开环伯德图绘制
典型环节的Bode图
控制系统的开环频率特性目的：掌握开环Bode 图的绘制根据Bode 图确定最小相位系统的传递函数 重点：开环Bode 图的绘制、根据Bode 图确定最小相位系统的传递函数1 开环伯德图手工作图的一般步骤：1）将开环传递函数表示为时间常数表达形式，计算各个典型环节的交接频率2）求20lgK 的值，并明确积分环节的个数ν 3）通过（1,20lgK ）绘制斜率为-20vdB/dec 低频段 4）随着频率增加，每遇到一个典型环节的交接频率，就改变一次斜率最小相位系统定义： 递函数的零点、极点全部位于S 左半平面，同时又无纯滞后环节的系统称为最小相位系统。
否则就是非最小相位系统。
对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对应关系。
对于一个最小相位系统，我们若知道了其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。
也就是说：只要知道其幅频特性，就能写出此最小相位系统所对应的传递函数，而无需再画出相频特性。
非最小相位系统高频时相角迟后大，起动性能差，响应缓慢。
对响应要求快的系统，不宜采用非最小相位元件。
2 典型环节的伯德图绘制曲线在MA TLAB 中实现，利用下述的程序段：num=[b2 b1 b0]; den=[1 a2 a1 a0]; H=tf(num,den); bode(H) margin(H) hold on2.1 比例环节传递函数：()G s K = 频率特性：()G j K ω=对数幅频特性：()20lg L j K ω= 对数相频特性：()0ϕω=程序段：num=[0 10]; den=[0 1]; H=tf(num,den); bode(H)margin(H) holdon结论：放大环节的对数幅频特性是一条幅值为20lgK 分贝，且平行于横轴的直线，相频特性是一条和横轴重合的直线。
K>1时，20lgK>0dB ；K<1时，20lgK<0dB 。
2.2 惯性环节（低通滤波特性）传递函数：1()1G s sτ=+频率特性：()()()j G j A e ϕωωω=对数幅频特性：21()20lg 1()L ωτω=+对数相频特性：()arctan ϕωτω=-绘制1()10.1G s s=+的Bode 图程序段：num=[0 1]; den=[0.1 1];H=tf(num,den); bode(H) margin(H) holdon结论：惯性环节的对数幅频特性可以用在1ωτ= 处相交于0分贝的两条渐近直线来近似表示：当1ωτ时，是一条0分贝的直线； 当1ωτ时，是一条斜率为-20dB/dec 的直线。
如何绘制伯德图
5-14，可知，一阶微分 环节与惯性环节的对数 幅频特性和相频特性是
900 ( )
度
1 1 100
1 1 10
1 1 10 渐近特性
100
1
450
00
45o / dec
1 1 100
1 1 10
1
10
1
100
1
以横轴（ω 轴）为对称的。
图5-16 一阶微分环节的Bode图
振荡环节对数幅频特性的渐近线，它们的转折频率为
幅频特性曲线的渐近线如图5-17所示。
T
。对数
14
dB
L( )
1 1 10 T 1 T
低频渐近线
10
0
1 T
40 dB /dec
20
40
高频渐近线
图5-17 振荡环节渐进线对数幅频特性
•振荡环节的相频特性是 2 T G ( j ) arctg 2 2） • （ 5-83 1 T
（三） 惯性环节 惯性环节的频率特性是
G ( j)
其对数幅频特性是
1 jT 1
(5-73)
1
20 lg G ( j ) 20 lg 20 lg 1T22
典型环节的Bode图
控制系统的开环频率特性目的：掌握开环Bode图的绘制根据Bode图确定最小相位系统的传递函数重点：开环Bode图的绘制、根据Bode图确定最小相位系统的传递函数1 开环伯德图手工作图的一般步骤：1）将开环传递函数表示为时间常数表达形式，计算各个典型环节的交接频率2）求20lgK的值，并明确积分环节的个数ν3）通过（1,20lgK）绘制斜率为-20vdB/dec低频段4）随着频率增加，每遇到一个典型环节的交接频率，就改变一次斜率最小相位系统定义：递函数的零点、极点全部位于S 左半平面，同时又无纯滞后环节的系统称为最小相位系统。
否则就是非最小相位系统。
对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对应关系。
对于一个最小相位系统，我们若知道了其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。
也就是说：只要知道其幅频特性，就能写出此最小相位系统所对应的传递函数，而无需再画出相频特性。
非最小相位系统高频时相角迟后大，起动性能差，响应缓慢。
对响应要求快的系统，不宜采用非最小相位元件。
Tf函数用来建立实部或复数传递函数模型或将状态方程、或零级增益模型转化成传递函数形式。
sys = tf(num,den)命令可以建立一个传递函数，其中分子和分母分别为num和den。
输出sys 是储存传递函数数据的传递函数目标。
单输入单输出情况下，num和den是s的递减幂级数构成的实数或复数行向量。
这两个向量并不要求维数相同。
如h = tf([1 0],1)就明确定义了纯导数形式h(s)=s。
若要构建多输入多输出传递函数，要分别定义每一个单输入单输出系统的端口的分子与分母。
2 典型环节的伯德图绘制曲线在MA TLAB中实现，利用下述的程序段：num=[b2 b1 b0];den=[1 a2 a1 a0];H=tf(num,den);bode(H)margin(H)hold on2.1 比例环节传递函数：()G s K=频率特性：()G j Kω=对数幅频特性：()20lgL j Kω=对数相频特性：()0ϕω=程序段：num=[0 10]; den=[0 1]; H=tf(num,den);bode(H)margin(H) holdon结论：放大环节的对数幅频特性是一条幅值为20lgK分贝，且平行于横轴的直线，相频特性是一条和横轴重合的直线。
BODE图的讲解
L() 20 lg () *90
共二十三页
( )
§5.3.1 典型环节的Bode图
§5.3.1 典型(diǎnxíng)环节的Bode图
⑶ 积分(jīfēn) G( j ) 1
环节
j
L() 20lg () 90
当 G( j) ( 1 ) j
L() 20 lg () 90*
⑷ 惯性环节
§5.3.1 典型(diǎnxíng)环节的Bode图
⑹ 节
振荡(zhèndàng)G环(s)
n2 s2 2ns n2
G(
j )
1
2
2 n
1
j2
n
L( ) 20lg
[1
2 n2
]2
[2
n
]2
( )
arctan 2
n
1 -
2
2 n
1
n
1
n
L() 0 () 0
L( ) 40lg n
第一转折频率之左 的特性及其延长线
共二十三页
内容(nèiróng)总结
1)由开环频率特性 求出幅频特性 和相频特性 ，或实频 特性 和虚频特性。不含零点时，模值和相位一般会单调收缩 ，当有零点时，曲线可能会扭曲。(4) (非直线）特性曲线可以绘制 渐近对数(duìshù)幅频特性，进一步简化绘制过程。是一条斜率为＋ 20db/dec，过（1,0)点的直线，记作〔＋20〕。谐振频率wr 和谐振 峰值Mr。① 两惯性环节转折频率很接近时
30dB
20( lgc
lg
2)
20 lg
c
2
lg c 30 1.5
2 20
c 2 101.5 63.2 rad s
如何绘制伯德图
。
6
设 ' 10 ，则有
20 lg 20 lg 10 20 20 lg
'
(5-68)
dB L( )
可见，其对数幅频特性是一条在 ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ ω 轴），且以每增加十倍频降 低 20 分贝的速度（ -20dB/dec ） 变化的直线。 积分环节的相频特性是
对数幅频特性为
20 lg G( j ) 20 lg K
（5-61）
当K>1时，20lgK>0，位于横轴上方；
当K=1时，20lgK=0，与横轴重合；
当K<1时，20lgK<0，位于横轴下方。
4
放大环节的对数幅频特性如图5-11所示，它是一条与角频 率ω 无关且平行于横轴的直线，其纵坐 标为20lgK。
0
100
1000
（5-63）
180
0
放大环节的相频特性是
G( j ) 0
0
图5-11 放大环节的Bode图
（5-64） 如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G ( j ) 1 j j 1
1
e
j 90
2 2 2
（5-85）
相频特性是
G ( j ) arctg 2 1
2 2
dB
40
（5-86）20
0
1 1 10
0
精确特性
40dB / dec
二阶微分环节与振荡节的Bode
1
图关于ω 轴对称，如图5-21 。
系统开环频率特性的绘制
20lg G1( j)
v 20 lg
Kv
j
20lg Kv 20lg v 0
v
和
20lg G2 ( j)
a
20 lg
Ka
2
a
20 lg
Ka
20 lg
2 a
0
(5-95)
(5-96)
8
由上面两式分别得到
v Kv
（5-97）
a
Ka 或Ka
2 a
（5-98）
通过上面的分析，在绘制传递函数为式（5-93）和（5-94） 的对数幅频特 性时，可用下述两种方法之一进行。
1
一、绘制系统开环频率特性极坐标图的步骤
1. 将系统开环传递函数分解成若干典型环节的串联形式； 2.典型环节幅频特性相乘得到系统开环幅频特性， 3.典型环节相频特性相加得到系统开环相频特性； 4.如幅频特性有渐近线，则根据开环频率特性表达式的实部和
虚部，求出渐近线； 5.最后在G(jω)H(jω)平面上绘制出系统开环频率特性的极坐标图。
dB
dB
a
A
20dB / dec
0 20log KV
1
V
图5-26 KV与V的关系
a
A
0 20log Ka
40dB / dec
1 a
图5-27 Ka 与 a的关系
9
方法一：对于式（5-93），先过横轴上ω=1点作横轴的垂 直线，过纵轴上20lgKv点作横轴的平行线，这两条直线交于A 点，然后过A点作斜率为 -20dB/dec的直线即为所求的对数幅 频特性（图5-26）；对于式（ 5-94），过横轴上ω=1 点作横 轴的垂线过纵轴上20lgKa 点作横轴的平行线，这两条直线交 于A点，然后过A点作斜率为-40dB/dec的直线即为所求的对数 幅频特性（图5-27）。
第五章_开环伯德图
ω tg1ω T
11
L ( )
dB
20
20 0
( )
90
1 10T
1 T
10 T
45 0
1 10T
1 T
10 T
一阶微分环节高频渐近线的斜率是+20dB/dec，其 相位变化范围由0°（ω=0）经+45°至90°（ω=∞）
0.7
0.3 0.2
( )
180 90 0
0.7
0.3 0.2
1 10T
1 T
10 T
20
8．延迟环节
幅频特性 相频特性
( )
0 100 200 300 400
1 10T
e jω
T
Lω 20lgG jω 20lg1 0 dB
1 T 2ω 2
即二阶微分环节的幅频和相频特性分别与振 荡环节的相应特性是关于横轴对称。此时， 其对数幅频特性的高频渐近线的斜率为 +40dB/dec而相频由0°（对应ω=0）经 1 90°ω ω T ，最后趋于180°（ω→∞）。
n
19
L( )
40 20
0dBBiblioteka 409000.1
1
10
6
4. 惯性环节
惯性环节的幅频特性为
G jω 1 1 jω T
惯性环节的幅频特性
20 lg 1 1 20 lg 20 lg 1 2T 2 1 jT 1 2T 2
1 在 ω T 时（低频段）：
20lg 1 ω2T 2 20lg1 0 dB
§5-3系统开环频率特性的绘制(精)
(T1 T2 ) G ( j ) H ( j ) arctgT1 arctgT2 arctg 1 T1T2 2
4
（1）极坐标图
当 0 时， G( j ) H ( j ) K , G( j ) H ( j ) 00 当
1 1 1 1 和 ，且 T1 T2 T2 T1
L ( ) dB L ( )
A
20 log K
0
B
渐近特性
，将它们
20dB / dec
1 T1
精确特性
在ω 轴上标出（图5-25）； 在纵坐标上找到 20lgK 的点 A ， 过 A 点作平行于横轴 的直线 AB ，这 条平行线对应放大环节的幅频特 性；
C
1 T2
40dB / dec
(1)
度
( 2)
D
(3)
0 1 在交接频率 T 处作ω 轴的垂线 1 450
（虚线）交平行线AB于B点，以B 为起点作斜率为-20dB/dec的斜
1 线BC，C点对应交接频率 ，折线 T2
( 4)
ABC对应放大环节K和惯性环节 1 的叠加； Ts 1
图5-25 开环系统Bode图
8
由上面两式分别得到
v Kv
a
2 K a 或K a a
（5-97）
（5-98）
通过上面的分析，在绘制传递函数为式（5-93）和（5-94） 的对数幅频特 性时，可用下述两种方法之一进行。
dB
dB
a
0
20 log KV
A
20dB / dec
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100( s 1)
G(s) s(s 1)( s
2 1)( s
1)
10 20
G( j)
100(0.5 j 1)
j( j 1)(0.1 j 1)(0.05 j 1)
20dB / dec
() 90 arctan arctan arctan arctan
40
40dB / dec 20
300
1 10 100
60dB / dec
9
开环伯德图（习题四）
单位负反馈系统闭环对数幅频特性分段曲线如下，若要 求系统具有30°相位裕度，试计算开环放大倍数增益
L( ) 0 1 1.25
20dB / dec
(s) ? G(s) ? 5
() ?
20
1 2 10 100
G( j) 100 1 1 (0.5 j 1) j ( j 1)
一个比例环节、积分环节、一阶惯性环节
和一阶微分环节构成
转角频率分别为
2
1 T2
2
1
1 T1
1
3
开环伯德图的绘制
L() 20dB / dec
G(s) 50(s 2) s(s 1)
相频特性曲线的绘制
1. 在确定转角频率之后，找到对应转角频率的相位角 2. 在中间选出一些特殊点，计算对应相位角，最后画
出草图
2
开环伯德图的绘制 L()s(s 1)
40
40dB / dec
20dB / dec
G( j) 50( j 2) j( j 1)
( ) 0
90
180 270
G( j)
10
10 1 1
1
j(10 j 1)(0.05 j 1)
j (10 j 1) (0.05 j 1)
(c ) 90
arctg arctg
0.1
20
0.1
g 20
幅值裕度 c 1
(c ) 90
转角频率分别为
1
1 T1
0.1
2
1 T2
20
20dB / dec
20
lg
10
L(
)
20
lg
10
2
0.1 0.1 20
40dB / dec
0.1 c
20
20
lg
20
3
20
c 1
60dB / dec
7
开环伯德图（习题二）
2. 确定每一个环节的转角频率 3. 按转角频率将整个频率范围（横轴）划分成几个区域 4. 将对应的各个典型环节在相应区域内相加
6
开环伯德图（习题二）
L( )
40
0
40
G( j)
10
10 1 1
1
j(10 j 1)(0.05 j 1)
j (10 j 1) (0.05 j 1)
40dB / dec 60dB / dec
c ?
20
lg
0.5
k
L()
20
lg
1.4125 2
k
20
lg
6.25 3
k
2.825
2.825 4.425
4.425
10
开环伯德图（习题五）
L( )
40
单位负反馈系统传递函数如下，画出幅相曲线，并求稳定裕度
arctg c arctg c
0.1
20
177.15
180 (c ) 2.85
相角裕度 g 1.5
h 1 1 2.26
A(g ) G( j1.5)
8
开环伯德图（习题三）
系统对数幅频特性如图所示，确定传递函数
L( )
60
20dB / dec
自动控制原理
潘剑飞 2653-4850（办公室）
pjf@ 深圳大学 机电与控制工程系
1
开环伯德图的绘制
幅频特性曲线的绘制
1. 开环传递函数写成“标准时间”表达式，分解为各 个典型环节
2. 确定每一个环节的转角频率 3. 按转角频率将整个频率范围（横轴）划分成几个区
域 4. 将对应的各个典型环节在相应区域内相加
1 2 10 100
() -92.8 -108.4 -108.4 -95.6 -90.5
-120 4
开环伯德图（习题一）
系统对数幅频特性如图所示，确定传递函数
L() 20dB / dec
0 40
1. 确定每一个环节的转角频率 20 30
2. 找到对应的典型环节
20
3. 确定变量的值
5
0.1 1 2
20dB / dec
40dB / dec
3 4
60dB / dec
5
开环伯德图（习题一）
系统传递函数如下，画出幅频与相频伯德图， 并求稳定裕度
G(s)
10
s(10s 1)(s / 20 1)
G( j)
10
j(10 j 1)(0.05 j 1)
1. 开环传递函数写成“标准时间”表达式，分解为各个典型环 节
G( j) 50( j 2) j( j 1)
40 20
( )
-90
40dB / dec 20dB / dec
() ( j 2) j ( j 1) arctg 90 arctg
2
1 2 10 100
0.1 1 2 10 100
2
10
20
40dB / dec
L() 0 A(c ) 1
20
0
()
90
180
12
20dB / dec
40dB / dec
60dB / dec
g
c
c ? ?
g ? h?
11