几种特殊函数

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03 几种特殊的函数

函数

f7={<a，1>，<b，1>，<c，1>}
二、几种特殊的函数
定义设f:AB是函数，对任意的a，bA，且 ab，都有f(a)f(b)，或形式表为 xy(x,yAxyf(x)f(y)) 则称f:AB是单射函数，或称函数f:AB 是单射的。定义揭示了，A中不同的元素，其在B中像也是不同的。于是，若A、B是有穷集合，存在单射函数f:AB，则|A|≤|B|。
从函数定义可以看出，从A到B的函数f和一般从A 到B的二元关系有以下两点不同： ① A的每一元素都必须是f的有序对之第一元素。 ② 若f(x)=y，则函数f在x处的值是唯一的。
定义设f:AB，g:CD，若A=C，且对每一 xA 都有f(x)=g(x)，则称函数f和g相等，记为 f=g。下面讨论由集合A和B构成的函数f:AB会有多少呢？或者说，在AB的所有子集中，是全部还是部分子集可以定义函数呢？令BA表示这些函数的集合，即BA={f|f:AB} 设|A|=m，|B|=n，那么|BA|=？ |BA|=nm 。这是因为对每个自变元，它的函数值都有n种取法，故总共有nm种从A到B的函数。
(2)
f2 : R R
f3 : N N
f 2 r 2r 15
f 3 (n) 2n
（双）
(3)
（单）
3. 下列函数中，确定哪些是单射，哪些是满射，
哪些是双射?
(1)
f1 : R R, f1 (r ) r 2 2r 15
解：因为r 2 2r 15 (r 5)(r 3), 所以 f1 (5) f1 (3) 0 因此 f1不是单射。
例对于给定的集合A和B构造双射函数f：A→B A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3} ({1,2,3} →{0,1}的函数）解A={Φ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} B={f0,f1,…,f7}, 其中： f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>},f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>}, f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>},f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>}, f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>},f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>}, f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>} 令f：A→B, 使得f (Φ)=f0, f({1})=f4, f({2})=f2, f({3})=f1, f({1,2})=f6, f({1,3})=f5, f({2,3})=f3, f({1,2,3})=f7

高中6个超越函数

高中6个超越函数作为高中数学的重要内容之一，函数是一个非常重要的概念。

在高中数学中，有一些特殊的函数具有比较重要的意义，被称为“超越函数”。

今天我们来介绍一下高中数学中的6个超越函数。

一、指数函数指数函数是形如y=a^x的函数，其中a>0且a≠1。

这个函数有着非常重要的应用，它表达了一种指数增长的趋势。

指数函数的导数也有非常特殊的性质，即其导数等于其本身。

指数函数在金融、经济学等领域非常有用。

二、对数函数对数函数是指数函数的反函数，是形如y=loga(x)的函数，其中a>0且a≠1。

对数函数的导数也非常特殊，它的导数等于1/x。

对数函数有着非常广泛的应用，在物理、化学、统计学、计算机科学等领域都有着非常广泛的应用。

三、三角函数三角函数是由正弦、余弦、正切、余切等函数组成的一族函数。

三角函数在几何学、物理学、工程学等领域有着非常广泛的应用。

它们可以用于描述旋转、震动等现象。

四、指数对数函数指数对数函数是一种常见的超越函数，它由指数函数和对数函数组成。

指数对数函数的图像非常特殊，它的图像在x轴左侧单调下降，在x轴右侧单调上升。

指数对数函数在物理学、化学、生物学、计算机科学等领域有着重要的应用。

五、双曲函数双曲函数是一类类似于三角函数的函数，它由双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切等函数组成。

双曲函数在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。

六、反三角函数反三角函数是一种与三角函数相反的函数，它由反正弦、反余弦、反正切等函数组成。

反三角函数可以用于解决三角函数的反问题，以及一些复杂函数的求导问题。

以上就是高中数学中的6个超越函数。

这些函数在数学和科学的各个领域都有着重要的应用，是我们在学习数学时必须掌握的知识点。

非初等函数的例子

非初等函数的例子1. Gamma 函数：Γ(x) 是数学上的特殊函数，可以看作是阶乘函数的推广。

它在实数域上是定义良好的，但不属于初等函数。

Gamma 函数被广泛应用于统计学、概率论、数论和物理学中的各种问题。

2. Riemann Zeta 函数：ζ(s) 是定义在复平面上的特殊函数。

该函数在实数 s 大于 1 时收敛，但在 s等于 1 或小于 1 时发散。

Riemann Zeta 函数在数论中起着重要的作用，与素数分布和黎曼猜想有着密切的关系。

3.超几何函数：超几何函数是定义在复数域上的特殊函数，用来解决一些微分方程和积分方程。

它在复平面上的解析结构非常复杂，并且不能用有限次的初等函数来表示。

4.贝塞尔函数：贝塞尔函数是用来描述振动过程和波动现象的数学工具。

它在工程学、物理学和数学物理学中有广泛的应用，但不能用有限次的初等函数来表示。

6. Lambert W 函数：Lambert W 函数是解析反函数的特殊函数，它与指数函数有着密切的关系。

Lambert W 函数在科学工程和数学中有广泛的应用，但不能用有限次的初等函数来表示。

7. Fresnel 积分：Fresnel 积分是用来描述光的传播和干涉现象的特殊函数。

它在物理光学和天文学等领域中有广泛的应用，但不能用有限次的初等函数来表示。

9.梯度函数：梯度函数是多元函数的一阶偏导数向量，它在向量微积分和优化理论中非常重要，但不能用有限次的初等函数来表示。

10. Dirichlet η 函数：Dirichlet η 函数是定义在复数域上的特殊函数，用来描述振动过程的临界频率。

它在信号处理和控制系统中有广泛的应用，但不能用有限次的初等函数来表示。

这些非初等函数在各个数学领域和科学工程中都发挥着重要的作用，虽然不能用有限次的初等函数来表示，但它们具有丰富的数学性质和应用价值。

特殊函数及其应用

特殊函数及其应用特殊函数是数学领域中一类非常重要的函数，具有独特的性质和广泛的应用。

本文将介绍几种常见的特殊函数，包括阶乘函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和超几何函数，并探讨它们在科学、工程和统计学中的应用。

阶乘函数是特殊函数中的一种，通常用符号"!"表示。

阶乘函数定义为正整数n的所有正整数的乘积，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。

阶乘函数在组合数学、概率论和统计学中经常出现，用于计算排列组合的问题，例如计算阶乘可以求解排列组合问题中的可能性总数。

幂函数是一类以底数为自变量的函数，形如f(x) = a^x，其中a为常数，x为实数。

幂函数在物理学、经济学和生物学等领域中经常出现，用于描述指数增长的趋势，例如在放射性衰变中，放射性物质的衰变速率可以用幂函数来表示。

指数函数是以一个常数e为底的幂函数，即f(x) = e^x。

指数函数在微积分、电路理论和金融学等领域有广泛的应用。

在微积分中，指数函数是导数等于自身的唯一函数；在电路理论中，指数函数用于描述电容充放电的过程；在金融学中，指数函数可表示复利计算的本金增长情况。

对数函数是指数函数的逆运算，即以一个正数a为底的对数函数可以表示为f(x) = log_a(x)。

对数函数在计算机科学、密码学和信号处理等领域有广泛的应用。

在计算机科学中，对数函数常用于算法分析和复杂性评估；在密码学中，对数函数被用于计算哈希值；在信号处理中，对数函数用于压缩和调整信号的动态范围。

三角函数是以圆周上一点在直角坐标系中的坐标值为根据的函数。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

三角函数在物理学、工程学和地理学等领域有广泛的应用。

在物理学中，三角函数用于描述波动和振动的现象；在工程学中，三角函数常用于信号处理和控制系统设计；在地理学中，三角函数被用于测量和地图制作。

特殊函数

特殊函数 - 特殊函数编辑本段回目录特殊函数 - 正文一些高级超越函数的总称，不是代数函数的完全解析函数通称为超越函数。

高级超越函数是超越函数中不为初等函数的泛称。

特殊函数多半是从寻求某些数学物理方程的解得出的。

它种类繁多，而且不断有新的出现。

常见的有：Γ函数、B 函数、超几何函数、勒让德函数、贝塞尔函数等。

一些正交多项式，如雅可比多项式、切比雪夫多项式、埃尔米特多项式、拉盖尔多项式，等等，通常也列入特殊函数的内容中。

特殊函数在物理学，工程技术，计算方法等方面有广泛的应用。

研究特殊函数常用的工具是解析函数理论，如围道积分、幂级数展开等等。

L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶等人，都在这方面做过奠基工作。

Γ函数阶乘n!仅对正整数n及0有意义，扩大到任意复数α，定义阶乘函数为与阶乘函数密切联系的是Γ函数，它的定义是：当z不为零及负整数时，Γ(z)是亚纯函数，以0,-1,-2,…为其单极点。

Γ(z)满足两个等式：当α不为零及负整数时，特殊情形有n!=(1)n=г(n+1)。

当Re(z)>0时，当│arg z│≤π-δ(δ>0)，│z│→∞时，在这公式中置z=n+1，就可得到斯特林公式Γ函数是数学中常用的函数之一，许多重要级数的系数，常常用Γ函数表出。

B函数B函数可以用Γ函数来定义：当Re(p)>0,Re(q)>0时，B函数可以用来计算一些定积分的值。

例如,当Re(m)>0，Re(n)>0时，超几何函数设α,b)，с为常数且с不为零及负整数，通常把幂级数叫做超几何级数。

当α=b)=с=1时，它就是几何级数。

当α或b)为零或负整数时，它简化成多项式。

如果α,b)均不为零及负整数,则它是无穷幂级数,其收敛半径为1,因而在|z|<1 中解析。

这时从它出发利用解析开拓可产生完全解析函数。

这样的完全解析函数（包括多项式这一特殊情形在内）叫做超几何函数，记作F(α,b)；с；z)。

初中数学知识点整理：几种特殊的函数

几种特殊的函数
1、一次函数
直线位置与k，b的关系：
（1）k＞0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为锐角；（2）k＜0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为钝角；（3）b＞0直线与y轴交点在x轴的上方；
（4）b＝0直线过原点；
（5）b＜0直线与y轴交点在x轴的下方；
2、二次函数
抛物线位置与a ，b ，c 的关系：
（1）a 决定抛物线的开口方向⎩⎨⎧⇔<⇔>开口向下开口向上
00a a
（2）c 决定抛物线与y 轴交点的位置：
c >0⇔图像与y 轴交点在x 轴上方；c =0⇔图像过原点；c <0⇔图像与y 轴交点在x 轴下方；
（3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置：a ，b 同号，对称轴在y 轴左侧；b ＝0，对称轴是y 轴； a ，b 异号。

对称轴在y 轴右侧；
3、反比例函数：
4、正比例函数与反比例函数的对照表：。

几种特殊函数的积分

2 2
p p x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
则
Mx N Mt b,
p2 2 a q , 4
Mp b N , 2
Mx N 2 dx n ( x px q ) Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
真分式化为部分分式之和的待定系数法
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 2 2 dx x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
1 ln x ln x 1 C. x 1
三、简单无理函数的积分
ax b 讨论类型 R( x, ax b ), R( x , ), cx e
n
n
解决方法作代换去掉根号.
1 1 x 例10 求积分 dx x x
解
1 x 2 1 x 令 t t , x x
1 sin x dx. 例9 求积分 sin 3 x sin x A B A B 解 sin A sin B 2 sin cos 2 2 1 sin x 1 sin x sin 3 x sin x dx 2 sin 2 x cos x dx 1 sin x dx 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x

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数学高考密码押题卷几种特殊函数一.选择题1.设二次函数2()2f x ax ax c =-+在区间[0,1]上单调递减,且()(0)f m f ≤,则实数m 的取值范围是( ) A.(,0]-∞B.[2,)+∞C.(,0][2,)-∞+∞∪D.[0,2]2.在1[,2]2x ∈上，函数2()f x x Px q =++与33()22x g x x=+在同一点取得相同的最小值，那么()f x 在1[,2]2x ∈上的最大值是（）A.134 B.4 C.8 D.543.下列四类函数中,具有性质“对任意的0,0x y >>,函数f (x)满足()()()f x y f x f y +=”的是( )A.幂函数B.对数函数C.指数函数D.余弦函数 4.函数12()f x x -=的大致图像是（）5.已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈，2(lg(log 10))5f =，则(lg(lg 2))f = （A ）5- （B ）1- （C ）3 （D ）46.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（）（A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）207.若关于x 的方程2||4x kx x =+有四个不同的实数解,则k 的取值范围为( ) A. (0,1) B. 1(,1)4 C.1(,)4+∞ D. (1,)+∞8.已知0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点,若10(1,)x x ∈,20(,)x x ∈+∞,则( )A.12()0,()0f x f x <<B.12()0,()0f x f x <>C.12()0,()0f x f x ><D.12()0,()0f x f x >>9.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，12()22xf x x =-，又a 是函数2()ln(1)g x x x=+-的正零点，则(2),(),(1.5)f f a f -的大小关系为（） A.(1.5)()(2)f f a f <<- B.(2)(1.5)()f f f a -<< C.()(1.5)(2)f a f f <<- D.(1.5)(2)()f f f a <-<二、填空题 10.函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 . 11.设2.03=a ，π21log =b ，3..021⎪⎭⎫⎝⎛=c ，则c b a ,,从大到小的顺序为 .12.设*n ∈N ,一元二次方程240x x n -+=有整数根的充要条件是n =13.有下列说法：①用二分法研究函数3()31(0)f x ax bx a =+-≠的近似解时，第一次经计算 (0)0,(0.6)0f f <>，第二次应计算(0.3)f ；②函数2()ln f x x x=-的零点所在大至区间(2,3)；③对于函数3()f x x mx n =++，若()0,()0f a f b <>，则函数()f x 在(,)a b 内至多有一个零点；④:2p m <-或6m >；2:3q y x mx m =+++有两个不同的零点，则p 是q 的充要条件，其中说法正确的是（将所有正确说法的序号全部填在横线上）. 三、解答题 14. 如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知||3AB =米，||2AD =米，（Ⅰ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？（Ⅱ）若||[3,4)AN ∈（单位：米），则当,AM AN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积.15.已知a b c d 、、、是不全为零的实数,函数2()f x bx d cx =++,32()g x ax bx cx d =+++.方程 f (x)=0有实数根,且f(x)=0的实数根都是(())0g f x =的根,反之,(())0g f x =的实数根都是()0f x =的根.(1)求d 的值;(2)若0a =,求c 的取值范围;(3)若1a =,(1)0f =,求c 的取值范围;16.如图，某校有一块形如直角三角形ABC 的空地，其中B ∠为直角，AB 长40米，BC 长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积。

几种特殊函数答案单项选择题1.D 【解析】依题意知,函数()f x 的图像关于直线1x =对称,且开口方向向上,(0)(2)f f =,结合图像可知,不等式()f m ≤(0)f 的解集是[0,2],选D 2.B3.C 【解析】不妨设四个函数分别为2122(),()log f x x f x x ==,43,()cos ()2xf f x x x ==,则只有指数函数3()2x f x =适合题意,因为对指数函数()xf x a =而言()x y f x y a ++==()()xy a a f x f y ⋅=⋅,故选C4.A5.C6.C7.C8.B 【解析】由于函数()1111g x xx ==---在(1,)+∞上单调递增函数()2x h x =在(1,)+∞上单调递增,故函数()()()f x h x g x =+在(1,)+∞上单调递增,所以函数()f x 在(1,)+∞上只有唯一的零点0x ,所以在0(1,)x 上()0f x <,在0(),x +∞上()0f x >.A B C9. A 填空题 10. 4 11.a>c>b12.3或4【解析】由于方程都是正整数解,由判别式“1640n -≥”得“14n ≤≤”,逐个分析,当12n =、时,方程没有整数解;而当3n =时,方程有正整数解13、;当4n =时,方程有正整数解2 13.①②④ 解答题14.解：设AN 的长为x 米（2x >） ∵|DN||DC||AN||AM|=，∴||AM ＝32x x -∴232AMPNX S AN AM X =•=- （Ⅰ）由32AMPN S > 得 232x x - > 32 ，∵2x >，∴2332640x x -+>，即：(38)(8)0x x -->∴8283x x <<> 或即AN 长的取值范围是8(2)(8)3∞U ，，+（Ⅱ）令y =232x x -，则y '＝2226(2)334)(2)(2)x x x x x x x ---=--（∵当[3,4)x ∈，y '<0，∴函数y =232x x -在[3,4)上为单调递减函数，∴当3x =时y =232x x -取得最大值，即max ()27AMPN S =（平方米）此时||3AN =米，||9AM =米15.解:（1）设r 为方程()0f x =的一个根,即()0f r =,则由题设得(())0g f r =,于是(0)(())0g g f r ==,即(0)g d =0=,所以0d =.（2）由题意及（1）知23()(),f x bx cx g x ax =+=+2bx cx +.由0a =得b c 、是不全为零的实数,且()g x =2()bx cx x bx c +=+,则(())()[(g f x x bx c bx bx =++22))]()(c c x bx c b bcx c x +=+++.方程()0f x =就是()0x bx c +=. ① 方程g(())=0f x 就是22()(x bx c b x ++)0bcx c +=.② （ⅰ）当0,0c b =≠时,方程①②的根都为0x =,符合题意（ⅱ）当0,0c b ≠=时, 方程①②的根都为0x =,符合题意（ⅲ）当0,0c b ≠≠时, 方程①的根为120,c x x b=-=,它们也都是方程②的根,但它们不是方程22=0x b bcx c ++的实数根.由题意,方程22=0x b bcx c ++无实数根,此方程根的判别式22()40bc b c ∆=-<,得04c <<.综上所述,所求c 的取值范围为[0,4]（3）由1,(1)0a f ==得2,()(1)b c f x bx cx cx x =-=+=-+2(())()[()()]g f x f x f x cf x c =-+ ③由()0f x =可以推得(())0g f x =.知方程()0f x =的根一定是方程(())0g f x =的根. 当0c =时,符合题意当0,0c b ≠≠时,方程()0f x =的根不是方程2()f x -0()+cf x c =④的根,因此,根据题意,方程④应无实数根,那么当2()40c c -<-,即04c <<时,符合题意.当方程④得2()f x cx x =-+=即20cx cx -+=, ⑤则方程⑤应无实数根,所以有2()40c c •--<且2()40c c •--<.当0c <时,只需220cc •--<,解得1603c <<,矛盾,舍去.当4c ≥时,只需220cc •-<+,解得1603c <<.因此,1643c <≤.综上所述,所求c 的取值范围为16[0,]316.[解]如图，设矩形为EBFP , FP 长为x 米，其中040x <<，AE健身房占地面积为y 平方米。

因为CFP ∆∽CBA ∆，以FP CF BA CB =，504050x BF -=,求得5504BF x =-，从而255(50)5044y BF FP x x x x =⋅=-=-+25(20)5005004x =--+≤，当且仅当20x =时，等号成立。

答：该健身房的最大占地面积为500平方米。