9.1-1二重积分的概念
高等数学第七版教材下册目录
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一、导言
1.1 数学的起源和发展
1.2 高等数学的地位和作用
1.3 数学的基本概念
二、极限与连续
2.1 数列的极限
2.1.1 数列极限的定义
2.1.2 数列极限的性质
2.2 函数的极限
2.2.1 函数极限的定义
2.2.2 函数极限的运算法则
2.3 极限存在定理
2.3.1 夹逼定理
2.3.2 单调有界定理
2.4 无穷大与无穷小
2.4.1 无穷大的定义与性质 2.4.2 无穷小的定义与性质
2.5 连续与间断
2.5.1 连续的定义与性质
2.5.2 间断点的分类与性质
三、导数与微分
3.1 导数的定义与性质
3.1.1 导数的定义
3.1.2 导数的基本性质
3.2 基本初等函数的导数
3.2.1 幂函数的导数
3.2.2 指数函数与对数函数的导数
3.2.3 三角函数与反三角函数的导数
3.3 高阶导数与高阶微分
3.4 隐函数与参数方程的导数
3.5 微分中值定理
3.5.1 罗尔中值定理
3.5.2 拉格朗日中值定理 3.5.3 柯西中值定理
四、微分中值定理与舍误
4.1 函数的单调性与极值
4.1.1 单调性的判定
4.1.2 极值的判定
4.2 函数图形的描绘
4.2.1 函数的对称性
4.2.2 渐近线与拐点
4.3 泰勒公式与泰勒展开
高等数学上册教材目录
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1. 微积分导论
1.1. 实数与数集
1.1.1. 实数的概念与性质
1.1.2. 数集的分类与运算
1.1.3. 上确界与下确界
1.2. 极限与连续性
1.2.1. 函数极限的定义
1.2.2. 极限的性质
1.2.3. 无穷小量与无穷大量
1.2.4. 连续性的定义与性质
2. 函数与极限
2.1. 函数的基本概念
2.1.1. 函数的定义与表示
2.1.2. 函数的图像与性质
2.2. 函数的极限
2.2.1. 函数极限的计算方法 2.2.2. 无穷小量对函数极限的影响
2.3. 极限存在与连续性
2.3.1. 极限存在的条件
2.3.2. 连续函数与间断点
3. 导数与微分
3.1. 导数的概念与性质
3.1.1. 导数的定义
3.1.2. 导数的运算法则
3.1.3. 高阶导数与导数的应用
3.2. 微分的概念与应用
3.2.1. 微分的定义与计算
3.2.2. 微分中值定理与导数的应用
3.3. 函数的凸性与最值
3.3.1. 函数的单调性与凸性
3.3.2. 最值问题与应用
4. 微分中值定理与导数应用
4.1. 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理 4.2. 柯西中值定理与洛必达法则
4.3. 震荡定理与不等式的应用
4.4. 张贴问题与曲线追踪
5. 积分与不定积分
5.1. 积分的概念与性质
5.1.1. 不定积分的定义
5.1.2. 积分运算法则
5.2. 牛顿-莱布尼兹公式与变限积分
5.2.1. 牛顿-莱布尼兹公式的应用
5.2.2. 变限积分的计算
5.3. 定积分的概念与性质
5.3.1. 定积分的定义
微积分（刘迎东）第九章习题答案
9.1 二重积分的概念与性质
习题9.1
1. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：
（1） 2
Dxyd
与3
Dxyd
，其中积分区域
D为由
x轴、
y轴与直线
1xy所围成。
解：因为在
D上，23
xyxy，所以23
DDxydxyd
。
（2） 2
Dxyd
与3
Dxyd
，其中积分区域
D为由圆周
22
212xy所围成。
解：因为在
D上，23
xyxy，所以23
DDxydxyd
。
（3）
ln
Dxyd
与2
ln
Dxyd
，其中积分区域
D为三角形闭区域，
三顶点分别为
1,0,1,1,2,0.
解：因为在
D上，2
lnlnxyxy
，所以
2
lnln
DDxydxyd
。
（4）
ln
Dxyd
与2
ln
Dxyd
，其中
,35,01Dxyxy。
解：因为在
D上，2
lnlnxyxy
，所以
2
lnln
DDxydxyd
。
2. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：
（1）
DIxyxyd
，其中
,01,01.Dxyxy
解：在
D上，
02xyxy，所以
02.I
（2）22
sinsin
DIxyd
，其中
,0,0.Dxyxy
解：在
D上，22
0sinsin1xy，所以2
0.I
（3）
1
DIxyd
，其中
,01,02.Dxyxy
解：在
D上，
114xy，所以
28.I （4）
22
49
DIxyd
，其中
22
,4.Dxyxy
解：在
D上，22
134925xy，所以
高等数学 重积分 (9.1.2)--重积分的概念与性质
习题9-1 习题 9.1
1. 利用二重积分的几何意义，求下列积分的值.
(1) d
Dh
，其中h
为常数，D
为圆形闭区域22
1xy;
(2)
22
1d
Dxy，其中D
为圆形闭区域22
1xy;
(3)
2
9d
Dy，其中[0,4][0,3]D.
2. 用重积分表示下列物理量.
(1) 位于xOy平面上，占有闭区域D，电荷连续分布(面密度为(,)xy)的带电薄板上的
全部电荷Q;
(2) 铅直浸没于水中，占有xOy平面上闭区域D(其中x轴铅直向下, y轴位于水平面上)
的薄板一侧所受到的水压力F
;
(3) 半径为R的非均匀球体(其上任一点的密度与球心到该点的距离成正比)的质量m
.
3. 利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小.
(1) 2
1()d
DIxy与3
2()d
DIxy.
(a) D是由x轴，y轴及直线1xy所围成的闭区域；
(b) D是由圆周22
(2)(1)2xy
所围成的闭区域.
(2)
1edxy
DI与2
2edxy
DI.
(a) D是矩形区域01x，01y;
(b) D是矩形区域10x，01y.
(3) 2
1sin()d
DIxy与2
2()d
DIxy，其中D是任一平面有界闭区域.
4. 利用二重积分性质, 估计下列积分的值.
(1) ()d
DIxyxy，其中
,|01,01Dxyxy；
(2) 22
sin()d
DIxy, 其中22π3π
,|
44Dxyxy
;
(3) d
ln(4)
DI
xy
，其中
,|04,08Dxyxy;
(4) 22
edxy
DI
，其中221
,|
4Dxyxy
.
5. 设函数(,)fxy在区域D
内连续,
又
222
00(,)()()
rDxyxxyyr
高数下册之重积分
第九章 重积分
以前我们学过一元函数的积分字,若f(x)在(a，b)上可积，到积分badxxf)(其中)(xf为被积函数，（a，b）为积分区间。我们若把)(xf推广到多元函数。(a，b)推广到区域。曲线，曲面等危围上去，便得到重积分，曲线积分，曲面积分等，本章只讲二重积分。〖补充〗：这章的所有图形请老师自己为学生画出，并讲述画图的经过！
第一节 二重积分的概念和性质
一、二重积分的概念
先讲二个具体的问题：（1）、求曲顶柱体体积。（二）求平方薄片的质量。
（一） 求曲顶柱体体体积：
设z=f(x.，y)是定义在有界区域性D上的非负连续函数。我们称曲面z=f(x，y)，xoy平面上的区域D和准线为D的边界，母线平行于z轴的柱体所围成的立体为曲顶柱体。现在的问题是求这个曲顶柱体的体积V。
首先用一组曲线T把区域D划分为n个小区域i（i=1，2，…,n）这样就把原柱体分为n个小曲顶柱体Vi。又记i为Ti的面积，λi为i的直径，对于i来说，由于f(x，y)在i连续。故当λi很小时，f(x，y)在i上各点的函数值近似相等，从而可视i上的曲顶柱体为平顶柱体，为此在i中任放一点以),(iif为高的小平顶柱体的体积为iiif),(。并用它来代替这个小曲顶柱体的体积Vi把所有这些小平顶柱体的体积加起来便得曲顶柱体的体积的近似值：
NiNiiiiifV11)(
最后，当分割T的细度OMaxTi时有：
NiiiiVf1)(
即：iiiTfV),(lim0
（2）、平面薄电的质量
设薄电占有xoy平面上的区域D且在点（x、y）的D外的面密度为P（x，y）>O求该平面薄纯的质量M。
如果P(x，y)为常数p那么该薄电的均匀薄电，质量为p*S。
当p(x，y)不是常数时其求法同（1）相符。
首先，把该薄电划分为n小块i。当i直径i很小时，由于p(x，y)在i上连续，可视每小块为均匀薄片。在i上任意一点（ii,），则每一块的质量近似的iiiP),(。进一步：用niiiiP1),(代替整个薄电的质量。且当0iMax时，有iNiiiM10),(lim。
北京专升本高等数学一教材
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在编写标题为“北京专升本高等数学一教材”的文章时，我将按照教材的格式进行撰写。以下是文章的正文内容：
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北京专升本高等数学一教材
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第一章：数列与极限
1.1 数列的概念与性质
1.2 数列极限的定义与性质
1.3 数列极限的计算方法
第二章：函数与极限
2.1 函数的概念与性质
2.2 函数的极限与连续性
2.3 函数的间断点及其分类
第三章：导数与微分
3.1 导数的定义与性质 3.2 常用函数导数的计算方法
3.3 微分的概念与性质
第四章：一元函数的性质与应用
4.1 函数的单调性与极值
4.2 函数的凹凸性与拐点
4.3函数的应用：最优化问题
第五章：定积分与不定积分
5.1 定积分的定义与性质
5.2 不定积分的定义与性质
5.3 定积分与不定积分的计算方法
第六章：微分方程
6.1 微分方程的概念与基本形式
6.2 一阶常微分方程的解法
6.3 高阶常微分方程的解法
第七章：数学建模
7.1 建模的基本思路与步骤
7.2 问题求解的数学模型建立 7.3 建模实例及其解析
第八章：多元函数与偏导数
8.1 多元函数的概念与性质
8.2 偏导数的定义与计算方法
8.3 多元函数的极值及其应用
第九章：多元函数的积分
9.1 二重积分的定义与性质
9.2 三重积分的定义与性质
9.3 多元积分的计算方法及其应用
第十章：无穷级数与幂级数
10.1 数项级数的概念与性质
10.2 幂级数的收敛与展开
10.3 幂级数的应用及其收敛域
结束语：
通过学习本教材，希望能够加深对高等数学一的理解和掌握，并为应对北京专升本考试做好充分准备。同时，通过理论与实践相结合的讲解方式，本教材旨在帮助学生更好地应用数学知识解决实际问题，并培养学生的数学建模能力。 ——————————————————————————————————————————
高等数学讲义2
第八章：多元函数微分
8.1 多元函数的极限与连续性
8.1.1 定义 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P0(x0,y0)是D的内点或边界点。如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式
的一切点P(x,y)∈D,都有|f(x,y)-A|
成立，则称常数A为函数f(x,y)当 x→x0,y→y0时的极限，记作
或f(x,y) →A (ρ→0),这里ρ=|PP0|。
例 设 （x2+y2≠0），
求证。
因为，
可见，对任何ε>0，取，则当
时，总有
成立，所以。
我们必须注意，所谓二重极限存在，是指P（x,y）以任何方式趋于P0（x0,y0）时，函数都无限接近于A。
定义 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P0(x0,y0)是D的内点或边界点且P0∈D。 如果
则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)连续。
8.1.2 性质
性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最小值和最大值。
性质2（介值定理） 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域，是指包含在定义域内的区域或闭区域。
由多元初等函数的连续性，如果要求它在点P0处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即
。
8.2 偏导数的定义及计算法
8.2.1 定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应的函数有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0),
如果
存在，则称此极限为函数z=f(x,y) 在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作 或 fx（x0，y0）。
对于函数z=f(x,y)，求时，只要把y暂时看作常量而对y求导。
例 求z=x2sin2y的偏导数。
高等数学同济下册教材目录
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第一章 无穷级数
1.1 数项级数
1.1.1 数项级数的概念
1.1.2 数项级数的性质
1.1.3 极限形式的级数
1.2 幂级数
1.2.1 幂级数的概念
1.2.2 幂级数的收敛域
1.2.3 幂级数的和函数
1.3 函数项级数
1.3.1 函数项级数的概念
1.3.2 函数项级数的一致收敛性
第二章 傅里叶级数
2.1 傅里叶级数的定义
2.1.1 周期函数的傅里叶级数
2.1.2 奇偶延拓的傅里叶级数 2.2 傅里叶级数的性质
2.2.1 傅里叶级数的线性性质
2.2.2 傅里叶级数的逐项积分与逐项微分
2.2.3 傅里叶级数的逐项积分和逐项微分
2.3 傅里叶级数的收敛性
2.3.1 傅里叶级数一致收敛的性质
2.3.2 周期函数的傅里叶级数收敛性
2.3.3 局部函数化的傅里叶级数
第三章 一元函数积分学
3.1 定积分
3.1.1 定积分的定义
3.1.2 定积分的性质
3.1.3 线性运算与换元积分法
3.2 反常积分
3.2.1 第一类反常积分
3.2.2 第二类反常积分
3.3 微积分基本定理 3.3.1 牛顿-莱布尼茨公式
3.3.2 积分求导法
3.3.3 函数定积分的应用
第四章 多元函数微分学
4.1 多元函数的极限与连续
4.1.1 多元函数的极限
4.1.2 多元函数的连续性
南昌高等数学教材目录
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一、微分与积分基础
1.1 实数与函数
1.1.1 实数集与数集的性质
1.1.2 函数的概念与性质
1.1.3 函数的图像与性质
1.2 极限与连续
1.2.1 数列极限
1.2.2 函数极限
1.2.3 连续函数与间断点
1.3 导数与微分
1.3.1 导数的概念与计算
1.3.2 高阶导数与泰勒展开
1.3.3 微分与近似计算
二、微分学应用
2.1 函数的增减与极值
2.1.1 函数的增减性与单调性 2.1.2 极大值与极小值
2.1.3 优化问题与约束条件
2.2 函数图像与曲线的几何性质
2.2.1 函数的图像与对称性
2.2.2 曲线的弧长与曲率
2.2.3 参数方程与极坐标系
2.3 微分中值定理与泰勒展开
2.3.1 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理
2.3.2 柯西中值定理与介值定理
2.3.3 泰勒展开与应用
三、积分学初步
3.1 不定积分与定积分
3.1.1 不定积分的概念与计算
3.1.2 牛顿-莱布尼茨公式
3.1.3 定积分与反常积分
3.2 定积分的计算与应用
3.2.1 计算定积分的方法 3.2.2 定积分在几何中的应用
3.2.3 定积分在物理中的应用
3.3 微积分基本定理与换元积分法
3.3.1 微积分基本定理
3.3.2 反函数与换元积分法
3.3.3 特殊函数与积分方法
高等数学1下册教材目录
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1. 函数与极限
1.1 函数的基本概念
1.2 极限的定义与性质
1.3 极限运算法则
1.4 无穷大与无穷小
2. 导数与微分
2.1 导数的定义与几何意义
2.2 导数的基本运算法则
2.3 高阶导数与高阶微分
2.4 微分中值定理与导数的应用
3. 微分中值定理与导数的应用
3.1 微分中值定理
3.2 函数的单调性与极值
3.3 函数图像的描绘与曲线的凹凸性
3.4 泰勒公式与函数的近似计算
4. 不定积分 4.1 不定积分的概念
4.2 基本积分公式与积分方法
4.3 分部积分法与换元积分法
4.4 定积分的概念与性质
5. 定积分与应用
5.1 定积分的计算方法
5.2 定积分的几何意义
5.3 曲线的弧长与曲面的面积
5.4 牛顿—莱布尼茨公式与定积分的应用
6. 常微分方程
6.1 常微分方程的基本概念
6.2 一阶常微分方程的解法
6.3 高阶线性常微分方程的解法
6.4 常微分方程的应用
7. 无穷级数
7.1 数列与数列的极限
7.2 数值级数与常用级数 7.3 幂级数与函数展开
7.4 函数项级数与泰勒级数
8. 二元函数与偏导数
8.1 二元函数的概念与图像
8.2 偏导数的定义与计算
8.3 隐函数与偏导数的应用
8.4 多元函数的全微分
9. 重积分
9.1 二重积分的概念与性质
9.2 二重积分的计算方法
9.3 三重积分的概念与性质
9.4 三重积分的计算方法
10. 曲线积分与曲面积分
10.1 曲线积分的概念与计算方法
10.2 曲线积分的应用
10.3 曲面积分的概念与计算方法
10.4 曲面积分的应用 11. 无穷级数的收敛性