不动点法(特征根法)求数列通项的原理教案资料
不动点法(特征根法)求数列通项的原理
方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点.利用递推数列f(x)不动点,可将某些递推关系an=f(an-1)所确定的等比数列或较易求数列通项的数列,这种方法称为不动点法（也称为特征根法).下面我们看两个简单的定理及证明,来说明它们的原理. 定理1
证明
定理2
证明
例子
不动点(特征方程)法求数列通项
特征方程法求解递推关系中的数列通项 考虑一个简单的线性递推问题. 设已知数列}{n a 的项满足 其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式. 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当， 其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-. 证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c d x -=作换元,0x a b n n -= 则.)(110011 n n n n n n cb x a c c cd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用. 例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23 111=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.2 3,23 10-=--=x x x 则 当41=a 时，.2112 3 ,1101= +=≠a b x a 数列}{n b 是以3 1 -为公比的等比数列.于是.N ,)3 1 (2112323,)31(211)3 1 (111 1∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位. 当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？ 解：作方程,)32(i x x +=则.5 360i x +-= a 1= b a n+1=ca n +d
特征方程特征根法求解数列通项公式
特征方程特征根法求解数列通项公式 一：A(n+1)=pAn+q, p,q为常数. （1）通常设：A(n+1)-λ＝p(An-λ), 则λ=q／(1-p). （2）此处如果用特征根法： 特征方程为：x=px+q，其根为x=q/（1-p） 注意：若用特征根法，λ的系数要是-1 例一：A（n+1)=2An+1 , 其中q=2,p=1,则 λ=1/（1-2）= -1那么 A（n+1）+1=2（An+1） 二：再来个有点意思的,三项之间的关系： A(n+2)=pA(n+1)+qAn，p,q为常数 （1）通常设：A(n+2)-mA(n+1)=k[pA(n+1)-mAn], 则m+k=p, mk=q （2）此处如果用特征根法： 特征方程是y×y=py+q（※） 注意： ①m n为（※）两根。 ②m n可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An，而且还会有意想不到的惊喜， ③m n交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式，这个时侯你会发现，这是一个关于An和A(n+1)的二元一次方程组，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出来了。 例二：A1=1,A2=1,A(n+2)= - 5A（n+1）+6An， 特征方程为：y×y= - 5y+6 那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3 于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3A] (1) A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2A] (2) 所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3) A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4) you see 消元消去A（n+1），就是An勒 例三： 【斐波那挈数列通项公式的推导】斐波那契数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21…… 如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式： F(0) = 0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3) 显然这是一个线性递推数列。 通项公式的推导方法一：利用特征方程 线性递推数列的特征方程为： X^2=X+1 解得 X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2. 则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n ∵F(1)=F(2)=1 ∴C1*X1 + C2*X2 C1*X1^2 + C2*X2^2
求递推数列通项的特征根法与不动点法
求递推数列通项的特征根法与不动点法 一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列 形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…① 若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数） 若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数） 再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a ． 例1．已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =?+?， 由1122122243a c c a c c =+=??=+=?，得121 12 c c =???= ??， 112n n a -∴=+． 例2．已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特征方程为2 441x x =-，解得121 2x x ==，令()1212n n a c nc ?? =+ ??? ， 由1122121()121(2)2 4 a c c a c c ? =+?=????=+?=??，得1246c c =-??=?， 1322n n n a --∴=． 二、形如2n n n Aa B a C a D ++= +的数列 对于数列2n n n Aa B a C a D ++= +，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠） 其特征方程为A x B x C x D += +，变形为2()0C x D A x B +--=…②
不动点法求数列通项公式
不动点法求数列通项公 式 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
不动点法求数列通项公式 通常为了求出递推数列a[n+1]=(ca[n]+d)/(ea[n]+f)【c、d、e、f是不全为0的常数,c、e不同时为0】的通项,我们可以采用不动点法来解.假如数列{a[n]}满足a[n+1]=f(a[n]),我们就称x=f(x)为函数f(x)的不动点方程,其根称为函数f(x)的不动点.至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项,这足可以写一本书.但大致的理解可以这样认为,当n趋于无穷时,如果数列{a[n]}存在极限,a[n]和a[n+1]是没有区别的. 首先,要注意,并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程,比如： a[n+1]=a[n]+1/a[n].其次,不动点有相异不动点和重合不动点. 下面结合不动点法求通项的各种方法看几个具体的例子吧. ◎例1：已知a[1]=2,a[n+1]=2/(a[n]+1),求通项. 【说明：这题是“相异不动点”的例子.】 先求不动点 ∵a[n+1]=2/(a[n]+1) ∴令 x=2/(x+1),解得不动点为：x=1 和 x=-2 【相异不动点】 ∴(a[n+1]-1)/(a[n+1]+2) 【使用不动点】 =(2/(a[n]+1)-1)/(2/(a[n]+1)+2) =(2-a[n]-1)/(2+2a[n]+2) =(-a[n]+1)/(2a[n]+4) =(-1/2)(a[n]-1)/(a[n]+2) ∵a[1]=2 ∴(a[1]-1)/(a[1]+2)=1/4 ∴{(a[n]-1)/(a[n]+2)}是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列
【高考数学】高考数列不动点法解题方法整理版
利用“不动点”法巧解高考题 由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助． 1 不动点的定义 一般的，设()f x 的定义域为D ,若存在0x D ∈，使f x x ()00=成立，则称x 0为f x ()的 不动点，或称00(,)x x 为f x ()图像的不动点。 2 求线性递推数列的通项 定理 1 设()(01)f x ax b a =+≠，，且x 0为f x ()的不动点，{}a n 满足递推关系1()n n a f a -=，2,3, n =，证明{}a x n -0是公比为a 的等比数列。证：∵x 0是f x ()的不动点，所以ax b x 00+=， 所以，所以a n -=+-=-=----x a a b x a a ax a a x n n n 0101010()()··，∴数列{}a x n -0是公比为a 的等比数列。 例1（2010上海文数21题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈ (1)证明：{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n . 证：(1) 当n =1时，a 1=-14；当2n ≥时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，即1651n n a a -=+(2)n ≥即 15166n n a a -= +(2)n ≥，记51 ()66f x x =+，令()f x x =，求出不动点01x =，由定理1知：15 1(1)(2)6 n n a a n --=-≥，又a 1-1= -15 ≠0，所以数列{a n -1}是等比数列。(2)解略。 3求非线性递推数列的通项 定理2 设()(00)ax b f x c ad bc cx d +=≠-≠+，，且x x 12、是f x ()的不动点，数列{}a n 满足递推关系a f a n n =-()1，2,3,n =，（ⅰ）若12x x ≠，则数列{ }a x a x n n --12是公比为a x c a x c --12的等比数列；（ⅱ）
【高中数学】特征根法求通项公式
特征方程法 解递推关系中 通项公式 一、（一阶线性递推式）若已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，这里提出一种易于掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-. 证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c d x -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c c cd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说说说说明定理1的应用. 例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23 1 11=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.2 3,2310-=--=x x x 则 当41=a 时，.2 1123,1101=+=≠a b x a 数列}{n b 是以3 1-为公比的等比数列.于是 .N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？ 解：作方程,)32(i x x +=则.5360i x +-= 要使n a 为常数，即则必须.5 3601i x a +-== 二、（二阶线性递推式） 定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程
特征方程推导数列
递推数列特征方程的来源与应用 递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。新教材将数列放在高一讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨，笔者以为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看，都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。本文以线性递推数列通项求法为例，谈谈这方面的认识。 关于一阶线性递推数列：),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列： 设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则 ， 令d t c =-)1(，即1 -=c d t ，当1≠c 时可得 )1 (11-+=-++c d a c c d a n n 知数列??????-+ 1c d a n 是以c 为公比的等比数列， 11)1 (1--+=-+∴n n c c d a c d a 将b a =1代入并整理，得 ()1 1---+=-c d c b d bc a n n n 对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法[2]： 设递推公式为,11-++=n n n qa pa a 其特征方程为02 2=--+=q px x q px x 即， 1、 若方程有两相异根A 、B ，则n n n B c A c a 21+= 2、 若方程有两等根,B A =则n n A nc c a )(21+= 其中1c 、2c 可由初始条件确定。 很明显，如果将以上结论作为此类问题的统一解法直接呈现出来，学生是难以接受
用不动点法求数列通项
定义：方程的根称为函数的不动点. 利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法. 定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列. 证明：因为是的不动点 由得 所以是公比为的等比数列. 定理2：设，满足递推关系，初值条件 （1）：若有两个相异的不动点，则（这里） （2）：若只有唯一不动点，则（这里） 证明：由得，所以 （1）因为是不动点，所以，所以 令，则 （2）因为是方程的唯一解，所以 所以，所以 所以 令，则 例1：设满足，求数列的通项公式 例2：数列满足下列关系：，求数列的通项公式 定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时, 证明:是的两个不动点 即 于是, 方程组有唯一解
例3：已知数列中,,求数列的通项. 其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题: 例4：已知且,求数列的通项. 解: 作函数为,解方程得的不动点为 .取,作如下代换: 逐次迭代后,得: 已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==K ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0) n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ． （１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式； （２）证明：13521n n n x x x x x y -????<
用特征方程求数列的通项
用特征方程求数列的通项 一、递推数列特征方程的研究与探索 递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。递推数列的特征方程是怎样来的？ （一）、 若数列{}n a 满足),0(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列： 设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则 ，令d t c =-)1(，即1 -= c d t ，当1≠c 时可得 )1 (11-+=-+ +c d a c c d a n n ，知数列? ????? -+1c d a n 是以c 为公比的等比数列， 11)1 (1--+=-+ ∴n n c c d a c d a 将 b a =1代入并整理，得()1 1---+=-c d c b d bc a n n n . 故数列d ca a n n +=+1对应的特征 方程是：x=cx+d （二）、二阶线性递推数列,11-++=n n n qa pa a 仿上，用上述参数法我们来探求数列{}n n ta a ++1的特征：不妨设 )(11-++=+n n n n ta a s ta a ，则11 )(-++-=n n n sta a t s a , 令 ? ??==-q st p t s （ ※） （1）若方程组（ ※）有两组不同的实数解),(),,(2211t s t s , 则)(11111-++=+n n n n a t a s a t a , )(12221-++=+n n n n a t a s a t a , 即{}n n a t a 11++、 {}n n a t a 21++分别是公比为1s 、2s 的等比数列，由等比数列通项公式可得 1 1 11211)(-++=+n n n s a t a a t a ①, 1 2 12221)(1-++=+n n n s a t a a t a ②, ∵,21t t ≠由上两式①+②消去1+n a 可得 ()()() n n n s t t s a t a s t t s a t a a 22121221211112..-+--+= . （2）若方程组（ ※）有两组相等的解???==21 2 1t t s s ，易证此时11s t -=，则 ())(2112 111111---++=+=+n n n n n n a t a s a t a s a t a
用不动点法求数列通项
用不动点法求数列通项 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
用不动点法求数列的通项 定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点. 利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法. 定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系 )1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列. 证明：因为 p 是)(x f 的不动点 ap p b -=-∴由b a a a n n +?=-1得)(11p a a p b a a p a n n n -=-+?=--- 所以}{p a n -是公比为a 的等比数列. 定理2：设)0,0()(≠-≠++= bc ad c d cx b ax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，初值条件)(11a f a ≠ （1）：若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则 q a p a k q a p a n n n n --?=----11 （这里qc a pc a k --= ） （2）：若)(x f 只有唯一不动点p ，则 k p a p a n n +-=--111 （这里d a c k += 2） 证明：由x x f =)(得x d cx b ax x f =++= )(，所以0)(2=--+b x a d cx （1）因为q p ,是不动点，所以?????=--+=--+0)(0)(22b q a d cq b p a d cp ???? ? ?? ?--=--=qc a b qd q pc a b pd p ，所以
特征方程法求数列的通项公式
特征方程法求数列的通项公式 求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通 项公式的一种有效途径? 1.已知数列a n 满足a n 1 a -an ---------------------------- …… ① 其中c O,ad bc,n N c a n d 定义1 ：方程x ax _b 为①的特征方程，该方程的根称为数列 a n 的特征根，记为 cx d (a c )a n [ c (a c c )] (a c )a n (a c ) (a c )a n [ c (a c c )] (a c )a n (a c ) a c a ” 上/ a c 证毕 a n 定理2 :若 a 1 且 a d c rnri 1 2c 1 0，则 a n 1 a d a n 证明： * d 2 a 2 c, b c 1 1 ca n d ca n d a n 1 aa n b (aa n b) (ca n d) (a c)a n b d ca n d ca n a 2 c ca n a 2 c ca n a 2 c (a c)a n ( 2 c a 2 2 c) (a c)(a n ) a d / 2 (a n ) 2ca n 2a 4 c 2ca n (a 2 c) d 2c(a n ) (a d) (a d)(a n ) (a d)(a n ) (a d)(a n ) 定理 1： 若 , 印且 证明： x ax b --- 1 2 cx cx d d a ( )c,b aa n b a n 1 ca n d a n 1 aa n b ca n d ,则 a n 1 a n 1 a c a n a c a n (d a)x b c (aa n b) (ca n d) (aa n b) (ca n d) a d b W c (a c 冋(b d ) (a c )a n (b d )
不动点法求数列的通项(讲座)
不动点法求数列的通项 惠来县第一中学 方文湃 自从实施新课程标准，使用新教材以来，高考题中出现了数列的解答题的次数好象不少。如2007年普通高考广东数学理科卷压轴题第21题 、2011年普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷理科第20题 ，这两道题都是已知数列的递推式，求它的的通项公式，并且求法都与“不动点”有关。 记函数f(x)的定义域为D ，若存在λ∈D ，使λ＝f(λ)成立，则称（λ，λ）为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点。以此类推，在数列{a n }中，a n+1=f(a n ) (n ∈N +)，若存在λ满足方程λ＝f(λ)，称λ为不动点方程λ＝f(λ)的根。下面介绍的一些数列，可先求生成函数（递推式）的不动点，通过换元后，化为等差、等比数列，再求这些数列的通项，这一方法，我们不妨称为不动点法。 一、递推式为a n+1=aa n +b(a ≠0,a ≠1,a,b 均为常数)型的数列 由递推式a n+1=aa n +b 总可变形为 a n+1－λ=a （a n －λ） …………………………（１） （１） 式中的λ与系数a, b 存在怎样的关系呢？ 由（１）得a n+1=aa n ＋λ－a λ ∴b=λ－a λ即λ＝a λ+b …………………………（２） 关于λ的方程（２）刚好是递推式a n+1=aa n +b 中的a n ，a n+1都换成λ得到的不动点方程。 令b n =a n －λ代入（１）得b n+1=ab n 一般来说，可先求等比数列{b n }的通项，再求数列{a n }的通项。 例１：在数列{a n }中，已知a 1=1,a n+1=1－21 a n (n ∈N +),求lim ∞ →n a n 。 解：令x=1－ 21x 得x=32 a n+1－32=1－21a n －32=－21 (a n －3 2) 令b n =a n －32，则b n+1=－2 1 b n ∴数列{b n }成首项为b 1=a 1－32=1－32=31，公比为q ＝－2 1 的等比数列，于 是有
不动点法求数列通项公式
不动点法求数列通项公式 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
不动点法求数列通项公式 通常为了求出递推数列a[n+1]=(ca[n]+d)/(ea[n]+f)【c、d、e、f是不全为0的常数,c、e不同时为0】的通项,我们可以采用不动点法来解.假如数列{a[n]}满足a[n+1]=f(a[n]),我们就称x=f(x)为函数f(x)的不动点方程,其根称为函数f(x)的不动点.至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项,这足可以写一本书.但大致的理解可以这样认为,当n趋于无穷时,如果数列{a[n]}存在极限,a[n]和a[n+1]是没有区别的. 首先,要注意,并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程,比如：a[n+1]=a[n]+1/a[n].其次,不动点有相异不动点和重合不动点. 下面结合不动点法求通项的各种方法看几个具体的例子吧. ◎例1：已知a[1]=2,a[n+1]=2/(a[n]+1),求通项. 【说明：这题是“相异不动点”的例子.】 先求不动点 ∵a[n+1]=2/(a[n]+1) ∴令 x=2/(x+1),解得不动点为：x=1 和 x=-2 【相异不动点】 ∴(a[n+1]-1)/(a[n+1]+2) 【使用不动点】 =(2/(a[n]+1)-1)/(2/(a[n]+1)+2) =(2-a[n]-1)/(2+2a[n]+2) =(-a[n]+1)/(2a[n]+4) =(-1/2)(a[n]-1)/(a[n]+2) ∵a[1]=2 ∴(a[1]-1)/(a[1]+2)=1/4 ∴{(a[n]-1)/(a[n]+2)}是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列
求数列通项公式的十一种方法
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细） 总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法 二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-=
两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13) 2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3 n +，得 111 21 3333n n n n n a a +++=++， 则 111 21 3333 n n n n n a a +++-=+，故
特征方程法求解数列通项的依据
特征方程法求解递推关系中的数列通项 湖北省竹溪县第一高级中学徐鸿 考虑一个简单的线性递推问题. 设已知数列的项满足 其中求这个数列的通项公式. 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理1设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即 ，其中是以为公比的等比数列，即. 证明：因为由特征方程得作换元 则 当时，，数列是以为公比的等比数列，故 当时，，为0数列，故（证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用. 例1已知数列满足：求 解：作方程 当时，数列是以为公比的等比数列.于是 例2已知数列满足递推关系：其中为虚数单位. 当取何值时，数列是常数数列？
解：作方程则 要使为常数，即则必须 现在考虑一个分式递推问题（*）. 例3已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果. 定理2如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程. （1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时， 若则 若，则其中特别地，当存在使 时，无穷数列不存在. （2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中 证明：先证明定理的第（1）部分. 作交换 则 ① ∵是特征方程的根，∴
将该式代入①式得② 将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是 ③ 当，即=时，由②式得故 当即时，由②、③两式可得此时可对②式作如下变化： ④ 由是方程的两个相同的根可以求得 ∴ 将此式代入④式得 令则故数列是以为公差的等差数列. ∴ 其中 当时， 当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的. 再证明定理的第（2）部分如下： ∵特征方程有两个相异的根、，∴其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换 故，将代入再整理得
用特征根方程法求数列通项
特征方程法求解递推关系中的数列通项 当f(x)二X 时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。 aa n ■ b 人 ax ■ b 2 典型例子：a n 1 - 令 x ，即 ex ? (d -a)x —b = 0 ca n +d cx + d 令此方程的两个根为 x , , x 2 1 (1)若x , = x 2，则有 a n^ _x 1 a n — X , a - — X , a — ex , ⑵若X i=X 2,则有—— -=q — -(其中q —) a n 半 一 x 2 a n —X 2 a ~ cx 2 —2x +3 例题1：设f(x)= 2x —7 (i)求函数y = f (x)的不动点；(2 )对(i)中的二个不动点a,b (a ::- b)，求使 f (x) _ a = k x _ a 恒成立 f(x)-b x —b 的常数k 的值； 2X 3 ⑶对由a — =1,a n = f (a n 丄)(n_2)定义的数列｛a n ｝，求其通项公式a n 。f(x)= 2x —7 解析：⑴设函数f (x)的不动点为x 0，则X o 2X0 3 2x o -7 -2x 3 1 1 / 1、 1 X (x ) x — ⑵由 2X-7 2 2 U 2 -2x+3 3 8x+24 -8(x-3) 8 x -3 2x -7 可知使f (x) -a _k x _a 恒成立的常数 f (x) -b x -b a n 1 31 3(1厂-〕 —2=2 .(丄严，则a 二吐 2 a n -3 4 8 n 「3(—严 4 W a +4 例2?已知数列｛a n ｝满足性质：对于n ?N,a n1 n ,且a^3,求｛a n ｝的通项公式. 2 a n 3 1 P (其中P ) a n - x ! a d 1 解得x 0 或x 0 =3 2 1 + 丄 ，2 k 。(3)由⑵可知an 2 J an 」2，所以数列 8 a 8 a 丄 (3) -为公比的等比数列。则 8
特征根法求数列通项
特征根法在求递推数列通项中的运用 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。如： （08年广东高考）设p 、q 为实数，α、β是方程x 2-px+q=0的两个实数根，数列{x n }满足x 1=p,x 2=p 2-q,x n =px n-1-qx n-2(n=3,4,5……) 1）…………… 2）求数列{x n }的通项公式。 3）若1=p ，4 1 = q ，求数列{x n }的前n 项的和s n (09年江西高考)各项均为正数的数列{}n a 中 都有的正整数且对满足q p n m q p n m b b a a ,,,,,11+=+==，=+++)1)(1(m n m n a a a a ) 1)(1(q p q p a a a a +++， 1）当时，求通项5 4 ,21== b a n a 。 像上述两道题，如果不能顺利求出数列的通项公式，就不能继续做后面的题，想得高分就难，对于那些有可能上重点大学的绩优学生来说重点大学之梦就可能是两个字——遗憾。本文就一、两种题型进行探讨，重点强调求解数列通项公式的方法之一——特征根法的运用，希望能对部分同学有帮助。 类型一、递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为非零常数）。 先把原递推公式转化为)(112112n n n n a x a x a x a -=-+++，其中21,x x 满足 ?? ?-==+q x x p x x 2121，显然21,x x 是方程02=--q px x 的两个非零根。
特征方程法求解递推关系中的数列通项(二)
特征方程法求解递推关系中的数列通项（二） 三、(分式递推式)定理3：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h ra q pa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h rx q px x ++=. （1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时， 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ 若λ≠1a ，则,N ,1∈+=n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λλ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在. （2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则11 2--=n n n c c a λλ，,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----= -a n r p r p a a c n n 其中 例3、已知数列}{n a 满足性质：对于,324,N 1++= ∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式. 解:依定理作特征方程,3 24++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有 .N ,)2 21211(2313)(11212111∈?-?-?+-=--?--=--n r p r p a a c n n n λλλλ ∴.N ,)5 1(521∈-= -n c n n ∴.N ,1)51(521)51(52211112∈----?-=--=--n c c a n n n n n λλ 即.N ,) 5(24)5(∈-+--=n a n n n
用不动点法求数列通项(1)
用不动点法求数列的通项 定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点. 利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法. 定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系 )1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列. 证明：因为 p 是)(x f 的不动点 p b ap =+∴ ap p b -=-∴由b a a a n n +?=-1得)(11p a a p b a a p a n n n -=-+?=--- 所以}{p a n -是公比为a 的等比数列. 定理2：设)0,0()(≠-≠++= bc ad c d cx b ax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ， 初值条件)(11a f a ≠ （1）：若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则 q a p a k q a p a n n n n --?=----11 （这里qc a pc a k --=） （2）：若)(x f 只有唯一不动点p ，则 k p a p a n n +-=--111 （这里d a c k +=2） 证明：由x x f =)(得x d cx b ax x f =++= )(，所以0)(2=--+b x a d cx （1）因为q p ,是不动点，所以?????=--+=--+0)(0)(2 2b q a d cq b p a d cp ???? ? ???--=--=qc a b qd q pc a b pd p ，所以 q a p a qc a pc a qc a b qd a p c a b pd a qc a pc a qd b a q c a p d b a pc a q d ca b aa p d ca b aa q a p a n n n n n n n n n n n n --? --=------ ?--=-+--+-=-++-++=------------1111111111)()(令qc a pc a k --= ，则q a p a k q a p a n n n n --=----1 1
用不动点法求数列通项公式
用不动点法求数列通项 公式 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-
用不动点法求递推数列d t c b t a t n n n +?+?=+1(a 2+c 2≠0)的通项 储炳南 （安徽省岳西中学 246600） 1．通项的求法 为了求出递推数列d t c b t a t n n n +?+?=+1的通项，我们先给出如下两个定义： 定义1：若数列{n t }满足)(1n n t f t =+，则称)(x f 为数列{n t }的特征函数. 定义2:方程)(x f =x 称为函数)(x f 的不动点方程，其根称为函数)(x f 的不动点. 下面分两种情况给出递推数列d t c b t a t n n n +?+?= +1通项的求解通法. (1)当c=0,时, 由d t c b t a t n n n +?+?= +1d b t d a t n n +?=?+1, 记k d a =,c d b =，则有 c t k t n n +?=+1 （k ≠0）, ∴数列{n t }的特征函数为)(x f =kx+c, 由kx+c=x ?x= k c -1,则c t k t n n +?=+1?)1(11k c t k k c t n n --=--+ ∴数列}1{k c t n --是公比为k 的等比数列, ∴11)1(1-?--=--n n k k c t k c t ?11)1(1-?--+-=n n k k c t k c t . (2)当c ≠0时,
数列{n t }的特征函数为：)(x f =d x c b x a +?+? 由x d x c b x a =+?+?0)(2=--+?b x a d cx 设方程0)(2=--+b x a d cx 的两根为x 1,x 2,则有: 0)(121=--+b x a d cx ,0)(222 =--+b x a d cx ∴12)(1x a d cx b -+= (1) 222)(x a d cx b -+=……(2) 又设2 12111x t x t k x t x t n n n n --?=--++(其中,n ∈N *,k 为待定常数). 由212111x t x t k x t x t n n n n --?=--++ ?2121x t x t k x d t c b t a x d t c b t a n n n n n n --?=-+?+?-+?+? ?212211x t x t k dx t cx b at dx t cx b at n n n n n n --?=--+--+……(3) 将(1)、（2）式代入(3)式得: ∴数列{21x t x t n n --}是公比为21cx a cx a --(易证02 1≠--cx a cx a )的等比数列. ∴21x t x t n n --=1212111-???? ??--?--n cx a cx a x t x t ?121211 11 212 11 1211--???? ??--?---???? ??--?--?-=n n n cx a cx a x t x t cx a cx a x t x t x x t .