最新二重积分(1)
二重积分(1)第9章重积分9.1 二重积分1 学习指导1.基本要求⑴理解二重积分的概念，知道二重积分的性质。
⑵掌握二重积分的计算方法，能够熟练地计算各种类型的二重积分。
⑶会利用二重积分解决几何、物理中的主要应用。
2.重点与难点重点二重积分的概念、计算和在几何、物理中的主要应用。
难点计算二重积分时选择合适的坐标系、积分顺序并恰当地配置累次积分的积分限，二重积分在物理上的应用。
3.学习方法⑴二重积分是定积分的推广，因此研究方法、定义、性质都是类似的，学习时应与定积分类比，温故知新，并注意有些性质的几何意义，以便理解和记忆。
⑵计算二重积分的关键是在直角坐标系或极坐标系下将其化为累次积分，选择坐标系和累次积分顺序的目的是使计算简便，它包含两点：一是对被积函数易于寻求原函数；二是对积分区域分块要少且定限容易，当二者不能兼顾时，一般以简化积分区域为主。
通常，当区域是圆形域、扇形域、环形域或它们的一部分，被积函数含有因子«Skip Record If...»或«Skip Record If...»等形式时，利用极坐标计算较简便，其余情况多采用直角坐标系，有时需利用变量代换去计算二重积分。
⑶化二重积分为累次积分的一般方法是“画图定限法”，即画出积分区域«Skip Record If...»的草图，将它分割成几个简单区域（«Skip Record If...»型区域，«Skip Record If...»型区域或«Skip Record If...»型区域），在直角坐标系下是先对哪个变量积分，就在区域«Skip Record If...»上画哪个坐标轴的平行线，而在极坐标系下，则是从原点出发画射线，以此确定累次积分的上下限，此法可形象地叙述为“域中一线插，内限定上下，域边两线夹，外限利用它”。
当区域«Skip Record If...»的草图不易画出时，可以采用“代数定限法”，即联立区域边界曲线组成的不等式组来分别确定各积分变量的变化范围，从而得到累次积分的各个积分限，有时也兼顾应用两种方法综合定限，注意将二重积分化为累次积分时先积分的上下限是常数或后积分的积分变量的函数，而后积分的积分上下限都为常数；同时，两次积分的下限都小于上限，切不可弄错。
⑷计算二重积分时，还须考虑积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，尽可能地简化积分计算，在审题过程中注意以下几个原则：一是图形的对称性及被积函数的奇偶性；二是坐标系的选择；三是积分次序的先后顺序；四是计算定积分的准确性，从而更好掌握这一单元的学习。
⑸在计算及理论研究中，有时需要对已知二次积分变换积分顺序，更换的方法是：由已知二次积分的上下限，写出表示积分区域«Skip Record If...»的不等式组，画出积分区域«Skip Record If...»的草图，应注意不论已知二次积分由几项组成，区域«Skip Record If...»的草图都要在一个坐标系下画出，然后根据区域«Skip Record If...»的草图，确定另一种顺序的二次积分的上下限，有时还需改变坐标系后再确定相应的二次积分的上下限。
⑹二重积分的元素法既是定积分微元素法的推广，也是三重积分、曲线积分、曲面积分元素法的基础，应掌握用二重积分元素法导出的解决几何和物理问题的计算公式，这不仅可解决二重积分的应用问题，还可以把这些公式推广到三重积分和线、面积分中去。
一般而言，只需将公式中的积分号“«Skip Record If...»”分别改为相应的积分号“«Skip Record If...»”、“«Skip Record If...»”或“«Skip Record If...»”，被积函数从二元函数改为相应的多元函数。
应用积分方法解决应用问题的一般步骤如下：①分析问题是否为积分问题，即所求量是否对积分区域具有可加性，若是，进行步骤②。
②选择某一种积分，使所求的几何量或物理量能用该积分清楚地表示出来。
③选取适当坐标系，并作草图，使积分表达式简单，定限方便且容易计算，注意选择坐标系时，一般应考虑对称性。
④写出积分表达式并计算所求量。
2 解题指导1.二重积分的性质例1设积分区域«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»«Skip Record If...»⑴比较«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的大小，并说明理由；⑵«Skip Record If...»对吗？为什么？⑶«Skip Record If...»对吗？为什么？分析这是利用二重积分性质来讨论二重积分的问题，比较被积函数相等的两个二重积分的大小，需比较两个积分区域的大小，即比较«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的大小，关键是判别区域«Skip Record If...»和«Skip Record If...»与被积函数的关系，需用估值定理确定被积函数在«Skip Record If...»上的最大值和最小值。
解⑴作区域«Skip Record If...».已知«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，由估值定理有«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的面积）。
又知«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»，«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的面积）。
«Skip RecordIf...»与«Skip Record If...»关于«Skip Record If...»对称，有«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»⑵«Skip Record If...»由⑴知«Skip Record If...»故«Skip Record If...»⑶«Skip Record If...»由«Skip Record If...»知，«Skip Record If...»关于«Skip Record If...»对称，区域«Skip Record If...»也关于«Skip Record If...»对称，从而有«Skip Record If...»故 «Skip Record If...».例2证明«Skip Record If...».分析这是一个二重积分不等式证明题，注意到«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的定义域相同，可对«Skip Record If...»估值，再整理化简，利用不等式及二重积分的性质证明。
证作区域D，由二重积分性质，有«Skip Record If...»因为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...».由于«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»，即«Skip Record If...».又因为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»,«Skip Record If...»«Skip Record If...».2.二重积分的计算例3计算下列各题：⑴«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是由抛物线«Skip Record If...»及直线«Skip Record If...»所围的区域；⑵«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»；⑶«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为顶点的三角形；⑷«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...».解题思路计算二重积分的一般步骤是：⑴画出区域的草图；⑵正确选择坐标系；⑶化为二次积分，注意在直角坐标系下应正确选择积分顺序；⑷计算二次积分。
解⑴作区域，在直角坐标系下，若先«Skip Record If...»后«Skip Record If...»积分。
积分区域要分成«Skip Record If...»和«Skip Record If...»，若先«Skip Record If...»后«Skip Record If...»积分。
则无需分块。
方法1先对«Skip Record If...»后对«Skip Record If...»积分，有«Skip Record If...».方法2先对«Skip Record If...»后对«Skip Record If...»积分，有«Skip Record If...».⑵作区域，在直角坐标系下计算，注意到积分上下限均为常数，则由被积函数决定先对«Skip Record If...»积分或先对«SkipRecord If...»积分。
高等数学年最新二重积分PPT课件
(i1,2,..n.)
o
x
D
即
Vi f(xi,yi)i
zf(x,y)
•
i
y (i,i)
(3)求和 把这些小曲积 顶的 柱近 体 f(i似 ,的 i) 值 体 i加起来
就得到所求的曲顶柱体的体积的近似值，
即
n
n
V Vi f(xi,yi)i
i1
i1
（4）取极限 当把区D域 无限细分时，即小当区所域有最大
取(一 i,i)作 点 , f乘 (i,i)积 i
n
并作和f(i,i)i. i1
如果当个小闭区域的直径中的最大值 趋于零时，
则称此极限f(为 x,y)在 函闭 数区 D上 域的二重积分，
f(x,y)d,即
D
n
Df(x,y)dl i0m i1f(i,i)i.
其D 中 为积分 f(x,区 y)叫 域 做 ， 被f(积 x,y)d 函 叫数 做，
柱体的体积，则 （2）近似
n
V Vi i 1
由于 f(x,y)是连续的，在分细割的相情当况下
可以把小曲 看 顶 作 柱 平 体 顶 近 柱 似 每 体 个 ， i上因 任此 取
一点 i,（ i） ,第 i个小曲顶柱就 体可 的近 体似 积看 ， f（i,i）为高而 底 i的为 平顶柱体的体积
z
由于面(密 x,y)度 是变量，薄片 能的 直质 接量 用不 密 公式 M（ S）来计(算 x,y)是 。连 但续的， 思利 想用 ，
薄片分成许只 多要 小小 快快 后所 ， 域 占 i的 的直 小径 闭 很小，这些 近 小 似 快 地 就 看 可 作 以 在 均 i(在 匀小 薄闭 片
区域的面 积 i)上 也任 记取 (作 i,一 i)则 , 点
二重积分的计算法[精编文档]
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一、利用直角坐标计算二重积分
X-型积分区域 Y-型积分区域
二、利用极坐标计算二重积分
将二重积分化为二次积分 与直系下二次积分互化
一、利用直角坐标计算二重积分
直角坐标系下化二重积分为二次积分
由曲顶柱体体积的计算可知,
当被积函数 f (x, y) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
f x, y 关于x奇，D关于y轴对称
0,
f
x, y
关于y奇，D关于x轴对称
D
f
x,
y
dxdy
2
f
x,
y
dxdy
f x, y 关于x偶，
D关于y轴对称
D`1
f x, y 关于y偶，
D关于x轴对称
f x, y f (x, y), 称f(x,y)关于x为奇， f x, y f (x, y), 称f(x,y)关于x为偶，
例1. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
r d r d
2
d
0
a rer2 d r
0
(1 ea 2 )
由于 ex2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
例2：求I= y2 3x 6 y 9 dxdy,其中: x2 y2 a2.
例5. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
及直线
所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
则
D
:
y
1
2
y x
2 y
2
重积分—二重积分的计算(高等数学课件)
1
y2
2 1
1 2
x
2
y
y y
2
2
dy
1 2
2 [ 1
y(
y
2)2
y5 ] dy
45 8
x y2
2
o1 (1,1)
y x2 (4,2)
x
课程小结
本讲主要讲了X型区 域和Y型区域的区 分，通过例题学习 在两种区域下二重 积分转化成累次积 分的计算方法。
重积分
直角坐标系中二重积分的计算 （三）
知识点讲解
1.一般型区域
1.二元极限定义
边界为分段光滑曲线的有界闭域,一般可把它分解成有限个除边界外无公共
内点的 X 型区域或 Y 型区域.
y
如图a 所示, D 被分解成三个区域, 其中I 、III 为X 型
区域,II 为 Y 型区域.
III
II D
I
O
x
图a
2.例题分析
1.二元函数极限
例1 设 D ( x, y) 2x x2 y2 4x , f ( x, y) 为 D上的连
y
D2 ( x, y) 4x x2 y 2x x2 ,0 x 2 , O
D3 ( x, y) 4x x2 y 4x x2 , 2 x 4 .
所以有
I
2
dx
4 x x2
2
2xx2
f ( x, y)dy dx
f ( x, y)dy
0
2 x x2
0
4xx2
变换公式
i
1 2
(ri
ri )2 i
1 2
ri2i
1 2
(2ri
ri )rii
ririi
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在高等数学的学习中，二重积分是一个重要的概念和工具，它在解决许多实际问题和理论推导中都有着广泛的应用。
理解和掌握二重积分的计算方法对于我们深入学习数学以及解决相关的实际问题至关重要。
首先，让我们来明确一下二重积分的定义。
二重积分是在平面区域上对某个二元函数进行积分。
简单来说，就是把平面区域划分成许多小的区域，然后对每个小区域上的函数值乘以小区域的面积，再把这些乘积相加。
接下来，我们来介绍几种常见的二重积分计算方法。
一、直角坐标系下的计算方法在直角坐标系中，二重积分可以表示为两种形式：先对 x 积分再对y 积分，或者先对 y 积分再对 x 积分。
当我们选择先对 x 积分时，我们需要把积分区域投影到 x 轴上，确定 x 的积分限。
然后，对于每个固定的 x 值，在对应的垂直于 x 轴的线段上确定 y 的积分限。
例如，对于积分区域 D 是由直线 y ＝ x ，y ＝ 1 以及 x ＝ 0 所围成的三角形，我们要计算二重积分∬D f(x,y)dxdy。
先对 x 积分，x 的积分限是从 0 到 y ，y 的积分限是从 0 到 1 。
则可以将二重积分化为累次积分：∫₀¹(∫₀ʸ f(x,y)dx)dy 。
同样，如果先对 y 积分，就把积分区域投影到 y 轴上，确定 y 的积分限，然后再确定每个固定 y 值对应的 x 的积分限。
二、极坐标系下的计算方法在某些情况下，使用极坐标系来计算二重积分会更加方便。
极坐标系中的坐标是（r,θ) ，其中 r 表示点到原点的距离，θ 表示极角。
在极坐标系下，二重积分的表达式为∬D f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ 。
比如，对于圆形或者扇形的积分区域，使用极坐标系往往能简化计算。
例如，计算以原点为圆心，半径为 R 的圆上的二重积分，积分区域 D 为 x²＋y² ≤ R² 。
在极坐标系中，r 的积分限是从 0 到 R ，θ 的积分限是从 0 到2π 。
二重积分的算法
二重积分的算法二重积分是微积分中的重要概念之一，它在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。
二重积分的算法是求解二重积分的方法和步骤，下面将介绍二重积分的算法。
一、二重积分的定义二重积分是对二元函数在有界闭区域上的积分。
设函数f(x,y)在闭区域D上有定义，其中D是一个有界闭区域，D的边界可以用一组参数方程x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b表示。
则称函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分为：∬D f(x,y) dxdy二、二重积分的计算方法二重积分的计算方法有多种，常见的有直角坐标系下的直接计算法和极坐标系下的极坐标变换法。
1. 直接计算法直角坐标系下的直接计算法是将二重积分转化为两个一重积分的叠加，按照积分的定义逐个计算。
具体步骤如下：（1）确定积分区域D的范围和方向；（2）将二重积分转化为两个一重积分，先对y进行积分，再对x进行积分；（3）根据积分区域D的范围和方向，确定积分的上下限；（4）按照一重积分的定义计算每个一重积分；（5）将两个一重积分的结果相加，得到二重积分的结果。
2. 极坐标变换法极坐标系下的极坐标变换法是通过极坐标系下的变换公式将二重积分转化为极坐标系下的一重积分。
具体步骤如下：（1）确定积分区域D的范围和方向；（2）通过极坐标变换公式将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的一重积分；（3）根据积分区域D的范围和方向，确定极坐标下的积分范围和方向；（4）按照一重积分的定义计算极坐标下的一重积分；（5）得到极坐标下的一重积分后，根据极坐标变换公式将其转化为直角坐标系下的二重积分。
3. 其他计算方法除了直接计算法和极坐标变换法外，还有其他一些特殊情况下的计算方法，如利用对称性、变量替换等方法进行计算。
具体使用哪种方法取决于具体的问题和积分区域的特点。
三、二重积分的性质二重积分具有一些重要的性质，包括线性性、保号性、保序性、可加性等。
这些性质在计算二重积分时起到了重要的作用，可以简化计算过程和提高计算效率。
最新-第二节二重积分的计算方法-PPT文档资料
曲面 zf( x ,y ) 为曲顶柱体的体积．
用平面x=x0截立体， z 截得A(x0). 应用计算 “平行截面面积为 已知的立体求体积” y 的方法, y ( x ) 2
bx0 )
a
x
y ( x ) 1 得 f ( x , y ) dxdy dx ( x , y ) dy . f
1 2 2
x e dxdy ( 0 , 0 ), ( 1 , 1 ), 例 5 求 ， 其 中 D 是 以
D
2 2 y
( 0 , 1 ) 为 顶 点 的 三 角 形 .
e dy 解 无 法 用 初 等 函 数 表 示
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
2 y
x e
D
1 0
第二节
二重积分的计算方法
二重积分的计算可以按照定义来进行， 同定积分按照定义进行计算一样，能够按照 定义进行计算的二重积分很少，对少数特别 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 本节介绍一种计算二重积分的方法—— 把 二重积分化为二次单积分（定积分）来 计算。
2 a 2 a
2
dy x ,y ) dx . dy ( x , y ) dx y f( 2 2f a 0 a a y
2 a
2a
D ( x y ) dxdy 例 4 求 ， 其 中 是 由 抛 物 线
2
y x x y 和 所 围 平 面 闭 区 域 .
根据二重积分的几何意义：二重积分是以 为顶的曲顶柱体的体积。故可以考虑用定积分应用中求 平行截面面积为已知的立体的体积的方法。
zf (x ,y )
o
a
dx x x
二重积分定理公式
二重积分定理公式
二重积分公式是f(x,y)≦g(x,y)。
设二元函数z=f（x，y）定义在有界闭区域D上，将区域D任意分成n个子域，并以表示第个子域的面积。
在上任取一点作和。
如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时，此和式的极限存在，且该极限值与区域D的分法及的取法无关，则称此极限为函数在区域上的二重积分，记为，即。
这时，称在上可积，其中称被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分区域，称为二重积分号。
二重积分应用
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。
某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
例如二重积分,其中，表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积。
二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数字。
因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
如函数，其积分区域D是由所围成的区域。
其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。
对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。
二重积分的概念及性质
积分区域的可加性
该性质可以用于简 化复杂的积分区域， 将复杂区域分解为 简单区域进行计算。
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则 它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二 重积分。即，如果D=D1∪D2，则 ∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
二重积分的概念
二重积分的计算方法是通过将区域划分为一系列小的矩形或平行四边 形，然后计算每个小区域的面积并求和。 二重积分是定积分的一种扩展，它涉及到两个自变量的积分。在二维 平面中，二重积分表示一个函数在某个区域上的面积。
二重积分的几何意义
如果函数在某个区域上取负值，那么二重积分表示该函数与该区 域围成的区域的面积的负值。 二重积分的几何意义是二维平面上的面积。具体来说，如果一个 函数在某个区域上非负，那么二重积分表示该函数与该区域围成 的面积。
得出结果
将所有小矩形的积分结果相加，得到整个矩形区 域上的二重积分值。
转换坐标 将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。 分层积分 将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。 逐个计算 对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。 得出结果 将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。 极坐标下的二重积分计算
任意形状区域
对于任意形状的平面区域，可以通过分割成若干 个小区域，对每个小区域进行积分，然后将结果 相加得到总面积。
平面曲线段的长度计算
直线段
对于直线段，其长度即为该直线的方程在给定区间上的积分。
圆弧
二重积分的计算法08PPT课件
D
4x
y x2
xyd xyd xyd
D
D1
D2
xyd xyd xyd
D
D1
D2
1
x
4
x
dx xydy dx xydy
0
x
1
x2
计算比较麻烦
例3 求 I y 1 x2 y2 d ,
D
D : y x, x 1, y 1所围.
y
解 D既可看作X型也可Y型
]12
9 8
1 x2x
解法2 把D看成Y型域，则
D : y x 2,1 y 2,
2
2
xyd 1 dyy xydx
D
2
[y
1
2
x2 2
y
]2y
3
dy
(2 y )dy
1
[y2
y4 8
2
]12
9 8
y
2 y
yx
1
o 1 2x
例2 计算 xyd ，其中D是由抛物线
D
y2 =x 及直线 y 2x, x 1, x 2
所围成的区域.
若改为先对x后对y积分,
2
2x
2
y
1 dxx f ( x, y)dy 1 dy1 f ( x, y)dx
4
2
dy 2
y f ( x, y)d x .
2
y
4
yx 22xy
D1 : 1 x y, 1 y 2 2
D2
a xb
若D（X型）：1 x y 2 x ,a x b
则
f ( x, y)dxdy
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
二重积分的计算公式
二重积分的计算公式二重积分是微积分中的基本内容之一，它用于计算平面上一些区域内的一些函数的面积或者平面质量分布等问题。
在进行二重积分计算时，首先需要确定被积函数、积分区域以及坐标系，然后通过适当的积分方法进行计算。
本文将介绍二重积分的计算公式及其应用。
一、二重积分计算公式1.矩形区域上的二重积分考虑一个定义在矩形区域D上的函数f(x,y)，该区域上的二重积分可以通过将该区域分为许多小的矩形区域，并对每个小区域内的函数值进行求和，再取极限的方法进行计算。
设矩形区域D的边界为a≤x≤b，c≤y≤d，将其进行分割，得到对应的小矩形区域ΔxΔy，将f(x,y)在该矩形区域上的积分记为ΔI。
则整个矩形区域上的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dA = lim Δx,Δy→0 Σf(x,y)ΔxΔy其中Σ表示对所有小矩形区域进行求和，lim表示小矩形区域的数量趋于无穷小。
2.二重积分的换元法在计算二重积分时，有时可以通过变量替换将原来的积分变为更加简化的形式，这种方法称为换元法。
换元法的基本思想是将原坐标系中的二重积分转化为新坐标系下的二重积分，并通过求导和求逆变换的方法进行计算。
设原坐标系为（x,y），新坐标系为（u,v），变换公式为x=x(u,v)，y=y(u,v)，则原坐标系中的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dA = ∬D′f[x(u,v),y(u,v)]，J(u,v)，dudv其中D′为新坐标系下的区域，J(u,v)为变换矩阵的行列式，J(u,v)，为其绝对值。
二、二重积分的应用1.几何应用二重积分常常用于计算平面几何中的面积和质心等问题。
例如，可以通过对平面上一个区域内的特定函数进行二重积分来计算该区域的面积，并可以通过对函数的乘积进行二重积分来计算该区域的质心位置。
2.物理应用二重积分在物理学中具有广泛的应用，特别是在计算质量分布、重心位置和力矩等问题上。
例如，可以通过对平面上一些区域的质量分布函数进行二重积分来计算该区域的总质量，并可以通过对质量分布函数与各点与一些轴线的距离的乘积进行二重积分来计算该区域对该轴线的力矩。