第七章 导行电磁波
电磁场理论-导行电磁波
第7章 导行电磁波
上式给出了 g、 和 c 之间的关系。 c 由导波系统的截 面形状、尺寸和模式决定，可以根据具体导波结构求出。 对于 TEM 模， c ，所以 g
可见，TEM 模的波导波长等于填充相同介质的无界空 间中的波长。
(3) 相速
由vp
，可得
TE
和
TM
波相速：
vp
v
v
1 ( c )2
第七章 导行电磁波
第7章 导行电磁波
电磁波除了在无限空间传播外，还可以在某种特定 结构的内部或周围传输，这些结构起着引导电磁波传输 的作用，这种电磁波称为导行电磁波(简称导波)，引导 电磁波传输的结构称为导波结构。导波结构可以由金属 材料构成，也可以由介质材料构成，还可以由金属和介 质共同构成。这里主要讨论在其轴线方向上截面形状、 面积以及所填充媒质均不变的均匀导波结构。无限长的 平行双导线、同轴线、金属波导、介质波导以及微带传 输线等等都是常用的导波结构。
0
，可得：
对 TM 模
Ez 0
对 TE 模，由
(k 2
2
)Et
j
ez
t Hz
t Ez
可得
(k
2
2
)n
Et
j
n ez t H z
n t Ez
j
n ez t H z
0
j n ez t H z
j (n t Hz )ez j
(n ez )t H z
j
H z n
ez
H z 0 n
第7章 导行电磁波
第7章 导行电磁波
1、纵向分量与横向分量的关系
导波结构中电磁场满足无源区域的麦克斯韦方程组：
H
电动力学教程 第7章 导行电磁波
对于TEM波，λc=∞，
0 g r r
7.2 矩形波导
矩形波导的结构如图所示，假定其内的填充介质为理想
介质。矩形波导内只能传播TE波或TM波而不能传播TEM波。 7.2.1 矩形波导中的TM波
2 Ez 2 Ez 2 k c Ez 0 2 2 x y
Ez ( x, y ) X ( x)Y ( y )
1 2
m n a b
2
2
截止波长
c
fc
2 m n a b
2 2
式中 v 1/ 为无限大介质中的电磁波的波速。
截止状态
当工作频率低于截止频率时，即 f < fc，γ为正实数，此
3. 横磁波(TM波)
7.1.1 横电磁波(TEM波)
根据纵横关系，横向场分量不为0的条件是
2 γTEM k2 0
即
γTEM jk jω με
定义 ：导行波的波阻抗 Z
导波系统中，沿波的传播方向构成右手螺旋关系的横 向电场和横向磁场之比，即 x
Ey Ex Z Hy Hx
z
y
m n kc k k a b
2 x 2 y
在矩形波导中TE波的传输常数为
2 2 kc2 k 2 k x ky k2
m n 2 a b
2
2
(2) 当y=0时，Ez=0，
Ez c2c3 sin kx x 0
欲使上式对所有 x值都成立，则c3应为零。此时c2不能为零， 因为若c2等于零，则Ez在非边界处也恒为零，这与TM波的 情况不符，因此只能取c3等于零。
第七章导行电磁波
第七章导行电磁波§.1导行电磁波及其导行系统1导行电磁波就是在导行系统（统称传输线，有时指波导）中传输的电磁波，简称导波。
2在一个实际射频、 微波系统里，传输线是最基本的构成，它不仅起连接信号作用，而且传 输线本身也可以成为某些元件，如电容、电感、变压器、谐振电路、滤波器、天线等等。
3传输线的主要指标：1）损耗。
损耗来源于导体、介质、辐射、模式转换； 2）色散和单模工作频带宽度。
取决于传输线的结构； 3）制造成本。
取决于是否可以集成。
4几种典型微波传输线，结构演化、特点。
1）双线；2 ）同轴线；3）波导；4 ）微带线；5） 介质波导与光纤；6）空间。
§2导波的一般分析方法1导波的一般分析方法：先求出场纵向分量，然后由场纵向分量导出其余的场横向分量。
2导波场横向分量与场纵向分量关系： Step1 :设导波的传播方向（纵向）为z 方向，传播无衰减，传输线横截面保持不变，则有E 二 E °（x,y ）e$zzH 二 H °（x, y ）e 』zZ（ 1） 式中k z 是导波沿传播方向（z 方向）的传播常数，有 国2氏=k 2= k ； + k ； = k ； + k ； （2） 把（1）式代入直角坐标系中的波动方程，简化后可得喘 +k ；E =0（3）可 T H +k ；H =oStep2：将（1）式代入Maxwell 方程组的两个旋度方程，直角坐标系中展开后可得场横向分 量与场纵向分量关系：在圆柱坐标系里也能导出类似的关系式。
3由场纵向分量导出场横向分量方法的好处： 1）简化计算：六个分量的求解简化为两个分量的求解。
场纵向分量相当于位函数。
2）便于波型分类 4导波波型的分类：E xkz 牡E z +觎cH z "k ； 、dx k z 纲E y；：E z .」汩z k z ex■yH x<k z cy H y--；:E z 'H zk z ：:x1） TE 波（横电波，或H 波）：E z =0，电磁场只有五个分量 2） TM 波（横磁波，或 E 波）：H z =0电磁场只有五个分量3） TEM 波：E z =0和H z = 0，电磁场只有四个分量欲横向场存在，由（4）式可知，必须k T = 0，这样首先方程（3）变为^2E =0和=0这样TEM 波的电磁场在横截面上的分布满足拉普拉斯方程，因此 TEM 波的电磁场在横截面上的特性与静电场、静磁场一样。
第七章导行电磁波
h2u2
h1u1
（7-1-12b）
第七章 导行电磁波
13
§7.2 导行波波型的分类以及导行波的传输特性
7.2.1 导行波波型的分类
导行波的波型是指能够单独存在于导行系统中的电磁波的场
结构形式，也称为传输模式。导行波波型大致分为三类。
1.TEM波
若电场和磁场在传播方向上的分量 Ez 0 、Hz 0 ，
用以引导电磁波传输的装置称为导波装置，或称为传输 线或导行系统。在导波装置中沿一定方向传输的电磁波称为 导行电磁波。如果导波装置的横截面尺寸、形状、介质分布、 材料及边界均沿传输方向不变，则称之为规则导波装置。常 用的导行系统如图7-1所示。其中最简单、最常用的是矩形波 导、圆柱形波导和同轴线。
如果将一段波导的两端短路或开路，就可以构成微波谐 振器。
波kc为色0散，波因。而对，于其T相EM速波和，群k速c 都0是，频则率有的，函v数p ，v即g TEv波和TcrMr ，
第七章 导行电磁波
10
j由横乘向以方式程（7(7-1-1-9-9aa）) ，和对（式7-1（-97c-）1-9可c ）以作求得E T e、z HT运，算 用，
然后两式相加，并利用矢量恒等式 (A ) A A A B C ( A C ) B ( A B ) C ，整理可得
（7-1-7b） （7-1-7c）
T 2H z (u1,u2)kc 2H z(u1,u2)0
（7-1-7d）
第七章 导行电磁波
8
矢量方程（7-1-7a）和（7-1-7c）的求解比较困难，因此 通常并不直接求解 ET 和 HT ，而是结合导行系统的边界条
第七章导行电磁波
ez
ET
（7-2-15）
第七章 导行电磁波
21
对于TEM波，有
Z WTEM
0
r 120 r
r r
（7-2-16）
4．传输功率
导行波的复坡印廷矢量为
S
1
E
H*
，利用式（7-2-15）
2
可得，沿导行系统 + z 方向传输的平均功率为
P
1 2
Re
Σ
(E
H*
)
dΣ
1 2
Re
Σ
(ET
而在其内部不存在传导电流。因此，横向磁场必然要由纵向电场
所产生的位移电流 j Ez 来维系。而TEM波的纵向场为零，
所以不可能存在TEM波。 2.TE波和TM波 若电场在电磁波传播方向上的分量 Ez 0 ，即电场仅在横截
面内，则此种波型称为横电波，简称TE波或H波。 若磁场在电磁波传播方向上的分量 H z 0 ，即磁场仅在横截
2 c
， c
称为截止波长。
因此，随着工作波长的不同， 2 的取值有三种可能，即
2 0 、 2 0 和 2 0 。
第七章 导行电磁波
16
1） 2
0，即
c
，则
为实数，导波场表示为
E(u1,u2 , z) E(u1,u2 )e- z
H (u1,u2 , z) H (u1,u2 )e-j z
第七章 导行电磁波
8
矢量方程（7-1-7a）和（7-1-7c）的求解比较困难，因此 通常并不直接求解 ET 和 H T ，而是结合导行系统的边界条
件求解标量波动方程（7-1-7b）和（7-1-7d），得到纵向场分 量后，再利用场的横向分量与纵向分量之间的关系求得所有横 向分量。场的横向分量与纵向分量之间的关系式可由麦克斯韦 方程组导出。
第7章导行电磁波
明德
砺志
博学
笃行
几种常用导波系统的主要特性 名 称 波 形 电磁屏蔽
差 好 差 差 好
使用波段
> 3m
> 10cm 厘米波 厘米波 厘米波、毫米波
双导线
同轴线 带状线 微 带 矩形波导
TEM波 TEM波 TEM波 准TEM波 TE或TM波
圆波导
光 纤
TE或TM波
TE或TM波
好
差
厘米波、毫米波
光波
明德
ky
Ez E0 sin
mπ nπ jk z z x sin ye a b
Ey j
Ex j
k z E0 mπ mπ nπ x sin cos 2 kc a a b
y e jk z z
k z E0 nπ mπ nπ jk z z x cos y e sin 2 kc b a b
Hx j
E0 nπ
kc2
kc2
mπ nπ jk z z x cos y e sin b a b
mπ nπ jk z z x sin y e cos a a b
明德
砺志
博学
笃行
7 导行电磁波
几种常用的导波系统，矩形波导中的电磁波。
沿一定的途径传播的电磁波称为导行电磁波，传输导行波的系统 称为导波系统。 常用的导波系统有双导线、同轴线、带状线、微带、金属波导等。 本章仅介绍金属波导。尤其是矩形金属波导的传播特性。 这些导波系统的结构如下图示。
明德
砺志
博学
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第七章 导行电磁波
欲使上式对于所有的 x 值成立，要求C2 = 0或 C3 = 0 。 E 当C2 = 0时，z = 0，这与TM波情况不符，因此，只能 取 C3 = 0 。此时 E z = C 2 C 4 sin k x x sin k y y 或者写成 E z = E 0 sin k x x sin k y y (7-28) 当 x = a 时， z = 0 。由式(7-28)得 E
(7-32)
Hx = j
ωεE 0 nπ
Ex =
γ E z
2 kc
x
(7-14a) (7-14c)
Ey =
γ Ez
2 kc
y
(7-14b) (7-14d)
Ey =
γ Ez
2 kc y
jωε Ez Hy = 2 kc x
对于TE波，根据方程（7-8b）和导波系统的边 界条件，求出 Hz 后，再考虑到 Ez =0 ，可得TE波的 其他横向场分量为
2 E + k 2E = 0
2 H + k 2 H = 0
在直角坐标系下，矢量拉普拉斯算符可分解为与横 截面坐标有关的 2 和与纵坐标有关的 2 两部分， xy z 即 2 2 2 2 2 2
= x
2
+
y
2
+
z
2
= xy + z
代入波动方程得 2 E + k c2 E = 0 即 xy 同理可得磁场的类似方程
显然，平行双导线、同轴线以及带状线等能够 建立静电场，因此他们可以传播TEM波，而由单根导 体构成的金属波导中不可能存在静电场，因此金属 波导不可能传播TEM 波。 由式(7-5)可知，对于TM波，根据方程(7-8a)和 导波系统的边界条件，求出 E z 后，再考虑到 Hz = 0 ， 可得TM波的其他横向场分量为
第七章 导行电磁波 - 部分
由和及可得A=D=0；由和 可得：
mp kx = a
(m = 1, 2, 3L )
np ky = b
(n = 1, 2, 3L )
TE 波
最终解得TE波的Hz分量为：
Hz 0
骣 mp 鼢 骣 np 珑 = H 0 cos 珑 x 鼢 cos y 鼢 鼢 珑 b 桫a 桫
利用横向场与纵向场分量间的关系可得：
2 ?T E
0
2 ?T H
0
导波的一般分析方法
对于沿z 向均匀一致的波导，静态场Es满足：
Ñ 2E s = 0
类似的，恒定磁场Hs满足：
Ñ 2H s = 0
TEM波满足的横向算子场方程与上述两个方程完全相同， 边界条件也一样，其解也必然一样。 任一波导，若其结构能够支持静态场分布，即在横截面 上可建立满足二维拉普拉斯方程的场分布，则此波导可 传播TEM波；否则只能传播TE、TM或混合模式波。
kz = 骣 mp 鼢 骣 np 鼢 k2 - 珑 珑 鼢 珑 b 桫a 鼢 桫
2 2
对于一定的波导和模式，随频率不同，kz 可能为虚数、 实数和零。
截止频率与截止波长
k>kT， kz为实数，波可以传播；反之， kz为虚数，波 沿z 轴指数衰减，无法传播，这种现象称为截止。 当k=kT时， kz =0，在z 向不能形成导波，是导波在波 导中传播与截止的临界情况，故kT称为截止波数，一般 记为kc，它所对应的频率为截止频率fc。
m = - Z TEM = - Z 0 e
矩形波导中的导波
矩形波导的横截面为封闭的金属框，因此不支持静态场
2 E 分布，即 压T 2 0,压T H
0 ，故仅能传输TE或TM波而
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第七章 导行电磁波§7.1导行电磁波及其导行系统1 导行电磁波就是在导行系统（统称传输线，有时指波导）中传输的电磁波，简称导波。
2 在一个实际射频、微波系统里，传输线是最基本的构成，它不仅起连接信号作用，而且传输线本身也可以成为某些元件，如电容、电感、变压器、谐振电路、滤波器、天线等等。
3 传输线的主要指标：1）损耗。
损耗来源于导体、介质、辐射、模式转换；2）色散和单模工作频带宽度。
取决于传输线的结构；3）制造成本。
取决于是否可以集成。
4 几种典型微波传输线，结构演化、特点。
1）双线；2）同轴线；3）波导；4）微带线；5）介质波导与光纤；6）空间。
§7.2 导波的一般分析方法1导波的一般分析方法：先求出场纵向分量，然后由场纵向分量导出其余的场横向分量。
2 导波场横向分量与场纵向分量关系：Step1：设导波的传播方向（纵向）为z 方向，传播无衰减，传输线横截面保持不变，则有z jk z jk z z e y x H H e y x E E --==),(),(00（1）式中z k 是导波沿传播方向（z 方向）的传播常数，有2222222z T z y x k k k k k k +=++==μεω（2）把（1）式代入直角坐标系中的波动方程，简化后可得2222=+∇=+∇H k H E k E T T T T（3） Step2：将（1）式代入Maxwell 方程组的两个旋度方程，直角坐标系中展开后可得场横向分量与场纵向分量关系：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=y H x E k k k j H x H y E k k k j H x H k y E k k j E y H k x E k k j E z z z T z y zz z T z x z z z T z y z z z T z x ωεωεωμωμ2222（4） 在圆柱坐标系里也能导出类似的关系式。
3 由场纵向分量导出场横向分量方法的好处：1）简化计算：六个分量的求解简化为两个分量的求解。
场纵向分量相当于位函数。
2）便于波型分类4 导波波型的分类：1） TE 波（横电波，或H 波）：0=zE ，电磁场只有五个分量 2） TM 波（横磁波，或E 波）：0=z H 电磁场只有五个分量 3） TEM 波：0=z E 和0=zH ，电磁场只有四个分量 欲横向场存在，由（4）式可知，必须0=T k ，这样首先方程（3）变为22=∇=∇H E T T这样TEM 波的电磁场在横截面上的分布满足拉普拉斯方程，因此TEM 波的电磁场在横截面上的特性与静电场、静磁场一样。
其次（2）式变为222z k k ==μεω即TEM 波传播常数与相应自由空间的均匀平面波的传播常数一样。
由上述两点可得TEM 波存在条件：首先要有两个以上导体，其次传输线中的媒质是均匀媒质。
4）混合模：电磁场六个分量都有。
5 波阻抗－导波电磁场横向分量之间的关系在均匀平面波中，横向电场与横向磁场幅度之比值称为波阻抗，它仅仅与媒质参数有关。
在导波情况下，波阻抗不仅与波导填充媒质参数有关，还与导波频率有关，而且不同的波型，波阻抗也不同。
1）TE 波令方程（4）中0=zE ，可得 H z zyz yx HZ k HE k H E Z -=-===ωμωμH Z 具有阻抗的量纲，zyHE 为负值是因为导波传播方向是＋z 方向，不是－z 方向。
2） TM 波 同理H z zyzy x E Z k H E k H E Z -=-===ωεωε3） TEM 波在Maxwell 旋度方程中直接把0,0==zz H E 代入，展开后可得TEM xyz z yx TEMZ HE k k k H E Z -====== εμωεωεωμ4） 混合模：需要分解。
§7.3 矩形波导中的导波1 矩形波导横截面为封闭的矩形金属管，因此不能存在TEM 波，它的尺度一般与工作波长相当。
2 TM 波3 TE 波4 矩形波导中导波的模式： 由导波场强表示式可知，波导中的导波在横截面上的分布呈驻波状态，n m ,值分别代表沿x 方向，y 方向的驻波个数。
导波表示式中n m ,值的不同，导波的分布也不同，每种场分布（n m ,值）代表一个电磁场导波的模式。
实际波导里导波有什么模式存在，不仅取决于波导本身，也取决于波导激励或耦合的情况。
例如波导－同轴转换。
5 矩形波导的传播特性1）截止特性，截止波长与截止频率：： 矩形波导中的电磁波沿传播方向的分布规律是)(z k t j z e-ω，因此导波的传播特性决定于传播常数z k ，而z k 又决定于波导的横向尺寸和传播模式。
222222⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=b n a m k k k T z ππμεω如果频率高，有22T k k >，02>z k ，z k 为实数，导波在波导中传播无衰减；反之如果频率低，有22T k k <，02<z k ，z k 为虚数，设αj k z =，则矩形波导中的电磁波沿传播方向的分布规律是t j z z k t j e e ez ωαω--=)(，导波沿波导衰减，而且不再是波了，这种现象称为截止。
两者情况之间的临界状态T k k =下的波长称为截止波长c λ，频率称为截止频率c f ，波数称为截止波数)(c T c k k k =。
截止波数22⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=b n a m k c ππ它只与矩形波导尺寸和模式参数有关，与介质参数无关。
截止波长：Tc c k k ππλ22==对于矩形波导：222222⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=b n a m b n a mc πππλ它只与矩形波导尺寸和模式参数有关，与介质参数无关。
这个结论也适合其它结构的金属波导。
截止频率：μεπλ2c cc k vf ==对于矩形波导：22212⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==b n a m k f cc μεμεπ 它不但与矩形波导尺寸和模式参数有关，而且与介质参数也有关。
2）这些参数的意义：截止波长、截止频率和截止波数都与电磁波的工作频率f 无关，它们反映了波导本身的特性。
一个具体电磁波在波导中的传播特性，取决于改电磁波的工作频率、波导的截止频率等波导结构参数。
可分为以下几种情况：A ：工作频率大于截止频率：c f f >，这时满足这些条件的电磁波模式可以在波导中传播。
B ：工作频率小于截止频率：c f f <，满足这些条件的电磁波模式不能在波导中传播。
C ：工作频率等于截止频率：c f f =。
3）再论模式，模式兼并：mn TM 与mn TE 模截止波长、相速等传播特性完全一样，但两者的场分布不一样。
这种现象称为模式简并。
一般要避免这种现象发生，方法是结构上抑制。
4）波导工作方式，主模与高次模 6 ：例子1：波导的单模工作范围。
例子2：同轴－波导转换7 矩形波导中导波的相速、波导波长与色散特性2222222111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=c c c c T z k f f k k k k k k k k k λλ等相面方程：C z k t z =-ω 相速度：22211/1/)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-===c c c zmn p v f f kk k kk dt dz v λλωωω首先波导中的相速大于光速，是快波。
其次，这种相速与频率有关的现象称为色散现象，在波导中的这种色散不是由于波导的填充媒质的色散引起，而是由波导的结构引起的。
称为波导色散。
导波波长（相波长）：22211122)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==c c c zmn g k k k k k k λλλλππλ8 波阻抗§7.4 矩形波导中的场分布（场结构）1波导中的场分布（场结构）：通常指波导中的电力线、磁力线和电流线分布，即关于场的形象描述（场的可视化）。
方法是由波导中的电磁场表示式出发，画出电力线、磁力线和电流线。
2掌握波导中的场分布的用途：1）理解，2）分析耦合、激发、辐射。
3）模式抑制。
3 波导中10H 模式的电场分布即电力线：0)sin(00)sin()cos(0=-=====---xz jk x y zyz jk x z x z jk z Ee x aH k j E E He x a H k k j H e x aH H z z z πωμππ4波导中10H 模式的磁场分布即磁力线： 5 波导中10H 模式的电流分布即电流线：波导内部只有位移电流：E j tD J d ωε=∂∂=故只要把电力线图沿传播方向z 向前移动4/g λ即位移电流分布图。
内壁上的表面电流：H n J l⨯=6 画场分布注意：1）mn E H )/(中的m 代表波导x 方向该模式驻波数（也就是半波长数），n 代表波导方向该模式驻波数（也就是半波长数）。
2）mn E H )/(模式的场分布可以由11)/(E H 的场分布组合出。
3）同时注意场分量与xy 坐标的函数关系以及各个场分量之间的相位关系。
4）电力线、磁力线关系再描述：2/π相位与不再环绕，实际同步；在波导不一定要成环。
7 波导中场分布的应用例子：测量线，裂缝天线，波导－同轴转换，模式抑制。
§7.5 7.6 7.9圆波导及其他波导结构1 圆波导2 脊波导3 减高波导4 过模波导5 同轴线6 介质波导7 带状线8 微带§7.7 波导中的传输功率与导波的衰减1 波导最大传输功率：不考虑波导的介质损耗和导体损耗，并设行波状态，则波导各个横截面上的传输功率一样，为波导横截面上轴向平均坡印亭矢量的面积分。
ds H Z ds E Z ds S s d S P s T s T avz s s avz ⎰⎰⎰⎰===⋅=22221 对矩形波导中的10H 模，设)sin()sin(0x aE x a H k E m x y ππωμ==代入上式，有2221410m TE E a ab P ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λμε 如果波导填充媒质的击穿强度是b E ，则行波状态下波导传输10H 模的最大极限功率是22214b b E a ab P ⎪⎭⎫⎝⎛-=λμε2影响波导最大传输功率的因素：1） 由上式可见波导最大传输功率正比于波导横截面面积，而且越接近截止状态，最大传输功率就越小。
2）潮湿：潮湿会减小b E ，从而减小最大传输功率。
3）驻波：驻波越大，最大传输功率越小。
4）波导内部表面平整度：越粗糙，最大传输功率越小。