16完全平方公式一
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式是指一个二次三项式可以表示为一个完全平方的形式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c，如果可以写成形式(a ± b)^2，那么它就是一个完全平方。
完全平方公式可以用来因式分解一元二次方程，也可以用来求解一元二次方程的根。
完全平方公式可以表示为，(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
这个公式可以帮助我们将一个二次三项式写成一个完全平方，从而更容易地进行因式分解或求解方程。
从代数的角度来看，完全平方公式是二次多项式的一个重要性质。
它可以帮助我们理解二次多项式的因式分解和根的性质。
当我们遇到一个二次多项式时，可以通过完全平方公式来判断它是否可以因式分解为两个一次多项式的平方。
从几何的角度来看，完全平方公式可以帮助我们理解平方的几何意义。
一个完全平方可以表示为一个正方形的面积，其中边长为(a ± b)。
这有助于我们直观地理解完全平方的概念，以及它在代数中的应用。
从应用的角度来看，完全平方公式在物理、工程等领域也有广
泛的应用。
例如，在物理学中，完全平方公式可以用来分析二次函数的最值和零点，从而帮助我们理解物体的运动规律和力学性质。
总的来说，完全平方公式是代数中一个重要的概念，它不仅可以帮助我们理解二次多项式的性质，还可以应用到实际问题中去。
通过多个角度的理解和应用，我们可以更好地掌握完全平方公式的概念和用法。
北师大版七年级初一上册 第一单元 1.6.1《完全平方公式》课件
知3－练
10 利用完全平方公式计算： (1)(x＋y)2－4(x＋y)(x－y)＋4(x－y)2；
解：(1)原式＝x2＋2xy＋y2－4(x2－y2)＋4(x2－2xy＋y2) ＝x2－6xy＋9y2.
知3－练
(2)
60
1 60
2
;
(3)2 0162－4 032×2 015＋2 0152.
解：(2)原式＝
知2－练
知2－练
4 【2017·台州】下列计算正确的是( D ) A．(a＋2)(a－2)＝a2－2 B．(a＋1)(a－2)＝a2＋a－2 C．(a＋b)2＝a2＋b2 D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
知识点 3 完全平方公式的应用
知3－讲
例5 已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值. 导引：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平
(3) (x+5)2－(x－2) (x－3) = x2+10x+25－(x2－5x+6)
= x2+10x+25－x2+5x－6
= 15x+19 .
总结
知2－讲
本题运用了整体思想求解．对于平方式中若底数是三 项式，通过添括号将其中任意两项视为一个整体，就 符合完全平方公式特点；对于两个三项式或四项式相 乘的式子，可将相同的项及互为相反数的项分别添括 号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，通过平 方差公式展开再利用完全平方公式展开，最后合并可 得结果．
9
总结
知1－讲
在应用公式 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 时关键是弄清题目 中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式中的b， 同时还要确定用两数和的完全平方公式还是两数差的 完全平方公式；解(1)(2)时还用到了互为相反数的两 数的平方相等．
完全平方公式课件
你有何收获？ 你有何收获？
本节小结
1、 回顾完全平方公式及其特点。 、 回顾完全平方公式及其特点。 2、 公式中字母的含义。 、 公式中字母的含义。 3 、在运用完全平方公式时，是用 在运用完全平方公式时， 还是用“ 应具体对待， “和”还是用“差”，应具体对待， 灵活运用。计算时，要注意： 灵活运用。计算时， 注意：
积的2 积的2倍在中央
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和 公式中的字母a 可以表示数， 多项式。
几何意义 a b
a
b
=
+
+
几何意义
a
b
a b
=
-
+
想一想：下面各式的计算是否正确？ 想一想：下面各式的计算是否正确？如 果不正确，应当怎样改正？ 果不正确，应当怎样改正？ (1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2 (3) (x -y)2 =x2+2xy +y2 (4) (x+y)2 =x2 +xy +y2
(a - b)2 = a2 =
2ab
+ b2
x2 – 2xy2+4y4
课堂检测 1
想一想: 想一想
（a+b）2与（-a-b）2相等吗？ ( a-b）2与（b-a）2也相等吗？ 为什么？
∵ (a+b)2=a2+2ab+b2 (-a-b)2=(-a)2+2(-a)(-b)+(-b) 2=a2+2ab+b2 ∴ (a+b)2= (-a-b)2 ∵ (a-b)2=a2-2ab+b2 (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 ∴ (a-b)2=(b-a)2
完全平方公式
完全平方公式【概念】 【推导证明】 【典型例题】 【专项练习】 【相关链接】概念：完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍。
222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式。
运用公式时应注意：①公式中的字母a ，b 可以是任意的代数式，②公式的结果应为三项，注意不要漏项和写错符号。
推导证明：方法一：（代数法）1两数和的平方公式22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b +=++=+++=++2两数差的平方公式22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b -=--=--+=-+或(a -b )2=[a +(-b )]2=a 2+2⋅a ⋅(-b )+(-b )2=a 2-2ab +b 2即(a -b )2=a 2-2ab +b 2方法二：（几何法）a b a ba 2ababb 2说明：两数差的完全平方公式几何证法（略）典型例题：【例1】．计算(x+2y)2解：(x+2y)2=x2+2⋅x⋅2y+(2y)2=x2+4xy+4y2【例2】．计算(-x+2y)2解法一：(-x+2y)2=(-x)2+2⋅(-x)⋅2y+(2y)2=x2-4xy+4y2解法二：(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-2⋅2y⋅x+x2=4y2-4xy+x2解法三：(-x+2y)2=[-(x-2y)]2=(x-2y)2=x2-4xy+4y2【例3】下列计算中，正确的有（）（1）(b-4c)2=b2-16c2（2）(x-2yz)2=x2+4xyz+4y2z2（3）222 1124 a b a ab b ⎛⎫+=++⎪⎝⎭（4）(4m-n)2=16m2-4mn+n2（5）(-2a-b)2=4a2-4ab+b2解析：只有（3）是正确的（1）(b-4c)2=b2-16c2按平方差公式计算了，结果应为b2-8bc+16c2，（2）(x-2yz)2=x2+4xyz+4y2z2应该是两数差的完全平方公式，结果应为x2-4xyz+4y2z2（4）(4m-n)2=16m2-4mn+n2 , 中间项应该为-8mn而不是-4mn，结果应为16m2-8mn+n2（5）(-2a-b)2=4a2-4ab+b2可以先将(-2a-b)2变形为[-（2a+b）]2=（2a+b)2, 所以结果为4a2+4ab+b2【例4】．运用公式简便计算（1）1032（2）1982解：（1）1032=(100+3)2=1002+2⨯100⨯3+32=10000+600+9=10609（2）1982=(200-2)2=2002-2⨯200⨯2+22=40000-800+4【例5】．解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。
华师大教版7年级下册数学课件1.6 完全平方公式(第2课时)
典例精析 探究三：3.利用完全平方公式计算：
注意：用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是 “符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.
方法总结：完全平方公见的五式常种变形：
1. a 2 b2 a b2 2ab
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.
当堂练习
1.运用完全平方公式计算：
(1) 962 ；
(2) 2032 .
解：原式=（100－4）2 解：原式=（200+3）2
=1002+42－2×100×4 =2002+32++2×200×3
=10000+16－800
第一章 整式的乘除
1.6 完全平方公式
(第2课时)
学习目标
1.进一步掌握完全平方公式； 2.灵活运用完全平方公式进行计算．(重点，难点)
导入新课
复习导入
1.完全平方公式：
(a+b) 2=a2+2ab+b2
(a－b) 2=a2－2ab+b2
2.用公式计算:
讲授新课
完全平方公式的运用
ห้องสมุดไป่ตู้
探究一：1、利用完全平方公式进行简便运算： (1) 1022 分析：我们可以把102写成（100+2）的形式，再利 用完全平方公式进行计算。 解：原式=（100+2）2
=1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404
尝试练习：(1)2052
初中数学完全平方公式
初中数学完全平方公式完全平方公式是数学中的重要概念，它是解决二次方程问题的基础。
在初中数学中，学习完全平方公式对于解决相关的算式和问题非常有帮助。
接下来，我将详细介绍初中数学中的完全平方公式。
首先，我们要了解什么是完全平方。
在数学中，完全平方是指一个数的平方能够被开根号得到一个整数。
例如，4的平方是16，所以16是一个完全平方数。
类似地，9的平方是81，所以81也是一个完全平方数。
为了方便理解，我们可以通过一个图表来列举一些完全平方数。
完全平方数表：1→12→43→94→165→256→367→498→649→8110→10011→121现在，我们可以来看一下初中数学中的完全平方公式。
完全平方公式有两种形式，一种是求平方的公式，另一种是还原平方的公式。
第一种形式：求平方的公式如果已知一个数x，我们想要求它的平方。
根据完全平方的定义，我们可以得到以下公式：(x + a)² = x² + 2ax + a²在这个公式中，x代表一个数，a代表一个常数。
例如，如果我们想要求4的平方，那么可以将x设为4，a设为2、带入公式得到：(4+2)²=4²+2×4×2+2²6²=16+16+436=36所以，通过这个公式，我们可以轻松地求出任意一个数的平方。
第二种形式：还原平方的公式如果已知一个完全平方数y，我们想要还原它的平方根。
根据完全平方的定义，我们可以得到以下公式：x²=y-(x+a)²同样地，x代表一个数，a代表一个常数。
以9为例，我们想要求9的平方根。
可以将y设为9，x设为3，a设为1、带入公式得到：3²=9-(3+1)²9=9所以，通过这个公式，我们可以轻松地求出任意一个完全平方数的平方根。
除了上述的两种形式，完全平方公式还有其他一些推论和应用。
例如，完全平方公式可以用来求解二次方程，其中的常数项和平方项的系数分别对应于完全平方公式中的a²和2ax。
完全平方公式知识点例题变式
完全平方公式知识点例题变式完全平方公式知识点、例题、变式。
一、完全平方公式知识点。
1. 公式内容。
- (a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2- (a - b)^2=a^2-2ab + b^22. 公式结构特点。
- 左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。
- 右边第一项是左边第一项的平方，右边第三项是左边第二项的平方，右边第二项是左边两项乘积的2倍（对于(a + b)^2是正的2ab，对于(a - b)^2是负的2ab）。
二、例题。
1. 计算(3x + 2y)^2。
- 解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 3x，b=2y。
- 计算过程：- (3x+2y)^2=(3x)^2+2×(3x)×(2y)+(2y)^2- = 9x^2+12xy + 4y^2。
2. 计算(2m - 5n)^2。
- 解析：根据完全平方公式(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 2m，b = 5n。
- 计算过程：- (2m - 5n)^2=(2m)^2-2×(2m)×(5n)+(5n)^2- =4m^2-20mn + 25n^2。
三、变式。
1. 已知(x + 3)^2=x^2+ax + 9，求a的值。
- 解析：根据完全平方公式(x + 3)^2=x^2+2× x×3+9=x^2 + 6x+9，因为(x + 3)^2=x^2+ax + 9，所以a = 6。
2. 若(m - n)^2=16，m^2 + n^2=20，求mn的值。
- 解析：- 由完全平方公式(m - n)^2=m^2-2mn + n^2，已知(m - n)^2 = 16，即m^2-2mn + n^2=16。
- 又已知m^2 + n^2=20，将其代入m^2-2mn + n^2=16中，得到20-2mn = 16。
- 移项可得-2mn=16 - 20=-4，解得mn = 2。
完全平方公式20题
完全平方公式20题完全平方公式又称二次方程式，是一类非常重要的数学公式，在各大学生的考试中也占有很大的比重。
以下是完全平方公式20题，我们可以用它来提高我们的数学水平。
1.算：x - 2x - 15 = 0解：首先，我们将方程式化为完全平方公式：x - 2x + 1 - 16 = 0令一元二次方程式的左边a、b、c的值如下：a = 1b = -2c = -16根据完全平方公式，我们可以带入结果：x = (frac{2 sqrt{4 + 64}}{2})= (frac{2 8}{2})= 1 4因此，x = 1 x = -5。
2.算：2x - 25 = 0解：根据完全平方公式，我们可以带入结果：x = (frac{5 sqrt{25 - 0}}{2})= (frac{5 5}{2})= 2.5 2.5因此，x = 2.5 x = -2.5。
3.算：3x + 4x - 9 = 0解：根据完全平方公式，我们可以带入结果： x = (frac{-4 sqrt{16 + 108}}{6})= (frac{-4 10}{6})= -2 5因此，x = -7 x = 3。
4.算：x - 2x - 6 = 0解：根据完全平方公式，我们可以带入结果： x = (frac{2 sqrt{4 + 24}}{2})= (frac{2 8}{2})= 1 4因此，x = 1 x = -5。
5.算：2x + 4x - 9 = 0解：根据完全平方公式，我们可以带入结果： x = (frac{-4 sqrt{16 - 36}}{4})= (frac{-4 4}{4})= -2 2因此，x = -1 x = 3。
6.算：5x + 7x + 3 = 0解：根据完全平方公式，我们可以带入结果： x = (frac{-7 sqrt{49 - 60}}{10})= (frac{-7 sqrt{-11}}{10})因为有负数在平方根内，因此没有实数根。
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1.6 完全平方公式（第1课时）
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生通过对本章前几节课的学习，已经学习了整式的乘法、平方差公式，这些知识的学习为本节课的学习奠定了基础.
学生活动经验基础：在平方差公式一节的学习中，学生已经经历了探索和应用的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力；同时在相关知识的学习过程中，学生经历了很多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识以及与同伴合作交流的能力.
二、教学任务分析
教科书在学生已经学习了整式乘法以及平方差公式的基础上，提出了本课的具体学习任务：经历探索完全平方公式的过程，并能运用公式进行简单的计算.但这仅仅是这堂课外显的具体教学目标，或者说是一个近期目标.整式是初中数学研究范围内的一块
重要内容，整式的运算又是整式中的一大主干，乘法公式则是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结.同时，
乘法公式的推导是初中数学中运用推理方法进行代数式恒等变
形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处.而且乘法公式是后继学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习分
解因式、分式运算的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养1
成严密的逻辑推理能力的作用.为此，本节课的教学目标是：1．知识与技能：理解公式的本质，从不同的层次上理解完全平方公式，并会运用公式进行简单的计算，了解完全平方公式的几何背景
2．过程与方法：经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合意识.
3．情感与态度：在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美.
三、教学过程设计
本节课设计了七个教学环节：回顾与思考、探索引入、初识完全平方公式、再识完全平方公式、又识完全平方公式、课堂小结、布置作业.
第一环节回顾与思考
活动内容：
1、多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
22 ;
）a-b=a-b（a+b平方差公式：2.（）公式的结构特点：左边是
两个二项式的乘积，即两数和与.
.这两数差的积右边是两数的平方差 2
活动目的：本堂课的学习方向仍是引导鼓励学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式推导出本课新知，进一步发展学生的符号感和推理能力.而这个过程离不开旧知识的铺垫，平
方差公式的学习有很多教学环节和形式与本节的学习是类似的，其中包含的基本知识与基本能力也仍是本节的精神主旨，因而复习很有必要.
实际教学效果：在复习过程中，通过学生之间的相互补充，绝大多数学生也得以掌握.在复习中既把旧知识得以复习，同时学生
也会主动的去回顾平方差公式一节的学习过程，从而为本节课的类比学习奠定了基础.
第二环节探索引入
活动内容：
1.观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？
）(m+3)=(m+3)(m+3) （22×3x+2 22=(2+3x)(2+3x) 2+3x
×3x+9x =m+3m+3m+9 =4+222×
=m+2×3m+9 =4+2×23x+9x22
=m+6m+9=4+12x+9x2.再举两例验证你的发现
b22
（x+4) (2n+1).
3.再举两例验证你的发现a能用自己的语言叙述这一公式吗？
4.
解释这一公式吗？你能用图1-55. b a 5-1图 3
活动目的：通过特例的探索，引入完全平方公式，再让学生自己
举例加深对公式的体会.而在计算图形的面积时，通过对比这些
表示方式可以使学生对于公式有一个直观的认识.同时在古代人
们也是通过类似的图形认识了这个公式.通过自主探究和交流学
到了新的知识，学生的学习积极性和主动性得到大大的激发.
第三环节初识完全平方公式
2ba. ？你是怎样做的？活动内容：1. ()－= 2.你能自己设计一个图形解释这一公式吗？分析完全平方公式的结构特点，并用语
言来描述完全平方3..
公式）的平方；结构特点：左边是二项式（两数和（差）右边
是两数的平方和加上（减去）这两数乘积
.
的两倍语言描述：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和.
加上（或减去）这两数积的两倍第一个活动是让学生从代数运算
的角度，推导出活动目的：两数差的完全平方公式，培养学生有
条理的思考和语言表达能.
力第二个活动使学生再次从几何的角度来验证两数差的完全平
从而学生经历了几何解释到代数运算，再到几何解释的方公式.
并且从不同的角度推导出学生的数形结合意识得以培养，过程，4
了公式，并且加以巩固.
第三个活动在前面的基础上，加以总结，使得学生从形式上初步
地认识了完全平方公式.
第四环节再识完全平方公式
活动内容：
1 用完全平方公式计算：
22
2
axxymn +5? (2) (4); (3) ()(1) (2；?3)
. 2. 巩固练习（1）计算：1122nn；－；；( +1)22)2y(?(2xyx)x?52活动目的：应用完全平方公式进行简单的
计算.同时例1三个题目的设计上有一定的梯度，从而加以巩固
落实.
第五环节又识完全平方公式
活动内容：
1.利用完全平方公式计算：
22xx +1)) ； (2) (-2(1) (-1-2本活动是对课本内容的补充，从而使得学生从更活动目的：防止解题时
中间项的符号出深的一个角度来认识完全平方公式，. 现问题，
并能在解题中通过灵活的变形来运用公式，解决问题222ab+b±a 的代数式称为下列式子中是完全平方式（形如2.
）完全平方式）的是（
222+2a+2
+ab+b A. a B. a 5
22
2+2a+1
D. a C. a-2b+b 3.已知：a+b=4,ab=-3.
（a-b)（（1）a+b 2 求：22的值。
4.已知
222）
x+y-6x+4y+13=0,求x+2y 运用乘法公式计算5.22（1）（x+y-z）(x-y+z) （2） (2x-y)(2x+3y)
6.计算
2
）2） (a+b+c)(x-y+z)（（1第六环节课堂小结
在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边,
做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。
第七环节布置作业
1. 基础训练：教材习题1.11 .
22baab有怎样的联系？能否用一个等-)2. 拓展练习： (+与)(式来表示两者之间的关系，并尝试用图形来验证你的结论？四、教学设计反思本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又1.
为了后面多做几道练习而人为千万不可拔苗助长，要顺其自然，其实公式的探究活动本身既是对学生能力的主观裁断时间安排，而且还可以提高他们的应用公的培养，又是对公式的识记过程，因此，不但不可以省，而且还要充分挖掘，以使不同式的本领. 6 程度的学生都有事情做且乐此不疲，更加充分的参与其中.对于
这一点，教师一定要转变观念.
2. 在完全平方公式的探求过程中，学生表现出观察角度的差异：
有些学生只是侧重观察某个单独的式子，把它孤立地看，而不知道将几个式子联系地看；有些学生则既观察入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力.教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行学法指导，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质.
3. 对于公式使用的条件既要把握好“度”，又要把握好“方向”.对于公式中的字母取值范围，不必过分强调（实际上，这个范围限定的太小了）；而对于公式的特点，则应当左右兼顾，特别是公式的左边，它是正确应用公式的前提，却往往不被重视，结果造成几个类似公式的混淆，给正确解题设置了障碍.
4. 教无定法，教师应根据本班的实际情况灵活安排教学步骤，切实把关注学生的发展放在首位来考虑，并依此制定合理而科学的教学计划.如，对于较好的班级，则可以优先发展，采取居高临下的教学思路，先整体把握再对比击破，或是将其纳入整体结构系统，采取类比的学习方式；而对于基础较薄弱的班级，则应以提高学习兴趣、教会学习、培养成功体验为主，千万不可拔苗助长，以防物极必反.
7。