

向量的基本概念
向量是线性代数中的基本概念之一,它是指一个有大小和方向的量。

向量通常用箭头表示,箭头的长度表示向量的大小,箭头的方向表示向量的方向。

向量可以用坐标表示,也可以用向量的起点和终点表示。

向量的大小也称为向量的模或长度,它表示向量的大小,通常用||v|| 表示。

向量的方向表示向量的朝向,可以用角度或者方向余弦表示。

向量的起点和终点表示向量的位置,起点表示向量的起点,终点表示向量的终点。

向量可以进行加法和数乘运算。

向量的加法表示将两个向量的大小和方向相加,得到一个新的向量。

向量的数乘表示将一个向量乘以一个标量,得到一个新的向量,新向量的大小为原向量的大小乘以标量,方向不变或者相反。

向量可以用于表示物理量,如力、速度、位移等。

在计算机图形学、机器学习等领域,向量也被广泛应用。

总之,向量是一个有大小和方向的量,它可以用坐标或者起点和终点表示,可以进行加法和数乘运算,可以表示物理量和应用于计算机科学等领域。

向量基本概念及坐标表示

向量基本概念及坐标表示

向量基本概念及坐标表示1、向量:既有大小,又有方向的量.零向量:长度为0的向量.单位向量:长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量:长度相等且方向相同的向量.2、 (1)向量既有大小又有方向的量。

(2)向量的模一一有向线段的长度,|a|(3)单位向量|a o| 1, a o —|a|(4)零向量0 , |0| 0在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变3、共线向量(平行向量) 方向相同或相反的向量。

规定零向量与任意向量平行。

(5)相等的向量长度相等方向相同b // a (b 0) 存在唯一实数,使b aOA OB OC OA OB BA3.与向量 d (12,5)平行的单位向量为 ()12 A.占,5) 13 C( 12 5、十 / 12 5 C.(一,)或(,B.D ・( 12 513' 1312 513' 13 5、平面向量基本定理(向量的分解定理)e i , e 2是平面内的两个不共线向量,a 为该平面任一向量,则存在唯一实数对1、 2,使得a 1e i2e 2 , e i 、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

6向量的坐标表示i ,j 是一对互相垂直的单位向量,则有且只有一对实数 x ,y ,使得a x i y j ,称(x , y )为向量a 的坐标,记作:a x ,y ,即为向量的坐标 表示。

设 a x 1, y 1, b X 2, y 2贝 y a b x 1,y 1y 1, y 2 x1y 1, X 2 y 2aX" y 1X 1, y 1若A x 1,y 1,B x 2,y 2则 AB X 2 X 1,y Y 1练习题:1.将—[2(2 a 8b) 4(4 a12A. 2a bB.C. a b D .2.如图 1所示,向量OA,OB,C )C 的终点A, B ,C 在一条直线上,且nnOAp ,mu OBq ,O C r ,则以下等式中成立的是(A. r3 312q B.r p 2qc. r尹 2qD.2p2b )]化简成最简式为(2b ab a f图IuurACUUU 3CB ,设4. 已知向量a (2,3),b(1,2),若ma nb 与a 2b 共线,则m等于()n11A. 1B.2C.丄 D.-2225 •已知非零向量 u 和e 2不共线,欲使te i e 2和◎ t e ?共线,则实数t 的值为 _______ •6•平行四边形ABCD 中,M 为DC 中点,N 为BC 的中点•设AB a , AD b ,,BJUD则MN _____________ (用a , b 表示).7. 已知向量 a (3,1),b (1,3),c (k,7),若(a c)//b,则k _____________ 8. 设向量a (1,2),b (2,3),若向量 a b 与向量C (4,7)共线,则 = ______9. 两个非零向量厲,e 2不共线.ujuuur ium,「「八(1) 若 AB ee 2,BC2e 1 8e 2,CD3(©e 2),求证:A B ,D 三点共线;(2) 求实数k ,使k e 1 e 2与2e k e :共线.uuu10 .已知Y ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ,且OAUUU UUU UULTUUUb 分别表示向量OC ,OD ,DC ,BC .错误!未找到引用源若A 、B 、D 三点共线,求k 的值.11、设0(2是两个不共线的向量,AB 2ei ke 2 ,CB e 13e 2, CD 2e 1e 2,uuua ,OBb ,用向量a ,12.已知向量 a ( 3,2),b (2,1),c (3, 1),t R.若a tb与c共线,求实数t.。

向量的基本概念及其应用

向量的基本概念及其应用

向量的基本概念及其应用向量是高中数学和物理学中一个非常重要的概念,也被广泛地应用于计算机科学和工程学中。

在本文中,我们将讨论向量的基本概念及其应用,并从几个不同的角度来探讨这个概念。

一、什么是向量向量是一个有方向和大小的量。

它通常用箭头表示,箭头的方向表示向量的方向,箭头的长度表示向量的大小。

一个向量通常由两个分量表示,即水平分量和垂直分量。

水平分量是向量在水平方向上的长度,垂直分量是向量在垂直方向上的长度。

向量的长度可以通过勾股定理计算,即 length = sqrt(x^2+y^2)。

二、向量的基本属性向量有几个基本属性,包括加法、减法、数量积和向量积等。

向量的加法定义为从一个向量的尾部到另一个向量的头部的箭头之间绘制一条新的向量。

向量的减法定义为从一个向量的头部到另一个向量的头部之间绘制一条新的向量,并将其指向第二个向量的尾部。

数量积是向量的点积,它定义为两个向量的元素逐个相乘并相加的结果。

向量积是两个向量的叉积,它定义为两个向量垂直于彼此并且其大小等于两个向量的元素积的向量。

三、向量的应用向量在许多领域中都有应用,包括物理学、计算机科学和工程学等。

在这些领域中,向量通常用于计算和表示对象之间的关系。

物理学中,向量常用于描述力、速度和加速度等现象。

例如,在计算机模拟中,向量可以用于表示移动的物体的速度和方向,以及与其互动的物体之间的相对位置。

在计算机科学中,向量广泛用于计算机图形学和机器学习中。

在计算机图形学中,向量通常用于描述三维空间中的点和方向。

在机器学习中,向量通常用于表示特征向量,这些向量可以用于分类和聚类等任务。

工程学中,向量通常用于计算和表示力和位移等物理量。

例如,在建筑设计中,向量可以用于表示结构中各部件之间的关系,以及在运动控制系统中,向量可以用于描述机器人臂的位置和末端执行器的移动。

结论向量是一个有方向和大小的量。

它通常用箭头表示,箭头的方向表示向量的方向,箭头的长度表示向量的大小。

数学向量的运算知识点总结

数学向量的运算知识点总结

数学向量的运算知识点总结一、向量的基本概念首先,我们来回顾一下向量的基本概念。

向量是一个具有大小和方向的量,通常用箭头表示,箭头的方向表示向量的方向,箭头的长度表示向量的大小。

在数学上,一般用坐标表示一个向量,比如在二维空间中,一个向量可以表示成(x, y),表示向量在x轴和y轴上的分量,而在三维空间中,一个向量可以表示成(x, y, z),表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。

向量的加法、减法、数量乘法等运算可以通过分量的运算来完成,这些运算规则将在后面详细介绍。

二、向量的加法和减法向量的加法是指两个向量相加得到一个新的向量的操作,减法则是指一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

向量的加法和减法都是分量相加和分量相减的操作。

比如,对于两个二维向量A=(x1, y1)和B=(x2, y2),它们的加法和减法可以表示为:A+B = (x1+x2, y1+y2)A-B = (x1-x2, y1-y2)在三维空间中,向量的加法和减法同样可以通过分量相加和分量相减来完成。

向量的加法和减法满足交换律和结合律,即A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C)。

三、数量乘法数量乘法是指一个向量乘以一个标量得到一个新的向量的操作。

比如,对于一个二维向量A=(x, y)和一个标量k,它们的数量乘法可以表示为:kA=(kx, ky)这里k是一个实数。

数量乘法有分配律和结合律,即k(A+B)=kA+kB,(k+m)A=kA+mA。

四、内积内积又称点积,是两个向量相乘得到一个标量的操作。

对于两个n维向量A=(a1, a2, ..., an)和B=(b1, b2, ..., bn),它们的内积可以表示为:A•B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn内积有交换律和分配律,即A•B=B•A,A•(B+C)=A•B+A•C。

内积可以用来求向量的夹角和判断向量的正交性。

五、外积外积又称叉积,是两个向量相乘得到一个新的向量的操作。

向量基本概念和基本运算

向量基本概念和基本运算


(b)
向量等式的移项法则:在向量等式中,将某一向量从等号的一端移到另一端,只 需改变它的符号。
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三、向量的减法
向量减法的几何图示法: 已知向量 a 、b 如何做出a b ? OB BA OA BA OA OB
自空间任意点O引向量 OA a O, B b 那么向量 BA a b 即为所作。
O
a
A
二、向量的加法
定理1.2.2:向量的加法满足下面的运算规律:
(1)交换律:
a

b

b

a.
(2)结合律:
a

b

c

(a

b)

c

a

(b

c ).
(3)零 元: a + 0 = a.
(4)反向量:
a (a)
0.
二、向量的加法
有限个向量 a1, a2, an 相加可由向量的三角形求和法则推广:自任意点O开始, 依次引 OA1 a1, A1A2 a2 , , An1An an , 由此得一折线 OA1 A2 An , 于是向量 OAn a 就是 n 个向量 a1, a2 , , an 的和,即:
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性质: 对于任意两向量 a 、b ,有下列不等式 a b a b a b .
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四、向量的数乘
定义1.3.1:实数 与向量 a 的乘积是一个向量,记做 a,它的模是a a ; a 的方向,当 0 时与 a 相同,当 0 时与 a 相反。
我们把这种运算叫做数量与向量的乘法,简称为数乘。
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四、向量的数乘

向量代数的基本概念及运算法则

向量代数的基本概念及运算法则

向量代数的基本概念及运算法则向量代数是线性代数的重要部分,涉及了向量的基本概念及其运算法则。

本文将介绍向量的概念、向量的加法和减法运算法则、向量的数乘运算法则,并讨论一些常见的向量运算性质。

一、向量的概念向量是具有大小和方向的物理量,常用有向线段表示。

通常将向量用字母加箭头表示,例如,向量a用记号“→a”表示。

向量有两个重要的属性,即大小(模)和方向。

向量的大小表示向量的长度或大小,用|→a| 或||→a|| 表示,读作“模a”或“a的模”。

向量的方向表示指向何处,可以用角度、弧度或者其他方式进行表示。

二、向量的加法和减法运算法则向量的加法运算是指将两个向量进行求和的运算,其法则可以用平行四边形法则和三角法则表示。

平行四边形法则可以简要描述如下:设有向量→a和→b,取→a的起点作为平行四边形的一个顶点,将→b 平移至→a的终点,以→a和→b的起点为相对顶点形成平行四边形,平行四边形的对角线所表示的向量,即为向量→a和→b的和向量→a+→b。

三角法则可以简要描述如下:将→a和→b的起点相接,以→a的终点为直角,连接→b的终点和→a的起点,所得的向量即为向量→a和→b的和向量→a+→b。

向量的减法运算是指将两个向量进行相减的运算,可以通过向量的加法和取负得到。

设有向量→a和→b,向量→a减去向量→b即为向量→a加上向量→b的负向量,即→a-→b=→a+(-→b)。

三、向量的数乘运算法则向量的数乘运算是指将一个向量乘以一个实数的运算,用以改变向量的长度或方向。

设有向量→a和实数k,向量→a与k的乘积,记作k→a,即为把向量→a的长度伸缩为原来的|k|倍,并在原来的方向上(若k>0)或相反方向上(若k<0)。

四、常见的向量运算性质1. 交换律:向量加法满足交换律,即→a+→b=→b+→a。

2. 结合律:向量加法满足结合律,即(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。

3. 分配律:向量的数乘运算满足分配律,即k(→a+→b)=k→a+k→b。

向量的基本概念

向量的基本概念
CB DO
FE
向量
练习:
(1)下列各量中是向量的是( B ) A.动能 B.重量 C.质量 D.长度
F (2)等腰梯形 ABCD中,对角线 AC 与 BD相交于点 P,点 E 、
BC上, EF过点 P且 EF // AB ,则下列等式正 分别在两腰 AD 、 确的是( D ) A. AD BC B.AC BD
C. PE PF 相反 的共线向量 _________
D.EP PF
相等 (3)物理学中的作用力和反作用力是模__________ 且方向
3.如图,D ` E ` F` 分别是三角形ABC各边的中点,写出图中与 DE ` EF` FD相等的向量.
A D
F
C
B
E
4.如图,四边形ABCD和BCED都是平行四边形。
AB.
B
向量 AB 的大小即向量 AB 的长度称为向量的模. (3)模的概念: 记作:| AB |
——长度(模)为0的向量, 记作0。0的方向是任意的。注意与0的 区别。 2单位向量——长度(模)为1个单位 长度的向量叫做单位向量。 问:有几个单位向量?单位向量的大小 是否相等?单位向量是否都相等? 答:有无数个单位向量,单位向量大 小相等,单位向量不一定相等。
平行向量:方向相同或相反的非零向量叫 做平行向量。记作:a∥b∥c 规定: 0与任一向量平行 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫 做相等向量。 记作:a=b 规定:0=0 注:任两相等的非零向量都可用一有向线 段表示,与起点无关。 共线向量:任一组平行向量都可移到同一 条直线上 ,所以平行向量也叫共线向 量。
(1)写出与向量BC相等的向量,
(2)写出与向量BC共线的向量。 B C

向量的基本概念

向量的基本概念

6、平行向量:
方向相同或相反的非零向量,叫做平行向量。 a
OA = a
c
b

C
0
l
OB
= b
B A
OC = c
任一组平行向量都可移到同一直线上, 因此, 平行向量也叫做共线向量。
规定: 0 与任一向量平行。
一、概念巩固:
1、下列各量中是向量的是( (A)面积 (B)时间 (C)质量
(√位向量都相等.
(6)单位向量的模都相等.
(×)
(×) (√)
(√) (×) (√)
(7)|AB|=|BA|
(8)若 |a|=|b| ,则 a b (9)若 a b ,则 |a|=|b|
(10)零向量与任何向量都平行. (√) (11)平行向量一定是共线向量. (√)
(12) 若a// b, b// c, 则a// c
(×)
2、如图,D、E、F顺次是等边
△ABC的边AB,BC,AC的中点,则在A、 B、C、D、E、F六个点中任意两点为
起点和终点的向量中 (1)找出与向量 DE 相等 D 的向量;AF和FC B
A F C
E
(2)是否存在与向量 DE
向量的表示方法:
②用字母 a 、 b 、 等表示; c
①用有向线段表示;
③用有向线段的起点与终点字母:AB
3、向量的大小(模):记作 AB
a
4、零向量、单位向量概念:
①长度为0的向量叫零向量,记作
0
0 0 ,
②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量。
说明:零向量、单位向量的定义都是只限制大小, 不确定方向。
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例:温度有零上零下之分,“温度”是否向量?答:不是。

因为零上零下也只是大小之分。

5、向量间的关系: (1) 提出问题:
例:与是否同一向量?
答:不是同一向量。

例:有几个单位向量?单位向量的大小是否相等?单位向量是否都相等? 答:有无数个单位向量,单位向量大小相等,单位向量不一定相等。

(2)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作:∥∥ 规定:与任一向量平行 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

记作:a =b 规定:0=0
任两相等的非零向量都可用一有向线段表示,与起点无关。

共线向量:任一组平行向量都可移到同一条直线上 , 所以平行向量也叫共线向量。

= = =
例:(P75)例1略
例:(P76)例2略
变式一:与向量长度相等的向量有多少个?
变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?
a b
c
变式三:与向量共线的向量有哪些?
三、 实践反馈
1、下列物理量,①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功。

其中不是向量
的有:
)(A 1个 )(B 2个 )(C 3个 )(D 4个
2、给出如下命题
①若||b a =,则=;②若=,则D C B A ,,,四点是平行四边形的四个顶点;③平行四边形ABCD 中,一定有=;④若n ==,则=;⑤若∥,∥,则∥;其中不正确的命题的个数有
)(A 2个 )(B 3个 )(C 4个 )(D 5个
3、 下列命题中正确的是
)(A 温度是向量; )(B 速度、加速度、功这些物理量都是向量; )(C 单位向量都相等; )(D 模为0的向量方向是不确定的。

4、 把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是
)(A 一条线段 )(B 一段圆弧 )(C 两个点 )(D 一个圆
5、如图,四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形,(1)用有向线段表示与向量相等的向量;(2)用有向线段表示与向量共线的向量。

四、 小结:
五、 作业: 六、 板书
七、 后记
补充习题
例1:如图,设O 是正六边形ABCDEF 的中心,分别写出图中与向量→
OA ,→

OC OB ,相等的向量。

例2:如图:四边形ABCD ,其中→
→=DC AB ,则相等的向量是( ) (A )→

CB AD 与 (B )→

OC OA 与
(C )→→DB AC 与 (D )→
→OB DO 与 例3:如图,F E D ,,分别是⊿ABC 的三边
AC BC AB ,,中点,写出与→
DF 共线的向量。

课堂练习:
1.下列说法正确的是( )
(A )方向相同的向量叫相等向量 (B )零向量的长度为0
(C )共线向量是在一条直线上的向量 (D )零向量是没有方向的向量 2.如图,设O 是正六边形ABCDEF 的中心, 3.在向量→

OC OB ,,,,,,→



AB OF OE OD

→→→→→OA FA EF DE CD BC 中与,,,,共线的向量有( )
(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 4.设O 是正⊿ABC 的中心,则向量→


OC OB AO ,,是( ) (A )有相同起点的向量 (B )平行向量 (C )模相等的向量 (D )相等向量
5.如图:设RSPQ 为菱形,下列可以用同一条有向线段表示的两个向量是( ) (A )→

QR SP 和 (B )→→
PQ SR 和 (C )→

QR SR 和 (D )→
→SP SR 和
6.如图,F E D ,,分别是⊿ABC 的三边AC BC AB ,,中点, (1)与→DF 相等的向量为 , (2)与→DE 共线的向量为 。

7.如图,⊿ABC 和⊿C B A '''是在各边的
3
1
处相交的两个全等的正三角形。

设正⊿ABC 的边长为a ,图中列出了长度均为
3
a
的若干个向量,则
(1)与向量→
GH 相等的向量是 ; (2)与向量→
GH 共线的向量有 ; (3)与向量→
EA 平行的向量是 。

8.在平行四边形ABCD 中,F E ,分别是CD AB ,的中点,图中的7个向量中,设,,→



==b DA a AE 则与→
a 相等的向量是 ;与→
b 相等的向量
是 ;与→
a 平行的向量有 ;与→
b 共线的向量有 。

9.在直角坐标系中,画出下列向量:
(1)|→
a |=2,→
a 的方向与x 轴正方向的夹角为60º,与y 轴正方向的夹角为30º; (2)|→
a |=4,→
a 的方向与x 轴正方向的夹角为30º,与y 轴正方向的夹角为120º; (3)|→
a |=24,→
a 的方向与x 轴正方向的夹角为135º,与y 轴正方向的夹角也为135º。

10.若向量→
AB 与→
CD 不相等,则这两个向量有可能是平行向量吗?若不可能,请说明理由;若有可能,请把各种可能的情况一一列出。

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