第4章 层次分析法
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第四章
层次分析法 AHP
Analytic Hierarchy Process T.L.saaty
李沛豪
Pumalph@zjut.edu.cn
一 问题的提出
例1 购物 买钢笔,一般要依据质量、颜色、实用性、价格、 外形等方面的因素选择某一支钢笔。 选择餐馆,则要依据餐馆的饭菜质量、区位条件、 档次、饭菜价格、服务质量等方面因素来选择。
依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等
因素进行选题。
二、层次分Байду номын сангаас法简介
层次分析法(Analytic Hierarchy Process,简称AHP) 是美国匹兹堡大学教授A. L. Saaty于20世纪70年代提出的 一种系统分析方法。 他模仿人的决策思维过程,开发一种综合定性与定量相 结合的分析方法,主要解决多因素复杂系统,特别是难以定 量描述的社会系统的分析方法。
Ak B1 B2 … … Bn B1 B 2 …… Bn
b11 b12 …… b1n b21 b22 …… b2n … … …… … … … …… … bn1 bn2 …… bnn
bij是对于Ak而言,Bi对Bj的相对重要性的数值表示。
bij通常取1、3、5、7、9及其他们的倒数,其含义为:
尺度
含
bij>0 ,bii = 1,bij = 1/bji,i,j = 1,2,…,n
因此,对于这样的判断矩阵来说,作n(n-1)/2 次两两判断就可以了。
判断过程中的问题
1、合理选择咨询对象;(专长及熟悉的领域) 2、创造适合于咨询工作的良好环境;(介绍AHP方法, 提供信息,独立思考) 3、正确的咨询方法;(通过咨询确定递阶层次结构, 设计好表格) 4、及时分析专家咨询信息,必要时要进行反馈及多轮 次咨询 5、专家数量根据实际情况确定,一般为20—50位
基本的思路
------先分解后综合的系统思想 整理和综合人们的主观判断,使定性分析与定量分析 有机结合,实现定量化决策。 首先将所要分析的问题层次化,根据问题的性质和要 达到的总目标,将问题分解成不同的组成因素,按照 因素间的相互关系及隶属关系,将因素按不同层次聚 类组合,形成一个多层分析结构模型,最终归结为最 低层(方案、措施、指标等)相对于最高层(总目标) 相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。
准则层1
成果贡献B1 应 用 价 值 科 学 意 义
人才培养B2
课题可行性B3 难 易 程 度 c3 研 究 周 期 c4 财 政 支 持 c5
准则层2
c1
方案层
课题D1
c2
课题D2
课题D3
层次分解时注意事项:
如果所选的要素不合理,其含义混淆不清,或 要素间的关系不正确,都会降低 AHP 法的结果质量, 甚至导致AHP法决策失败。 为保证递阶层次结构的合理性,需注意以下问题: 1 、要对问题的影响因素有充分的理解,必要的时候 可以咨询相关的专家; 2、分解简化问题时把握主要因素 3 、注意相比较元素之间的强度关系,相差太悬殊的 要素不能在同一层次比较。
(1)心理学的实验表明,大多数人对不同事物在相同属性 上差别的分辨能力在5~9级之间,采用1 ~ 9的标度反映了 大多数人的判断能力;
(2)大量的社会调查表明,1~9的比例标度早已为人们所 熟悉和采用;
(3)科学考察和实践表明,1~9的比例标度已完全能区分 引起人们感觉差别的事物的各种属性。
显然,任何判断矩阵都应满足:
max n
3、层次单排序和一致性检验
层次单排序就是指根据判断矩阵计算对于上一层某 因素而言本层次与之有联系的因素的重要性次序的权值。 可以归结为,求解矩阵的最大特征值和对应的特征的向量, 即对判断矩阵B,计算满足: BW = maxW 的特征根与特征向量。式中,λmax为B的最大特征根; W为对应于λmax的正规化特征向量;W的分量Wi即是相应因 素单排序的权值。
陈大宇,肖峻,王成山 刘军,姚军 谢全敏,夏元友
层次分析法在兰州经济结构评价中的应用
文献来自:西北师大学报(社会科学版) 2001年 第02期 文献来自:岩石力学与工程学报 2003年 第07期
岩体边坡治理决策的模糊层次分析方法研究 中长期地震预测方案综合信度评价的层次分析法
王晓青,高孟潭 文献来自:中国地震 1995年 第03期
判断矩阵和积法计算步骤:
2 6 列向量 1 归一化 A 1 / 2 1 4 1 / 6 1 / 4 1
0.6 0.615 0.545 0.3 0.308 0.364 0.1 0.077 0.091
求和
0.587 1.769 1.760 归一化 0.324 w Aw 0.974 0.972 0.089 0.268 0.268
AW=
=
=nW
W是A的……
即n是A的一个特征根,每只西瓜的重量是A对应于特 征根n的特征向量的各个分量。
很自然,我们会提出一个相反的问题: 如果事先不知道每只西瓜的重量,也没有衡器去称量,我 们如能设法得到判断矩阵(比较每两只西瓜的重量是最容易 的),能否得出西瓜的相对重量呢? 显然是可以的,在判断矩阵具有完全一致的条件下,我们 可以通过解特征值问题
层次分析法建模举例
(一)资金分配决策 某个工厂可以使用一笔企业留成利润,由厂领导 和职工代表大会决定如何使用,可以选择的方案有: 发奖金、扩建福利设施和引进新的设备,为了进一步 促进企业的发展,如何合理的使用这笔利润?
(二)、城市主导产业决策分析
22,752
基于模糊层次分析法的航空项目风险管理研究
周平,朱松岭,姜寿山 文献来自:计算机集成制造系统-CIMS 2003年 第12期
大气环境质量综合评价的层次分析法
何斌,谢开贵 文献来自:环境保护 1997年 第08期 文献来自:电力系统及其自动化学报 2003年 第04期
基于模糊层次分析法的城市电网规划决策综合评判
例2 旅游 假期旅游,是去风光秀丽的苏州,还是去迷人的 北戴河,或者是去山水甲天下的桂林,一般会依据景 色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。
例3 择业 面临毕业,可能有高校、科研单位、企业等单位可以 去选择,一般依据个人兴趣、工作环境、工资待遇、发展 前途、住房条件等因素择业。 例4 科研课题的选择 由于经费等因素,有时不能同时开展几个课题,一般
(2)、查找相应的平均随机一致性指标:RI 对n=1、2、3…9,Saaty给出了的值,如下表所示:
n RI 1 0 2 0 3 4 5 1.12 6 7 8 9
0.58 0.90
1.24 1.32 1.41 1.45
(3)计算一致性比例:CR
CI CR RI
当CR<0.10时,认为判断矩阵的一致性是可以接受的, 否则应对判断矩阵作适当修正。
三、层次分析法基本原理
假定我们已知n只西瓜的重量和为1,每只西瓜的重量分 别为W1,W2,…,Wn。把这些西瓜两两比较,很容易得到表示 n只西瓜相对重量关系的比较矩阵:
A=
=(aij)nxn
A*W=?
显然aii= 1,aij =1/aji,aij =aik/ajk,i、j、k= 1,2,…,n
那么就有:
别为a1,a2,… am,下一层次B包含n个元素B1,B2,… Bn, 它们对于因素Aj的层次单排序权值分别为bj1,bj2,… bjn (当Bi与Aj无联系时,bji=0),此时B层次总排序权值由下 表给出。
层次总排序的一致性检验
(1)
(2)
(3)
在(1)式中,CI为层次总排序的一致性指标,CIj为与aj对应 的B层次中判断矩阵的一致性指标;在(2)式中,RI为层次总排 序的随机一致性指标,RIj为与aj对应的B层次中判断矩阵的随 机一致性指标;在(3)式中,CR为层次总排序的随机一致性比例。 同样当CR≤0.10时,我们认为层次总排序的计算结果具有 满意的一致性。
城市旅游竞争力是现在旅游研究 的重点问题,请你选出适当的指标体 系,建立城市旅游竞争力的层析结构 体系
张争胜.城市旅游竞争力的实证研究——以广东省为例[J] 资源开发与市场.2005(1)
莫邦宏,杨建川. 城市旅游竞争力 分析框架初探[J] 社会科学家, 2005增刊
2 构造成对比较矩阵
判断矩阵表示针对上一层次某因素而言,本层次与 之有关的各因素之间的相对重要性。假定A层中因素Ak 与下一层次中因素B1,B2,…,Bn有联系,则我们构造 的判断矩阵如下表。
1 1.769 0.974 0.268 ( ) 3.009 3 0.587 0.324 0.089
, 0.322, 0.090), 3.013 精确计算,得 w (0.588
*六、层次分析法的应用
决策支持系统在旅游景区优先开发中的应用
王军伟,才书训 文献来自:东北大学学报(自然科学版) 2002年 第07期
义
1 3 5 7 9
第i个因素与第j个因素的影响相同
第i个因素比第j个因素的影响稍强 第i个因素比第j个因素的影响强 第i个因素比第j个因素的影响明显强 第i个因素比第j个因素的影响绝对地强
2,4,6,8表示第i个因素相对于第j个因素的影响介于上述
两个相邻等级之间。
为什么采用1~9级的指标比例呢?
五 判断矩阵的计算方法
通过前面的介绍,我们知道,在层次分析方法 中,最根本的计算任务是求解判断矩阵的最大特征根 及其所对应的特征向量。这些问题当然可以用线性代 数知识去求解,并且能够利用计算机求得任意高精度 的结果。但事实上,在层次分析法中,判断矩阵的最 大特征根及其对应的特征向量的计算,并不需要追求 太高的精度。这是因为判断矩阵本身就是将定性问题 定量化的结果,允许存在一定的误差范围。因此,我 们常常用近似算法求解判断矩阵的最大特征根及其所 对应的特征向量。 三种方法:幂法、和积法和方根法
平均随机一致性指标RI是多次(500次以上) 重复进行随机判断矩阵特征值的计算之后,取算 术平均数得到的。 为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性, 需要将CI与平均随机一致性指标RI进行比较。
4 层次总排序及其一致性检验
确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权 值过程,称为层次总排序。这一过程是最高层次到最低 层次逐层进行的。对于最高层下面的第二层,若上一层 次A包含m个因素, A1,A2,… Am ,其层次总排序权值分
苏州、杭州、桂林
若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素,或被下一层所 有因素影响,称为完全层次结构,否则称为不完全层次结构。
此外,还可以建立子层次。
例3 层次结构模型
目标层:
选购电冰箱
准则层:
信誉T1
型式T2
价格T3
容量 T4
制冷级别 T5
耗电量 T6
方案层:
A
B
C
D
例4 层次结构模型
目标层
合理选择科研课题A
四、 层次分析法的基本步骤
1 建立层次结构模型 一般分为三层,最上面为目标层,最下面为方案层, 中间是准则层或指标层。 例1 的层次结构模型 买钢笔 质 量 颜 色 价 格 外 形 实 用 目标层 准则层 方案层
可供选择的笔
例2 层次结构模型
选择 旅游地
目标层Z
景色
费用
居住
饮食
旅途
准则层A 方案层B
AW= λmaxW
求出正规化特征向量(即假设西瓜总重量为1),从而得 到n只西瓜的相对重量。
所谓判断矩阵的一致性,即判断矩阵是否满足如下关 系:
aij =aik/ajk,
i、j、k= 1,2,…,n
上式完全成立时,称判断矩阵具有完全一致性。 此时矩阵的最大特征值λmax=n,其余特征值均为零。 在一般情况下可以证明判断矩阵的最大特征根为单根, 且λmax≥n。当判断矩阵具有满意一致性时,λmax稍 大于矩阵阶数n,其余特征值接近于零。这时AHP得出 的结论才基本合理。
对判断矩阵一致性检验的步骤:
(1)计算一致性指标(Consisteney Index):CI
CI
max n
n 1
完全一致时,CI的值?
显然当判断矩阵具有完全一致性时,CI=0,λmax-n 越大,CI越大,矩阵的一致性就越差。为了检验判断矩阵 是否具有满意的一致性,需要将CI与平均一致性指标RI (Random Index)进行比较。
层次分析法 AHP
Analytic Hierarchy Process T.L.saaty
李沛豪
Pumalph@zjut.edu.cn
一 问题的提出
例1 购物 买钢笔,一般要依据质量、颜色、实用性、价格、 外形等方面的因素选择某一支钢笔。 选择餐馆,则要依据餐馆的饭菜质量、区位条件、 档次、饭菜价格、服务质量等方面因素来选择。
依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等
因素进行选题。
二、层次分Байду номын сангаас法简介
层次分析法(Analytic Hierarchy Process,简称AHP) 是美国匹兹堡大学教授A. L. Saaty于20世纪70年代提出的 一种系统分析方法。 他模仿人的决策思维过程,开发一种综合定性与定量相 结合的分析方法,主要解决多因素复杂系统,特别是难以定 量描述的社会系统的分析方法。
Ak B1 B2 … … Bn B1 B 2 …… Bn
b11 b12 …… b1n b21 b22 …… b2n … … …… … … … …… … bn1 bn2 …… bnn
bij是对于Ak而言,Bi对Bj的相对重要性的数值表示。
bij通常取1、3、5、7、9及其他们的倒数,其含义为:
尺度
含
bij>0 ,bii = 1,bij = 1/bji,i,j = 1,2,…,n
因此,对于这样的判断矩阵来说,作n(n-1)/2 次两两判断就可以了。
判断过程中的问题
1、合理选择咨询对象;(专长及熟悉的领域) 2、创造适合于咨询工作的良好环境;(介绍AHP方法, 提供信息,独立思考) 3、正确的咨询方法;(通过咨询确定递阶层次结构, 设计好表格) 4、及时分析专家咨询信息,必要时要进行反馈及多轮 次咨询 5、专家数量根据实际情况确定,一般为20—50位
基本的思路
------先分解后综合的系统思想 整理和综合人们的主观判断,使定性分析与定量分析 有机结合,实现定量化决策。 首先将所要分析的问题层次化,根据问题的性质和要 达到的总目标,将问题分解成不同的组成因素,按照 因素间的相互关系及隶属关系,将因素按不同层次聚 类组合,形成一个多层分析结构模型,最终归结为最 低层(方案、措施、指标等)相对于最高层(总目标) 相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。
准则层1
成果贡献B1 应 用 价 值 科 学 意 义
人才培养B2
课题可行性B3 难 易 程 度 c3 研 究 周 期 c4 财 政 支 持 c5
准则层2
c1
方案层
课题D1
c2
课题D2
课题D3
层次分解时注意事项:
如果所选的要素不合理,其含义混淆不清,或 要素间的关系不正确,都会降低 AHP 法的结果质量, 甚至导致AHP法决策失败。 为保证递阶层次结构的合理性,需注意以下问题: 1 、要对问题的影响因素有充分的理解,必要的时候 可以咨询相关的专家; 2、分解简化问题时把握主要因素 3 、注意相比较元素之间的强度关系,相差太悬殊的 要素不能在同一层次比较。
(1)心理学的实验表明,大多数人对不同事物在相同属性 上差别的分辨能力在5~9级之间,采用1 ~ 9的标度反映了 大多数人的判断能力;
(2)大量的社会调查表明,1~9的比例标度早已为人们所 熟悉和采用;
(3)科学考察和实践表明,1~9的比例标度已完全能区分 引起人们感觉差别的事物的各种属性。
显然,任何判断矩阵都应满足:
max n
3、层次单排序和一致性检验
层次单排序就是指根据判断矩阵计算对于上一层某 因素而言本层次与之有联系的因素的重要性次序的权值。 可以归结为,求解矩阵的最大特征值和对应的特征的向量, 即对判断矩阵B,计算满足: BW = maxW 的特征根与特征向量。式中,λmax为B的最大特征根; W为对应于λmax的正规化特征向量;W的分量Wi即是相应因 素单排序的权值。
陈大宇,肖峻,王成山 刘军,姚军 谢全敏,夏元友
层次分析法在兰州经济结构评价中的应用
文献来自:西北师大学报(社会科学版) 2001年 第02期 文献来自:岩石力学与工程学报 2003年 第07期
岩体边坡治理决策的模糊层次分析方法研究 中长期地震预测方案综合信度评价的层次分析法
王晓青,高孟潭 文献来自:中国地震 1995年 第03期
判断矩阵和积法计算步骤:
2 6 列向量 1 归一化 A 1 / 2 1 4 1 / 6 1 / 4 1
0.6 0.615 0.545 0.3 0.308 0.364 0.1 0.077 0.091
求和
0.587 1.769 1.760 归一化 0.324 w Aw 0.974 0.972 0.089 0.268 0.268
AW=
=
=nW
W是A的……
即n是A的一个特征根,每只西瓜的重量是A对应于特 征根n的特征向量的各个分量。
很自然,我们会提出一个相反的问题: 如果事先不知道每只西瓜的重量,也没有衡器去称量,我 们如能设法得到判断矩阵(比较每两只西瓜的重量是最容易 的),能否得出西瓜的相对重量呢? 显然是可以的,在判断矩阵具有完全一致的条件下,我们 可以通过解特征值问题
层次分析法建模举例
(一)资金分配决策 某个工厂可以使用一笔企业留成利润,由厂领导 和职工代表大会决定如何使用,可以选择的方案有: 发奖金、扩建福利设施和引进新的设备,为了进一步 促进企业的发展,如何合理的使用这笔利润?
(二)、城市主导产业决策分析
22,752
基于模糊层次分析法的航空项目风险管理研究
周平,朱松岭,姜寿山 文献来自:计算机集成制造系统-CIMS 2003年 第12期
大气环境质量综合评价的层次分析法
何斌,谢开贵 文献来自:环境保护 1997年 第08期 文献来自:电力系统及其自动化学报 2003年 第04期
基于模糊层次分析法的城市电网规划决策综合评判
例2 旅游 假期旅游,是去风光秀丽的苏州,还是去迷人的 北戴河,或者是去山水甲天下的桂林,一般会依据景 色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。
例3 择业 面临毕业,可能有高校、科研单位、企业等单位可以 去选择,一般依据个人兴趣、工作环境、工资待遇、发展 前途、住房条件等因素择业。 例4 科研课题的选择 由于经费等因素,有时不能同时开展几个课题,一般
(2)、查找相应的平均随机一致性指标:RI 对n=1、2、3…9,Saaty给出了的值,如下表所示:
n RI 1 0 2 0 3 4 5 1.12 6 7 8 9
0.58 0.90
1.24 1.32 1.41 1.45
(3)计算一致性比例:CR
CI CR RI
当CR<0.10时,认为判断矩阵的一致性是可以接受的, 否则应对判断矩阵作适当修正。
三、层次分析法基本原理
假定我们已知n只西瓜的重量和为1,每只西瓜的重量分 别为W1,W2,…,Wn。把这些西瓜两两比较,很容易得到表示 n只西瓜相对重量关系的比较矩阵:
A=
=(aij)nxn
A*W=?
显然aii= 1,aij =1/aji,aij =aik/ajk,i、j、k= 1,2,…,n
那么就有:
别为a1,a2,… am,下一层次B包含n个元素B1,B2,… Bn, 它们对于因素Aj的层次单排序权值分别为bj1,bj2,… bjn (当Bi与Aj无联系时,bji=0),此时B层次总排序权值由下 表给出。
层次总排序的一致性检验
(1)
(2)
(3)
在(1)式中,CI为层次总排序的一致性指标,CIj为与aj对应 的B层次中判断矩阵的一致性指标;在(2)式中,RI为层次总排 序的随机一致性指标,RIj为与aj对应的B层次中判断矩阵的随 机一致性指标;在(3)式中,CR为层次总排序的随机一致性比例。 同样当CR≤0.10时,我们认为层次总排序的计算结果具有 满意的一致性。
城市旅游竞争力是现在旅游研究 的重点问题,请你选出适当的指标体 系,建立城市旅游竞争力的层析结构 体系
张争胜.城市旅游竞争力的实证研究——以广东省为例[J] 资源开发与市场.2005(1)
莫邦宏,杨建川. 城市旅游竞争力 分析框架初探[J] 社会科学家, 2005增刊
2 构造成对比较矩阵
判断矩阵表示针对上一层次某因素而言,本层次与 之有关的各因素之间的相对重要性。假定A层中因素Ak 与下一层次中因素B1,B2,…,Bn有联系,则我们构造 的判断矩阵如下表。
1 1.769 0.974 0.268 ( ) 3.009 3 0.587 0.324 0.089
, 0.322, 0.090), 3.013 精确计算,得 w (0.588
*六、层次分析法的应用
决策支持系统在旅游景区优先开发中的应用
王军伟,才书训 文献来自:东北大学学报(自然科学版) 2002年 第07期
义
1 3 5 7 9
第i个因素与第j个因素的影响相同
第i个因素比第j个因素的影响稍强 第i个因素比第j个因素的影响强 第i个因素比第j个因素的影响明显强 第i个因素比第j个因素的影响绝对地强
2,4,6,8表示第i个因素相对于第j个因素的影响介于上述
两个相邻等级之间。
为什么采用1~9级的指标比例呢?
五 判断矩阵的计算方法
通过前面的介绍,我们知道,在层次分析方法 中,最根本的计算任务是求解判断矩阵的最大特征根 及其所对应的特征向量。这些问题当然可以用线性代 数知识去求解,并且能够利用计算机求得任意高精度 的结果。但事实上,在层次分析法中,判断矩阵的最 大特征根及其对应的特征向量的计算,并不需要追求 太高的精度。这是因为判断矩阵本身就是将定性问题 定量化的结果,允许存在一定的误差范围。因此,我 们常常用近似算法求解判断矩阵的最大特征根及其所 对应的特征向量。 三种方法:幂法、和积法和方根法
平均随机一致性指标RI是多次(500次以上) 重复进行随机判断矩阵特征值的计算之后,取算 术平均数得到的。 为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性, 需要将CI与平均随机一致性指标RI进行比较。
4 层次总排序及其一致性检验
确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权 值过程,称为层次总排序。这一过程是最高层次到最低 层次逐层进行的。对于最高层下面的第二层,若上一层 次A包含m个因素, A1,A2,… Am ,其层次总排序权值分
苏州、杭州、桂林
若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素,或被下一层所 有因素影响,称为完全层次结构,否则称为不完全层次结构。
此外,还可以建立子层次。
例3 层次结构模型
目标层:
选购电冰箱
准则层:
信誉T1
型式T2
价格T3
容量 T4
制冷级别 T5
耗电量 T6
方案层:
A
B
C
D
例4 层次结构模型
目标层
合理选择科研课题A
四、 层次分析法的基本步骤
1 建立层次结构模型 一般分为三层,最上面为目标层,最下面为方案层, 中间是准则层或指标层。 例1 的层次结构模型 买钢笔 质 量 颜 色 价 格 外 形 实 用 目标层 准则层 方案层
可供选择的笔
例2 层次结构模型
选择 旅游地
目标层Z
景色
费用
居住
饮食
旅途
准则层A 方案层B
AW= λmaxW
求出正规化特征向量(即假设西瓜总重量为1),从而得 到n只西瓜的相对重量。
所谓判断矩阵的一致性,即判断矩阵是否满足如下关 系:
aij =aik/ajk,
i、j、k= 1,2,…,n
上式完全成立时,称判断矩阵具有完全一致性。 此时矩阵的最大特征值λmax=n,其余特征值均为零。 在一般情况下可以证明判断矩阵的最大特征根为单根, 且λmax≥n。当判断矩阵具有满意一致性时,λmax稍 大于矩阵阶数n,其余特征值接近于零。这时AHP得出 的结论才基本合理。
对判断矩阵一致性检验的步骤:
(1)计算一致性指标(Consisteney Index):CI
CI
max n
n 1
完全一致时,CI的值?
显然当判断矩阵具有完全一致性时,CI=0,λmax-n 越大,CI越大,矩阵的一致性就越差。为了检验判断矩阵 是否具有满意的一致性,需要将CI与平均一致性指标RI (Random Index)进行比较。