系统稳定性的频域判据1

C 为顺时针方向
Im
a
[s]
Im
[F]
F(s) = s a
C C Re O
O
如果 C 包围 a ，则 C’ 顺时针包围原点1圈； 如果 C 不包围 a ，则C’不包围原点。 如果 C 经过 a ？
1 2.F(s) = s a
Im
[F]
F(s) = 1 s a
O
Re
1 F(s) = s a
U（s）=Uo（s）-Y（s）
p(t) =
P(s) =
其闭环系统的特征方程为
则 1+GK (s) = 0 ，即
令 这样一来就将乃氏判据中开环频率特性的极坐标 是否包围（-1，j0）点的问题归结为 Gm（jω）的极坐标轨迹是否包围Gc(jω）的 极坐标轨迹的问题。 下面分别作出Gm（jω）和Gc(jω）的极坐标轨迹。
K Ts+1
Imaginary Axis
Nyquist Diagram
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6
只要 K>0 ，稳定
O
-0.8
-1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Real Axis
例:下图所示反馈控制系统，K为何值时稳定? Nyquist Diagram K
0 + g

2

2

0 = k (180 )
如已知最小相位系统的开环传递函数为 G ( s) H ( s ) = 绘制系统的奈奎斯特图
K s(Ts + 1)
绘制开环轨迹的一些问题：
1. 镜像对称原理：当ω由值由－ ω变到+ ω时， G(jω)H(-j ω)与G(jω)H(j ω)的幅值相同而幅角相异。 当ω由－∞→0－与0＋→∞所确定的开环轨迹是依实轴 而对称的。 2. 幅角的确定 计算幅角时，一定要将复数的虚部与实部正、负号考虑 进去，以便确定其所在的象限。
Gc( j) = = = = =
=
曲线①
曲线③
1．若Gm（jω）不包围Gc(jω），即 Gm（jω）与Gc(jω）不相交，如曲线①，则系 统绝对稳定。因此系统绝对稳定的条件是Gm（ jω）中的最小负实部的绝对值小于km /2kc 。 无论提高主轴的刚度km，还是减 少kc(切削阻力系数），都可提高稳定 性，但对提高稳定性最有利的是增加 阻尼。
C包围z个零点，C’绕原点 顺时针z圈
1 F(s) = (s a1)(s a2)
Im [s]
(s a )
p
Im
[F]
O O C Re
Re
C ?
C包围1个极点，C’ 逆时针绕原点1圈 C包围p个极点，C’绕原点 逆时针p圈
a a a F(s) = (s 1)(s 2) (s m) (s a1)(s a2) (s an)
乃氏图的负频段－对称原理
令 从 增长到 0 ，
相应得出的乃氏图是 与从 0 增长到 +
得出的乃氏图以实轴 对称的，例如图4-24 所示的乃氏图。
= 的乃氏图 +
例
∠G(jω)= −90º −arctan(ω)−arctan(2ω)
当 当
ω = 0+
时， G(jω)= +∞∠−90°
s =re j
G( re j
G= 270° 180° 90°
Im [s]
0Im
) re10
j
= +j e
j
0+
O D
j
Re
-1 O
Re
0+
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开环右极点有1个，乃氏图逆时针包围 (-1,j0)1圈，稳定
G( s) =
Imaginary Axis
40 s(0.1s+1)(0.05s+1)
K G(s)H(s) = (s+1)(s+2)(s+6)
, K = 20
Imaginary Axis
K G(s)H(s) = (s+1)(s+2)(s+6)
Imaginary Axis
, K = 200
Imaginary Axis
G(s)H(s) =
8 (s )(s+2)(s+3) 1
例:下图所示反馈控制系统，K为何值时稳定?
右零点个数为0
A 1(s) A (2s)+ B (s)1B (s) =1+ B (s)B 1 2 2 (s ) =1+G(s)H(s) A 1(s) A2(s) A 1(s) A2(s)
顺时针绕[s]右半平面的曲线，经过
F(s) =1+G(s)H(s) 的映射，
逆时针包围原点的圈数 = 开环右极点个数
1
Ts 1
0.8 0.6 0.4
K<1，不稳定； K>1，稳定。
0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.5 -1 -0.5 0
Real Axis
对虚轴含有极点情况的处理：
例:某反馈控制系统开环传递函数为
K G (s ) = s(0.1s+1)(0.05s+1)
判断当K=10和40时的稳定性
j
= 90°0° 90°
GH =180°0° 180°
0 0+

(e )
j 2
4
=
4
2
ej2
Imaginary Axis
顺时针2圈，不稳定
延时环节
K满足什么条件时系 统闭环稳定？
G1( j) = K 1 = K j( j +1) + j1 G1 = K 1 2 +1
在[s]平面作包围右半平面的D形曲线， 如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围(－1,j0)点 的圈数等于开环右极点的个数， 则系统稳定。 (1) 开环右极点个数如何判断？——劳斯判据
(2) 开环在虚轴上有零极点？——绕道
(3) 开环无右极点——不包围 (4) 乃氏判据也适用于有延时环节的情况
如果开环传递函数在虚轴上有极点或零点，
j j
R =

j
0
+
re
j
j
D
0
O
对于最小相位系统
当ω由0－变到0＋时，开环轨迹将顺时针方向从 g 2 转到 g ，中间经过一个半径为无穷大的圆弧。 2
对于非最小相位系统
当ω由0－变到0＋时，开环轨迹将顺时针方向从 转到 0 g
∠G(jω)= −90º−arctan(ω´)−arctan(2ω´) = −180º
所以曲线与负实轴交点的频率为
2 = 2
= 10 2
G ( j10 2 ) =
K 10 w 3 3 2
K = 30
对数频率特性的乃氏判据
系统稳定的充要条件是：在开环波德图上L(ω)>0dB 的所有频段内，相频特性曲线φ(ω)在-180º 线上正负 穿越次数之差等于P/2。P为开环右极点数，如果 P=0，则正负穿越次数应相等。 在波德图上， L(ω)>0dB下的相频曲线自下而上穿 过-180º 线是幅角增大为正穿越，反之，为负穿越。 如果恰在L(ω)＝0dB处相频曲线穿过－180º 线， 系统临界稳定。
ω = +∞时， G(jω)= 0∠−270°
其相角范围从-90º ~-270º ，因此必有与负实轴 的交点。
解方程 G(j)= 90º arctan() arctan(2) = 180º
即
arctan(2) = 90º arctan()
两边取正切，得
2=

1
所以曲线与负实轴交点的频率为
其传递函数为 Y(s)
P(s)
2．切削过程的传递函数 若工件名义进给量为uo(t)，由于主轴的变形， 实际进给量为u（t），于是 u(t) = uo(t) (t) y 若主轴转速为n，刀具为单齿，则刀具每转 一周需要时间 =1/n 。 刀具在每转动一周中切 削的实际厚度为[u（t）-u（t-τ）] 。 令kc为切削阻力系数（它表示切削力与切 削厚度之比），则
开环传递函数G(s)H(s)在[s]右半平面上有P个极点， 当ω由-∞变化到+∞时，[GH]平面上的开环频率特性 G(jω)H(jω)逆时针包围(-1, j0)点P圈，则闭环系统 稳定。
当ω取值由－∞→+∞时，其开环G(jω)H(jω)轨 迹必须逆时针包围(－1, j0)点P次，否则就不稳 定。 P—开环G(s)H(s)在平面[s]右半部的极点个数。
O
从原点右边绕，开环右极点个数为0； 乃氏图顺时针包围(-1,j0) 2 圈，不稳定
Imaginary Axis
例：某系统开环传递函数为
( ) (
4(0.05s+1) )G s H s = s2(0.3s+1)(0.05s2 +0.2s+1)
Imaginary Axis
从原点右边绕，s =e
G(e j)H(e j)
系统稳定性的频域判据
(第五章）
劳斯判据的不足： • 必须知道系统的闭环传递函数 • 定性——不能从量上判断系统的稳定程度 • 对含有延迟环节的系统无效 • 不能对改善系统稳定性给出提示 Nyquist稳定判据 根据开环频率特性判断闭环稳定性
s F(s) 1. F(s) = s a
a 为复数
F(s) = s a
该交点距原点的距离为
ω = 0 + 时， G(jω)= +∞∠−90° 当 ω = +∞时， G(jω)= 0∠−270°
当
-0.67
例:某反馈控制系统开环传递函数为 K G (s) = s(0.1s+1)(0.05s+1)
判断当K=10和40时的稳定性
令 = 0.05
G ( j ) = K j 20 ( j + 1)(2 j + 1)
判断下图系统的稳定性
例
Imaginary Axis
10 G (s) = s(0.1s+1)(0.05s+1)
Imaginary Axis 0
Nyquist Diagram 1 0.5 0 -0.5
-1
-1 -0.8 -0.6
Real Axis
-0.4
-0.2
0
0+
= 90° 0° 90°


G= 180+ arctan 1 > 180
1 G = 2 +1
K
令
=1
2 +1 = K
arctan
1
例如 =10 ms <10 rad/s K <100 =1 ms < 31.6 rad/s
phase [rad]


>
K <1000
Nyquist稳定判据
j
R =
F(s) =1+G(s)H(s)
[F ]
-1 j
F '(s) = G(s)H(s)
F(s)包围原点的圈数 = F ’(s)包围-1点的圈数
Nyquist稳定判据 ——充要条件
闭环系统稳定的充要条件：
如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围 (－1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数P， 则系统稳定。
Im
[F] F(s) = 1 s a
O
Re
C
Im
O
Re
如果 C 包围 a ，则 C’ 逆时针包围原点1圈； 如果 C 不包围 a ，则C’不包围原点。
F(s) =(s 1)(s 2) a a
Im [s]
(s az)
Im [F]
O C
Re
O
Re
C ?
顺时针绕原点1圈，角度增量 2
例：下图所示为机床（如镗床，铣床）的长悬 臂梁式主轴的工作情况，由于主轴刚性低，常 易产生振动，下面分析其动态特性。
1．机床主轴系统的传递函数 将主轴简化为集中质量m作用于主轴端部，令 P（t）——切削力； y（t）——主轴前端刀具处因切削力产生 的变形量； D ——主轴系统的当量粘性系数； km ——主轴系统的当量刚度。 主轴端部的运动微分方程为
Imaginary Axis
0
s =re j
G ( r e j
G(re j) = 90°0° 90°
) re10
j
= +j e
j
0+
j
开环没有右极点，乃氏图不包围(-1,j0)， 稳定
= 270° 180° 90°
0
Imaginary Axis
开环传递函数
G(s)H(s) =
闭环传递函数 G (s ) 1+G(s)H(s)
= 1+
B1(s) A (s) B1(s )B
(s ) A1 (s)A2(s)
2
B1(s)A2(s) = A 1(s)A (s)+ B (s)B 2 1
2
(
闭环稳定
闭环传递函数右极点个数为0 B1(s)A2(s)
A 1(s)A2(s)+ B1(s)B2(s)
F(s)有m个零点，n个极点， 在[s]平面上的C顺时针包围了 其中z个零点和p个极点，
则在[F]平面上的C’顺时针包围原点 z – p圈。
——映射定理
反馈控制系统
B1(s) B2(s) G(s) = , H(s) = A 1(s) A2(s)
G(s)
H(s)
B1(s)B2(s) A1 (s)A2(s)
e s
s(s +1)
K
G1 = 180+arctan
1
G2( j) = e
G2 =1 K

j
G2 = G= 180+ arctan 1
1 G = 2 +1


K

G2 =1
K
1 2 +1
G2 =

1
1 G = 2 +1
G= 180+ arctan 1