向量组的线性相关性的判定方法浅析分解

目录摘要： (I)关键词： (I)Abstract (II)Keywords： (II)1．前言 (1)2．预备知识 (1)2.1线性相关性的概念及性质 (1)2.1.1线性相关的概念 (1)2.1.2线性相关的性质 (2)3.向量组线性相关的判定方法 (3)3.1定义法 (3)3.2根据齐次线性方程组的解进行判定 (4)3.3利用矩阵的秩进行判定 (5)3.4利用行列式值进行判定 (6)3.5反证法 (7)3.6 数学归纳法 (7)3.7用线性变换的性质进行判定 (8)3.8利用朗斯基行列式来判定 (10)4.结束语 (11)参考文献 (12)致谢 (13)向量组的线性相关性的判定方法浅析摘要：本文总结综述了向量组线性相关性的判定方法，并阐述了不同判定方法适用的条件. 关键词：线性相关；线性无关；判定方法.Several Methods of Judging the Linear Dependence of A VectorGroup is analysedAbstract：This article summarizes the judging methods of vector linear correlation, and expounds the different methods applicable conditions.Keywords：linear correlation; linear independence; judging methods .1．前言向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用.线性相关性这个概念在许多数学专业课程中都有体现，如微分几何，高等代数和偏微分方程等等.它是线性代数理论的基本概念，它与线性空间(包括基，维数），子空间等概念有密切关系，同时在微分几何以及偏微分方程中都有广泛的应用.因此，掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义，也是解决其它问题的重要理论依据. 向量组的线性相关与线性无关判定方法是非常灵活的。

本文从线性相关性的定义出发，分别运用了定义法、矩阵的秩、行列式的值、齐次线性方程组的解、反证法、数学归纳法、线性变换的性质等几种方法对向量组的线性相关性进行了判定.如果向量组是函数，那么可用朗斯基判别法判定.特别是反证法，线性变换的性质，朗斯基判别法运用于一些复杂和特殊的题目，是比较方便的.2．预备知识2.1线性相关性的概念及性质2.1.1线性相关的概念定义1[1]向量α称为向量组s βββ,,,21 的一个线性组合，如果有数域P 中的数12s ,,,,k k k 使α=1122s s k k k βββ+++定义2[1]若向量组A 中每一个向量i α(t i ,,2,1 =)都可由向量组B ={s ββ,,1 }线性表示,则称A 可由B 线性表示.若两个向量组可互相线性表示,则称这两个向量组等价.性质 向量组的等价具有1)反身性；2)对称性；3)传递性. 定义3[1]如果向量组()12,,,2s s ααα≥中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组s ααα,,,21 称为线性相关的。

定义4[1]向量组()12,,,1s s ααα≥称为线性相关，如果有数域P 中不全为零的数12s ,,,,k k k 使11220s s k k k ααα+++=定义3与定义4在2s ≥的时候是一致的。

定义5[1]一向量组()12,,,1s s ααα≥不线性相关，即没有不全为零的数12s ,,,k k k 使11220s s k k k ααα+++=就称为线性无关;或者说，一向量组如s ααα,,,21 称为线性无关，如果由11220s s k k k ααα+++=可以推出120s k k k ====定义6[1]设向量组{r i i i ααα,,,21 }是向量组{s ααα,,,21 }的部分组.称{r i i i ααα,,,21 }是{s ααα,,,21 }的极大无关组,如果i)向量组{r i i i ααα,,,21 }线性无关；ii){s ααα,,,21 }中的任意1+r 个向量(如果有的话)构成的向量组总是线性相关的. 定义7[1]向量组{s ααα,,,21 }的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩. 记为秩(s ααα,,,21 ).性质 向量组{r αα,,1 }线性无关⇔秩{r αα,,1 } =r .向量组{r αα,,1 }线性相关⇔{r αα,,1 }秩<r .2.1.2线性相关的性质 性质(1)[1]一个向量组若有部分向量线性相关,则此向量组线性相关.(即:部分相关,整体相关) 性质(2)[1]若一个向量组线性无关,则它的每个非空部分向量组也线性无关.(即:整体无关,部分无关)性质(3)[2] 含零向量的向量组必线性相关,即{10,,,s αα}线性相关.性质(4)[2]{α}线性相关=0α⇔.性质(5)[2]{βα,}线性相关λβα=⇔)(P ∈λ.性质(6)[1]n P 中单位向量组线性无关.性质(7)[1]向量组i α=),,,(21in i i a a a ),,2,1(s i =线性相(无)关⇔齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111s sn n n ss s s x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有(无)非零解. 性质(8)[2]设向量组{s ααα,,,21 }线性无关,而向量组{s ααα,,,21 ,β}线性相关,则β一定可由s ααα,,,21 唯一的线性表示. 性质(9)[2]向量组{s ααα,,,21 }(s 2≥)线性相关的充要条件是其中某一个向量是其余向量的线性组合.性质（10）[2]如果向量组s ααα,,,21 可由向量组12t ,,,βββ线性表出，且s>t,则s ααα,,,21 必线性相关.性质（11）[2]如果向量组s ααα,,,21 线性无关，且它可由向量组12t ,,,βββ线性表出，则s t ≤（这是10）的逆否命题）.性质(12)[1]任意1+n 个n 维向量必线性相关.性质(13)[1]两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量.性质(14)[2]设向量组{r i i i ααα,,,21 }是向量组{s ααα,,,21 }的一个部分组,则{r i i i ααα,,,21 }是极大线性无关组的充要条件为 i)向量组{r i i i ααα,,,21 }线性无关;ii)每一个j α(s j ,,2,1 =)都可由r i i i ααα,,,21 线性表示. 性质(15)[1]向量组的任意一个极大无关组都与向量组本身等价.性质(16)[1]向量组的任意两个极大线性无关组等价. 性质(17)[1]向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量.性质(18)[1]两个等价的向量组有相同的秩.性质(19)[1]一个向量组线性无关的充要条件为它的秩与它所含向量的个数相同. 性质(20)[1]n 阶方阵A 的行列式为零的充要条件是A 的秩小于n.性质(21)[1]一矩阵的秩是r 的充要条件为矩阵中有一个r 级子式不为零，同时所有r+1级子式全为零.性质(22)[1]矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.3.向量组线性相关的判定方法3.1定义法定义法是判定向量组的线性相关性的最基本的方法。

定义法既适用于分量没有具体给出的抽象向量组,也适用于分量已经给出的具体向量组。

对给定的s 个向量s ααα,,,21 ，只需令11220s s k k k ααα+++=根据题中的条件去求12s ,,,k k k 即可。

当12s ,,,k k k 不全为零时，s ααα,,,21 是线性相关的。

当12s ,,,k k k 全为零时，s ααα,,,21 是线性无关的。

例1 设2345,,,,ααααα１线性无关，证明1223344551,,,,αααααααααα+++++也线性无关.证明：设对于任意的12345,,,,k k k k k ，有11222333445551()()()()+0k k k k k αααααααααα++++++++=4（）. 整理得1512223334455()()()()+()0k k k k k k k k k k ααααα++++++++=１4.由于2345,,,,ααααα１线性无关，得151223344500000k k k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪+=⎩ 解得1234500000k k k k k =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩ 所以1223344551,,,,αααααααααα+++++也线性无关.例2 设2341,1,1,1[]x x x P x +++∈，判断它们的线性相关性. 解：设1234,,,k k k k P ∈，令231234(1)(1)(1)0k k x k x k x ++++++=，整理得231234234()0k k k k k x k x k x ++++++=,所以有12342340000k k k k k k k +++=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 解得12340k k k k ====.从而231,1,1,1x x x +++是线性无关的.3.2根据齐次线性方程组的解进行判定在应用定义法解一个齐次线性方程组,需由该方程组是否有非零解来判定向量组的线性相关性.即应用定义法的同时也就应用了齐次线性方程组的解进行了线性相关性的判定.于是我们可以利用以下结论进行判定.结论[1]：向量组i α=),,,(21in i i a a a ),,2,1(m i =线性相(无)关⇔齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111m mn n n m m m m x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有(无)非零解.例3 设123(1,2,-1),(3,1,-1),(-1,0,1)x x x ===,试判断它们是否线性相关. 解：令1122330k x k x k x ++=.即12312123k 30200k k k k k k k +-=⎧⎪+=⎨⎪--+=⎩ 解得1230,0,0.k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 故123,,x x x 是线性无关的.3.3利用矩阵的秩进行判定结论[1]：设向量组A :12s ,,ααα⋅⋅⋅是由s 个n 维列向量所组成的向量组,则向量组A 的线性相关性可由向量组A 所构成的矩阵A =(12s ,,ααα⋅⋅⋅)的秩的大小来进行判定.即(i) 当R(A )=s 时,则向量组A :12s ,,ααα⋅⋅⋅是线性无关的. (ii) 当R(A )<s 时,则向量组A :12s ,,ααα⋅⋅⋅是线性相关的. 例4【2】设12345=1-=0,3,1,2(3,0,7,14),(1,1,2,0),(2,1,5,6)ααααα==-=（，1,2,4）,（）,试判断它们的线性相关性并求它们的一个极大无关组.解：将,ααααα１２34５，，，写成列向量，拼成一个矩阵，并进行初等行变换，将此矩阵化为阶梯型.103121031210312130110330301101217250110100044421406022420000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，从最后一个矩阵可以看出,ααααα１２34５，，，的秩为3，是线性相关的，ααα１２4，，（或3ααα１4，，）为向量组的一个极大无关组.3.4利用行列式值进行判定行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解,然后再对向量组的线性相关性作出判定,所以能应用行列式值进行判定的向量组,也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定. 但是该方法的局限性在于只有符合向量组的个数和单个向量的分量个数相等的条件时才用此法.结论[1]：若向量组A :12,,s ααα⋅⋅⋅ 是由s 个s 维列向量所组成的向量组,且向量组A 所构成的矩阵A =(12,,s ααα⋅⋅⋅),即A 为s 阶方阵,则(i) 当A =0时,则向量组A :12,,s ααα⋅⋅⋅是线性相关的. (ii) 当A ≠0时,则向量组A :12,,s ααα⋅⋅⋅是线性无关的. 例5【4】设12,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，试问向量组1223n 1++αααααα+，，，是否线性相关？并证明你的结论.解：当n 为奇数时，向量组1223n 1++αααααα+，，，线性无关；当n 为偶数时，向量组1223n 1++αααααα+，，，线性相关.证明如下：令112223n 1(+(+()0n k k αααααα++=)+k )+于是，有111221n ()()()0n n n k k k k k k ααα-++++++=.由于12,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，所以，得1122310000n n n k k k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩系数行列式为10001110000110000010011D ==20n n ⎧⎨⎩当为奇数时当为偶数时即当n 为奇数时，只有零解，故向量组1223n 1++αααααα+，，，线性无关；当n 为偶数时，有非零解，故向量组1223n 1++αααααα+，，，线性相关.3.5反证法在有些题目中，直接的给出证明结论往往比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知的定义，定理，公理相悖的结果，从而说明原结论成立. 例6【4】设向量β可由向量组12r ,,ααα⋅⋅⋅线性表示，但不能由向量组12r-1,,ααα⋅⋅⋅线性表示，证明：r α不能由向量组12r-1,,ααα⋅⋅⋅线性表示.证明：用反证法，若r 1111r r k k ααα--=++ （1）又已知1111r r r r l l l βααα--=+++ （2）将（1）代入（2），整理得111111()()r r r r r l k l l k l βαα---=++++这与β不能由12r-1,,ααα⋅⋅⋅线性表示矛盾，所以得证r α不能由向量组12r-1,,ααα⋅⋅⋅线性表示.3.6 数学归纳法向量组的线性相关性与线性无关性是两个密切相关的概念，理解线性相关我们可以结合线性无关来理解.在研究一个向量组是否线性相关时，需要结合相应的背景，应用数学归纳法来讨论.例如矩阵A 的特征向量有以下性质： 例7【1】设A 为n 阶方阵，证明：属于A 的不同特征值的特征向量是线性无关的.证明：对于A 的特征值的个数作数学归纳法.由于特征向量是不为零的，所以单个的特征向量必然是线性无关.现在设属于A 的k 个不同特征值的特征向量线性无关，我们证明属于A 的k+1个不同特征值12k+1λλλ，，，的特征向量121k ξξξ+，，，也线性无关.假设有关系式11221k 10k k k a a a a ξξξξ+++++= （1）成立.等式两端乘以k+1λ，得1k+112k+12k+11k+1k 10k k k a a a a λξλξλξλξ++++++= （2）（1）式两端同时施行变换，即有 1112221k+1k 10k k k k a a a a λξλξλξλξ++++++= （3）（3）减去（2）得到1111k+1()()0k k k k a a λλξλλξ+-++-=根据归纳法假设，12k ξξξ，，，线性无关，于是 1()0,1,2,,.i i k a i k λλ+-==但10,()i k i k λλ+-≠≤，所以0,1,2,,i a i k ==.这时(1)式变成110k k a ξ++=.又因为10k ξ+≠，所以只有+1=0k a .故121k ξξξ+，，，线性无关.3.7用线性变换的性质进行判定在线性空间的理论中，定义在数域P 上的线性空间V 中的元素，我们称之为向量.V 上的线性变换σ有一些比较好的性质，可以帮助我们来讨论向量组的线性相关性. 性质1【7】设V 是数域P 上的线性空间，σ是V 上的一个线性变换，12,,,n V ααα∈，若12,,,n ααα线性相关，则12(),(),,()n σασασα也是线性相关的.证明：由于12,,,n ααα线性相关，那么存在不全为0的数12,,,n k k k 使得11220n n k k k ααα+++=.由于σ是V 上的线性变换，那么有1122()0n n k k k σααα+++=.即1122()()()0n n k k k σασασα+++=.因此，12(),(),,()n σασασα是线性相关的.但是该定理反过来不一定成立.即12(),(),,()n σασασα线性相关，12,,,n ααα并不一定也是线性相关的.若σ为零变换，假设12,,,n ααα是线性无关的，零变换把12,,,n ααα全部变成零向量，它们是线性相关的，从而满足该条件，但是12,,,n ααα是线性无关的.推论【7】设V 是数域P 上的线性空间，σ是V 上的一个线性变换，若12(),(),,()n σασασα是线性无关的，那么12,,,n ααα也是线性无关的.性质2【7】设V 是数域P 上的线性空间，σ是V 上的一个线性变换，且σ是V 中可逆的线性变换,线性空间V 中的向量组12,,,n ααα线性相关的充要条件是它们的象12(),(),,()n σασασα线性相关.证明：)⇒若12,,,n ααα线性相关，则存在不全为0的数12,,n k k k ，使得11220n n k k k ααα+++=.那么1221)))0(((n n k k k σαασσα+++=.所以12),),(,)((n σσσααα是线性相关的.)⇐若12),),(,)((n σσσααα线性相关，则存在不全为0的数12,,n k k k ，使得1221)))0(((n n k k k σαασσα+++=，由于σ是可逆的，那么有1122()0n n k k k σααα+++=，从而11220n n k k k ααα+++=.所以12,,,n ααα也是线性相关的.综上所述，该定理是成立的. 例8在C[0,1]中，线性变换f ()(t)xt tf dt σ=⎰，设有向量组1231,,23t t ααα===+.求1σα，2σα，3σα，并讨论1σα，2σα，3σα的线性相关性.解：由题意可得210232032301121323(23)(23)32xxxtdt x t t dt x t t t dt x x σασσασσασ=======+=+=+⎰⎰⎰因为3122332t ααα=+=+，即有123,,ααα线性相关，所以1σα，2σα，3σα线性相关.3.8利用朗斯基行列式来判定在n 阶线性常系数微分方程中，我们需要讨论基本解组，即找n 个线性无关的解，这时需要利用朗斯基行列式的相关理论来判断.引理1[6]一组n 个n 次可微的纯量函数12(),(),,()n x t x t x t 线性相关的充要条件是向量函数1212(1)(1)(1)12()()()()()(),,,()()()n nn n n n x t x t x t x t x t x t x t x t x t ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'''⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性相关.定理1[6]设12(),(),,()n x t x t x t 在[],a b 上有n 阶导数，若向量函数12(),(),,()n x t x t x t 在区间上[],a b 线性相关,则它们的朗斯基行列式1212(1)(1)(1)12()t ()()()()()0()()()n n n n n n x t x x t x t x t x t w t x t x t x t ---'''==（).定理2[6]设12(),(),,()n x t x t x t 在[],a b 上有n 阶导数，如果向量函数12(),(),,()n x t x t x t 在区间上[],a b 线性无关,则它们的朗斯基行列式1212(1)(1)(1)12()t ()()()()()0()()()n n n n n n x t x x t x t x t x t w t x t x t x t ---'''=≠（).例9判定下列向量组的线性相关性.（1）1,cos ,sin x x （2）221x ,23x +，解：（1）因为该向量组的朗斯基行列式为1cos sin 0sin cos 100cos sin x xx x x x-=-≠--，所以1,cos ,sin x x 线性无关.（2）因为该向量组的朗斯基行列式为221230240024x x x x +=所以221x ,23x +，线性相关.运用朗斯基判别法的一个缺点就是所要判定的函数必须具有高阶的导数才能判定，缺少了这个条件是不能判定的.4.结束语本文主要对向量组线性相关性的定义以及性质进行了分析，并且给出了一些判定方法，由于向量组的线性相关性是一个基础和重点问题，仅限于这些讨论是远远不够的，还有待我们作进一步的研究.参考文献[1]北京大学数学系几何和代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.[2]徐仲，陆全，张凯院，吕全义，陈芳，袁志杰.高等代数导教导学导考（北大.第三版）[M].西北工业大学出版社，2003.[3]王品超.高等代数新方法[M].北京:中国矿业大学出版社,2002.[4]钱吉森.高等代数题解精粹（第二版）[M].中央民族大学出版社，2010.[5]刘仲奎等.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2005.[6]王高雄等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006.[7]杨燕新，王文斌.关于向量组线性相关的几种判定[J].山西农业大学学报， 2005（8151）：292-294.[8]罗秀芹，董福安，郑铁军.关于向量组的线性相关性的学习探讨[J].高等数学研究，2005（9）：18-19.[9]肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法[J].伊犁师范学报（自然科学版），2008（3）：58-59.致谢值此毕业论文论文完成之际，首先要感谢我的指导老师邓燕林老师。