第20章 位移法
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结构力学_位移法
1
1
1 B
1 B
B
1 C
1 C
C C
FP FP A A D D
D
Z2 Z2
C
Z3 Z3 C
B B
D
B
C C
A
A
Z1 Z1
B
B
C
D D
2
2
F F E E
G G
Z4 Z4
G
G
F E
F
G
G
E
A D
A D
nB Y= 4
Z6
Z5 C
Z5
B
C
Z6
F
G
3、结点独立线位移数 (1) 先简化结构
1）除特殊指明外，梁与刚架一般不考虑由于轴向变形引
b)一端固定 一端铰支
c) 一端固定 一端定向支承
由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数。其中的杆端弯
F F 矩也常称为固端弯矩，用M BA 和 M AB 表示；杆端剪力也常称为 F F 固端剪力，用FQ 和 表示。 F AB QBA
常见荷载和温度作用下的载常数列入表中(书P5) 。
由杆端单位位移引起的杆端内力称为形常数，见书P279，7-7 式。表中引入记号i=EI/l，称为杆件的线刚度。
F 3i A 3i M AB l 0
3、一端固定另一端定向支承梁
FP B EI
A
A
MAB FQAB
A
B1
B
l
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
(非独立线位移)
M
q
应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超 静定梁的杆端弯矩表达式，汇总如下：
结构力学——6位移法和力矩分配法
△
△ △
4、5、6 三个固定端都是不动的点，结点1 、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其长 度不变，故三个结点均有相同的水平位移 FP △ 。
1
2
3
4
5
6
(a)
事实上，图(a)所示结构的独立线位移数 将结构的刚结点(包括固定支座)都变成 目，与图(b)所示铰结体系的线位移数目 铰结点(成为铰结体系),则使其成为几何 是相同的。因此，实用上为了能简捷地确 不变添加的最少链杆数，即为原结构的独 定出结构的独立线位移数目，可以 立线位移数目(见图b)。
4
5
6
(a)
共有四个刚结点，结点线位移数目为二 ，基本未知量为六个。基本结构如图所 示。
7
10 返回
5
6
(b)
例：确定图a所示连续梁的基本结构。 D B A C D B A C
（图a）
A A
B B
基本结构 基本结构
C C
D （图b） D
在确定基本结构的同时，也就确定了基本未知量及其数目。
EI
第六章
位移法和力矩分配法
§6—1 位移法的基本概念 §6—2 位移法基本未知量的确定 §6—3 位移法典型方程计算步骤和示例 §6—4 力矩分配法的基本概念 §6—5 用力矩分配法计算连续梁 §6—6 用力矩分配法计算无接点线位移刚架
1
§6—1
位移法的基本概念
一、位移法的提出(Displacement Method)
M
A
B
0
2i
r11 4i 4i 0
8EI r11 8i l
2i
M1
得
15
求自由项R1P，作出基本结构在荷载作用时的弯矩 图(MP图)。 取结点B为隔离体
△ △
4、5、6 三个固定端都是不动的点，结点1 、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其长 度不变，故三个结点均有相同的水平位移 FP △ 。
1
2
3
4
5
6
(a)
事实上，图(a)所示结构的独立线位移数 将结构的刚结点(包括固定支座)都变成 目，与图(b)所示铰结体系的线位移数目 铰结点(成为铰结体系),则使其成为几何 是相同的。因此，实用上为了能简捷地确 不变添加的最少链杆数，即为原结构的独 定出结构的独立线位移数目，可以 立线位移数目(见图b)。
4
5
6
(a)
共有四个刚结点，结点线位移数目为二 ，基本未知量为六个。基本结构如图所 示。
7
10 返回
5
6
(b)
例：确定图a所示连续梁的基本结构。 D B A C D B A C
（图a）
A A
B B
基本结构 基本结构
C C
D （图b） D
在确定基本结构的同时，也就确定了基本未知量及其数目。
EI
第六章
位移法和力矩分配法
§6—1 位移法的基本概念 §6—2 位移法基本未知量的确定 §6—3 位移法典型方程计算步骤和示例 §6—4 力矩分配法的基本概念 §6—5 用力矩分配法计算连续梁 §6—6 用力矩分配法计算无接点线位移刚架
1
§6—1
位移法的基本概念
一、位移法的提出(Displacement Method)
M
A
B
0
2i
r11 4i 4i 0
8EI r11 8i l
2i
M1
得
15
求自由项R1P，作出基本结构在荷载作用时的弯矩 图(MP图)。 取结点B为隔离体
位移法精选
C
弯矩图 (单位：kN.m)
（7）作剪力图 由 AB 杆隔离体得
10.14
由 BC 杆隔离体得
4.29 1.29 7.72
剪力图（单位：kN ）
5.86
例一:用位移法计算图示刚架,并作弯矩图. E=常数.
熟记了“形、载 常数”吗？ 如何求？
单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下:
单位弯矩图为
4i 4i 8i 4i 8i 4i 8i 2i 图 4i
2i
取结点考虑平衡
图
8i 4i
4i
4i
8i 4i
8i
荷载弯矩图
图
取结点考虑平衡
位移法典型方程：
请自行作出 最终M图
最终内力：
二、有侧移刚架的计算
例1 用位移法刚架的内力图。
R R
(a)原结构
(b) 基本体系
(c1)
(c)
(c2)
(d1)
(d)
(d2)
(e1)
(e)
(e2)
解： 刚架的位移法方程
A
B
位 移 法 中 的
基 本 单 跨 梁
A
B
等截面单跨超静定梁的力法结果(1) 形=形常数 载=载常数 形 形 载
表示要熟记！！！
等截面单跨超静定梁的力法结果(2) 载 载 载
等截面单跨超静定梁的力法结果(3) 载
载 载
等截面单跨超静定梁的力法结果(4) 载 形 形 载
1
等截面单跨超静定梁的力法结果(5) 载 载 载
结点B的力矩平衡条件，图6-2为
MBA
将杆端弯矩值代入上式后，得
B
MBC
图8-2 这个用以求解结点独立位移的平衡条件，称为 位移法方程。 所以
位移法知识讲解PPT127页
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支位位无位位等位
座 移 动
移 法 计
移 法 之
侧 移 、 有
移 法 之
移 法 基
截 面 直
移 法
和 温 度 改
算 对 称 结
直 接 平 衡
侧 移 刚 架 算
典 型 方 程
本 未 知
杆 的 杆 端
基 本 概
变构法例法量力念
1
§7-1 位移法的基本概念
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力
X2
l
A
-
l 6EI
X1
l 3EI
X2
l
B
-
6i l
- 6i l
12i l 2
1
QABXXMM12QBAABBA2224ElElii-II6AMAli22422Aii-ABBB6li--66BBiiA--llX123l32=2i1ll(119()/2l)
几种不同远端支座的刚度方程
（1）远端为固定支座
为减少基本未知量，这里仍然隐含梁或刚架不考虑轴向变形这 一假设。
2
位移法基本思路
简例:求各杆轴力。
✓ 图（a）所示，选取竖向位移Δ为基本未知量
✓ 图（b）所示，已知轴向位移ui，则，
(a)
a
a
a
a
2a
12 345
(b)
A i
Ai
li
B
ui
(c)
B
B
o
x
FN1
FN 5
y
B
FP
B
FN i
(d)
B
ui sini
结构力学位移法PPT_图文
6．校核。
用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无侧移 结构，如连续梁； 又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如铰接排架 和有侧移刚架等。
位移法应用举例
例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。
22.5
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
(a)
(b )
(c)
1）求qA1,qA1见上图(b) (d
(e)
(f)
(g )
2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到
由平衡条件得杆端剪力：见图(g)
等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度 方程。
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元 刚度方程
MfAB
MfBA
式中，MfAB、MfBA——为两端固定梁在荷载单独作 用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B
B' MBA
× ×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
29
30
31
32
9.3 基本未知量数目的确定
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
§9-5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架
用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无侧移 结构，如连续梁； 又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如铰接排架 和有侧移刚架等。
位移法应用举例
例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。
22.5
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
(a)
(b )
(c)
1）求qA1,qA1见上图(b) (d
(e)
(f)
(g )
2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到
由平衡条件得杆端剪力：见图(g)
等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度 方程。
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元 刚度方程
MfAB
MfBA
式中，MfAB、MfBA——为两端固定梁在荷载单独作 用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B
B' MBA
× ×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
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9.3 基本未知量数目的确定
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§9-5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架
自考结构力学_超静定结构的内力和位移
取C结点，如图6.12c所示，由∑y=0 得： 4 NCA = QCB = ql 7
取结点B，由∑X=0 ，已知 3 得 NBC = ql 7
3 x2 = ql 7
图6.12 求各杆轴力及剪力
三、力法典型方程
支座移动时的计算
X1
d11 X 1 d12 X 2 D1c = 0 h d 21 X 1 d 22 X 2 D 2c =
1、力法基本未知量 结构的多余约束中产生的多余未知力（简称多 余力）。
2、力法基本体系 力法基本结构，是原结构拆除多余约束后得到的 静定结构；力法基本体系，是原结构拆除多余约束 后得到的基本结构在荷载（原有各种因素）和多余 力共同作用的体系。
3、力法基本方程 力法基本体系在多余力位置及方向与原结构位移 一致的条件。 方程中的系数和自由项均是静定结构的位移计算 问题，显然，超静定转化为静定问题。
1 (d 11 ) k 25 X 1 = ql ( ) 32 5 X 1 = ql ( ) (c) 4
？
基 本 体 系
M图由M = M1 X1 M P 作出：
温度内力的计算
画出 M 1 , M 2 , N1 , N 2 图 计算
t1 t1 t2 t1 X1
t1 t2
梁刚架： 系 数 桁 架：
d d
d
M i yi = i ds= ii EI EI j yi Mi M j ds = ij = EI EI 2 N l = i ii EA
2
自由项
梁刚架：
桁 架：
d ij = EA M M ds D iP = EI
Ni N jl
d11 X1 d12 X 2 D1P = 0 d 21 X1 d 22 X 2 D2 P = 0
位 移 法
莱氏法维生素C生产工艺过程
1．D-山梨醇的制备 山梨醇是葡萄糖在氢作还原剂，镍作催化剂的条件
下，将葡萄糖醛基还原成醇羟基而制得的。
工艺过程 将水加热至70~75℃，在不断搅拌下逐渐加 入葡萄糖至全溶，制成50%葡萄糖水溶液，再加入活性炭 于75℃，搅拌10min，滤去炭渣，然后用石灰乳液调节滤 液pH8.4，备用。当氢化釜内氢气纯度≥99.3%，压强 >0.04Mpa时可加入葡萄糖滤液，同时在触媒槽中添加活性 镍，利用糖液冲入釜内，以碱液调节pH为8.2~8.4，然后 通蒸汽并搅拌。当温度达到120~135℃时关蒸汽，并控制 釜温在150~155℃，压强在3.8~4.0MPa。取样化验合格后， 在0.2~0.3MPa压强下压料至沉淀缸静置沉淀，过滤除去催 化剂，滤液经离子交换树脂交换，活性炭处理，即得D-山 梨醇。
概述
应用:维生素C（Vitamin C，VC）又名抗坏血酸，化学名称 为L-2,3,5,6-四羟基-2-己烯酸-γ-内酯。是人体不可缺少的要 素，维生素C是细胞氧化-还原反应中的催化剂，参与机体新 陈代谢，增加机体对感染的抵抗力。其结构式为：
性质：维生素C是一种白色或略带淡黄色的 结晶或粉末，无臭、味酸、遇光色渐变深， 水溶液显酸性。易溶于水，略溶于乙醇，不 溶于乙醚、氯仿和石油醚等有机溶剂。水溶 液在pH为5~6之间稳定，若pH值过高或过 低，并在空气，光线和温度的影响下，可促 使内酯环水解，并可进一步发生脱羧反应而 成糠醛，聚合易变色。
6．粗品Vc的精制
配料比为粗Vc（析纯）：蒸馏水：活性炭：乙醇=1： 1.1：0.06：0.6（质量比）。将粗品Vc真空干燥（0.9MPa， 45℃，20~30min），除去挥发性杂质（盐酸、丙酮），加 蒸馏水搅拌，待Vc溶解后，加入活性炭，搅拌5~10min， 压滤，滤液至结晶罐，加入50L乙醇，降温后加晶种使结
1．D-山梨醇的制备 山梨醇是葡萄糖在氢作还原剂，镍作催化剂的条件
下，将葡萄糖醛基还原成醇羟基而制得的。
工艺过程 将水加热至70~75℃，在不断搅拌下逐渐加 入葡萄糖至全溶，制成50%葡萄糖水溶液，再加入活性炭 于75℃，搅拌10min，滤去炭渣，然后用石灰乳液调节滤 液pH8.4，备用。当氢化釜内氢气纯度≥99.3%，压强 >0.04Mpa时可加入葡萄糖滤液，同时在触媒槽中添加活性 镍，利用糖液冲入釜内，以碱液调节pH为8.2~8.4，然后 通蒸汽并搅拌。当温度达到120~135℃时关蒸汽，并控制 釜温在150~155℃，压强在3.8~4.0MPa。取样化验合格后， 在0.2~0.3MPa压强下压料至沉淀缸静置沉淀，过滤除去催 化剂，滤液经离子交换树脂交换，活性炭处理，即得D-山 梨醇。
概述
应用:维生素C（Vitamin C，VC）又名抗坏血酸，化学名称 为L-2,3,5,6-四羟基-2-己烯酸-γ-内酯。是人体不可缺少的要 素，维生素C是细胞氧化-还原反应中的催化剂，参与机体新 陈代谢，增加机体对感染的抵抗力。其结构式为：
性质：维生素C是一种白色或略带淡黄色的 结晶或粉末，无臭、味酸、遇光色渐变深， 水溶液显酸性。易溶于水，略溶于乙醇，不 溶于乙醚、氯仿和石油醚等有机溶剂。水溶 液在pH为5~6之间稳定，若pH值过高或过 低，并在空气，光线和温度的影响下，可促 使内酯环水解，并可进一步发生脱羧反应而 成糠醛，聚合易变色。
6．粗品Vc的精制
配料比为粗Vc（析纯）：蒸馏水：活性炭：乙醇=1： 1.1：0.06：0.6（质量比）。将粗品Vc真空干燥（0.9MPa， 45℃，20~30min），除去挥发性杂质（盐酸、丙酮），加 蒸馏水搅拌，待Vc溶解后，加入活性炭，搅拌5~10min， 压滤，滤液至结晶罐，加入50L乙醇，降温后加晶种使结
第20章：力矩分配法
-ql
2／8
=
-10×8
2／8
=
-
80kN·m
F
MCB =0
将它们填入表中第二行相应杆端下面。
由表可求得B点的不平衡力矩。但因B点有 外力偶，故不平衡力矩等于：
MB = -80 +150 = 70 kN·m
3、计算分配弯矩与传递弯矩
将结点B的不平衡力矩反号乘以各杆分配系 数得各杆近端分配弯矩。将所得分配弯矩 乘以相应杆的传递系数即得远端传递弯矩。
Mjc C = Mij
远端固定端时，C = 1/2 远端铰支座时， C = 0 远端定向支座时， C = -1
三、最终弯矩
将第一步固定结点各杆端的固端弯矩与 第二步放松节点时相应杆端的分配弯矩 或传递弯矩相加即得出杆端的最终弯矩。
例20-1用力矩分配法计算图(a)所示的两 跨连续梁，画出弯矩图。
3、将杆端的固端弯矩与分配弯矩或 传递弯矩相加，得到杆端最终弯矩。
一、固定结点
在结点1上附加刚臂，限制结点1的转动，原刚 架被解体成三个单跨梁，此时单跨梁A1两端 产生的弯矩即是位移法中所提到的固端弯矩。
q
M1
A 1
C
M1
M1A 1
M1C
B
M1B
查表得：MAF1 = 0
M1FA = 1 ql 2 由于附加刚臂阻8止了结点1转动，附加
F
MBA=
Pa
2b/l
= 50×42×6/10
= 48 kN·m
F
MBC=-ql
2/12=-25×122
/12=-300
kN·m
F
MCB=
ql
2/12=
25×12
2/12=
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上式可写为
i M AB 4i A 2i B 6 l
i M BA 2i A 4i B 6 l
在求A端弯矩时，习惯上将A端叫近端，而B端叫远端；在求B端弯矩 时，将B端叫近端，A端叫远端，则上两式可表述为： 杆端弯矩等于近端转角的4i倍，远端转角的2i倍与相对线位移的6i/l 倍的叠加。至于杆端的剪力，可用杆的平衡方程求出。
1 角2 线
2角1线
1角2线
2角2线
1 角1 线
1 角1 线
20.1.2 基本结构
位移法的基本结构是在原结构上增加与基本未知量相对应的附加约束， 得到一个超静定杆的综合体。
图示的位移法基本结构，它是在节点C增加了与节点C相对应的约束
（以控制节点C的转动），叫附加刚臂；在节点C或D增加与线位移相 对应的水平链杆（以控制节点C、D的水平位移），叫附加链杆。
端之间的距离在变形前后保持不变，从而减少了结构中独立的节点
线位移数目。
结构的独立节点线位移的数目等于刚架的层数。 独立节点线位移数目还可用铰化节点法来确定：把原结构的所有刚节点均 改为铰节点，固定端支座改为固定铰支座，得到一个相应的铰化体系。若 铰化后的体系为几何不变，则原结构的所有节点均无线位移。若铰化后的 体系是可变体系或瞬变体系，用增设链杆的方法使之成为几何不变体系， 而所需增设的最少链杆数目就是原结构独立的节点线位移数目。
第20章 位移法
20.1 位移法的基本概念 20.2 位移法的典型方程 20.3 位移法计算举例 20.4 对称性的利用 小结
位移法是计算超静定 结构的基本方法之一.
P
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
20.1 位移法的基本概念
将结构拆散并用单跨超静定梁的转角位移方程求解各杆的杆端弯矩 时，除了需知道各杆刚节点（相当于固定端）的转角，还要求知道 各杆端（不论刚接或铰接）的线位移，以确定杆件的侧移。在用位 移法解题时，基本未知量就是指要求得结构各杆端内力所需要的独 立节点的转角和独立的节点的线位移。
4i A
2i B
θB
Δ
M BA
时有：
6i l
θA
B
M AB 3i A
M AB
3i l
Δ
当A端产生角位移 A ,且AB杆的B端产生竖向位移 Δ 时有： 3i M AB 3i A M BA 0 l 3）一端固定另一端定向支座的单跨梁 A θA 当A端产生角位移 A 时有： M AB i A M AB i A
b)
位移法基本结构
支座移动时超静定结构的内力计算 例 图示超静定梁，设支座A发生转角，作梁的弯矩图。 解： 1)建立基本体系。 原结构为一次超静定结构 2)建立力法典型方程 。 原结构在B处无竖向位移
11 X 1 1C 0
3)画 M 1 图。 计算系数和自由项
1 1 2 l3 ( l l l点力与结点位移之间的关系。 即：建立结构的位移法基本方程。
位移法典型方程及计算步骤 一、解题思路
q (a)
A
l A
ø B
B
ø B
C Z1 = ø B R=0 q B ø B C
l
ø B q ø B C (b’) A
(b)
B
ø B
Z1 = ø B
(c)
A
ø B B ø B
11
1C F R C (l ) l
4)求解多余未知力 l3 3 EI X1 X 1 l 0 l2 3 EI 5)绘制弯矩图 M M 1 X1
M AB l 3 EI 3 EI l2 l
M BA 0
2. 等截面直杆的杆端力 （1）由杆端位移求杆端力：如图所示为两端固定的等截面直杆。今设支
20.1.1 基本未知量
1. 独立的节点角位移未知量 根据变形连续条件，结构中刚节点处各杆的杆端转角都相等，且等于
该刚节点的转角。
独立的节点角位移基本未知量的个数等于结构的刚节点数。
2. 独立的节点线位移未知量 在一般情况下，每个节点均可能有水平和竖向两个位移。不考虑受 弯构件的轴向变形，并设弯曲变形是微小的，于是认为受弯直杆两
图b所示的杆端弯矩均为正值。
（2）杆端剪力：绕着其所作用的隔离体顺时针转向为正，逆时针转向 为负。图示的剪力 FSAB 、FSBA 均为正值。
（3）杆端转角：杆端转角规定顺时针转向为正，逆时针转向为负。 B 均为正值。 图示的A、B端转角位移 A 、
（4）杆端相对线位移：杆件两端相对线位移用△表示，如将B端相对于 A端的线位移记为 AB ， A端相对B端的线位移记为 BA。显然有
B 3ql/28 Q图
C
B
M图
3ql/7
20.1.3 基本方程的建立
连续梁
位移法方程 R1 0 叠加法
基本结构
1）基本结构在荷载单独作用下，节点B处于锁住状态。先求出基本结 构在荷载作用下BC杆的杆端力，之后可求出附加刚臂的约束力矩 R1F 。
B 单独作用下，即使基本结构的节点B发生角 2）基本结构在基本未知量 位移 1 (1 B ) 。这时可求出杆件BA和BC的杆端力，便可知附加刚臂 的约束力矩 R11。
1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形)
Z1 Z2
2.有侧移结构(刚架与梁不计轴向变形)
不考虑各杆长度的改变. 如果把所有的刚结点(包括固定支 座)都改为铰结点，则此铰结体系的自由度数就是原结构的 独立结点线位移的数目. Z1 Z2 Z3
基本未知量,基本结构确定举例
EI
如何确定基本未知量举例：
B
l
Z1 A
原结构
q
B ø B
ql/8 C
2
ø B
C
A
基本体系
4 EI 3 EI 7 EI r11 l l l
ql/14
A ql/28
2 2
r11 Z1 R1 p 0
R1 P
ql/8 C A
2
ql 2 8
ql 2 3 R1 p ql Z1 8 7 EI r11 56EI l 4ql/7
11
1 1 2 1 l 1 l EI 2 3 3EI
22
1 1 2 1 l 1 l EI 2 3 3EI
33
1 11 l l EA EA
1 1 1 1 l 1 l EI 2 3 6 EI
2
f BA
ql 2 12
M
f BA
pl 8
M
f AB
ql 2 8
B
M
f BA
3 pl f M AB 0 16
f M BA 0
梁端弯矩： 对杆端而言弯矩绕杆端顺时针方向为正,逆时针方向为负;
对结点或支座而言,则顺时针方向为负,逆时针方向为正.如图 梁端剪力：使杆件有顺时针方向转的趋势为正,反之为负.(与前面规定相同)
A B A B
结点或支座
杆端
⑵ 杆端位移(结点位移)正负号的规定 角位移： 设顺时针方向为正,反之为负。
M>0
M<0
杆端相对线位移： 设使杆件沿顺时针方向转时为正,反之为负。
位移法的基本概念
一、位移法的基本思路
将结构拆成杆件，再由杆件过渡到结构。即：
拆成 搭接成
结构
杆件
结构
第一步
第二步
第一步：杆件分析 找出杆件的杆端力与杆端位移之间的关系。 即：建立杆件的刚度方程。
X1 4
X2 2
EI EI EI A 2 B 6 2 l l l
EI EI EI A 4 B 6 2 l l l
l l X1 X 2 B 6 EI 3EI l
l X3 0 EA
X3 0
i 令：
EI ，称为线刚度，注意到X1 、 X 2 即为杆端弯矩M AB ， M BA l
单跨超静定梁的杆端内力
本节讨论单跨超静定梁由荷载、杆端位移（包括线位移及角位移）产生 的杆端内力（包括杆端弯矩及杆端剪力）。 1.杆端内力与杆端位移的正负号规定 （1）杆端弯矩：将图示单跨梁（图a）从端部截开（图b）。对杆段AB， 杆端弯矩规定为绕杆端顺时针转向为正，逆时针转向为负。与此相应，对
节点A或B，则绕节点绕逆时针转向为正，顺时针转向为负。
B 与△。 座A、B处分别发生位移 A 、
这是个3次超静定问题，取简支梁为基本结构。位移条件为
1 A
2 B
3 0
力法方程为
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1C 1 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2C 2 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3C 3
因为：R11=r11Z1 (见下图）
C
ø B
所以： r11Z1 +R1P=0
Z1=－ R1P／ r11
Z1 = ø B (c) A ø B R11 ø B B R1P q (d) A C A C Z1 = １ ø B
r11
B
ø B
C
B
3、解题示例
A ø B
q ø B l C A 2EI/l
Z1 = 1 4EI/l B 3EI/l 2 M1图 ql/8 B Mp图 C
12 21
13 31 23 32 0
1 1C F RC l l
1 2 C F R C l l
3C 0
代入力法方程，得
l l X1 X2 A 3EI 6 EI l