如何绘制伯德图
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如何绘制伯德图
1
s2
K n 2 2ns n2
讨论 0 1时旳情况。当K=1时，频率特征为：
G(
j )
(1 T
1
2 2 )
j2T
幅频特征为：
A( )
1
(1 T 2 2 )2 (2T )2
相频特征为：
(
)
tg
1
1
2T T 2
2
对数幅频特征为：L() 20 log A() 20 log (1 T 2 2 )2 (2T )2
2
当 1 时，有谐振峰值。
2
M p A( p ) 2
1
1 2
由幅频特征
A( )
1
(1 T 2 2 )2 (2T )2
当
0
，A(0 )
1
2
，L(0) 20lg 2 。
所以在转折频率附近旳渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能
有很大旳误差。
11/29/2023
10
幅值 A()与 T 旳关系：
T 2.0 3.0 4.0 5.0 7.0 10 20 50 100
( ) -63.4 -71.5 -76 -78.7 -81.9 -84.3 -87.1 -88.9 -89.4
当 0时，(0) 0;当 1 时，( 1 ) ;当 时，() 。
T
T4
2
由图不难看出相频特征曲线在半对数坐标系中对于(0, －45°)
2
L( ) 20lg (1 T 2 2 )2 (2T )2
低频渐近线： T 1时，L() 0
高频渐近线： T 1时，L( ) 20lg (1 T 2 2 )2 (2T )2 40logT
转折频率为：o
1 T
如何绘制伯德图PPT课件
G( j ) G1 ( j )G2 ( j )Gn ( j ) G( j ) G1 ( j ) G2 ( j ) Gn ( j ) L( ) 20 lg G( j) 20 lg G1 ( j) 20 lg G2 ( j ) 20 lg Gn ( j)
G( j ) 00
（5-63） （5-64）
100 00
900 1800
10 100 1000
图5-11 放大环节的Bode图
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G( j) 1 j 1 1 e j90 j
7
当有n个积分环节串联时，即
dB L()
G(
j
)
(
1
j
)n
其对数幅频特性为
20 lg
G(
j )
20 lg
1
பைடு நூலகம்n
40
（ 5-70 ）
0
(5-71)
0.01 0.1
40 dB / dec
1
10
n 20 lg
G( j ) n 900
（5-72） 度 （）
6
设 ' 10 ，则有
20lg ' 20lg 10 20 20lg
dB L()
可见，其对数幅频特性是一条在
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ω 轴），且以每增加十倍频降 低20分贝的速度（-20dB/dec ） 变化的直线。
40
20dB / dec
1
L() dB
G( j ) 00
（5-63） （5-64）
100 00
900 1800
10 100 1000
图5-11 放大环节的Bode图
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G( j) 1 j 1 1 e j90 j
7
当有n个积分环节串联时，即
dB L()
G(
j
)
(
1
j
)n
其对数幅频特性为
20 lg
G(
j )
20 lg
1
பைடு நூலகம்n
40
（ 5-70 ）
0
(5-71)
0.01 0.1
40 dB / dec
1
10
n 20 lg
G( j ) n 900
（5-72） 度 （）
6
设 ' 10 ，则有
20lg ' 20lg 10 20 20lg
dB L()
可见，其对数幅频特性是一条在
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ω 轴），且以每增加十倍频降 低20分贝的速度（-20dB/dec ） 变化的直线。
40
20dB / dec
1
L() dB
如何绘制伯德图PPT课件
900
是一条斜率为-n×20dB/dec，且在 00
ω =1（弧度/秒）处过零分贝线（ω
0.01 0.1
1
轴）的直线。相频特性是一条与ω 900
无关，值为-n×900且与ω 轴平行的 1800 直线。两个积分环节串联的Bode图
如图5-13所示。
图5-13 两个积分环节串联的Bode图
8
（三） 惯性环节
1
L() dB
40
20
0
0.01 0.1
1
-20
-40
( )
90o
45o
0
0.01 0.1
1
-45o
-90o
10
100
10
100
2
用伯德图分析系统有如下优点： （1） 将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环
节） 的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰；
（2） 幅值用分贝数表示，可将串联环节的幅值相乘变为相 加运算，可简化计算；
一阶微分环节的对数幅频特性如图5-16所示，渐近线的转折频
率 为1，转折频率处渐近特性与精确特性的误差为
，
其误20差lg 均2为正3d分B 贝数，误差范围与惯性环节类似。
相频特性是
当 时， G( j )； arctg
（5-78）
0 G( j0) 00
12
当 1 时，G( j 1) 450 ；
成的折线称为对数幅频特性的渐近线。如图5-14所示。
9
惯性环节的相频特性为
G( j ) arctgT (5-75)
当 0时，G( j0) 00；
当 1 时，G( j 1 ) 450；
是一条斜率为-n×20dB/dec，且在 00
ω =1（弧度/秒）处过零分贝线（ω
0.01 0.1
1
轴）的直线。相频特性是一条与ω 900
无关，值为-n×900且与ω 轴平行的 1800 直线。两个积分环节串联的Bode图
如图5-13所示。
图5-13 两个积分环节串联的Bode图
8
（三） 惯性环节
1
L() dB
40
20
0
0.01 0.1
1
-20
-40
( )
90o
45o
0
0.01 0.1
1
-45o
-90o
10
100
10
100
2
用伯德图分析系统有如下优点： （1） 将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环
节） 的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰；
（2） 幅值用分贝数表示，可将串联环节的幅值相乘变为相 加运算，可简化计算；
一阶微分环节的对数幅频特性如图5-16所示，渐近线的转折频
率 为1，转折频率处渐近特性与精确特性的误差为
，
其误20差lg 均2为正3d分B 贝数，误差范围与惯性环节类似。
相频特性是
当 时， G( j )； arctg
（5-78）
0 G( j0) 00
12
当 1 时，G( j 1) 450 ；
成的折线称为对数幅频特性的渐近线。如图5-14所示。
9
惯性环节的相频特性为
G( j ) arctgT (5-75)
当 0时，G( j0) 00；
当 1 时，G( j 1 ) 450；
如何绘制伯德图.ppt
j?
??
其幅频特性为
1
G ( j? ) ? ?
对数幅频特性是
（5-65） （5-66）
1
20 lg G ( j? ) ? 20 lg ? ? 20 lg ? ?
（5-67）
当 ? ? 0 . 1 时，20 lg G ( j 0 . 1 ) ? ? 20 lg 0 . 1 ? 20 ( dB ) ； 当 ? ? 1 时，20 lg G ( j1) ? ? 20 lg 1 ? 0 ( dB ) ；
当 ? ? 10 时，20 lg G ( j10 ) ? ? 20 lg 10 ? ? 20 ( dB ) 。
6
设 ? ' ? 10 ? ，则有
? 20 lg ? ' ? ? 20 lg 10 ? ? ? 20 ? 20 lg ?
可见，其对数幅频特性是一条 在
dB L(? )
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线
(5-73) (5-74)
? ? 20 lg 1 ? T 2? 2
当 ? ?? 1 时， 20 lg G ( j ? ) ? ? 20 lg 1 ? T 2 ? 2 ? 0 ( dB ) ，
T
当 ? ?? 1 时，20 lg G ( j ? ) ? ? 20 lg 1 ? T 2 ? 2 ? ? 20 lg T ? ( dB )
40
（ω 轴），且以每增加十倍频降
20
? 20 dB / dec
低20分贝的速度（ -20dB/dec ）
0
0.01
0.1
1
10
?
变化的直线。
? 20
积分环节的相频特性是
? G ( j ? ) ? ? 90 0
03 频率特性法——奈氏图和伯德图画法
i=1 n-ι Sv∏(TjS+1) j=1
重点 掌握
K∏(τiS+1)
m
根据伯得图确定传递函数主要是确 定增益 K ，转折频率及相应的时间常数 等参数则可从图上直接确定。
由伯德图得传递函数详解
1. v= 0
系统的伯德图： 低频渐近线为 A(ω)=K L(ω)=20lgK=x
0
x
L(ω)/dB
x
20lgK
2 1/ 0.5 2,
3 20
1 时：
L( ) 20lg K 20lg10 20(dB)
(3) 过 ＝1、L( ) 20dB 的点，画一条斜率为-20dB/dec的斜 线，以此作为低频渐近线。 (4) 因第一个转折频率ω1＝1，故低频渐近线画至ω1 ＝1为止， 经过ω1＝1后曲线的斜率应为-40dB/dec； 当曲线延伸至第二个转折频率ω2 ＝2时，斜率又恢复 为-20dB/dec ； 直至ω3 ＝20时，曲线斜率再增加-20dB/dec，变为 -40dB/dec的斜线。至此已绘出系统的开环对数幅频特性 渐近线。
30
转折频率：0.5 2 30
低频段：V=1，在ω＝1 处 20lgK=20lg40=32 , －20 dB/dec，
L(ω)
[-20] 40db [-40] 20db [-20] 0db 0.1 -20db --40db 0.5 1 2
40(0.5s 1) G (s)H(s) 1 s(2s 1)( s 1) 30
L(ω)≈20lgK-20lgωυ 低频段曲线的斜率
低频段曲线的高度 -20υdB/dec
L(1)=20lgK
伯德图画法详解
实际作图步骤：
(1) 将开环传递函数表示为典型环节的串联；
重点 掌握
K∏(τiS+1)
m
根据伯得图确定传递函数主要是确 定增益 K ，转折频率及相应的时间常数 等参数则可从图上直接确定。
由伯德图得传递函数详解
1. v= 0
系统的伯德图： 低频渐近线为 A(ω)=K L(ω)=20lgK=x
0
x
L(ω)/dB
x
20lgK
2 1/ 0.5 2,
3 20
1 时：
L( ) 20lg K 20lg10 20(dB)
(3) 过 ＝1、L( ) 20dB 的点，画一条斜率为-20dB/dec的斜 线，以此作为低频渐近线。 (4) 因第一个转折频率ω1＝1，故低频渐近线画至ω1 ＝1为止， 经过ω1＝1后曲线的斜率应为-40dB/dec； 当曲线延伸至第二个转折频率ω2 ＝2时，斜率又恢复 为-20dB/dec ； 直至ω3 ＝20时，曲线斜率再增加-20dB/dec，变为 -40dB/dec的斜线。至此已绘出系统的开环对数幅频特性 渐近线。
30
转折频率：0.5 2 30
低频段：V=1，在ω＝1 处 20lgK=20lg40=32 , －20 dB/dec，
L(ω)
[-20] 40db [-40] 20db [-20] 0db 0.1 -20db --40db 0.5 1 2
40(0.5s 1) G (s)H(s) 1 s(2s 1)( s 1) 30
L(ω)≈20lgK-20lgωυ 低频段曲线的斜率
低频段曲线的高度 -20υdB/dec
L(1)=20lgK
伯德图画法详解
实际作图步骤：
(1) 将开环传递函数表示为典型环节的串联；
如何绘制伯德图讲诉
0.7
-10
( )
渐近线
40dB / Dec-4
-8
1
1
1
1
2
0.8 1.0
5
10
(deg)0° -30°
10T 5T
2T
T
T
T
T
左图是不同阻尼系数情况下的
-60°
0.1
-90° 0.2
0.3
-120° 0.5
-150° 0.7
1
2T T 2
2
几个特征点： 0,() 0; 1 ,() ; ,() 。
T
2
相频特性曲线在半对数坐标中关于( 0, －90°)点是斜对称的。
这里要说明的是当 (0, 1 ) 时，() (0,90) ,当 ( 1 , )
20log K
() 180
K 1
K 1 log
0 K 1
对数幅频特性：
0
L() 20lg K 0
0
K 0 log 相频特性：
() K 0
180
Thursday, May 02, 2019
K 1 K 1 0 K 1
-20
0°
-45°
-90°
1
1
1
1
1
2
5 10 20
20T 10T 5T
2T T
T
T
T
T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
Thursday, May 02, 2019
5
惯性环节的Bode图
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：
-10
( )
渐近线
40dB / Dec-4
-8
1
1
1
1
2
0.8 1.0
5
10
(deg)0° -30°
10T 5T
2T
T
T
T
T
左图是不同阻尼系数情况下的
-60°
0.1
-90° 0.2
0.3
-120° 0.5
-150° 0.7
1
2T T 2
2
几个特征点： 0,() 0; 1 ,() ; ,() 。
T
2
相频特性曲线在半对数坐标中关于( 0, －90°)点是斜对称的。
这里要说明的是当 (0, 1 ) 时，() (0,90) ,当 ( 1 , )
20log K
() 180
K 1
K 1 log
0 K 1
对数幅频特性：
0
L() 20lg K 0
0
K 0 log 相频特性：
() K 0
180
Thursday, May 02, 2019
K 1 K 1 0 K 1
-20
0°
-45°
-90°
1
1
1
1
1
2
5 10 20
20T 10T 5T
2T T
T
T
T
T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
Thursday, May 02, 2019
5
惯性环节的Bode图
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：
开环伯德图绘制
于是有： ω = K ⇒ ω0 = K ν
ν
75
《自动控制原理》电子教案
（5）绘制中频段 首先在横坐标轴上将转折频率按从低到高的顺序标出各转折频率。然后，依次在各转折频率处改变 直线的斜率 ，改变的多少取决于转折处环节的性质，如惯性环节的斜率为 − 20dB dec ，振荡环节为
− 40dB dec ，一阶微分环节为 + 20dB dec ，二阶微分环节为 + 40dB dec 等等。 例：已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 GK ( s) = 100( s + 2) s( s + 1)(s + 20) ，试绘制其开环
ω
2
由图可知： 解得wc=4，
小结丗对最小相位系统、幅频特性与相频特性的关系
如果幅频特性的斜率为－１对应的相角为－ｐｉ／２； 如果幅频特性的斜率为－ｋ对应的相角为－ｐｉ＊ｋ／２．
77
L(ω ) = 20 lg K − 20 ×ν × lg ω ω =1 = 20 lg K
③低频段直线（或其延长线）与零分贝线（横轴）的交点频率为 ω0 = K ，对于 I 型系统交点频
ν
1
率为 ω0 = K ，II 型系统交点频率为 ω0 =
1
K ；这是因为由低频段的幅频方程，可得到
L(ω ) = 20 lg K − 20 ×ν × lg ω = 0 ⇒ 20 lg K = 20 ×ν × lg ω = 20 lg ων
⎧ L (ω ) = −20 lg 1 + ω 2 − 20 lg lg 1 + 4ω 2 ⎧ϕ (ω ) = arctgω − arctg 2ω ⎪ 1 1 ，⎨ ⎨ 2 2 ⎩ϕ 2 (ω ) = −arctgω − arctg 2ω ⎪ L2 (ω ) = −20 lg 1 + ω − 20 lg lg 1 + 4ω ⎩
ν
75
《自动控制原理》电子教案
（5）绘制中频段 首先在横坐标轴上将转折频率按从低到高的顺序标出各转折频率。然后，依次在各转折频率处改变 直线的斜率 ，改变的多少取决于转折处环节的性质，如惯性环节的斜率为 − 20dB dec ，振荡环节为
− 40dB dec ，一阶微分环节为 + 20dB dec ，二阶微分环节为 + 40dB dec 等等。 例：已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 GK ( s) = 100( s + 2) s( s + 1)(s + 20) ，试绘制其开环
ω
2
由图可知： 解得wc=4，
小结丗对最小相位系统、幅频特性与相频特性的关系
如果幅频特性的斜率为－１对应的相角为－ｐｉ／２； 如果幅频特性的斜率为－ｋ对应的相角为－ｐｉ＊ｋ／２．
77
L(ω ) = 20 lg K − 20 ×ν × lg ω ω =1 = 20 lg K
③低频段直线（或其延长线）与零分贝线（横轴）的交点频率为 ω0 = K ，对于 I 型系统交点频
ν
1
率为 ω0 = K ，II 型系统交点频率为 ω0 =
1
K ；这是因为由低频段的幅频方程，可得到
L(ω ) = 20 lg K − 20 ×ν × lg ω = 0 ⇒ 20 lg K = 20 ×ν × lg ω = 20 lg ων
⎧ L (ω ) = −20 lg 1 + ω 2 − 20 lg lg 1 + 4ω 2 ⎧ϕ (ω ) = arctgω − arctg 2ω ⎪ 1 1 ，⎨ ⎨ 2 2 ⎩ϕ 2 (ω ) = −arctgω − arctg 2ω ⎪ L2 (ω ) = −20 lg 1 + ω − 20 lg lg 1 + 4ω ⎩
3.1.2波特图的绘制(精)
图 1 波特图的横坐标和纵坐标
�����/��，即横轴对lg�将是等分的，如图 1 横轴对照图所示。 ����与����的对应关系如图 1 纵轴对照图所示。
由于习惯上都以频率�作为自变量，因此横轴为对数坐标，标以自变量 而波特图纵轴以等分坐标来标定����， 其单位是分贝����， 而且是20lgM���， 由图可见， 波特图是画在纵轴位等分坐标、 横轴为对数坐标的特殊Байду номын сангаас标纸上，
波特图的绘制
波特图（Bode 图）又叫伯德图。 引入对数幅频特性����，可以使串联环节的幅值相乘转化为对数幅频特性
的相加；而����或它的渐近线大多与���成线性关系，因此，若以����为纵轴， 单位长度， �将变化 10 倍[以后称这个为一个 “10 倍频程” （decade） ， 记为 dec]。 波特图的横坐标和纵坐标示意图如图 1 所示。 ���为横轴，则其图线将为直线。另一方面，若以���为横轴，则���每变化一个
特性����也画在与����完全相同的半对数坐标纸上，其横轴的取值与对数幅频 特性坐标相同，画在半对数坐标纸上的����称为对数相频特性。
这种坐标纸叫“半对数坐标纸” 。 注意： 1、对数坐标是不均匀坐标，是由疏到密周期性变化排列的，因此，不能像 等分坐标那样任意取值、任意移动，在对数坐标上的取值和移动是以“级”为单 位的。 2、对数坐标的每一级代表 10 倍频程，即每个等分的级的频率差 10 倍，若 第一个“1”处为 0.1，则以后的“1”处便分别为 1、10、100、1000 等。究 竟第一个“1”处的频率值取为多少，要视研究的系统所需要的频率段而定。在 一般的调速系统和随动系统中，第一个“1”处的频率值通常在 0.01、0.1、1 三个数值中取值。 由于对数幅频特性����是画在半对数坐标纸上的，为便于比较对照，相频
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20 lg 10 20(dB)
。
6
设 ' 10 ，则有
20 lg 20 lg 10 20 20 lg
'
(5-68)
dB L( )
可见，其对数幅频特性是一条在 ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ ω 轴），且以每增加十倍频降 低 20 分贝的速度（ -20dB/dec ） 变化的直线。 积分环节的相频特性是
对数幅频特性为
20 lg G( j ) 20 lg K
（5-61）
当K>1时，20lgK>0，位于横轴上方；
当K=1时，20lgK=0，与横轴重合；
当K<1时，20lgK<0，位于横轴下方。
4
放大环节的对数幅频特性如图5-11所示，它是一条与角频 率ω 无关且平行于横轴的直线，其纵坐 标为20lgK。
0
100
1000
（5-63）
180
0
放大环节的相频特性是
G( j ) 0
0
图5-11 放大环节的Bode图
（5-64） 如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G ( j ) 1 j j 1
1
e
j 90
2 2 2
（5-85）
相频特性是
G ( j ) arctg 2 1
2 2
dB
40
（5-86）20
0
1 1 10
0
精确特性
40dB / dec
二阶微分环节与振荡节的Bode
1
图关于ω 轴对称，如图5-21 。
渐近线的转折频率为
1
( )
10
1
渐近特性
180
变化范围是00至+1800。
0
0
，相角
90
0
17 图 二阶微分环节的Bode
图5-21
二、绘制系统频率特性伯德图的步骤
1. 将系统函数分解成典型环节乘积（即串联）的形 式； 2. 将各部分化为典型环节的标准形式； 3. 如果存在转折频率，在ω轴上标出转折频率的坐 标位置； 4. 由各串联环节的对数幅频特性叠加后得到系统开 环对数幅频特性的渐近线； 5. 画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得 到系统开环相频特性。
20 lg
1 T
2
2
0(dB) ，
20 lg
1 T
2
2
20 lg T (dB)
0
，
1
用两条直线近似描述惯性环节的对数幅频特性，即在 的低 T 1 频段时， 20 lg G( j ) 0 ，与零分贝线重合；在 的高频段 T 时， 20 lg G( j ) 20 lg T ，是一条斜率为-20（dB/dec.）的直线。
1
L( )
dB
40 20 0
-20
-40
( )
0.01
0.1
1
10
100
90o
45o
0 -45o -90o
0.01
0.1
1
10
100
2
用伯德图分析系统有如下优点： （1） 将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环
节） 的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰； （2） 幅值用分贝数表示，可将串联环节的幅值相乘变为相 加运算，可简化计算；
1 0(dB)
；
当
时，20 lg 2 2 1 20 lg (dB) ；
一阶微分环节的对数幅频特性如图 5-16 所示，渐近线的转折频 1 率 为，转折频率处渐近特性与精确特性的误差为 ， 其误差均为正分贝数，误差范围与惯性环节类似。 20 lg 2 3dB 相频特性是 当
（5-65）
其幅频特性为
G ( j ) 1
20 lg
（5-66）
（5-67） ；
对数幅频特性是
20 lg G ( j ) 20 lg 1
当 0.1 时，20 lg G( j 0.1) 20 lg 0.1 20(dB) 当 1 时，20 lg G( j1) 20 lg 1 0(dB) ； 当 10 时，20 lg G( j10)
围是0至 ；第二段折线的起点在 处，是一条斜率为-40 T T 1 （dB/dec） 的直线，对应的频率范围是 至∞。两段折线构成 T 1 振荡环节对数幅频特性的渐近线，它们的转折频率为 。对数 T 幅频特性曲线的渐近线如图5-17所示。
14
1
1
dB
L( )
1 1 1 T
低频渐近线
0
10 T
10
2
1 T
) 20 lg
5 20 lg 2 0.97(dB)
11
（四） 一阶微分环节
一阶微分环节频率特性为
G ( j ) j 1
其对数幅频特性是
20 lg G( j ) 20 lg
1
2 2
（5-77）
当
1
1
时，20 lg 2 2
两条直线在 T 处相交， 称为转折频率，由这两条直线构 T 成的折线称为对数幅频特性的渐近线。如图5-14所示。
1
1
惯性环节的相频特性为
G ( j ) arctgT (5-75)
db L( )
10
1 1 1 1 10 T
11 5T
1 T
0 20 T
2
1 T
10
1 T
20
1 T
当
G ( j ) G1 ( j )G 2 ( j ) G n ( j ) G ( j ) G1 ( j ) G 2 ( j ) G n ( j ) L( ) 20 lg G ( j ) 20 lg G1 ( j ) 20 lg G 2 ( j ) 20 lg G n ( j )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
（5-80） ； 。
当 T 时， 20 lg 当
1 T
1
(1 T ) 4 T
(1 T ) 4 T
2 2 2 2 2
0(dB)
时， 20 lg
2
40 lg T (dB)
渐近线的第一段折线与零分贝线（ω 轴）重合， 对应的频率范
20 lg 1 T
2 2
1
1
1 T
20 lg
2 3( dB )
1 1 2T
时的误差是
20 lg 1 T
2 2 11 2T
20 lg
5 2
0.97( dB)
2
1 T
时的误差是
1 T
2 2
20 lg
2
1 T
(20 lg T
当有n个积分环节串联时，即
G ( j ) 1 ( j )
n
dB
L( )
40 dB / dec
40
（ 5-70 ）
0
其对数幅频特性为
20 lg G ( j ) 20 lg n 20 lg
G( j ) n 90
0
0.01
0.1
1
10
1
n
(5-71)
（5-72）
G ( j ) 90
0
60
40
20dB / dec
20
0
0.01
0.1
1
10
20
度
（）
0
90
(5-69)
0
0
0.01
0
0.1
1
10
是一条与ω 无关，值为-900且平行 于ω 轴的直线。积分环节的对数幅 频特性和相频特性如图5-12所示。
90
180
0
图5-12 积分环节的Bode图
（3） 用渐近线表示幅频特性，使作图更为简单方便；
（4） 横轴（ω 轴）用对数分度，扩展了低频段，同时也兼顾 了中、高频段，有利于系统的分析与综合。
3
（一）放大环节（比例环节）
放大环节的频率特性为
（5-59） G( j ) K ( K为大于零的常数） 其幅频特性是
G( j ) K
（5-60）
) 90
0
；
0 当 时， G( j) 180 。
除上面三种特殊情况外，振荡环节相频特性还是阻尼比ξ 的函 数，随阻尼比ξ 变化，相频特性在转折频率 1 附近的变化速率 T 也发生变化，阻尼比ξ 越小，变化速率越大，反之愈小。但这 种变化不影响整个相频特性的大致形状。不同阻尼比ξ 的相频 特性如图 5-20 所示。
1 T
40dB / dec
20
40
高频渐近线
图5-17 振荡环节渐进线对数幅频特性
•振荡环节的相频特性是 2T G ( j ) arctg • （ 5-83 1 T ）
2 2
15
当 0 时，G( j 0) 0 ；
0
当
1 T
时， G ( j
1 T
时， G( j 0) 0 ； 0 当 1 时，G ( j 1 ) 450； T T 当 时，G( j) 900 。
0
10
20
精确特 性
渐近特 性
20dB / dec
对应的相频特性曲线如图5-14 所示。它是一条由 且以
。
6
设 ' 10 ，则有
20 lg 20 lg 10 20 20 lg
'
(5-68)
dB L( )
可见，其对数幅频特性是一条在 ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ ω 轴），且以每增加十倍频降 低 20 分贝的速度（ -20dB/dec ） 变化的直线。 积分环节的相频特性是
对数幅频特性为
20 lg G( j ) 20 lg K
（5-61）
当K>1时，20lgK>0，位于横轴上方；
当K=1时，20lgK=0，与横轴重合；
当K<1时，20lgK<0，位于横轴下方。
4
放大环节的对数幅频特性如图5-11所示，它是一条与角频 率ω 无关且平行于横轴的直线，其纵坐 标为20lgK。
0
100
1000
（5-63）
180
0
放大环节的相频特性是
G( j ) 0
0
图5-11 放大环节的Bode图
（5-64） 如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G ( j ) 1 j j 1
1
e
j 90
2 2 2
（5-85）
相频特性是
G ( j ) arctg 2 1
2 2
dB
40
（5-86）20
0
1 1 10
0
精确特性
40dB / dec
二阶微分环节与振荡节的Bode
1
图关于ω 轴对称，如图5-21 。
渐近线的转折频率为
1
( )
10
1
渐近特性
180
变化范围是00至+1800。
0
0
，相角
90
0
17 图 二阶微分环节的Bode
图5-21
二、绘制系统频率特性伯德图的步骤
1. 将系统函数分解成典型环节乘积（即串联）的形 式； 2. 将各部分化为典型环节的标准形式； 3. 如果存在转折频率，在ω轴上标出转折频率的坐 标位置； 4. 由各串联环节的对数幅频特性叠加后得到系统开 环对数幅频特性的渐近线； 5. 画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得 到系统开环相频特性。
20 lg
1 T
2
2
0(dB) ，
20 lg
1 T
2
2
20 lg T (dB)
0
，
1
用两条直线近似描述惯性环节的对数幅频特性，即在 的低 T 1 频段时， 20 lg G( j ) 0 ，与零分贝线重合；在 的高频段 T 时， 20 lg G( j ) 20 lg T ，是一条斜率为-20（dB/dec.）的直线。
1
L( )
dB
40 20 0
-20
-40
( )
0.01
0.1
1
10
100
90o
45o
0 -45o -90o
0.01
0.1
1
10
100
2
用伯德图分析系统有如下优点： （1） 将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环
节） 的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰； （2） 幅值用分贝数表示，可将串联环节的幅值相乘变为相 加运算，可简化计算；
1 0(dB)
；
当
时，20 lg 2 2 1 20 lg (dB) ；
一阶微分环节的对数幅频特性如图 5-16 所示，渐近线的转折频 1 率 为，转折频率处渐近特性与精确特性的误差为 ， 其误差均为正分贝数，误差范围与惯性环节类似。 20 lg 2 3dB 相频特性是 当
（5-65）
其幅频特性为
G ( j ) 1
20 lg
（5-66）
（5-67） ；
对数幅频特性是
20 lg G ( j ) 20 lg 1
当 0.1 时，20 lg G( j 0.1) 20 lg 0.1 20(dB) 当 1 时，20 lg G( j1) 20 lg 1 0(dB) ； 当 10 时，20 lg G( j10)
围是0至 ；第二段折线的起点在 处，是一条斜率为-40 T T 1 （dB/dec） 的直线，对应的频率范围是 至∞。两段折线构成 T 1 振荡环节对数幅频特性的渐近线，它们的转折频率为 。对数 T 幅频特性曲线的渐近线如图5-17所示。
14
1
1
dB
L( )
1 1 1 T
低频渐近线
0
10 T
10
2
1 T
) 20 lg
5 20 lg 2 0.97(dB)
11
（四） 一阶微分环节
一阶微分环节频率特性为
G ( j ) j 1
其对数幅频特性是
20 lg G( j ) 20 lg
1
2 2
（5-77）
当
1
1
时，20 lg 2 2
两条直线在 T 处相交， 称为转折频率，由这两条直线构 T 成的折线称为对数幅频特性的渐近线。如图5-14所示。
1
1
惯性环节的相频特性为
G ( j ) arctgT (5-75)
db L( )
10
1 1 1 1 10 T
11 5T
1 T
0 20 T
2
1 T
10
1 T
20
1 T
当
G ( j ) G1 ( j )G 2 ( j ) G n ( j ) G ( j ) G1 ( j ) G 2 ( j ) G n ( j ) L( ) 20 lg G ( j ) 20 lg G1 ( j ) 20 lg G 2 ( j ) 20 lg G n ( j )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
（5-80） ； 。
当 T 时， 20 lg 当
1 T
1
(1 T ) 4 T
(1 T ) 4 T
2 2 2 2 2
0(dB)
时， 20 lg
2
40 lg T (dB)
渐近线的第一段折线与零分贝线（ω 轴）重合， 对应的频率范
20 lg 1 T
2 2
1
1
1 T
20 lg
2 3( dB )
1 1 2T
时的误差是
20 lg 1 T
2 2 11 2T
20 lg
5 2
0.97( dB)
2
1 T
时的误差是
1 T
2 2
20 lg
2
1 T
(20 lg T
当有n个积分环节串联时，即
G ( j ) 1 ( j )
n
dB
L( )
40 dB / dec
40
（ 5-70 ）
0
其对数幅频特性为
20 lg G ( j ) 20 lg n 20 lg
G( j ) n 90
0
0.01
0.1
1
10
1
n
(5-71)
（5-72）
G ( j ) 90
0
60
40
20dB / dec
20
0
0.01
0.1
1
10
20
度
（）
0
90
(5-69)
0
0
0.01
0
0.1
1
10
是一条与ω 无关，值为-900且平行 于ω 轴的直线。积分环节的对数幅 频特性和相频特性如图5-12所示。
90
180
0
图5-12 积分环节的Bode图
（3） 用渐近线表示幅频特性，使作图更为简单方便；
（4） 横轴（ω 轴）用对数分度，扩展了低频段，同时也兼顾 了中、高频段，有利于系统的分析与综合。
3
（一）放大环节（比例环节）
放大环节的频率特性为
（5-59） G( j ) K ( K为大于零的常数） 其幅频特性是
G( j ) K
（5-60）
) 90
0
；
0 当 时， G( j) 180 。
除上面三种特殊情况外，振荡环节相频特性还是阻尼比ξ 的函 数，随阻尼比ξ 变化，相频特性在转折频率 1 附近的变化速率 T 也发生变化，阻尼比ξ 越小，变化速率越大，反之愈小。但这 种变化不影响整个相频特性的大致形状。不同阻尼比ξ 的相频 特性如图 5-20 所示。
1 T
40dB / dec
20
40
高频渐近线
图5-17 振荡环节渐进线对数幅频特性
•振荡环节的相频特性是 2T G ( j ) arctg • （ 5-83 1 T ）
2 2
15
当 0 时，G( j 0) 0 ；
0
当
1 T
时， G ( j
1 T
时， G( j 0) 0 ； 0 当 1 时，G ( j 1 ) 450； T T 当 时，G( j) 900 。
0
10
20
精确特 性
渐近特 性
20dB / dec
对应的相频特性曲线如图5-14 所示。它是一条由 且以