7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
结构力学-位移法
点转角可由柱顶侧移表示出来。
（4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的， 柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。
a
Δ Δ
§7.4 位移法举例
例1:
q
B EI C
EI
杆长为：l
A
解：1.确定未知量
未知量为: B
2.写出杆端力的表达式
BC杆
M Bc
3
EI L
二、基本未知量的确定
1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角
1
2
1
2.有侧移结构
1
2
3
例1. B
C 例2. B
C
A
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
例3. B
l
A
F11
4EI A l
4EI A l
B
2
E l
I
A
θA
4i
2
E l
I
A
A
ql3 96 EI
4E l
I
A
基本体系法解题要点：
（1）位移法的基本未知量是结点位移；
（2）位移法的基本结构----单跨梁系； （3）位移法的基本方程是平衡方程； （4）建立基本方程的过程分为两步：
1）把结构拆成杆件，进行杆件分析； 2）再把杆件综合成结构，进行整体分析； （5）杆件分析是结构分析的基础。
第7章 位移法
基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷 载作用下内力的计算。 掌握位移法方程建立的两种途径：一是利用直接平衡法 建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用基本体系建 立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。 掌握对称性的利用。
位移法结构力学知识点概念讲解
位移法结构力学知识点概念讲解位移法是结构力学中常用的一种分析方法，通过计算结构的位移来求解结构的内力、应力和变形等问题。
它的基本思想是建立结构的位移与应力之间的关系，并利用位移方程和边界条件，求解结构的位移分布，进而获得结构内力、应力和变形等信息。
1.位移概念：结构的位移是指结构中各点相对于参考点的位置变化量。
通常用向量形式表示，位移向量包含所有结构节点的位移分量。
位移分量包括两个方向的位移：横向位移和纵向位移。
横向位移是结构在水平方向上的位置变化，纵向位移是结构在垂直方向上的位置变化。
2.位移分布方程：位移分布方程是描述结构位移与应力之间关系的基本方程。
根据结构的力学特性和边界条件，可以建立位移方程。
一般情况下，位移方程包含多个线性方程，通过求解这些方程组，可以得到结构的位移分布。
常用的位移分布方程包括静平衡方程、变形方程和边界条件等。
3.静平衡方程：静平衡方程是结构力学中最基本的方程之一，它描述结构受力平衡的条件。
根据牛顿第二定律，结构的受力和位移之间存在其中一种关系。
通过建立结构受力平衡的方程，可以获得结构的位移分布。
4.变形方程：变形方程是位移法分析中的重要概念，它用来描述结构的变形与应力之间的关系。
根据结构力学理论，结构受到外力作用时，会发生形变，形成内力和应力。
通过建立变形方程，可以求解结构内力和应力分布。
5.边界条件：边界条件是位移法中必须考虑的条件，它是解决位移方程的关键因素。
边界条件主要包括结构的支座约束条件和结构受力边界条件。
支座约束条件指明结构的一些节点固定或受到特定的位移限制，受力边界条件指明结构的一些部分受到特定的外力或力矩作用。
6.内力和应力计算：通过求解结构的位移分布，可以计算得到结构的内力和应力。
内力是指结构中各点所受的力的大小和方向，包括轴力、剪力和弯矩等。
应力是指结构内部各点处的应力大小和方向，包括正应力和剪应力等。
7.变形计算：位移法可以用来计算结构的变形情况，包括横向变形和纵向变形。
位移法基本概念
基本概念
F
A
B
C
D
E
BV
CV
D
E
G
解：由图可见，只有AB杆及CD杆有杆端相对侧移 -ΔBV 及ΔCV 。E端为弹簧铰，所以，刚结点有D和E。但是，因为CD杆旳刚 度无限大，ΔCV与D结点旳转角有关。
所以，构造有三个位移法变量：θE 、ΔBV 、ΔCV （或D结点 转角θD）
基本思绪
基本概念
三、位移法旳基本思绪---------先修改，后复原。
[举例]
基本概念
例题6
B
A
B
C
A
D
解：三根杆件，A支座为弹簧铰，有约束能力，也可产生转角， 但不可发生水平及竖向位移。C支座有约束能力，但可产生竖向 位移。
所以，位移法变量有：A、B处旳转角θA及θB ，C处旳竖向 位移Δ，共三个位移法变量。 BC杆有侧移Δ，D处无转角，C截面旳转角不作为位移法变量。
C
B
B
A 1．位移法变量：θB 2．修改旳措施
基本思绪
基本概念
1)在B结点附加刚臂，设想刚臂旳作用只是阻止结点B旳转动， 各杆旳弯矩不能相互传递。
2)求杆端弯矩。因为各杆旳弯矩不能相互 传递。所以AB杆与BC杆旳弯矩可独自求 解。即，对弯矩而言，BC杆等价于一端 固定，另一端铰支旳超静定杆；而AB杆
[举例]
基本概念
例题8 D
E
EI
F
EI
D
E
EI
EI1 EI
A B
C
F
F
解：①这是具有无限刚性杆旳构造，BD杆没有变形，只有刚体 侧移，设弦转角为θ。则因为结点E刚结点旳特征，三杆端在E 点保持相同旳转角，从而，结点E旳转角也为θ ②由结点E旳侧移方向垂直BE杆轴线，所以，ΔD =ΔE =ΔF =ΔH 与θ有关，不是独立旳变量。 ③至于弹簧支座，对变形没有影响，只与构造旳受力有关。
位移法典型方程是根据
位移法典型方程是根据
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目录
1.位移法的基本概念
2.位移法的典型方程的建立
3.位移法的应用和影响
正文
一、位移法的基本概念
位移法是一种求解固体力学问题的数值方法，它是基于变分原理和虚功原理发展起来的。
位移法通过引入位移变量，将原问题转化为求解位移变量的问题，从而简化问题的求解过程。
在位移法中，典型方程是一个重要的基础，它描述了位移变量与应变、应力之间的关系。
二、位移法的典型方程的建立
位移法的典型方程是根据位移原理推导得到的。
位移原理认为，在外力作用下，固体的位移是由于内部应力引起的。
因此，可以通过求解固体内部的应力分布，来确定固体的位移。
位移法的典型方程是一个线性方程，它包含了位移变量、应变和应力三个变量。
通过求解这个方程，可以得到位移变量的值，从而确定固体的位移。
三、位移法的应用和影响
位移法在固体力学中有广泛的应用，它可以用来求解许多实际问题，比如梁的弯曲、板的屈曲等。
位移法的典型方程为这些问题的求解提供了一个基础，使得问题变得更加容易处理。
此外，位移法还对有限元法的发展产生了重要影响。
有限元法是一种常用的数值方法，它通过将问题划分为多个子问题，来求解问题。
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结构力学龙驭球第八章
第八章 位移法总结
A EI
B EI
C
2EI D
一根直杆的刚度不同时, 位移基 本未知量的确定
如图，将BD杆分为BC和CD两根 杆件，则本题有三个未知量 B，
C ，⊿C。
第八章 位移法 总结
(a) E F G
F
C
B l/2
D l
H
A
l
l/2 l/2
(b) C
F B
D
A
(c) C
F D
3 F /28
(3) 在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单位
位移Δj =1下的弯矩图 及M荷j 载作用下的弯矩图MP
第八章 位移法总结
由平衡条件求出系数kij和自由项Fi P；
(4) 解方程求Δj；
注意：一切计算
(5) 按叠加原理计算杆端弯矩。 都是在基本结构上进
M M 1 1 M 2 2 M n n M p 行!
第八章 位移法总结
MKF112q2a2
qa2
24
MFK11q2a281q2a245q82a
(c) m K
C
q
(d)
F
K
n
q/ 2
(e)
F
K
q/ 2 F
MCK112q2a281q2a2q42a8 M KC
qa2 24
再将图c荷载分解为为正对称与反对称的 叠加，取半结够如图d（正对称 ）、图 e(反对称）所示。由叠加得： （上拉） （上拉） （左拉） （右拉）
三、几个值得注意的问题
1. 位移法的适用条件
(1) 位移法既可以求解超静定结构，也可以求解静定结 构；
(2) 既可以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变 形；
位移法的知识点总结
位移法的知识点总结一、基本原理1. 位移法的基本原理位移法是以位移为基本变量进行分析的一种结构分析方法。
它的基本原理是根据结构受力状态和边界条件，通过对结构各部分的变形进行分析，推导出结构的位移场。
根据结构力学的基本原理，结构的受力和变形是密切相关的，因此通过分析结构的位移场，可以获得结构的受力分布和变形情况，为结构的设计和分析提供重要参考。
2. 位移的重要性在结构力学中，位移是描述结构变形的基本形式之一，它直接反映了结构受力的情况。
在进行结构分析时，通常可以通过计算结构的位移场来获得结构的受力分布和变形情况。
因此，位移是结构分析的重要变量，在位移法中被广泛应用。
3. 位移法的实质位移法的实质是通过假设结构各部分的变形是线性的，即受到外力作用后，结构的变形与受力成线性关系。
这一假设是位移法能够简化结构分析的基础，使得结构分析更加方便和实用。
二、应用范围1. 适用范围位移法适用于各种类型的结构，包括梁、柱、板、桁架、壳体等。
它可以用于解决结构在受力作用下的位移和变形问题，对于复杂结构的受力分析和设计具有广泛的适用性。
2. 适用条件位移法的应用条件包括结构受力状态和边界条件的明确，结构各部分的变形可线性假设，结构受力和变形之间存在较强的相关性等。
在满足这些条件的情况下，位移法可以有效地用于解决各种结构受力和变形问题。
三、操作步骤1. 结构建模首先需要对结构进行建模，确定结构的几何形状、受力条件和边界条件等。
通过建模可以获得结构的刚度矩阵和载荷向量，为后续的分析提供基础数据。
2. 变形分析根据结构的刚度矩阵和载荷向量，可以建立结构的位移方程。
通过对位移方程进行分析，可以获得结构的位移场，揭示结构受力和变形的关系。
3. 反演求解根据结构的位移场，可以反演求解结构的受力分布和变形情况。
通过求解可以获得结构各部分的受力情况，评估结构的受力状况和安全性。
4. 结果分析最后需要对求解结果进行分析，评估结构的受力和变形情况。
结构力学位移法
P A
MAB0
B MBA0
2、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同 “材力”。 P A
QAB0
B QBA0
静超静定结构计算——位移法
3、固端弯矩、固端剪力：单跨超静定梁仅由于荷载作 用所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称为固端 剪力。用MAB、MBA、QAB、QBA表示。
EI EI EI f 三、两端固定梁的转角位移方程 M AB 4 A 2 B 6 M AB
A D
B
C
1、写出杆端力的表达式( Z1 B , Z2 c ) ：
M AB 2 M BA M BC EI 30 6 Z1 l 8 EI 30 6 4 Z1 l 8 EI EI 4 Z1 2 Z2 l l
M CB 2 M CD M DC EI EI Z1 4 Z2 l l EI 10 6 2 3 Z2 l 8 0
2 EI 4 EI Z Z 2 22.பைடு நூலகம் 0 1 3 3 2 EI Z 7 EI Z 45 0 1 2 6 3
28.56 Z 1 EI Z 46.73 2 EI
解方程，求得
静超静定结构计算——位移法 2、根据平衡条件列位移法方程 ：
MCB C MCD 30kN B QBA
C QCD
M CB M CD 0 QBA QCD 30 0
即：
3i ( 3 iZ ) ( 4 iZ Z2 ) 0 1 1 2 ( 3i Z 30) ( 3i Z 3i Z ) 0 1 2 16 2 2 4
4、确定线位移的方法
（1）由两个已知不动点所引出的不共线的两杆交点也 是不动点。
位移法
• 在位移法典型方程中，每个系数都是单位 结点位移所引起的附加约束的反力，它的 大小与结构刚度有关，刚度愈大则反力也 愈大。故把系数称为结构的刚度系数，把 典型方程称为刚度方程，把位移法也叫刚 度法。 无论刚架、连续梁、铰接排架还是组合结 构，也无论结构形式有多大差异，也不管基 本未知量的类型有什么不同，只要结构的位 移法基本未知量数目相同，位移法方程形式 都是相同的。
Z2 l
EI l P
R2
Z1
r21
3i/l
Z1=1
2EI
R1
12i/l
12i/l
3i/l
r11
M1
l R2=0 R1 r11 Z1 r12 Z 2 R1 P 0 Z2=1
R2 r21 Z1 r22 Z 2 R2 P 0
r22 r12 P
M2
R2P R1P
MP
M M 1 Z1 M 2 Z 2 M P
3i r11 30i / l 2 8i 3i / l r12 r21 9i / l r21 4i R1 P P 3i / l 2 12i / l r22 11i 3i r22 24i / l 2 R2 P 0 3i / l Z1 0.044Pl 2 / i 8i 12i / l Z 2 0.036Pl / i R2P P
二、杆端内力的正负号规定 杆端弯矩M：对杆件而言，当杆端弯矩绕杆件 顺时针方向旋转为正，反之为负。对结点而言，当 杆端弯矩绕结点（或支座）逆时针方向旋转为正， 反之为负 杆端剪力Q：正负号的规定，同材料力学和本 书中前面的规定。
三、等截面直杆的刚度系数和固端力
形常数:：是指使单跨超静定杆件在杆端沿某位移方向 发生单位位移时，所需要施加的杆端力。又称为刚度 系数 载常数：单跨超静杆件在荷载等外部因素作用下引起 的杆端内力，常称为固端内力（包括固端弯矩和固端 剪力）。
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M AB
2i AB Z1
3 Pl 56
M BA
4i AB Z1
3Pl 28
M BC
3iBC
Z1
3Pl 16
3Pl 28
MCB 0
（五）作M图：
3Pl
28
P
A
C
3Pl
B
56
M 图 (kN m) 11Pl 56
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
一、基本思路
位移法通过引入附加约束，把原 超静定结构转化为若干单跨梁的组合 体，从而把复杂结构的计算问题转化 为简单杆件的分析和综合问题。
B
M BC
M BA
为了区别弯矩转向和力的方向， 在Z1方向上带两道竖杠，以表示 它是转角位移。
平衡条件
MB 0
RB 0
即，RB M BC M BA 0
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
一、基本思路
（三）列方程求Z1：
平衡条件
M BA M BC 0
Z1 P
列等截面直杆转角位移方程：
（一）n1：表示刚结点数目：
注意： 1.包含组合结点；
2.不包含与EI=∞杆刚结的结点。
EI
Z1
Z2
EA
n1=2
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
2、位移法基本未知量数目 （二）n2：独立的结点线位移数目：
认为变形前后杆件两端距离保持不变
n2：由不动点原理来确定； 不动点：无线位移的点。
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
二、位移法基本概念： （一）基本结构：
在原结构上增加一些附加约束（刚臂、支座
链杆），以使原结构变成若干单跨超静定梁的组 合体。该组合体称为位移法基本结构。
它是位移法的研究对象。
A
Z1 P
B
C
（二）基本未知量：
附加约束处，在附加约束方向上原结构的实际
位移。包括刚结点转角、独立结点线位移。
2.求出基本未知量后，它又是求解杆端内力的依据。
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
三、位移法基本未知量的确定
1.位移法基本未知量类型
Z1
Z2
结点角位移 n1
用
独立结点线位移 n2 用
表示 表示
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
三、位移法基本未知量的确定
2、位移法基本未知量数目：
n n1 n2
不动点原理：由两个不动点引出的两根不共线直 杆的交点是一个新的不动点。
方法：使所有结点成为不动点所需增加的最少支座
链杆数目就是n2。
EI
n1=2 n2=2
EA
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
应用1：无侧移刚架的计算示例（只有结点角位移）
用位移法计算图示结构，并作M图。
q
B
C
EI
P ql EI
1 12
ql
2
Z1
q
B
C
P ql
M CB
2i
Z1
1 12
ql
2பைடு நூலகம்
A
4.回代，求 基本未知量Z1：
M BA M BC 0
7i Z1
3 ql2 16
1 ql2 12
0
Z1
5 7i
1 48
ql
2
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
5.回代，并求各杆杆端弯矩：
M AB 0
M BA
1 7
ql 2
Z1
发生与原结构相同的位移（复原）；
（三）利用平衡条件建立基本方程：RB M BA M BC 0
（四）写出转角位移方程，并求杆端剪力。 （五）解方程，求基本未知量； （六）回代，并作弯矩图。
优点：物理概念清楚，便于记忆。 缺点：书写内容较多，给出的方程不及力法典型方程 “整齐”。
l2
Z1
q
B
C
P ql
l2
A
l
A
解： 1.确定基本结构：
2.列基本方程
即R1 0 , 得：M BA M BC 0
R11 Z1 M BC
B
M BA
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
3.写出各杆端弯矩表达式：
M AB 0
熟记载常数 和形常数了吗?
M BA
3i
Z1
3 16
ql
2
M BC
4i
Z1
5 7i
1 ql2 48
M BC
1 ql2 7
M CB
3 ql2 56
6.求作M图：
1 ql 2 7
q
3 ql 2 56
B
C
P ql A
3ql 2 112 5 ql 2 28
M图 (kN m)
这种解题的方法又叫角变位移法
重点小结
一、角应变用位平移衡法条的件解建题立步位骤移法方程的解题步骤
（一）确定基本未知量数目，并确定基本结构； （二）使基本结构承受原来的荷载，并令各附加约束
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
（三）基本方程：
表示附加约束上无约束反力的方程。 RB 0
1.对于附加刚臂：
Z1 P
A
B
C
基本方程为力矩平衡方程。
2.对于附加链杆：
基本方程为链杆方向上力的平衡方程。
等截面直杆转角位移方程的重要性：
1.它是把基本未知量与杆端内力联系起来，是建立位 移法基本方程、求解基本未知量的基础。
第七章 用位移法计算超静定结构
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
建筑工程系
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
一、基本思路：
例：用位移法求解图示连续梁，并作M图：
P
A
B
C
(a)
EI
EI
l
l2 l2
竖向和水平不能移动； B点 能转动 AB、BC在B端产生相同转角Z1
(b)A
B
C 限制转动的约束称为刚臂，
用符号 表示。
（一）加刚臂，原结构变为2
(c) A
B
个相对独立的单跨超静定梁
B
C
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
一、基本思路：
Z1
(二) 在（c图）上加上荷载，
A
B Z1 P
并使它发生实际位移Z1 （即 恢复原状），得到d图。
(d )
B
C
变形一致
Z1 P
A
B
C
(e)
（三）列方程求Z1：
RB
Z1
A
B
C
M AB 2 i AB Z1 ， M BA 4 iAB Z1
(e)
M BC
3 iBC
Z1
3 16
Pl
，
M CB
0
A
Z1
B Z1 P
4
i AB
Z1
3
iBC
Z1
3 16
Pl
0
令iAB
iBC
EI l
B
C
(d )
Z1
3Pl 2 112EI
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
一、基本思路
（四）将Z1回代到转角位移方程，得出杆端弯矩：