几种特殊函数的图象及性质
几种特殊函数的图象及性质
几种特殊函数的图象及性质备课教师：刘彩伏教学目标：1、理解正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的概念，掌握用“待定系数法”求这些函数的解析式的方法，能用描点法画出上述函数的图象并观察出它们的性质。
2、能够根据二次函数解析式确定图象的顶点坐标、对称轴方程及与x 轴、y 轴的交点，初步了解数形结合的观点，并初步学会用这些观点去分析问题的方法。
教学重点：各种函数的概念及图象性质；“待定系数法”求函数的解析式。
教学难点：“待定系数法”求函数的解析式，用数形结合的观点分析问题的方法。
计划课时：4课时（第一课时结合图形复习各种函数概念和性质，其余三课时为题型分析与训练）教学过程：一、基础知识复习1、正比例函数[定义]：函数y=kx(k 是常数，k ≠0)。
[图象]：经过（0，0），（1，k ）两点的直线。
[性质]：k>0时，图象在一、三象限内，y 随x 的增大而增大；k<0时，图象在二、四象限内，y 随x 的增大而减小。
2、反比例函数[定义]：函数xk y =(k 是常数，k ≠0)。
[图象]：双曲线。
[性质]：k>0时，图象的两个分支在一、三象限内，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；k<0时，图象的两个分支在二、四象限内，在每一象限内，y 随x 的增大而增大；两分支都无限接近但永远不能达到两坐标轴。
3、一次函数[定义]：函数y=kx+b(k ，b 是常数，k ≠0)。
（注意：当b=0时，就成为正比例函数）[图象]：经过（0，b ），（kb -，0）两点的直线，与直线y=kx 平行。
（k 叫做直线的斜率，b 叫做直线在y 轴上的截距）[性质]：①k>0时， y 随x 的增大而增大⎩⎨⎧<>象限时，直线过一、三、四象限时，直线过一、二、三00b b ；②k<0时， y 随x 的增大而减小⎩⎨⎧<>象限时，直线过二、三、四象限时，直线过一、二、四00b b ； 4、二次函数[定义]：函数y=ax 2+bx+c （其中a,b,c 是常数且a ≠0）。
函数的图像和性质研究中的特殊函数的解析与分析
函数的图像和性质研究中的特殊函数的解析与分析函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
在函数的研究中，我们常常会遇到一些特殊函数，它们具有独特的性质和图像，对于理解函数的本质和应用有着重要的意义。
本文将从解析和分析的角度探讨特殊函数的一些典型例子。
一、正弦函数与余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的周期函数，它们的图像具有规律的波动特点。
正弦函数表示了一个物体在周期性振动中的位置变化，而余弦函数则描述了物体在周期性振动中的速度变化。
正弦函数和余弦函数的图像都是连续的曲线，其周期为2π。
在解析上，正弦函数和余弦函数都可以用无穷级数展开，这为我们研究它们的性质提供了一种有效的方法。
二、指数函数与对数函数指数函数和对数函数是互为反函数的特殊函数。
指数函数的图像呈现出逐渐增大的趋势，而对数函数则表示了指数函数的反向关系。
指数函数和对数函数在科学和工程领域有着广泛的应用，如在金融领域的复利计算和放射性元素的衰变等。
在解析上，指数函数和对数函数都可以用级数展开，这为我们研究它们的性质提供了一种有效的工具。
三、双曲函数双曲函数是一类与圆相关的特殊函数，它们的图像具有类似于双曲线的形状。
双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
双曲函数在物理学、工程学和金融学等领域有着广泛的应用，如在电磁场分析、弹性力学和利率模型等方面。
双曲函数的解析和性质研究是一个复杂而有趣的课题，它们的级数展开和积分表示形式为我们深入理解双曲函数提供了有力的工具。
四、贝塞尔函数贝塞尔函数是一类与圆柱体振动和波动相关的特殊函数，它们的图像具有非常复杂的形态。
贝塞尔函数在物理学、工程学和数学物理学等领域有着广泛的应用，如在电磁场分析、声学和量子力学等方面。
贝塞尔函数的解析和性质研究是一个非常有挑战性的课题，它们的级数展开和积分表示形式为我们深入理解贝塞尔函数提供了重要的工具。
总结起来，函数的图像和性质研究中的特殊函数的解析与分析是数学研究中的一个重要方向。
正比例函数的图象和性质课件
们只相交于原点。
06
CHAPTER
03
正比例函数的性质
增减性
01
02
03
增减性
正比例函数在定义域内是 单调的，即随着x的增大 （或减小），y也相应增 大（或减小）。
增减性的判断
根据斜率k的正负来判断 。当k>0时，函数为增函 数；当k<0时，函数为减 函数。
增减性的应用
在解决实际问题时，可以 利用增减性判断函数的值 域或最值。
y=-3/x
提升练习题
01
总结词
深化理解与运用
02
03
04
题目1
已知某物体的速度v与时间t的 关系为v=kt，其中k为常数。 求该物体在t=3时的速度v。
题目2
画出函数y=0.5x和y=-0.2x的 图象，并比较它们的性质。
题目3
已知某物体的位移s与时间t的 关系为s=2t^2，求该物体在
t=5时的位移s。
斜率
1 2 3
斜率定义
正比例函数y=kx（k≠0）的斜率是k。
斜率与函数图像的关系
斜率决定了函数图像的形状和倾斜程度。当k>0 时，图像从左下到右上上升；当k<0时，图像从 左上到右下下降。
斜率的应用
在解决实际问题时，可以利用斜率判断函数的单 调性和变化趋势。
截距
截距定义
正比例函数y=kx（k≠0）的截距是0。
正比例函数的图象和性 质ppt课件
CONTENTS
目录
• 正比例函数的概念 • 正比例函数的图象 • 正比例函数的性质 • 正比例函数的应用 • 练习与思考
CHAPTER
01
正比例函数的概念
正比例函数的定义
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质的讲义
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质理解有理数指数幂的含义，掌握幂的运算；理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。
理解对数的概念及其运算性质。
理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。
了解指数函数y=a x与对数函数y log a x互为反函数（a 0,且a 1）。
了解幂函数的概念。
结合函数y=x，y=x2，y=x3，112y ，y x2的图象，了解它们的变化情况。
指数函数、对数函数在高中数学中占有十x分重要的地位，是高考重点考查的对象，热点是指数函数、对数函数的图象与性质的综合应用．同时考查分类讨论思想和数形结合思想；多以选择、填空题的形式出现，有时会与其他知识结合在知识交汇点处命题。
一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念2）．两个重要公式② （n a ） n a （注意 a 必须使na 有意义）。
2．有理数指数幂（1）幂的有关概念注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s=a r+s(a>0,r 、s ∈Q); ②(a r )s=a rs(a>0,r 、s ∈ Q); ③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r ∈ Q);.3．指数函数的图象与性质①正数的正分数指数幂m :an n a m(a 0,m 、n N ,且n 1);②正数的负分数指数幂m1 1 : a n 1m n 1m (a 0,m 、 n N , 且n 1) a n n a m③0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义①n a nan 为奇数a(a 0)|a|n 为偶数a(a 0)注： 如图所示，是指数函数（ 1） y=a x,（2） y=b x,（ 3） ,y=c x（ 4） ,y=d x的图象，如何确 定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1 ，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。
(完整版)高中的常见函数图像及基本性质
常见函数性质汇总及简单评议对称变换常数函数 f (x ）=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势2）、图象及其性质：函数f (x ）的图象是平行于x 轴或与x 轴重合(垂直于y 轴）的直线一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0，b ∈R ）1)、两种常用的一次函数形式:斜截式——点斜式——2）、对斜截式而言,k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k ｜越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域:R 值域:R单调性：当k 〉0时 ；当k<0时奇 偶 性：当b =0时，函数f （x )为奇函数;当b ≠0时,函数f (x ）没有奇偶性； 反 函 数:有反函数（特殊情况下：K=±1并且b=0的时候)。
补充：反函数定义：例题:定义在r y=f （x ）； y=g （x ）都有反函数,且f （x-1）和g —1(x ）函数的图像关于y=x 对称，若f （4）=周 期 性:无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法：xy b Of (x )=bx yOf (x )=kx +b R 2）点关于直线（点）对称，求点的坐标2、与曲线函数的联合运用反比例函数 f (x ）=xk(k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远） 图象及其性质:永不相交，渐趋平行;当k 〉0时，函数f (x ）的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x ）的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线；既是中心对成图形也是轴对称图形定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性:无奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身补充：1、反比例函数的性质2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积)—-入手点常有两个——⑴直接带入,利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此）3、反函数变形（如右图）1）、y=1/（x —2）和y=1/x —2的图像移动比较 2)、y=1/(—x)和y=—（1/x)图像移动比较3）、f （x ）= dcx bax ++ (c ≠0且 d ≠0）（补充一下分离常数）（对比标准反比例函数，总结各项内容)二次函数 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式:)0()()(2≠+-=a h k x a x f两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点 当0<a 时。
高中各种函数图像和性质(精编版)
高中各种函数图像及其性质一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）(2)必过点：（0，0）、（1，k）(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴3、一次函数及性质一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式y=kx+b (k不为零) ①k不为零②x指数为1 ③b取任意实数b，0）两点的一条直线，我们称它为一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-k直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-kb，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限（4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质6、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.8、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.9、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.10、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bc x b a +-的图象相同.（2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b cx b a +-和y=2222b cx b a +-的图象交点.二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
专题16 几个特殊函数(对勾函数绝对值函数等)-2021原创精品之高中数学黄金100题系列(解析版)
第16题 几个特殊函数（对勾函数、绝对值函数等） I.对勾函数一、对勾函数的定义 形如)0,0(>>+=b a x b ax y 的函数，叫做对勾函数. 二、对勾函数)0,0()(>>+=b a x b ax x f 的图象与性质 1.定义域 0}{≠∈x R x2.值域当0>x 时，ab xb ax x b ax 22=⋅≥+（当且仅当x b ax =，即a b x =时取等号）. 当0<x 时，ab x b ax x b ax x b ax 2))((2)]()[(-=---≤-+--=+（当且仅当x b ax -=-，即ab x -=时取等号）. 函数)0,0()(>>+=b a xb ax x f 的值域为,2[]2,(ab ab ⋃--∞）∞+. 3.奇偶性 由于双勾函数定义域关于原点对称，)()(x b ax x b ax x f +-=--=-)(x f -=，则对勾函数为奇函数. 4.单调性由于2)(x b a x f -='，令0)(>'x f ，解得a b x -<或a b x >，令0)(>'x f ，解得0<<-x a b 或a b x <<0，所以函数)(x f 在),(a b -∞上为增函数，在)0,(ab -上为减函数，在),0(a b 上为减函数，在),(+∞ab 上为增函数. 5.渐近线当0>x 时，0>+x b ax ，当0<x 时，0<+xb ax ，说明函数的的图象在第一、第三象限. 当0>x 时，x b x b ax x f >+=)(，说明函数在第一象限的图象在直线ax y =的上方，当0<x 时，ax x b ax x f <+=)(，说明函数在第三象限的图象在直线ax y =的下方. 双勾函数就是以y 轴和直线x y =为渐近线的双曲线. 特别1,1==b a 时，xx x f 1)(+=，函数图象如下图所示：例1.【河北唐山市2015届高三上学期期末(文)】已知1()1f x x x=+-，()2f a =，则()f a -=（ ） A ．4- B ．2- C ．1- D ．3-【答案】A考点：函数值、函数的奇偶性.例2.【云南省师范大学附属中学2015届高三月考文】若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ）A ．51(,]8-∞ B ．(,3]-∞ C ．51[,)8+∞ D ．[3,)+∞【解析】试题分析：∵'2()323f x x tx =-+，由于()f x 在区间[1,4]上单调递减，则有'()0f x ≤在[1,4]上恒成立，即23230x tx -+≤，也即31()2t x x ≥+在[1,4]上恒成立，因为31()2y x x=+在[1,4]上单调递增，所以3151(4)248t ≥+=，故选C ．例2. 【山西省2016届高三四校联考】若函数)()(R b x b x x f ∈+=的导函数在区间（1，2）上有零点，则)(x f 在下列区间上单调递增的是A.(]1,-∞-B. ()0,1-C. ()1,0D. ()+∞,2Ⅱ.绝对值函数一、绝对值函数的定义形如b ax y +=的函数，叫做绝对值函数.二、绝对值函数b ax x f +=)(的图象与性质1.定义域：R2.值域：),0[+∞3.单调性函数)(x f 在）（a b -∞-,上为减函数，在),(+∞-ab 上为增函数.例3.【浙江省台州中学2015届高三上第三次统考（理）】函数{}()min 2,2f x x x =-，其中 {},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】 试题分析：作出函数()x f 的图象所示，由⎪⎩⎪⎨⎧-==22x y x y ，得()()()202222≤≤=-x x x ， 得324-=x ，因此，()232,324--A ，由图知，m y =与 ()x f y =图象有三个交点，则2320-<<m不妨设32120x x x <<<<，则由m x =12，得421m x = 由m x x =-=-2222，得m x -=22，02>-m由m x x =-=-2233，得23+=m x ，02>+m()()()12441441224222222321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=+⋅-⋅=⋅⋅∴m m m m m m m x x x ，当且仅当224m m -=， 即2=m 时取到等号，故答案为D.例4.【北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷数学（文科）】设函数3||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤（1）如果(1)3f =，那么实数a =___；（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___.【答案】2-或4；(1,3]-考点：1.分段函数值；2.函数的零点.Ⅲ.取整函数一、取整函数的定义考点1.取整函数与程序框图例5. 【2016届高三山西省四校联考】执行图中的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 值为 A. 5 B. 7 C. 9 D. 122.取整函数与函数的周期性例6.（陕西省西北工业大学附属中学2015届高三下学期二模考试数学（文）试题）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为 ( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数【答案】D试题分析：因为f （x ）=x-[x]，所以f （x+1）=（x+1）-[x+1]=x+1-[x]-1=x-[x]=f （x ），∴f （x ）=x-[x]在R 上为周期是1的函数．所以选D ．考点：函数的周期性.三、取整函数与函数的零点例7.（天津市南开中学2015届高三第三次月考数学（文）试题）已知,x R ∈符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x a x x =->有且仅有3个零点，则a 的取值范围是 ． 【答案】34,45⎛⎤ ⎥⎝⎦作出g （x ）的函数的图象，要使函数()[]()0x f x a x x =->有且仅有3个零点，即函数g （x ）的图象与直线y=a 有且只有三个零点， 由图象可知：5443≤<a . 故答案为：5443≤<a .例8.【2014学年杭州地区重点中学高三数学(理)】已知x R ∈，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数[]()(0)x f x a x x =-≠有且仅有3个零点，则a 的取值范围是3443.,,4532A ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 3443.,,4532B ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 1253.,,2342C ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 1253.,,2342D ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】B若x ＜0，此时[x ]＜0；若﹣1≤x ＜0，则[]1x x≥，若x ＜-1，因为[x]≤x ＜-1；[x]≤x ＜[x]+1，故[x][x][x]11a x [x]1[x]1＜，＜, 且[][]1x x 随着[x]的增大而增大． 又因为[x]一定是不同的x 对应不同的a 值．所以为使函数[x]f x a x（）有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3；或[x]=-1，-2，-3． 若[x]=1，有121≤<a 若[x]=2，有132≤<a 若[x]=3，有143≤<a 若[x]=4，有154≤<a 若[x]=-1， 有a ＞1；若[x]=-2，有1≤a ＜2；若[x]=-3，有231<≤a 若[x]=-4，有341<≤a ，综上所述，5443<<a 或2334<<a 故选：B ．例9.【2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷（文科）试题】某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（）A．510xy+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B．410xy+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C．310xy+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦D．10xy⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【答案】C考点：新定义及函数解析式的求法.。
§3.2幂函数和几个特殊幂函数的图象
§3.2幂函数和几个特殊幂函数的图象预备知识∙用描点法作函数图象的步骤∙正比例函数、反比例函数、二次函数的图象及作法重点∙用描点法画出几种特殊幂函数的图象∙一些特殊幂函数的变化特性难点∙确定幂函数的定义域∙根据幂函数的定义域，列出合适的x,y对应值表学习要求∙掌握描点法作函数图象的步骤∙建立几种特殊幂函数的图象形象在上一节中，幂a α的底a 、指数α都认为是不变化的常数．但在实际问题中，常常会遇到α或a 之一变化的情况．在这种情况出现时，我们不仅要求出幂，更关心的是它变化的规律．本节首先学习当底a 变化时，幂的变化规律． 1. 幂函数 (1)幂函数的定义在第二章，我们曾经计算过人口问题．如果人口的年净增率是5.3‰，设当年人口基数为12亿，那么在25年时，人口总数为y =12⨯(1+0.0053)25= 12⨯ 1.005325 (1) 现在，想知道不同的人口的年净增率，对25年时总人口的影响．这时的年净增率不再是常数0.0053，而是一个可变化的量，这样(1)中幂的底数也是一个变化的量，不妨用x 来表示它，于是(1)成为y =12x 25 (2) 我们考察(2)中的x 25．对每一个x ≥1，x 25是一个幂；随着x 的变化，幂也发生变化．对每一个确定的x ，x 25有唯一的值与之对应，因此x 与x 25之间具有函数关系．这种函数关系称为幂函数．幂函数的一般形式是y =x α，其中的x 是自变量，指数α是常量． 在幂函数中的指数α可以取定为任何实数值．但在目前，我们不准备对一般的α讨论，仅对若干个经常遇到的、具有代表性的α，讨论函数y =x α的变化规律，而且主要以图象形式，直观地予以反映．在指数α不同情况，幂a α的底a 允许取值是不同的．例如当α=21，a只能是非负数．此即说，如果撇开实际问题的含义，对确定的α，幂函数y =x α的自变量x 的取值范围是有限制的，它只能在使幂x α有意义范围内取值，这个范围，就是确定的α所对应幂函数y =x α 的定义域．对不同的α,如何求幂函数y =x α 的定义域呢？我们通过具体的例子来说明． 例1 求列幂函数的定义域：(1)y=x 2/3； (2)y=x -2； (3)y=x 1/4； (4)y=x – 3/2．解 (1)x 2/3=(x 2)1/3，x 2≥0，指数31>0，因此任何x ∈R ，(x 2)1/3总有意义，所以定义域为R ▌(2)x –2=21x，除了使分母为0的x=0外，其它的x 都有意义，所以定义域为{x|x ≠0}=(-∞,0)⋃(0,+∞) ▌(3)y=x 1/4=4x ，即知定义域为{x|x ≥0}= [0,+∞)▌(4)x – 3/2=(x -3)1/2=(31x)1/2，为了使它有意义，必须保证x ≠0且31x≥0，因为只有正数的奇次方才是正数，所以定义域为{x|x>0}= (0,+∞) ▌课内练习11. 确定下列幂函数的定义域：(1)y=x 6； (2)y=x 5/6； (3)y=x – 5/3； (4)y=x – 3/4；2. 几个特殊幂函数的图象因为1α=1(α∈R )，因此所有幂函数的图象都经过点(1,1)．当α=1时幂函数y=x α成为y =x ，它的图象是你所熟悉的直线——坐标系中第Ⅰ、Ⅲ象限的分角线；当α≠1时幂函数的图象，一般都是用你所熟悉的描点法作出．描点法的基本步骤是三步：第一步 列表．在使幂函数有意义的范围内(即幂函数的定义域内}，取一些特殊的x ，求出对应的函数值y ，列出函数值表；第二步 描点．以表上每一组对应的(x ,y )作为坐标，在直角坐标系内标出对应点；第三步 连线．用平滑的曲线依次连接各点，即得所求图象．图象的精确程度，与特殊x 如何选取密切相关．一般在图象弯曲较明显的区段，取特殊的x 要密一些，反之则可以疏一些．在你知道了不同α的幂函数图象的大致特征后，就会知道弯曲剧烈的区段的位置．例2 在直角坐标系内，作出y =x 3的图象．解 函数y =x 3的定义域为R ，所以在列表时，x 应在0的左右取一些特殊的值． 第一步 列表例3 在直角坐标系内，作出x y =的图象．解 21x x y ==的定义域为{x |x ∈R ,x ≥0}，即[0,+∞)．图3-1第一步 列表第二步 描点(见图3-2)； 第三步 连接(见图3-2) ▍ 观察x y =的图象，你也能发现，它除了过点(1,1)外的其它一些特点： ①仅在x 轴的上方有图象，当x无限增大时，图象向右上方无限延伸， 因此y ∈[0,+∞)；②随着x 增大，图象上升，即y 增大；③图象没有对称性． 课内练习21. 在直角坐标系内，作出y =x 2的图象(要求列表)，并尽可能多地说出图象 和函数的特性．例4 在直角坐标系内，作出y =x -2的图象．解 y =x -2的定义域为{x |x ∈R ,x ≠0}，即(-∞,0)∪(0,+∞)，所以x 应在x =0的左右取值，但不能取0． 第一步 列表第二步 描点(见图3-3)； 第三步 连线(见图3-3) ▍观察y =x -2的图象，你又可以发现过点 (1,1)以外的其它一些特性：①图象位于x 轴的上方，即y >0，随着 x 与0无限接近，图象无限向上延伸，因此 y ∈(0,+∞)；②函数虽然是一个，但图象却由两支曲 线构成，这两支曲线关于y 轴对称，即x 与 -x 处的y 是相同的；③在左支，随着x 的增大，图象是上升的，即y 增大，且当x 无限减小时，图象与x 轴无限靠近，当x 无限接近0时，图象又与y 轴无限靠近；在右支，随着x 增大，图象是下降的，即y 反而减小，且当x 无限增大时，图象与x 轴无限靠近，当x 无限接近0时，图象与y 轴无限靠近．图3-2图3-3同一个函数的图象分成两支这一现象， 并不新鲜，你过去学过的反比例函数 y =x1=x -1 它的图象也是分成左右两支的(函数草图见 图3-4)． 课内练习31. 在直角坐标系内，作出y =x 1的图象，并分析图象和函数的特性．课外习题 A 组1. 求下列幂函数的定义域： (1)3x y =；(2)3x y =；(3)5-=xy ；(4)3-=xy ．2. 在直角坐标系内，画出23x y =的图象(要列表)，并分析图象及函数的变 化特性3. 在直角坐标系内，画出31x y =的图象(要列表)，并分析图象及函数的变 化特性．B 组1. 在直角坐标系内，画出3-=x y 的图象(要列表)，并分析图象及函数的变 化特性．2. 函数y =|x |3是幂函数吗？它的图象与y =x 3有什么关系？与y =x 2图象的相 对关系又怎样？图3-4。
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几种特殊函数的图象及性质
备课教师：刘彩伏
教学目标：1、理解正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的概念，掌握用“待
定系数法”求这些函数的解析式的方法，能用描点法画出上述函数的图象并观
察出它们的性质。
2、能够根据二次函数解析式确定图象的顶点坐标、对称轴方程及与x 轴、y 轴
的交点，初步了解数形结合的观点，并初步学会用这些观点去分析问题的方
法。
教学重点：各种函数的概念及图象性质；“待定系数法”求函数的解析式。
教学难点：“待定系数法”求函数的解析式，用数形结合的观点分析问题的方法。
计划课时：4课时（第一课时结合图形复习各种函数概念和性质，其余三课时为题型分析
与训练）
教学过程：
一、基础知识复习
1、正比例函数
[定义]：函数y=kx(k 是常数，k ≠0)。
[图象]：经过（0，0），（1，k ）两点的直线。
[性质]：k>0时，图象在一、三象限内，y 随x 的增大而增大；k<0时，图象在
二、四象限内，y 随x 的增大而减小。
2、反比例函数
[定义]：函数x
k y =(k 是常数，k ≠0)。
[图象]：双曲线。
[性质]：k>0时，图象的两个分支在一、三象限内，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；k<0时，图象的两个分支在二、四象限内，在每一象限内，y 随x 的增大而增大；两分支都无限接近但永远不能达到两坐标轴。
3、一次函数
[定义]：函数y=kx+b(k ，b 是常数，k ≠0)。
（注意：当b=0时，就成为正比例函
数）
[图象]：经过（0，b ），（k
b -，0）两点的直线，与直线y=kx 平行。
（k 叫做直线的斜率，b 叫做直线在y 轴上的截距）
[性质]：
①k>0时， y 随x 的增大而增大⎩
⎨⎧<>象限时，直线过一、三、四象限时，直线过一、二、三00b b ； ②k<0时， y 随x 的增大而减小⎩⎨⎧<>象限时，直线过二、三、四象限时，直线过一、二、四
00b b ；
4、二次函数
[定义]：函数y=ax 2+bx+c （其中a,b,c 是常数且a ≠0）。
[图象]：抛物线
[性质]：
①开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
②顶点：)44,2(2
a
b a
c a b -- ；对称轴：a b x 2-= 。
（注：可对y =ax 2+bx+c 用配方法来求顶点与对称轴，即：若配方得y =a(x+h)2
+k ，
则顶点为（-h ，k ），对称轴为x =-h ，而y =a(x+h)2+k 也被称为二次函数的顶点式） ③最值与增减性：a>0时，函数y 当a b x 2-=时，有最小值a
b a
c 442
-，且a b x 2->时，增，a b x 2-<时，减；a<0时，函数y 当a b x 2-=时，有最大值a
b a
c 442
-，且a b x 2->时，减，a
b x 2-<时，增。
④与坐标轴的交点：与y 轴交于点（0，
c ）；与x 轴的交点个数要由Δ判定（注意
理解一元二次方程与二次函数两者的联系）。
二、题型分析练习
1、利用函数概念与性质解题
例1：在函数1992)92(+--=m m x m y 中，当实数m 为何值时，
(1) 此函数为正比例函数，且它的图象在第二、四象限内；
(2) 此函数为反比例函数，且它的图象在第一、三象限内。
[分析]：同时考虑系数与x 的次数的取值，利用正、反比例函数的概念和性质可解。
[注意]：对系数(2m-9)的限制，要考虑图象的情况。
[解]：略。
例2：点A （a ，b ），B （a-1，c ）均在函数x
y 1=的图象上，若a<0，则b ？ [分析]：点在函数图象上⇔点的坐标满足函数解析式。
[解]：略。
例3：已知二次函数y=x 2-4x-5
①把函数化成顶点式；
②指出图象的顶点坐标和对称轴；
③画出函数图象
④利用函数图象解不等式x 2-4x-5<0。
[解]：略。
[练习]：1、已知点（2，5），（4，5）是某抛物线上两点，则此抛物线的对称轴方
程为？
2、《学力提升》27页例2。
例4：已知正比例函数ax y =1，反比例函数x
b y =2，在同一坐标系中这两个函数的图象没有公共点，则a 与b 的关系是（ ）
A 、同号
B 、异号
C 、互为倒数
D 、互为相反数
[分析]：由x b ax =得a b x =2，当a 、b 异号时，x 2<0，这样的x 不存在，所以选B 。
例5：若反比例函数)0(≠=k x
k y ，当x>0时，y 随x 的增大而增大，则一次函数k kx y -=的图象经过第 象限。
[分析]：由已知k<0，-k>0，所以k kx y -=的图象经过第一 、二、四象限。
[练习]：《学力提升》30页16—20，32页8—13，33页15—21。
2、交点问题
[说明]：“交点”即两函数图象的公共点。
若已知两函数解析式，求其图象交点，可将两解析式列为方程组求解；若已知交点，求函数解析式中系数的值，可将交点坐标分别代入函数解析式求解。
例6：求两直线y=2x+3与y=-3x+8与x 轴所围成的三角形面积。
[分析]：分别求出两直线与x 轴的交点及两直线的交点，结合图形可求。
[解]：略。
[说明]：函数图象与x 轴的交点可令y 值为0来求；函数图象与y 轴的交点可令x
值为0来求；x(y)轴上两点间的距离等于两点横坐标（纵坐标）差的绝对值。
例7：若直线若直线y=-x+a 和直线y=x+b 的交点坐标为（m ，8），则a+b=?
[分析]点（m ，8）既在直线y=-x+a 上，又在直线y=x+b 上，所以将x=m ，y=8分别代入两直线方程可解。
[解]：略。
例8：已知二次函数y=x 2+(n+3)x+3n ，讨论n 取何值时，二次函数的图象与x 轴有两个交点，一个交点，没有交点？
[分析]：二次函数与一元二次方程的关系：①Δ>0，二次函数图象与x 轴有两个交点；②Δ=0，二次函数图象与x 轴有一个交点；③Δ<0，二次函数图象与x 轴没有交点。
[解]：略。
[练习]：《学力提升》33页第三大题第1小题。
3、待定系数法求函数解析式
例9：已知一次函数图象经过点（3，2）和点（-1，-6），求这个函数的解析式；并判断点P （2a ，4a-4）是否在函数图象上。
[分析]：可设一次函数解析式为：y=kx+b ，将已知点的坐标分别代入解析式，解方程组即可。
[解]：略。
例10：根据下列条件求二次函数解析式：
①已知抛物线与x 轴两个交点的横坐标分别为-1、3，与y 轴交点的纵坐标是2
3 ，求此抛物线解析式。
②已知二次函数的图象顶点坐标为（2，-5），图象经过点（0，-17），求其解析式。
[分析]：根据不同的已知条件，灵活选用解析式的形式，是求二次函数解析式的
关键，注意二次函数解析式的三种形式：一般式（y=ax 2+bx+c ，其中a ≠0），两点式
（y=a(x-x 1)(x-x 2)，其中a ≠0,x 1，x 2分别为抛物线与x 轴两交点的横坐标），顶点
式（y=a(x+h)2+k,其中a ≠0,顶点坐标为（-h ，k ））。
因此①题可选用一般式或两点
式，②题可选用顶点式。
[解]：略
例11：（见《学力提升》27页例3）略。
[说明]：在解决函数问题时，涉及几何知识时，既要用几何知识也要充分考虑在
直角坐标系中的条件。
三、课后小结
本节课主要复习了四种基本函数的概念及其图象和性质（注意：要结合图象来观察记忆性质）。
另外，要熟练掌握用“待定系数法” 求函数的解析式的方法。
在解决函数问题时，注意用数形结合的观点分析问题的方法。
在学习中还应注意以下问题：
1、深刻理解解析式中字母a,b,c,k的含义将有助于对函数概念及性质的理解和正确
认识图象。
（例如：k相同的两直线平行；a相同的两抛物线开口方向、大小一致；
对抛物线，对称轴在y轴左⇔a,b同号，对称轴在y轴左⇔a,b异号；由Δ判断
抛物线与x轴交点的个数等）
2、二次函数中，将数型结合，找图形的特征，抓特殊点、轴（顶点、图象与两坐标
轴交点、对称轴）与a,b,c及Δ的关系寻求解题途径是常用的有效办法。
如：抛
物线的顶点就是最值点，知顶点可求对称轴，从而可知图象上某已知点关于此轴
的对称点也在图象上，知顶点还可列出关于a,b,c的两个方程……
四、作业布置
《学力提升》33——35页：三（2—12）。