如何绘制伯德图
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如何绘制伯德图
????tjtjg21122???22222241lg20lg20????ttjg????t1???041lg20222222dbtt???????t1???lg4041lg20222222dbttt?????????t1t1t1五振荡环节t1150decdb40?40?20?db?l高频渐近线t1101t1t110?低频渐近线图517振荡环节渐进线对数幅频特性?振荡环节的相频特性是?5832212????ttarctgjg????16当时
5-14，可知，一阶微分 环节与惯性环节的对数 幅频特性和相频特性是
900 ( )
度
1 1 100
1 1 10
1 1 10 渐近特性
100
1
450
00
45o / dec
1 1 100
1 1 10
1
10
1
100
1
以横轴（ω 轴）为对称的。
图5-16 一阶微分环节的Bode图
振荡环节对数幅频特性的渐近线，它们的转折频率为
幅频特性曲线的渐近线如图5-17所示。
T
。对数
14
dB
L( )
1 1 10 T 1 T
低频渐近线
10
0
1 T
40 dB /dec
20
40
高频渐近线
图5-17 振荡环节渐进线对数幅频特性
•振荡环节的相频特性是 2 T G ( j ) arctg 2 2） • （ 5-83 1 T
（三） 惯性环节 惯性环节的频率特性是
G ( j)
其对数幅频特性是
1 jT 1
(5-73)
1
20 lg G ( j ) 20 lg 20 lg 1T22
5-14，可知，一阶微分 环节与惯性环节的对数 幅频特性和相频特性是
900 ( )
度
1 1 100
1 1 10
1 1 10 渐近特性
100
1
450
00
45o / dec
1 1 100
1 1 10
1
10
1
100
1
以横轴（ω 轴）为对称的。
图5-16 一阶微分环节的Bode图
振荡环节对数幅频特性的渐近线，它们的转折频率为
幅频特性曲线的渐近线如图5-17所示。
T
。对数
14
dB
L( )
1 1 10 T 1 T
低频渐近线
10
0
1 T
40 dB /dec
20
40
高频渐近线
图5-17 振荡环节渐进线对数幅频特性
•振荡环节的相频特性是 2 T G ( j ) arctg 2 2） • （ 5-83 1 T
（三） 惯性环节 惯性环节的频率特性是
G ( j)
其对数幅频特性是
1 jT 1
(5-73)
1
20 lg G ( j ) 20 lg 20 lg 1T22
如何绘制伯德图PPT课件
G( j ) G1 ( j )G2 ( j )Gn ( j ) G( j ) G1 ( j ) G2 ( j ) Gn ( j ) L( ) 20 lg G( j) 20 lg G1 ( j) 20 lg G2 ( j ) 20 lg Gn ( j)
G( j ) 00
（5-63） （5-64）
100 00
900 1800
10 100 1000
图5-11 放大环节的Bode图
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G( j) 1 j 1 1 e j90 j
7
当有n个积分环节串联时，即
dB L()
G(
j
)
(
1
j
)n
其对数幅频特性为
20 lg
G(
j )
20 lg
1
பைடு நூலகம்n
40
（ 5-70 ）
0
(5-71)
0.01 0.1
40 dB / dec
1
10
n 20 lg
G( j ) n 900
（5-72） 度 （）
6
设 ' 10 ，则有
20lg ' 20lg 10 20 20lg
dB L()
可见，其对数幅频特性是一条在
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ω 轴），且以每增加十倍频降 低20分贝的速度（-20dB/dec ） 变化的直线。
40
20dB / dec
1
L() dB
G( j ) 00
（5-63） （5-64）
100 00
900 1800
10 100 1000
图5-11 放大环节的Bode图
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G( j) 1 j 1 1 e j90 j
7
当有n个积分环节串联时，即
dB L()
G(
j
)
(
1
j
)n
其对数幅频特性为
20 lg
G(
j )
20 lg
1
பைடு நூலகம்n
40
（ 5-70 ）
0
(5-71)
0.01 0.1
40 dB / dec
1
10
n 20 lg
G( j ) n 900
（5-72） 度 （）
6
设 ' 10 ，则有
20lg ' 20lg 10 20 20lg
dB L()
可见，其对数幅频特性是一条在
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ω 轴），且以每增加十倍频降 低20分贝的速度（-20dB/dec ） 变化的直线。
40
20dB / dec
1
L() dB
如何绘制伯德图.ppt
j?
??
其幅频特性为
1
G ( j? ) ? ?
对数幅频特性是
（5-65） （5-66）
1
20 lg G ( j? ) ? 20 lg ? ? 20 lg ? ?
（5-67）
当 ? ? 0 . 1 时，20 lg G ( j 0 . 1 ) ? ? 20 lg 0 . 1 ? 20 ( dB ) ； 当 ? ? 1 时，20 lg G ( j1) ? ? 20 lg 1 ? 0 ( dB ) ；
当 ? ? 10 时，20 lg G ( j10 ) ? ? 20 lg 10 ? ? 20 ( dB ) 。
6
设 ? ' ? 10 ? ，则有
? 20 lg ? ' ? ? 20 lg 10 ? ? ? 20 ? 20 lg ?
可见，其对数幅频特性是一条 在
dB L(? )
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线
(5-73) (5-74)
? ? 20 lg 1 ? T 2? 2
当 ? ?? 1 时， 20 lg G ( j ? ) ? ? 20 lg 1 ? T 2 ? 2 ? 0 ( dB ) ，
T
当 ? ?? 1 时，20 lg G ( j ? ) ? ? 20 lg 1 ? T 2 ? 2 ? ? 20 lg T ? ( dB )
40
（ω 轴），且以每增加十倍频降
20
? 20 dB / dec
低20分贝的速度（ -20dB/dec ）
0
0.01
0.1
1
10
?
变化的直线。
? 20
积分环节的相频特性是
? G ( j ? ) ? ? 90 0
如何绘制伯德图
20 lg 10 20(dB)
。
6
设 ' 10 ，则有
20 lg 20 lg 10 20 20 lg
'
(5-68)
dB L( )
可见，其对数幅频特性是一条在 ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ ω 轴），且以每增加十倍频降 低 20 分贝的速度（ -20dB/dec ） 变化的直线。 积分环节的相频特性是
对数幅频特性为
20 lg G( j ) 20 lg K
（5-61）
当K>1时，20lgK>0，位于横轴上方；
当K=1时，20lgK=0，与横轴重合；
当K<1时，20lgK<0，位于横轴下方。
4
放大环节的对数幅频特性如图5-11所示，它是一条与角频 率ω 无关且平行于横轴的直线，其纵坐 标为20lgK。
0
100
1000
（5-63）
180
0
放大环节的相频特性是
G( j ) 0
0
图5-11 放大环节的Bode图
（5-64） 如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G ( j ) 1 j j 1
1
e
j 90
2 2 2
（5-85）
相频特性是
G ( j ) arctg 2 1
2 2
dB
40
（5-86）20
0
1 1 10
0
精确特性
40dB / dec
二阶微分环节与振荡节的Bode
1
图关于ω 轴对称，如图5-21 。
。
6
设 ' 10 ，则有
20 lg 20 lg 10 20 20 lg
'
(5-68)
dB L( )
可见，其对数幅频特性是一条在 ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ ω 轴），且以每增加十倍频降 低 20 分贝的速度（ -20dB/dec ） 变化的直线。 积分环节的相频特性是
对数幅频特性为
20 lg G( j ) 20 lg K
（5-61）
当K>1时，20lgK>0，位于横轴上方；
当K=1时，20lgK=0，与横轴重合；
当K<1时，20lgK<0，位于横轴下方。
4
放大环节的对数幅频特性如图5-11所示，它是一条与角频 率ω 无关且平行于横轴的直线，其纵坐 标为20lgK。
0
100
1000
（5-63）
180
0
放大环节的相频特性是
G( j ) 0
0
图5-11 放大环节的Bode图
（5-64） 如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G ( j ) 1 j j 1
1
e
j 90
2 2 2
（5-85）
相频特性是
G ( j ) arctg 2 1
2 2
dB
40
（5-86）20
0
1 1 10
0
精确特性
40dB / dec
二阶微分环节与振荡节的Bode
1
图关于ω 轴对称，如图5-21 。
开环伯德图绘制
于是有： ω = K ⇒ ω0 = K ν
ν
75
《自动控制原理》电子教案
（5）绘制中频段 首先在横坐标轴上将转折频率按从低到高的顺序标出各转折频率。然后，依次在各转折频率处改变 直线的斜率 ，改变的多少取决于转折处环节的性质，如惯性环节的斜率为 − 20dB dec ，振荡环节为
− 40dB dec ，一阶微分环节为 + 20dB dec ，二阶微分环节为 + 40dB dec 等等。 例：已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 GK ( s) = 100( s + 2) s( s + 1)(s + 20) ，试绘制其开环
ω
2
由图可知： 解得wc=4，
小结丗对最小相位系统、幅频特性与相频特性的关系
如果幅频特性的斜率为－１对应的相角为－ｐｉ／２； 如果幅频特性的斜率为－ｋ对应的相角为－ｐｉ＊ｋ／２．
77
L(ω ) = 20 lg K − 20 ×ν × lg ω ω =1 = 20 lg K
③低频段直线（或其延长线）与零分贝线（横轴）的交点频率为 ω0 = K ，对于 I 型系统交点频
ν
1
率为 ω0 = K ，II 型系统交点频率为 ω0 =
1
K ；这是因为由低频段的幅频方程，可得到
L(ω ) = 20 lg K − 20 ×ν × lg ω = 0 ⇒ 20 lg K = 20 ×ν × lg ω = 20 lg ων
⎧ L (ω ) = −20 lg 1 + ω 2 − 20 lg lg 1 + 4ω 2 ⎧ϕ (ω ) = arctgω − arctg 2ω ⎪ 1 1 ，⎨ ⎨ 2 2 ⎩ϕ 2 (ω ) = −arctgω − arctg 2ω ⎪ L2 (ω ) = −20 lg 1 + ω − 20 lg lg 1 + 4ω ⎩
ν
75
《自动控制原理》电子教案
（5）绘制中频段 首先在横坐标轴上将转折频率按从低到高的顺序标出各转折频率。然后，依次在各转折频率处改变 直线的斜率 ，改变的多少取决于转折处环节的性质，如惯性环节的斜率为 − 20dB dec ，振荡环节为
− 40dB dec ，一阶微分环节为 + 20dB dec ，二阶微分环节为 + 40dB dec 等等。 例：已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 GK ( s) = 100( s + 2) s( s + 1)(s + 20) ，试绘制其开环
ω
2
由图可知： 解得wc=4，
小结丗对最小相位系统、幅频特性与相频特性的关系
如果幅频特性的斜率为－１对应的相角为－ｐｉ／２； 如果幅频特性的斜率为－ｋ对应的相角为－ｐｉ＊ｋ／２．
77
L(ω ) = 20 lg K − 20 ×ν × lg ω ω =1 = 20 lg K
③低频段直线（或其延长线）与零分贝线（横轴）的交点频率为 ω0 = K ，对于 I 型系统交点频
ν
1
率为 ω0 = K ，II 型系统交点频率为 ω0 =
1
K ；这是因为由低频段的幅频方程，可得到
L(ω ) = 20 lg K − 20 ×ν × lg ω = 0 ⇒ 20 lg K = 20 ×ν × lg ω = 20 lg ων
⎧ L (ω ) = −20 lg 1 + ω 2 − 20 lg lg 1 + 4ω 2 ⎧ϕ (ω ) = arctgω − arctg 2ω ⎪ 1 1 ，⎨ ⎨ 2 2 ⎩ϕ 2 (ω ) = −arctgω − arctg 2ω ⎪ L2 (ω ) = −20 lg 1 + ω − 20 lg lg 1 + 4ω ⎩
开环伯德图的绘制
0.1
arctg
20
g 20
幅值裕度 c 1
(c ) 90 arctg
177.15
c
0
90
0.1
arctg
c
20
180 (c ) 2.85
180
270
相角裕度 g 1.5
1 1 h 2.26 A(g ) G( j1.5)
60dB / dec
开环伯德图（习题五）
单位负反馈系统传递函数如下，画出幅相曲线，并求稳定裕度 s 100( 1) 100(0.5 j 1) 2 G( j ) G( s) j( j 1)(0.1 j 1)(0.05 j 1) s s s( s 1)( 1)( 1) L( ) 10 20
相频特性曲线的绘制
1. 在确定转角频率之后，找到对应转角频率的相位角
2.
在中间选出一些特殊点，计算对应相位角，最后画 出草图
2
开环伯德图的绘制 L( )
G( s) 50( s 2) s( s 1)
50( j 2) j ( j 1)
40 20
20dB / dec
40dB / dec 20dB / dec
60dB / dec
7
L( )
40
0
40
开环伯德图（习题二）
G( j ) 10 1 1 1 10 j (10 j 1)(0.05 j 1) j (10 j 1) (0.05 j 1)
(c ) 90 arctg
( )
0.1
自动控制原理
潘剑飞
2653-4850（办公室）
3.1.2波特图的绘制(精)
图 1 波特图的横坐标和纵坐标
�����/��，即横轴对lg�将是等分的，如图 1 横轴对照图所示。 ����与����的对应关系如图 1 纵轴对照图所示。
由于习惯上都以频率�作为自变量，因此横轴为对数坐标，标以自变量 而波特图纵轴以等分坐标来标定����， 其单位是分贝����， 而且是20lgM���， 由图可见， 波特图是画在纵轴位等分坐标、 横轴为对数坐标的特殊Байду номын сангаас标纸上，
波特图的绘制
波特图（Bode 图）又叫伯德图。 引入对数幅频特性����，可以使串联环节的幅值相乘转化为对数幅频特性
的相加；而����或它的渐近线大多与���成线性关系，因此，若以����为纵轴， 单位长度， �将变化 10 倍[以后称这个为一个 “10 倍频程” （decade） ， 记为 dec]。 波特图的横坐标和纵坐标示意图如图 1 所示。 ���为横轴，则其图线将为直线。另一方面，若以���为横轴，则���每变化一个
特性����也画在与����完全相同的半对数坐标纸上，其横轴的取值与对数幅频 特性坐标相同，画在半对数坐标纸上的����称为对数相频特性。
这种坐标纸叫“半对数坐标纸” 。 注意： 1、对数坐标是不均匀坐标，是由疏到密周期性变化排列的，因此，不能像 等分坐标那样任意取值、任意移动，在对数坐标上的取值和移动是以“级”为单 位的。 2、对数坐标的每一级代表 10 倍频程，即每个等分的级的频率差 10 倍，若 第一个“1”处为 0.1，则以后的“1”处便分别为 1、10、100、1000 等。究 竟第一个“1”处的频率值取为多少，要视研究的系统所需要的频率段而定。在 一般的调速系统和随动系统中，第一个“1”处的频率值通常在 0.01、0.1、1 三个数值中取值。 由于对数幅频特性����是画在半对数坐标纸上的，为便于比较对照，相频
如何绘制伯德图
2 20 log
A( )
20 log
K
40
K 10
20log K 20log ,
20
当K 1时， 1, L() 0;
20 40
()
1 10 100 K 1
10，L() 20 可见斜率为－20dB/dec 当K 0时， 1, L() 20 log K;
1 10 100
T
2
可见，相角的变化范围从0~180度。
Wednesday, May 29, 2024
17
二阶微分环节的波德图
( )(deg)
180°
1.0
150° 0.7
120° 90°
0.5 0.3 0.2
60° 0.1
30°
0°
L( )(dB)
40dB / Dec
L( ) 20
(dB)
比例环节的bode图
二、典型环节的波德图
⒈ 比例环节：G(s) K, (K 0),G( j) K 幅频特性：A() K；相频特性：() 0
L() / dB
20log K
20log K
20log K
()
180
K 1
K 1 log
0 K 1
对数幅频特性：
0
L() 20lg K 0
0
K 0 log
相频特性：
() K 0
180
Wednesday, May 29, 2024
K 1 K 1 0 K 1
1
积分环节的Bode图
⒉ 积分环节的频率特性：G(s) K
s
频率特性：
G( j )
K
j
K
K
e2
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L( ),dB 渐近线,dB 误差,dB
0 -1 -2 -3 -4 Thursday, January 09, 1 20141
10T 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
-0.2 0.04 0 0 -0.2 0.04
-1 0 -1
-3 -7 -14.2 -20.04 0 -6 -14 -0.2 -20 -0.04
0.1
A( )
0.2 0.5
0.707
T
Thursday, January 09, 2014
11
振荡环节的波德图
L( ) 20 ( dB )
10
0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1 .0
16 12 8 4 0
(1 T 2 2 ) 2 ( 2 T ) 2
0 ，A(0 )
1 L ， (0 ) 20 lg 2 。 2
因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能 有很大的误差。 Thursday, January 09, 10
2014
幅值 A( )与 T 的关系：
纯微分环节的波德图
① 纯微分： 20 A( ) L( ) 20 log A( ) 20 log 0 0.1 20 ( )
2
L( )(dB)
20dB / dec
微分环节
(rad / s )
1
10 20dB / dec
积分环节
( )(deg)
K 0
log
相频特性： ( ) K 0
2
积分环节的Bode图
K ⒉ 积分环节的频率特性：G( s) s K K K j e 2 频率特性： G ( j ) j K K A( ) ( ) tg 1 ( 0) 2 K L( ) 20 log A( ) 20 log L( ) / dB
2014
振荡环节的波德图
G ( j )
10 s 2 0.6s 1 K 10, T 1, 0.3
40dB / Dec
o
1 T
由图可见：对数幅频特性曲线有峰值。
Thursday, January 09, 2014 9
谐振频率，谐振峰值
对 A( ) 求导并令等于零，可解得 A( ) 的极值对应的频率 p。
( )(deg)
90° 45° 0° 1 20T
0° -45° -90° 1 20T
1 10T
1 5T
1 2T
1 T
2 T
5 T
10 T
20 T
1 10T
1 5T
第三节 典型环节的频率特性 之一 波德图
Thursday, January 09, 2014
1
比例环节的bode图
二、典型环节的波德图
⒈ 比例环节： (s) K , ( K 0),G( j ) K G A 幅频特性： ( ) K ；相频特性： ( ) 0
L( ) / dB
12
Thursday, January 09, 2014
振荡环节的波德图
1 几个特征点： 0, ( ) 0; , ( ) ; , ( ) 。 T 2
2 T 相频特性： ( ) tg 1 T 2 2
1
相频特性曲线在半对数坐标中关于( 0, －90°)点是斜对称的。
T
( )
2.0
-63.4
3.0
-71.5
4.0
-76
5.0
-78.7
7.0
-81.9
10
-84.3
20
-87.1
50
-88.9
100
-89.4
1 1 当 0时， (0) 0;当 时， ( ) ;当 时， () 。 T T 4 2 由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(0, －45°) 点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。
2
讨论 0 1时的情况。当K=1时，频率特性为：
1 G ( j ) (1 T 2 2 ) j 2 T
幅频特性为： 相频特性为：
A( )
1 (1 T 2 2 ) 2 ( 2 T ) 2
( ) tg 1
2 T 1 T 2 2
L 对数幅频特性为： ( ) 20 log A( ) 20 log (1 T 2 2 ) 2 (2 T ) 2
低频段渐近线： T 1时，L( ) 0
高频段渐近线： T 1时，L( ) 20 log (T 2 2 ) 2 40 log T 1 两渐近线的交点 o 称为转折频率。>0后斜率为-40dB/Dec。 T Thursday, January 09, 8
G( s) s G ( s ) 1 Ts G ( s ) T 2 s 2 2Ts 1
频率特性分别为：
G ( j ) j G ( j ) 1 jT G ( j ) 1 T 2 2 j 2 T
Thursday, January 09, 2014 14
当时间常数T 变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状 都不变，仅仅是根据转折频率1/T 的大小整条曲线向左或向 右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上 下平移。
Thursday, January 09, 2014 7
振荡环节的频率特性
K K n 2 ⒋ 振荡环节的频率特性： G ( s ) 2 2 T s 2Ts 1 s 2 n s n 2
当 低频段渐近线： T 1时，A( ) 1， 20 log A( ) 0 当 高频段渐近线： T 1时，A( ) T，L( ) 20 log T
这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐近线的交点为
相频特性：几个特殊点如下
0， ( ) 0；
K，L( ) 0
3
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惯性环节的Bode图
K K G ( j ) G( s) ⒊ 惯性环节的频率特性： Tj 1 Ts 1 K A( ) , ( ) tg 1T 1 T 2 2 ①对数幅频特性： ( ) 20 log A( ) 20 log K 20 log 1 T 2 2 ，为 L 了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下： 低频段：当 T 1时，L( ) 20 log K ，称为低频渐近线。 高频段：当 T 1时，L( ) 20 log K 20 log T ，称为高频渐近 线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示每增加10倍频程 下降20分贝）。 当 0时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当 时，趋近于高频渐近线。 低频高频渐近线的交点为： log K 20 log K 20 log T ，得： 20
1 1 ) 时， ( ) (0,90) ,当 ( , ) T T
说当 (
或用下式计算
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( ) tg
1
T 1 2
tg
1
T 1 2
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微分环节的频率特性
⒌ 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函 数分别为：
0
渐近线
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
( )
-10
40dB / Dec-4
-8
1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T
0 .7 0 .8 1 .0
(deg)0° -30°
-60° -90° -120° -150° -180°
1 2 2 p T
该频率称为谐振峰值频率。可见，谐振峰值频率与阻尼系数
有关，当 1 0.707 时， p 0 ；当
当 1 2 时，有谐振峰值。
M p A( p ) 1 2 1 2 1
2
1 时，无谐振峰值； 2
由幅频特性 当
A( )
1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
0 .1 0 .2 0 .3 0 .5 0 .7 1 .0
5 T
10 T
左图是不同阻尼系数情况下的 对数幅频特性和对数相频特性 图。上图是不同阻尼系数情况 下的对数幅频特性实际曲线与 渐近线之间的误差曲线。 当0.3<<0.8，误差约为±4dB
这里要说明的是当 (0, 时， ( ) (90,180 ) 。此时若根据相频特性的表达式用计算器 来计算只能求出±90°之间的值(tg-1函数的主值范围)，也就是
1 , ) 时，用计算器计算的结果要经过转换才能得到 。 T 1 即当 ( , ) 时，用计算器计算的结果要减180°才能得到 。 T
40 20 20 40
K 10
20 log K 20 log , 当K 1时， 1, L( ) 0;
1 10 100
K 1
10，L( ) 20
可见斜率为－20dB/dec
( )
90
1 10 100
当K 0时， 1, L( ) 20 log K ;
1 T 1 o ，称为转折频率或交换频率。 ， T
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可以用这两段渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。
4
惯性环节的Bode图
10 渐近线 0 -10 -20 0° -45° -90° 1 20T
0 -1 -2 -3 -4 Thursday, January 09, 1 20141
10T 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
-0.2 0.04 0 0 -0.2 0.04
-1 0 -1
-3 -7 -14.2 -20.04 0 -6 -14 -0.2 -20 -0.04
0.1
A( )
0.2 0.5
0.707
T
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振荡环节的波德图
L( ) 20 ( dB )
10
0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1 .0
16 12 8 4 0
(1 T 2 2 ) 2 ( 2 T ) 2
0 ，A(0 )
1 L ， (0 ) 20 lg 2 。 2
因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能 有很大的误差。 Thursday, January 09, 10
2014
幅值 A( )与 T 的关系：
纯微分环节的波德图
① 纯微分： 20 A( ) L( ) 20 log A( ) 20 log 0 0.1 20 ( )
2
L( )(dB)
20dB / dec
微分环节
(rad / s )
1
10 20dB / dec
积分环节
( )(deg)
K 0
log
相频特性： ( ) K 0
2
积分环节的Bode图
K ⒉ 积分环节的频率特性：G( s) s K K K j e 2 频率特性： G ( j ) j K K A( ) ( ) tg 1 ( 0) 2 K L( ) 20 log A( ) 20 log L( ) / dB
2014
振荡环节的波德图
G ( j )
10 s 2 0.6s 1 K 10, T 1, 0.3
40dB / Dec
o
1 T
由图可见：对数幅频特性曲线有峰值。
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谐振频率，谐振峰值
对 A( ) 求导并令等于零，可解得 A( ) 的极值对应的频率 p。
( )(deg)
90° 45° 0° 1 20T
0° -45° -90° 1 20T
1 10T
1 5T
1 2T
1 T
2 T
5 T
10 T
20 T
1 10T
1 5T
第三节 典型环节的频率特性 之一 波德图
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比例环节的bode图
二、典型环节的波德图
⒈ 比例环节： (s) K , ( K 0),G( j ) K G A 幅频特性： ( ) K ；相频特性： ( ) 0
L( ) / dB
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振荡环节的波德图
1 几个特征点： 0, ( ) 0; , ( ) ; , ( ) 。 T 2
2 T 相频特性： ( ) tg 1 T 2 2
1
相频特性曲线在半对数坐标中关于( 0, －90°)点是斜对称的。
T
( )
2.0
-63.4
3.0
-71.5
4.0
-76
5.0
-78.7
7.0
-81.9
10
-84.3
20
-87.1
50
-88.9
100
-89.4
1 1 当 0时， (0) 0;当 时， ( ) ;当 时， () 。 T T 4 2 由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(0, －45°) 点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。
2
讨论 0 1时的情况。当K=1时，频率特性为：
1 G ( j ) (1 T 2 2 ) j 2 T
幅频特性为： 相频特性为：
A( )
1 (1 T 2 2 ) 2 ( 2 T ) 2
( ) tg 1
2 T 1 T 2 2
L 对数幅频特性为： ( ) 20 log A( ) 20 log (1 T 2 2 ) 2 (2 T ) 2
低频段渐近线： T 1时，L( ) 0
高频段渐近线： T 1时，L( ) 20 log (T 2 2 ) 2 40 log T 1 两渐近线的交点 o 称为转折频率。>0后斜率为-40dB/Dec。 T Thursday, January 09, 8
G( s) s G ( s ) 1 Ts G ( s ) T 2 s 2 2Ts 1
频率特性分别为：
G ( j ) j G ( j ) 1 jT G ( j ) 1 T 2 2 j 2 T
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当时间常数T 变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状 都不变，仅仅是根据转折频率1/T 的大小整条曲线向左或向 右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上 下平移。
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振荡环节的频率特性
K K n 2 ⒋ 振荡环节的频率特性： G ( s ) 2 2 T s 2Ts 1 s 2 n s n 2
当 低频段渐近线： T 1时，A( ) 1， 20 log A( ) 0 当 高频段渐近线： T 1时，A( ) T，L( ) 20 log T
这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐近线的交点为
相频特性：几个特殊点如下
0， ( ) 0；
K，L( ) 0
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惯性环节的Bode图
K K G ( j ) G( s) ⒊ 惯性环节的频率特性： Tj 1 Ts 1 K A( ) , ( ) tg 1T 1 T 2 2 ①对数幅频特性： ( ) 20 log A( ) 20 log K 20 log 1 T 2 2 ，为 L 了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下： 低频段：当 T 1时，L( ) 20 log K ，称为低频渐近线。 高频段：当 T 1时，L( ) 20 log K 20 log T ，称为高频渐近 线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示每增加10倍频程 下降20分贝）。 当 0时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当 时，趋近于高频渐近线。 低频高频渐近线的交点为： log K 20 log K 20 log T ，得： 20
1 1 ) 时， ( ) (0,90) ,当 ( , ) T T
说当 (
或用下式计算
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( ) tg
1
T 1 2
tg
1
T 1 2
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微分环节的频率特性
⒌ 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函 数分别为：
0
渐近线
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
( )
-10
40dB / Dec-4
-8
1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T
0 .7 0 .8 1 .0
(deg)0° -30°
-60° -90° -120° -150° -180°
1 2 2 p T
该频率称为谐振峰值频率。可见，谐振峰值频率与阻尼系数
有关，当 1 0.707 时， p 0 ；当
当 1 2 时，有谐振峰值。
M p A( p ) 1 2 1 2 1
2
1 时，无谐振峰值； 2
由幅频特性 当
A( )
1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
0 .1 0 .2 0 .3 0 .5 0 .7 1 .0
5 T
10 T
左图是不同阻尼系数情况下的 对数幅频特性和对数相频特性 图。上图是不同阻尼系数情况 下的对数幅频特性实际曲线与 渐近线之间的误差曲线。 当0.3<<0.8，误差约为±4dB
这里要说明的是当 (0, 时， ( ) (90,180 ) 。此时若根据相频特性的表达式用计算器 来计算只能求出±90°之间的值(tg-1函数的主值范围)，也就是
1 , ) 时，用计算器计算的结果要经过转换才能得到 。 T 1 即当 ( , ) 时，用计算器计算的结果要减180°才能得到 。 T
40 20 20 40
K 10
20 log K 20 log , 当K 1时， 1, L( ) 0;
1 10 100
K 1
10，L( ) 20
可见斜率为－20dB/dec
( )
90
1 10 100
当K 0时， 1, L( ) 20 log K ;
1 T 1 o ，称为转折频率或交换频率。 ， T
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可以用这两段渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。
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惯性环节的Bode图
10 渐近线 0 -10 -20 0° -45° -90° 1 20T