位移法——位移法的概念
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第八章位移法
8
r22
Z2 1
2
M1 图
2 令EI=4
解： n 2
iAB 1.6
iBC 2
iBD iCE 1
50
60 50
60
R1 p
120
R2 P
R1=0 R2=0
r11Z1 r12 Z 2 R1 p 0 r21Z1 r22 Z 2 R2 p 0
M P图
r11 6i
R1 p 24
代入（8-4）式可得
4 Z1 i
4.计算基本未知量
4 Z1 i
（实际为转角 A ）
M M1Z1 M P
5.采用叠加法绘最后内力图 3i r11
A B
120
96
A
Z1 1
R1P
C
C
96
M p图
B
160
3i
M1 图
108
4 M BA 3i 96 108kN m i 4 M BC 3i 120 108kN m i
两端固定的情况
M AB 4i A 2i B M BA
一端固定一端铰支情况
6i F AB M AB l 6i F 2i A 4i B AB M BA l
F F M AB M BA ------固端弯矩
A
B
6i Fl M BA 2i A 4i B AB 0 l 8 1 3i 1 F B ( A AB M BA ) 2 l 2i
基本结构
EI
n4
EI
n3
B A
C
D
G
F
n6 E
位移法—位移法的基本概念(建筑力学)
如何求基本未知量 ?
位移法
首先，附加一个约束使结点B不能转动（图
b），此时结构变为两个单跨超静定梁。在荷
载作用下，可用力法求得两个超静定梁的弯矩
图。由于附加约束阻止结点B的转动，故在附
加约束上会产生一个约束力矩
F1
3Fl
16
然后，为了使变形符合原来的实际情况，
必须转动附加约束以恢复 。两个单跨超
无附加约束，亦无约束力矩，故有
3Fl
3EI1 4 EI 2
0
B
l
h
16
位移法
3Fl
3EI1 4 EI 2
Biblioteka 0 Bh
16
l
解方程可得出 。将 求出后，代回图ｃ，将所得的结果再与图ｂ
叠加，即得原结构的最后弯矩图。
位移法
由这个简单的例子可知，
* 位移法是以结点位移作为基本未知量，
* 通过增加约束的方法，将原结构拆成若干个单跨超
静定梁来逐个分析，
* 再组合成整体，利用力和力矩的平衡方程求解未知
量的。
静定梁在B端有角位移 时的弯矩图同样可
由力法求得，如图ｃ所示。此时在附加约束
上产生约束力矩
3 EI 1 4 EI 2
F11
B
h
l
位移法
经过上述两个步骤，附加约束上产生的约束力矩应为11 和1P 之和。
由于结构无论是变形还是受力都应与原结构保持一致，而原结构在B处
位移法：以某些结点位移基本未知量
位移法
第一节 位移法的基本概念
图a所示刚架在荷载P 作用下，将发生双点画线所示的变
形。在忽略杆轴向变形和剪切变形的条件下，结点B只发生
位移法
首先，附加一个约束使结点B不能转动（图
b），此时结构变为两个单跨超静定梁。在荷
载作用下，可用力法求得两个超静定梁的弯矩
图。由于附加约束阻止结点B的转动，故在附
加约束上会产生一个约束力矩
F1
3Fl
16
然后，为了使变形符合原来的实际情况，
必须转动附加约束以恢复 。两个单跨超
无附加约束，亦无约束力矩，故有
3Fl
3EI1 4 EI 2
0
B
l
h
16
位移法
3Fl
3EI1 4 EI 2
Biblioteka 0 Bh
16
l
解方程可得出 。将 求出后，代回图ｃ，将所得的结果再与图ｂ
叠加，即得原结构的最后弯矩图。
位移法
由这个简单的例子可知，
* 位移法是以结点位移作为基本未知量，
* 通过增加约束的方法，将原结构拆成若干个单跨超
静定梁来逐个分析，
* 再组合成整体，利用力和力矩的平衡方程求解未知
量的。
静定梁在B端有角位移 时的弯矩图同样可
由力法求得，如图ｃ所示。此时在附加约束
上产生约束力矩
3 EI 1 4 EI 2
F11
B
h
l
位移法
经过上述两个步骤，附加约束上产生的约束力矩应为11 和1P 之和。
由于结构无论是变形还是受力都应与原结构保持一致，而原结构在B处
位移法：以某些结点位移基本未知量
位移法
第一节 位移法的基本概念
图a所示刚架在荷载P 作用下，将发生双点画线所示的变
形。在忽略杆轴向变形和剪切变形的条件下，结点B只发生
第十一章-位移法
X
3
0
即：
M
AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
为杆件AB的刚度方 程（转角位移方程）
§11-2 等截面杆件的刚度方程
讨论：当分别作用有单位位移情况
当 A 1，B 0， 0 时：
则有：
M M
AB BA
4i 2i
当 1， A 0，B 0 时：
则有：
M
AB
M BA
第 十 章 位移法
本章主要内容
➢位移法的基本概念 ➢等截面杆件的刚度方程 ➢无侧移刚架的计算 ➢有侧移刚架的计算 ➢位移法的基第本八章 位体移法 系 ➢位移法应用举例 ➢对称结构的计算
§11-1 位移法的基本概念
一.基本思路
如下图为一个对称结构承受对称荷
载 P。结点B只发生竖向位移 ，
水平位移为零。在位移法中，我们
在上例中，如只有二根杆，则结构是静定的，当杆数 3 时，结构
是超静定的。可见用位移法计算时，计算方法并不因结构的静定或 超静定而有所不同。
§11-1 位移法的基本概念
三.总结位移法计算的要点
要点：
(1) 位移法的基本未知量是位移。 (2) 位移法的基本方程是平衡方程。 (3) 建立基本方程的过程分为两步：
pq
11X1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21X1 22 X 2 23 X 3 2P 0 31X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
解力法方程，得：
X1 X2
？ ？
X 3 0
A
B
运用力法解，取基本体系如下：
pq
X1
X2
位移法基本概念
基本概念
F
A
B
C
D
E
BV
CV
D
E
G
解：由图可见，只有AB杆及CD杆有杆端相对侧移 -ΔBV 及ΔCV 。E端为弹簧铰，所以，刚结点有D和E。但是，因为CD杆旳刚 度无限大，ΔCV与D结点旳转角有关。
所以，构造有三个位移法变量：θE 、ΔBV 、ΔCV （或D结点 转角θD）
基本思绪
基本概念
三、位移法旳基本思绪---------先修改，后复原。
[举例]
基本概念
例题6
B
A
B
C
A
D
解：三根杆件，A支座为弹簧铰，有约束能力，也可产生转角， 但不可发生水平及竖向位移。C支座有约束能力，但可产生竖向 位移。
所以，位移法变量有：A、B处旳转角θA及θB ，C处旳竖向 位移Δ，共三个位移法变量。 BC杆有侧移Δ，D处无转角，C截面旳转角不作为位移法变量。
C
B
B
A 1．位移法变量：θB 2．修改旳措施
基本思绪
基本概念
1)在B结点附加刚臂，设想刚臂旳作用只是阻止结点B旳转动， 各杆旳弯矩不能相互传递。
2)求杆端弯矩。因为各杆旳弯矩不能相互 传递。所以AB杆与BC杆旳弯矩可独自求 解。即，对弯矩而言，BC杆等价于一端 固定，另一端铰支旳超静定杆；而AB杆
[举例]
基本概念
例题8 D
E
EI
F
EI
D
E
EI
EI1 EI
A B
C
F
F
解：①这是具有无限刚性杆旳构造，BD杆没有变形，只有刚体 侧移，设弦转角为θ。则因为结点E刚结点旳特征，三杆端在E 点保持相同旳转角，从而，结点E旳转角也为θ ②由结点E旳侧移方向垂直BE杆轴线，所以，ΔD =ΔE =ΔF =ΔH 与θ有关，不是独立旳变量。 ③至于弹簧支座，对变形没有影响，只与构造旳受力有关。
结构力学上第8章 位移法
(非独立角位移) l FQBA
M AB M BA
F 3i A 3i M AB l 0
3、一端固 FQAB
A
B1
B
l
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
(非独立线位移)
q B EI C L
Z1
q B
EI C
Z2 4i
Z1=1
EI A 原结构
L
=
Z2=1
EI A qL2 8 基本体系
=
3i
M1图×Z1 2i
+
6EI L2 6EI M2图×Z2 L2
+
qL2 8 MP图
在M1、M2、MP三个 图中的附加刚臂和链杆 中一定有约束反力产生， 而三个图中的反力加起 来应等于零。
M
q
应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超 静定梁的杆端弯矩表达式，汇总如下：
F 1）两端固定梁 M AB 4i A 2i B 6i M AB
M BA
l F 2i A 4i B 6i M BA l
2）一端固定另一端铰支梁
F M AB 3i A 3i M AB l M BA 0 3）一端固定另一端定向支承梁 F M AB i A i B M AB
3
2
1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
A
B
C
C
D
刚架结构，有两个刚结点D、E， 故有两个角位移，结点线位移由铰 结体系来判断，W=3×4－2×6=0， 铰结体系几何不变，无结点线位移。
A
B
11第十一章 位移法
A D
第二、基本结构在△1单独作用 时的计算（如右上图）
——使基本结构在Ｂ点发生结点 位移△1，结点Ｃ仍被锁住。先求 出杆ＢＡ、ＢＣ的杆端力，再 由平衡条件求出约束力Ｆ１１， Ｆ２１。
F11 B 1
C
F21
A
D 2 C F22
F12
第三、基本结构在△２单独作用 时的计算（如右下图） ——使基本结构在Ｃ点发生结点位移 △２，结点Ｂ仍被锁住。先求出杆 ＢＡ、ＣＤ的杆端力，再由平衡 条件求出约束力Ｆ１２，Ｆ２２。 B
1、如图示单跨超静定杆件AB，EI为常数，杆端A和B的角位移分别为 θA、θB，杆端A和B在垂直于杆轴方向上的相对位移为Δ。杆端 A和B的弯矩和剪力分别为MAB、MBA、QAB、QBA。
MAB
A
EI l
B
QAB
MBA QBA
杆端力和杆端位移的正负规定： ①杆端转角θ A、θ B ，弦转角 β ＝Δ /l都以顺时针为正。 ②杆端弯矩对杆端以顺时针为 正；剪力QAB、QBA同前规定。
住，得到无结点位移的超静定结构。
三、位移法的基本体系 ——把荷载和基本未知位移加在基本结构上，得到的体系。 B 2i C 4m D 2 D
2 B 2i
1
C
2 A 4m
i 基本结构 8m
i
3kN/m
i
原结构 8m
i
D
2
B 3kN/m
1
2i
C
A
i 基本体系 8m
i
A
4m
第四节
位移法方程
一、位移法的建立 （以下图所示结构为例，说明位移法方程的建立） q
第三节
位移法的基本未知量和基本体系 超静定结构计算的总原则:
第二、基本结构在△1单独作用 时的计算（如右上图）
——使基本结构在Ｂ点发生结点 位移△1，结点Ｃ仍被锁住。先求 出杆ＢＡ、ＢＣ的杆端力，再 由平衡条件求出约束力Ｆ１１， Ｆ２１。
F11 B 1
C
F21
A
D 2 C F22
F12
第三、基本结构在△２单独作用 时的计算（如右下图） ——使基本结构在Ｃ点发生结点位移 △２，结点Ｂ仍被锁住。先求出杆 ＢＡ、ＣＤ的杆端力，再由平衡 条件求出约束力Ｆ１２，Ｆ２２。 B
1、如图示单跨超静定杆件AB，EI为常数，杆端A和B的角位移分别为 θA、θB，杆端A和B在垂直于杆轴方向上的相对位移为Δ。杆端 A和B的弯矩和剪力分别为MAB、MBA、QAB、QBA。
MAB
A
EI l
B
QAB
MBA QBA
杆端力和杆端位移的正负规定： ①杆端转角θ A、θ B ，弦转角 β ＝Δ /l都以顺时针为正。 ②杆端弯矩对杆端以顺时针为 正；剪力QAB、QBA同前规定。
住，得到无结点位移的超静定结构。
三、位移法的基本体系 ——把荷载和基本未知位移加在基本结构上，得到的体系。 B 2i C 4m D 2 D
2 B 2i
1
C
2 A 4m
i 基本结构 8m
i
3kN/m
i
原结构 8m
i
D
2
B 3kN/m
1
2i
C
A
i 基本体系 8m
i
A
4m
第四节
位移法方程
一、位移法的建立 （以下图所示结构为例，说明位移法方程的建立） q
第三节
位移法的基本未知量和基本体系 超静定结构计算的总原则:
结构力学I第7章 位移法
2015-12-21
Page 25
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2015-12-21
Page 26
LOGO
§7-3 位移法解无侧移刚架
如果刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架 称为无侧移刚架。
位移法计算：
为什么不选结点C？
取结点角位移 ������������ 作为基本位置量。 C为支座结点！
6i 6i
/ /
l l
2015-12-21
A
=
1 3i
M
AB
1 6i
M
BA
l
M BA =0
B
=
1 6i
M
AB
+
1 3i
M
BA
l
M AB 3iA 3i / l
B 0
FQAB FQBA 0
M AB M BA
第七章 位移法
结构力学 I
浙江大学海洋学院 Tel : Email：
LOGO
§7-1 位移法基本概念
位移法是计算超静定结构的基本方法之一。
P
力法计算太困难了！
用力法计算，9个未知量 如果用位移法计算, 1个基本未知量
1个什么样的基本未知量?
Page 2
LOGO
§7-1位移法基本概念
一、位移法的提出（Displacement Method）
Page 20
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基 本结构为以下三种单跨超静定梁:
位移法图文课件
R1=0 r11 Z1+ R1P =0
r11=10i
r11 6i
4i
R1P
ql2 / 8
Z1=1
6i 2i M1
q ql2 / 8
MP
R1P ql 2 / 8 Z1 ql 2 / 80i M M1Z1 MP
位 1)确移定法基求ql解本2 /过体20程系q:和基本未知量
2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项
1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形) 基本未知量为所有刚结点的转角 基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构
Z1
Z2
2.有侧移结构(刚架与梁不计轴向变形)
Z1
Z2
Z3
基本未知量,基本结构确定I
EI
练习
感谢
谢谢，精品课件
资料搜集
5)解方程 ql 2 / 40 6)作M 弯矩图
4.3 位移法
一.单跨超静定梁的形常数与载常数 二.位移法基本概念
三.位移法基本结构与基本未知量
基本未知量:独立的 结点位移.包括角位移和线位移 基本结构:增加附加约束后,使得原结构的结点不能
发生位移的结构.
1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形) 基本未知量为所有刚结点的转角 基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构
位移法方程
R1=r11 Z1+ R1P =0
3Pl/16 3i/l
MP
Z1---位移法
5P/16
R1P 基本未知量 r11
Z1=1
EA r11 3i / l 2
3i / l 2
r11 6i / l 2 R1P 5P / 16
M1
Z1
Z1 5Pl 2 / 96i
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m
弯矩： 杆端——顺时针为正
AC
结点——逆时针为正
当结点上有荷载时,仍以顺时针为正
B
2. 杆端力与杆端位移的关系 ——建立杆端力与杆端位移和荷载之间关系 即：由杆端位移求杆端力
3. 转角位移方程 ——建立杆端力与杆端位移和荷载之间关系
单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动共同作用下
x
M
AB
=
4i A
M AC M AB
qA
A
Aq A M AB = 3iq A
M BA = 0
B
FP C
M AC
=
4iq A
FPl 8
MCA
=
2iq A
FPl 8
由 MA = 0 得：
7iq A
FPl 8
=0
４．求内力
q = FPl A 56i
A
FP C
EI
L
EI
B
3 FP l
56
LF/2P
L9/2FPl 56
M AB
2i B
6i l
DAB
MF AB
M
BA
=
4i B
2i A
6i l
DAB
MF BA
转角位移方程
固端弯矩
y
第 七 章 位移法
§7-3 位移法基本未知量
一、结点角位移
有多少个刚结点，就有多少个独立的结点角位移。
二、结点线位移 忽略轴向变形和剪切、弯曲变形较小的前提下,假定
各杆变形后保持长度不变,这样有些刚架就无线位移;虽然 有些结点有线位移,但其中一部分是线性相关的,我们只考
加约束 →求内力 →建立平衡方程 →求位移 →求内力
拆
合
拆
第 七 章 位移法
§7-2 等截面直杆的转角位移方程
1. 杆端弯矩的表示方法和正负号规定：
表示方法：双下标 如 : M AC , M AB 等 前一个下标表示近端,另一个下标表示远端。
转角： 结点转角——顺时针为正
杆端转角——顺时针为正
杆端相对线位移---使杆轴顺时针转为正
=
3iq A
=
3 56
FP L
M BA = 0
M (kN.m)
= F L MAC=4iq A源自FPl 83 56 P
= F L MCA
=
2iq A
FPl 8
9 56 P
位移法要点: 一、基本未知量： 位移
结点线位移和结点角位移
二、基本结构：无结点位移的结构
特殊的单根杆
三、基本方程： 平衡方程
四、基本步骤： 拆—合—拆
虑独立线位移。
判断独立线位移个数,可用“铰化结点、增加约束” 的办法来判断:
位移法基本未知量为独立结点线位移和角位移之和
判断图示结构位移法基本未知量。
例１
A
B
C
例３
D
E
F
例４
例２
A
B
E
F
C
D
G
H
例６
I
J
基本未知量,基本结构确定举例
EI =
2EI EI
EI =
作业（自己检查）: 7—1、7—2
第 七 章 位移法
§7-1 位移法的概念
例：
L
A
FP C
EI
EI
忽略轴向变形 D AH = D AV = 0， 因此，无结点线位移。
B
L/2 L/2
(结点 )角位移 q A 0。
1．单元分析
设
i
=
EI L
为杆件的线刚度
２．结构分析
A
FP C
EI
L
EI
３．解方程：
q = FPl A 56i
B
L/2 L/2
弯矩： 杆端——顺时针为正
AC
结点——逆时针为正
当结点上有荷载时,仍以顺时针为正
B
2. 杆端力与杆端位移的关系 ——建立杆端力与杆端位移和荷载之间关系 即：由杆端位移求杆端力
3. 转角位移方程 ——建立杆端力与杆端位移和荷载之间关系
单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动共同作用下
x
M
AB
=
4i A
M AC M AB
qA
A
Aq A M AB = 3iq A
M BA = 0
B
FP C
M AC
=
4iq A
FPl 8
MCA
=
2iq A
FPl 8
由 MA = 0 得：
7iq A
FPl 8
=0
４．求内力
q = FPl A 56i
A
FP C
EI
L
EI
B
3 FP l
56
LF/2P
L9/2FPl 56
M AB
2i B
6i l
DAB
MF AB
M
BA
=
4i B
2i A
6i l
DAB
MF BA
转角位移方程
固端弯矩
y
第 七 章 位移法
§7-3 位移法基本未知量
一、结点角位移
有多少个刚结点，就有多少个独立的结点角位移。
二、结点线位移 忽略轴向变形和剪切、弯曲变形较小的前提下,假定
各杆变形后保持长度不变,这样有些刚架就无线位移;虽然 有些结点有线位移,但其中一部分是线性相关的,我们只考
加约束 →求内力 →建立平衡方程 →求位移 →求内力
拆
合
拆
第 七 章 位移法
§7-2 等截面直杆的转角位移方程
1. 杆端弯矩的表示方法和正负号规定：
表示方法：双下标 如 : M AC , M AB 等 前一个下标表示近端,另一个下标表示远端。
转角： 结点转角——顺时针为正
杆端转角——顺时针为正
杆端相对线位移---使杆轴顺时针转为正
=
3iq A
=
3 56
FP L
M BA = 0
M (kN.m)
= F L MAC=4iq A源自FPl 83 56 P
= F L MCA
=
2iq A
FPl 8
9 56 P
位移法要点: 一、基本未知量： 位移
结点线位移和结点角位移
二、基本结构：无结点位移的结构
特殊的单根杆
三、基本方程： 平衡方程
四、基本步骤： 拆—合—拆
虑独立线位移。
判断独立线位移个数,可用“铰化结点、增加约束” 的办法来判断:
位移法基本未知量为独立结点线位移和角位移之和
判断图示结构位移法基本未知量。
例１
A
B
C
例３
D
E
F
例４
例２
A
B
E
F
C
D
G
H
例６
I
J
基本未知量,基本结构确定举例
EI =
2EI EI
EI =
作业（自己检查）: 7—1、7—2
第 七 章 位移法
§7-1 位移法的概念
例：
L
A
FP C
EI
EI
忽略轴向变形 D AH = D AV = 0， 因此，无结点线位移。
B
L/2 L/2
(结点 )角位移 q A 0。
1．单元分析
设
i
=
EI L
为杆件的线刚度
２．结构分析
A
FP C
EI
L
EI
３．解方程：
q = FPl A 56i
B
L/2 L/2