上海理工大学继续教育学院 (本科)高等数学(Ⅱ)补考复习题

z 2z 、 . x xy
37．设 z z( x, y) 是由方程 x 2 y 3 xyz 2 0 所确定的隐函数，求 dz . 38．计算
x e D
2
y2
dxdy ，其中 D={ (x，y)| x 2 y 2 4 }.
39 ． 计 算 I (1 x 2 y 2 )dxdy ， 其 中 D 是 由 曲 线 x 2 y 2 1 与 直 线
上海理工大学继续教育学院 (本科)高等数学(设 a 3i 2 j k ， b i 2 j 3k ，则 a b 2．设 a 1, 2 , 1， b 3 , 2 , 1，则 a 与 b 的夹角
0 y 1 1 y
y 3
.
34．计算 xydxdy ，其中 D 是由直线 y x 、 y 1 、 x 2 所围成的闭区域。
D
35．计算 x 2 y 2 dxdy ，其中 D 是由曲线 x 2 y 2 4 所围成的闭区域。
D
36．设 z yf ( x 2 y 2 ) ，其中 f (u ) 为可微函数，求
.
y 31．设 z xy xF ，其中 F (u ) 为可微函数，求 dz . x
32． 设 z z( x, y) 是由方程 x 2 y 2 z 2 4 z 0 所确定的隐函数， 求 dz x 0 33．调换二次积分 I dy e x dx 的积分次序，计算 I 的值。
二．
解答题（写出推理过程和演算步骤）
1．求过三点 A(1 , 0 , 1) ， B(1 , 1 , 0) ， C (2 , 1 , 1) 的平面方程。 2．求过点 M (3,2,5) 且与两平面 x 4 z 3 0和2 x y 5z 1 0 的交线相平 行的直线方程。 3．设 z e
7． 过点 M (1, 0 , 3) 且与直线
x 3 y 1 z 平行的直线方程是 3 2 1
8．设 z e xy x 2 1 ，则
z y (2,1)
.
9．设 f ( x, y) x 2 y sin y ，则 10． dx 2 x dy
0 x 2 0
D
y x 、y 0 所围的在第一象限内的闭区域。
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三． 应用题（写出演算步骤和答案）
1．若用铁板做容积为 8 m 3 的有盖长方体水箱，问水箱的长、宽、高各为多 少时用料最省？ 2．求由旋转抛物面 z x 2 y 2 与平面 z 4 所围成的立体的体积。 3．若用铁板做容积为 32 m 3 的有盖长方体水箱，问水箱的长、宽、高各为多 少时用料最省？ 4．求由球面 z 1 x 2 y 2 与平面 y x 及两个坐标面 y 0 , z 0 所围成的 在第一卦限内的立体的体积。 5．若造容积为 3000 m 3 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，使它的 表面积最小？ 6．求由旋转抛物面 z x 2 y 2 与圆柱面 x 2 y 2 1 及 xoy 坐标面所围成的立体 的体积 。 7．从斜边长为 l 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。 8．求由三平面 y 0 , y x , z 0 及球面 x 2 y 2 z 2 R 2 所围成的在第一卦 限内的立体的体积。 9．将正数 a 分为三个正数，使其乘积最大，应如何分法？ 10．求由旋转抛物面 z x 2 y 2 与平面 z 9 所围成的立体的体积。
0 1 y y
sin x dx 的积分次序，计算 I 的值。 x
26．计算 e
D
x2 y2
dxdy ，其中 D ( x, y) x 2 y 2 1 .
27．计算
D
y dxdy ，其中 D 是由直线 y x 、y 2 x、x 2 、x 4 所围成的 x
闭区域。
z x (2,1)
. . .
19．设 z xy 2 sinx ，则
2z xy
.
20．设 D ( x, y) x 2 y 2 1 , 且 y 0 ，则 dxdy
D


. .
21．设 a 1 , 2 , 3, b 1 , , 1， a b 0, 则 22．向量 AB i j 2k 与 y 轴的夹角是 .
13．设 z sin 2 ( x 3) ln(1 xy ) ，求
z z ， . x y
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14．设 z x ln( xy ) ，求
2z 2z z 2z z 、 、 2、 2、 . y xy x y x
15．设 z y x xf ( x 2 y 2 ) ，其中 f (u)为可微函数，求
1 x 1 3 2
9．计算 x 2 y 2 dxdy ，其中 D {( x, y) | 1 x 2 y 2 4 , y 0}.
D
10．计算 ydxdy ，其中 D 是由直线 y x, y 1及 y 轴所围成的闭区域。
D
x 3 y z 7 0 11．求过点 M (1, 2 , 3) 且与直线 平行的直线方程。 2x y z 1 0 x yz20 12．求过点 M (1,3,2)且与直线 垂直的平面方程。 2 x y 3z 10 0
z z ， 及 dz . x y
y 3
16． 设 z z( x, y) 是由方程 x 2 y 2 z 2 4 z 0 所确定的隐函数， 求 dz x 0 17．调换二次积分 I
.

1
0
dx xe y dy 的积分次序，计算 I 的值。
3
1
x
18．计算 xydxdy ，其中 D 是由曲线 y x 2 与直线 y x 所围成的闭区域。 19．计算 xe 2 y dxdy , 其中D ( x, y) 0 x 1 , 0 y 1.
23．设 z xy ln( x 2 y 2 ) ，则
z y (1,2)
.
24．设 f ( x, y) xy 2 e xy ，则
2 f xy
. .
25． 设 D 是由直线 y x , x 1 及 x 轴所围成的闭区域， 则 dxdy
D
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28．求直线
x y 2 z 1 与平面 2 x y z 1 0 的交点。 1 7 3
y 2 f 29．设 f ( x, y ) xy 2 sin( ) ，求 . x xy
2 z 30．设 z x y ，求 xy
x 2 y 3
6．设 z z ( x, y) 是由方程
x z z z . ln 0 所确定的隐函数，求 、 x y z y
7．点（1, 0）是否为函数 f ( x, y) x 3 y 3 3x 2 3 y 2 9 x 的驻点？是否为极 值点？是极大值点还是极小值点？ 8．调换二次积分 I dx sin( y 2 )dy 的积分次序，计算 I 的值。
3．设 z xy 2 sin x ，则
z y (1, 2)
. . .
2 f x 4．设 f ( x, y ) ，则 2 y x
5． dx xdy
0 0 1 x
. . . .
6．设 a 2 , 5 , 1, b 3 , 0 , 2 ，则 a b
z z ， . x y z z 、 . x y
23． 设 z z( x, y) 是由方程 x 2 y 2 z 2 3xyz 0 所确定的隐函数， 求 24．求函数 f ( x, y) 4( x y) x 2 y 2 的极值。 25．调换二次积分 I dy
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2 f xy
.
.
11．设 m 1, 2 , 3, n 2 , 1 , 1，
则m
，m
， m 2n
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.
12．过点 A(1, 0 , 2 ) 且与向量 a 2i 7 j k 垂直的平面方程是
y x ( ) x y
，求 dz .
2z 2z z 2z z 、 、 2、 2、 . y xy x y x
4．设 z x ln( xy ) ，求
5．设 z f (u, v), u x 2 y, v
y z z , 其中函数 f (u, v) 为可微函数，求 、 . x x y
D D
20．求过点 M (1, 2 , 3) 且与平面 x 3 y 2 z 7 0 垂直的直线方程。 21．设 z x y x 2 y 2 ，求 dz x 3 、
y 4
2z . x 2
22．设 z f ( x 2 y 2 , e xy ) ，其中 f (u, v) 有连续偏导数，求
13．设 z e xy x 2 y ，则
z x (1,2)
.
.
2z 14．设 z x ln5 ，则 2 y
y
1 1
.
15． dx 2 dy . 0 x 16．设 a 2i j k ， b i j k ，则 2a 3b 17．以点 M (1, 2 , 3) 为球心，半径为 4 的球面方程是 18．设 z 2 x 2 y 3 e xy ，则