结构力学-位移法
结构力学 位移法
6i
12i
3i
l
l2
l
6i
θ=1
3i
1
0 0
3i
l
3i
l2
A
θ=1
i
B i
i
－i
0
10
§7-2 等截面直杆的刚度方程
四、说明：
⑴杆件的线刚度应为杆件的抗弯刚度EI除以杆件长度l。 ⑵转角位移方程中杆端位移若为负应以负值代入以获得杆端弯矩。 ⑶固端弯矩表在应用时，应随实际杆件所受荷载，其固端弯矩作相应变化。
B
ql2/16
EI l
q
A
EI=C
l
l
A
EI l
B EI
C l 3ql2/32
中点
5
§7-2 等截面直杆的刚度方程
一、两端固定杆件的转角位移方程 ⑴杆端位移和杆端弯矩的正负规定 MAB P
①角位移θA、θB顺时针为正。
②Δ=vB-vA A、B两点的相对侧移，使杆件 产生顺时针方向旋转角βAB=Δ/l 的Δ为正。 ③杆端弯矩规定顺时针为正。 ⑵两端固定杆件的转角位移方程 M1AB
1
A
原结构有两个基本未知量 B
1
14
§7-2 等截面直杆的刚度方程
⑷位移法基本结构的构成。 位移法的附加约束法构造基本结构时，在刚结点角位移处加入附加刚臂， 在结点独立线位移处沿线位移方向加入附加链杆。 Δ1 基本结构 Δ3 Δ2 Δ4 Δ5 Δ6
B
Δ2
Δ1 C
基本结构 A
B
Δ3 C
Δ4
A
3
§7-1 位移法基本概念
三、位移法的基本思路（补充说明） 一给定结构在外因作用下，分析其内力和变形（位移）所采用途径有二：
位移法结构力学知识点概念讲解
位移法结构力学知识点概念讲解位移法是结构力学中常用的一种分析方法，通过计算结构的位移来求解结构的内力、应力和变形等问题。
它的基本思想是建立结构的位移与应力之间的关系，并利用位移方程和边界条件，求解结构的位移分布，进而获得结构内力、应力和变形等信息。
1.位移概念：结构的位移是指结构中各点相对于参考点的位置变化量。
通常用向量形式表示，位移向量包含所有结构节点的位移分量。
位移分量包括两个方向的位移：横向位移和纵向位移。
横向位移是结构在水平方向上的位置变化，纵向位移是结构在垂直方向上的位置变化。
2.位移分布方程：位移分布方程是描述结构位移与应力之间关系的基本方程。
根据结构的力学特性和边界条件，可以建立位移方程。
一般情况下，位移方程包含多个线性方程，通过求解这些方程组，可以得到结构的位移分布。
常用的位移分布方程包括静平衡方程、变形方程和边界条件等。
3.静平衡方程：静平衡方程是结构力学中最基本的方程之一，它描述结构受力平衡的条件。
根据牛顿第二定律，结构的受力和位移之间存在其中一种关系。
通过建立结构受力平衡的方程，可以获得结构的位移分布。
4.变形方程：变形方程是位移法分析中的重要概念，它用来描述结构的变形与应力之间的关系。
根据结构力学理论，结构受到外力作用时，会发生形变，形成内力和应力。
通过建立变形方程，可以求解结构内力和应力分布。
5.边界条件：边界条件是位移法中必须考虑的条件，它是解决位移方程的关键因素。
边界条件主要包括结构的支座约束条件和结构受力边界条件。
支座约束条件指明结构的一些节点固定或受到特定的位移限制，受力边界条件指明结构的一些部分受到特定的外力或力矩作用。
6.内力和应力计算：通过求解结构的位移分布，可以计算得到结构的内力和应力。
内力是指结构中各点所受的力的大小和方向，包括轴力、剪力和弯矩等。
应力是指结构内部各点处的应力大小和方向，包括正应力和剪应力等。
7.变形计算：位移法可以用来计算结构的变形情况，包括横向变形和纵向变形。
结构力学位移法
R2
R1=0 R2=0
ql
C D
Z1 R1
l
四.位移法典型方程
ql
q
l/2 B
ql
C D
ql B
A r22
q
R2 Z1
R1=0
ql C D
Z2=1
l/2 A
EI=常数
R2=0 R1 R1 r11 Z1 r12 Z 2 R1 P 0
l
C
r21
R2 r21 Z1 r22 Z 2 R2 P 0
r11
3i 3i
EI
r
11
=6i
R1P
ql 2 / 8
R1P
q
R1 P ql 2 / 8
Z1 ql / 48i ql 2 8 MM Z M 1 1 P
2
MP
ql2 / 16
r11
3i
Z1=1 3i
M1
Z1
M
位移法求解过程:
1)确定基本体系和基本未知量 2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项 5)解方程 6)作弯矩图
A
Z1
B
Z1
q
B
C
=
A
B
+
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
Z1
q
A
EI
B
Z1
EI
C
----刚臂,限制转动的约束 R1=0 R1=r11 Z1+ R1P =0
R1
q
A
EI
B
EI
C
r11
3i
B B
ql 8
2
3i
r
结构力学——位移法
结构力学——位移法结构力学，位移法结构力学是研究物体受到外力作用时的变形和应力分布规律的学科。
在结构力学中，位移法是一种常用的分析方法，用于解决结构受力变形问题。
位移法是建立在位移场的基础上，通过求解物体的位移场，再根据位移场得到应力场、应变场以及应力分布等信息，从而获得结构的受力变形情况。
位移法的基本原理是微分方程的解析方法。
在位移法中，首先需要确定结构的几何形状、边界条件和外力情况，然后通过应变能原理或变分原理等方法建立物体的弯曲方程或应变能方程。
接下来，在确定了适当的位移函数形式后，将其代入方程中，通过求解微分方程来得到物体的位移场。
在位移法中，常用的位移函数形式包括简单弯曲、直角坐标、梯形分段等。
根据结构问题的具体条件，选择合适的位移函数形式，是位移法分析的一个重要步骤。
在求解位移函数时，通常要满足边界条件和界面连续条件。
边界条件是指结构边界上位移和应力的已知条件，界面连续条件是指相邻物体的位移和应力在界面上连续的条件。
求解位移场后，可以根据位移场求出应变场。
应变场是位移场的导数，反映了物体各点的拉伸和压缩程度。
通过求解应变场，可以进一步求解应力场。
应力场是应变场的导数，反映了物体各点的强度和应力分布情况。
由于应力是物体受力的重要指标，因此通过求解应力场，可以分析出物体受力分布情况，评估结构的强度和稳定性。
位移法在结构力学中具有重要的应用价值。
通过求解位移场，可以全面了解结构受力变形情况，为结构的设计和施工提供依据。
位移法不仅能够分析简单的结构问题，还可以扩展应用到更复杂的结构问题中，如悬索桥、拱桥和空间柱等。
位移法不仅适用于线性问题，还可以应用于非线性问题，如大变形、大位移和材料非线性等。
总之，位移法是结构力学中一种常用的分析方法，通过求解物体的位移场，可以获得结构的应力和变形情况。
位移法不仅能够分析简单的结构问题，还可以应用于复杂的结构问题。
通过位移法的研究，可以更全面地了解结构的受力变形情况，为结构的设计和施工提供依据。
结构力学中的位移法
结构力学中的位移法
位移法是基于以下假设的：结构单元之间的约束全部通过边界条件来
体现，结构中的材料是线弹性材料，结构中的每个单元之间是相互独立和
互不干扰的。
位移法的基本思想是首先假设结构的位移场，然后利用位移场的表达
式和边界条件，推导出结构的应力、应变和位移等信息。
具体步骤如下：
1.确定结构的约束条件：根据结构的平衡条件，确定结构各部分之间
的约束关系。
一般包括边界条件和连接条件等。
2.建立位移场：通过将结构的变形分解为一系列位移函数的线性组合，建立位移场。
常用的位移函数包括常数、线性函数、二次函数等。
3.推导位移场的表达式：利用结构的几何关系和材料的力学性质，根
据平衡条件和应力-应变关系，推导出位移场的表达式。
4.边界条件和连接条件：利用结构的边界条件和连接条件，确定位移
场中的待定系数。
5.应力和应变的计算：利用位移场的表达式和应力-应变关系，计算
结构中各点的应力和应变。
6.变形和位移的计算：利用位移场的表达式，计算结构中各点的变形
和位移。
7.校核：通过校核位移场的可行性和合理性，验证所得结果的准确性。
位移法的优点是可以处理各种复杂的边界条件和载荷情况，适用于各
种不规则结构。
但是位移法也存在一些局限性，如要求解一些复杂结构时，可能需要大量的计算和繁琐的推导过程。
总之，位移法是结构力学中一种重要的解决结构问题的方法，通过确定结构的位移场来分析结构的力学性能，具有广泛的应用前景。
在实际工程中，位移法被广泛运用于结构设计和分析中，是一种非常有效的结构分析方法。
结构力学位移法
结构力学位移法结构力学是研究结构物的力学性能和变形规律的科学，位移法是结构力学中常用的一种分析方法。
它通过计算结构物各个节点的位移，进而求解出结构物的应力、应变等力学参数。
下面将详细介绍位移法的原理和应用。
一、位移法的原理位移法是一种基于力的平衡方程和位移的相关性质来计算结构物响应的方法。
它的基本原理是通过建立结构物的整体刚度方程，解这个方程得到各节点的位移，再根据位移计算出相应节点上的应力和应变。
在应用位移法时，首先需要确定结构物的受力状态，即施加在结构物上的外力和边界条件。
然后，根据结构物的几何约束条件和材料特性，建立结构物的整体刚度方程。
这个方程是一个描述结构物节点位移与受力关系的方程，通常表示为[K]{D}={F}，其中[K]是结构物的刚度矩阵，{D}是节点位移矩阵，{F}是节点受力矩阵。
解刚度方程可以得到节点位移矩阵{D}，再通过位移与应力或应变的关系，计算出各个节点上的应力和应变。
常用的位移与应力或应变的关系包括伯努利梁理论、平面假设等。
最后，根据应力或应变条件，判断结构物的安全性和稳定性。
二、位移法的应用位移法广泛应用于各种结构物的力学分析和设计中，特别是对于复杂结构和非线性问题的分析更具优势。
1.梁和框架的分析对于梁和框架结构，可以根据位移法计算出节点上的位移、弯矩、剪力和轴力等力学参数。
通过对结构物的力学性能的准确分析，可以进行合理的结构设计和优化。
2.刚架和刚构的计算在刚架和刚构的计算中，位移法可以用来求解节点刚度，从而得到结构物的受力分布和变形情况。
这对于评估结构物的稳定性和刚度有重要意义。
3.非线性问题的分析位移法还可以应用于非线性结构的分析，如软土地基的承载力计算、非线性材料的应力分析等。
在这些情况下，结构物的刚度和应力等参数会随着受力状态的变化而发生变化，需要通过迭代的方法来求解。
4.动力分析位移法也可以用于结构物的动力分析。
动力分析主要研究结构物在动态载荷下的响应和振动特性。
结构力学位移法
r32=r23= –1/2
（5）计算自由项：R1P、R2P、R3P
4m
4m
5m
4m
2m
A
B
C
D
F
E
i=1
i=1
i=1
i=3/4
i=1/2
q=20kN/m
(1/8) × 20×42=40
(1/12) × 20×52=41.7
R1P=40–41.7= –1.7
R2P=41.7
R3P=0
位移法的基本思路概括为，先离散后组合的处理过程。所谓离散，就是把对整体结构的分析转化对单个杆件系在变形协调一致条件下的杆系分析。所谓组合，是要把离散后的结构恢复到原结构的平衡状态，也就是要把各个杆件组合成原结构，组合条件就是要满足原结构的平衡条件。
◆ 确定杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系
◆确定结构中哪些结点位移作为基本未知量。
（6）建立位移法基本方程：
（7）解方程求结点位移：
（8）绘制弯矩图
A
B
C
D
F
E
M图（kN•m）
18.6
42.8
47.8
26.7
23.8
14.9
5
3.6
8.9
3.97
（9）校核
结点及局部杆件的静力平衡条件的校核。
由于考虑了结点和杆件的联结以及支座约束情况，所以满足了结构的几何条件，即变形连续条件和支座约束条件
位移法基本结构
位移法中采用增加附加约束，以限制原结构的结点位移而得到的新结构，称为位移法的基本结构
● 在刚结点处附加刚臂，只限制刚结点的角位 移，不限制结 点线位移，用符号“▼”表示刚臂
结构力学-位移法
12i L2
qL 2
q
A MAB FQAB
6i L
B
12i L2
qL 2
0
----位移法方程②
§8-5 位移法举例
例1:
q
B EI C
EI
杆长为：L
A
1. 确定未知量
未知量为: B
2. 写出杆端力的表达式
BC杆
M Bc
3
EI L
B
qL2 8
BA杆
M BA
4
EI L
B
M AB
刚结点B处：两杆杆端都发生了 角位移 B ；
对于BC杆：其变形及受力情况 与：一根一端固定一端铰结的 单跨超静定梁，在均布荷载 q 以及在固定端B处有一角位移 B 作用下的情况相同，其杆端力 可以用力法求解。
q
B EI
C
EI
杆长为：L
A
未知量为： B
q
B
B EI
C
BC杆
§8-3 杆端力与杆端位移的关系
EA L
FNDA FNDC
EA 2L
2 2
杆端力与杆端 位移的关系
§8-1 位移法概述
由结点平衡： Y 0
NDA
NDB
2
2
NDC FNDB 2 FNDC 2 FNDA FP
建立力的 平衡方程
D Fp
EA(2 2L
2) FP
由方程解得： 2PL
QAB= QBA
6i l
12i l2
3i l 3i
l2
0
由跨间荷载引起的固端弯矩和剪力
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DA柱：
MA 0
FQDA
1 4
(M DA
M
AD )
D C
FQDA
MDA
1 4
(3i D
1.5i EH
)
MAD
0.75iD 0.375iEH
A
E
FQEB
MBE
B 28
2kN/m
EB柱 MB 0
FQEB
1 4
M BE
242 4
1 4
(1.5i EH
4)
4
0.375iEH 3
14kN
D C
M BA
3i1 h1
M DC
3i2 h2
M FE
3i3 h3
32
3）建立位移法方程并求解
求各柱剪力。
FQAB
M BA h1
3i1 h12
k1
FQCD
M DC h2
3i2 h22
k2
FQEF
M FE h3
3i3 h32
k3
FP A
h1
E
C
FQAB
FQCD
FQEF
h2 h3
MBA
ql 2 8
M
F AB
ql 2 8
q
BA
B
l
M
F BA
ql 2 8
BB
q
M
F AB
ql 2 8
AA
杆端弯矩顺时针方向为正！
21
§7-3 无侧移刚架的计算
刚架内部结点无线位移，只有角位移。 基本未知量：内部结点的角位移。
8kN/m
Bi
i
A
4m
Di
i
C
4m
E
4m
图示刚架，若忽略轴力引起的轴向变形，则 内部结点无线位移。
2iB 8iD 32 0 2
24
联立①②，解得：
B 0.356 / i( ) D 3.911/ i( )
4）求杆端弯矩并作弯矩图
将求得的 θB 、 θD 代入杆端弯矩表达式得：
M AB 0.71KN.m M BA 1.42KN.m M BD 1.42KN.m
M DB 27.02KN.m M DC 11.73KN.m M DE 38.76KN.m
14
3. 一端固定、一端滑动支座的梁
MAB
MBA
A
EI
A
M AB iA
M BA iA
B
i EI l
15
4. 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同， 则相应的杆端力也相同。
1)
A
MAB
A i
EI l
MBA
B
MAB
A
i
EI l
A
MBA
B
M AB
4i A
6i l
M BA
2i A
6i l
16
2)
3iB
ql 2 8
3
3）建立位移法方程并求解 由结点B力矩平衡可得
MBA B MBC
M B 0 M BA M BC 0
3i B
3iB
1 8
ql 2
0
B
ql 2 48i
(
)
4） 求杆端弯矩作弯矩图
将θB代入杆端弯矩表达式，得：
M BA
3i B
3i
ql 2 48i
ql 2 16
,
M BC
3i B
第七章 位移法
§7-1 位移法基本概念 §7-2 等截面直杆的刚度方程 §7-3 无侧移刚架的计算 §7-4 有侧移刚架的计算 §7-5 位移法基本体系 §7-6 对称结构的计算 §7-7 支座移动和温度改变时的计算
1
§7-1 位移法基本概念
一、 位移法基本思路
1) 选择结点位移作为基本未知量。
A
M DE 12kN.m
M DA
2i D
0.75iE
2i( 4 ) 0.75i( 8 )
i
i
8 6 2kN.m
M AD 2kN.m
M BE 16kN.m
30
14 12
3
CD
EC D
E
2 14
A
B 16
M图(kN.m)
14 D 3 FNDE= 0 14 0 3
FNDA= -17kN
0E 3 30
B
EI l
i EI
C
l
在B结点加附加转动约束( )控制结点转动
q
A B
C 基本体系
与原结构区别：增加了与基本未知量相应的人为约束，
使基本未知量由被动位移变为受控制的主动位移。
与原结构等价的条件：约束力与原结构作用在该结点自 由度上的荷载相等(原来的主动荷载变为被动的约束力)。
37
A B
B
q
A
EI l
若忽略轴向变形，可用附加链杆的方法确 定结点线位移未知量△。从两个不动点（无线 位移的点）引出的两根无轴向变形的杆件，其 交点无线位移。
若一个结构需附加n根链杆才能使所有内
部结点成为不动点（无线位移），则该结构线
位移未知量的数目就是n。
8
附加链杆 B EA C
BH CH
A
D
D B
B D C C
基本未知量： θB、θD
22
例7-3-1 用位移法求图示刚架的M图，各杆EI 相同。
8kN/m
Bi
i
A
4m
Di E
i
4m
C
4m
解： 1）未知量：θB ( ) θD ( )
2）列出杆端弯矩表达式
i EI 4
23
B
8kN/m
M BA 4iB
B i D D i
i
i
A
C
E M BD 4iB 2iD 10.67
B
q
C
EI l
B
EI l
上图示连续梁，取结点B的转角θB作为基本未
知量，若θB已知，则AB杆与BC杆成为已知支座
位移和荷载的单跨超静定梁。
2
A
B
q
C
EI l
B
EI l
A
B MBA B
qC
EI B
l
MBC B
EI l
单跨超静定梁内力可由力法或材料力学知识求得。
2）杆端弯矩表达式
M BA 3iB
M BC
MAB EI
A i l
A
MAB
B
A
A
i EI l
B
M AB
3i A
3i l
3)
A
MAB i EI l
A
MBA
B
MAB i EI MBA
A
l
B
A
M AB iA
M BA iA
17
三、固端弯矩
单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称 为固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时 针方向为负。
1. 两端固定梁 q
5）先将结构拆成杆件，再将杆件搭成结构 (化 整为零，集零为整)。
5
二、 位移法基本未知量
1）结点分类： 内部结点：杆件与杆件连接的结点(B) 外部结点：只与单个杆件连接的结点(A、C)
A
B
q
C
EI l
B
EI l
2）位移法可选择全部结点位移作为基本未知量，亦
可只选择内部结点位移作为基本未知量。
手算选择后者(手算怕繁—尽可能减少未知量数目)；
计算机计算选择前者(机算怕乱—尽可能减少杆件类
型) 。
6
1．结点转角位移未知量θ 结构有几个刚结点就有几个结点转角未知量。
A
B
C
B
A
B
C
D
B C
A
B
C
B C
D
E
7
2．结点线位移未知量△
线位移未知量数目与是否考虑杆件轴线变 形有关。若考虑杆件轴向变形，每个结点两个 线位移。为尽可能减少未知量数目，手算通常 假设：对于受弯杆件，忽略轴向变形的影响。
解：
1）未知量：
(
D
)
EH(
2）列出杆端弯矩表达式
i 2EI 4
14kN
D
E
C )
2EI (i)
(i/2) EI
A
1m
4EI (2i)
B
4m
2kN/m
4m
26
14kN
C
EH Di
D
i/2
EH E
2i
4m
2kN/m
A
B
1m 4m
M DC 14
M DA
4
i 2
D
6
i 4
/
2
EH
2i D
0.75iEH
总剪力FP 按剪力分配系数的比例分配给各柱。 35
这种按侧移刚度来分配剪力的方法称为剪力分配法。
各柱端弯矩为：
M BA 1FPh1 M DC 2FPh2 M FE 3FPh3
E
FP A
C
1FP 2FP
3FP
B
D
1FPh1
2
FP
h2
M图
F
3FPh3
36
§7-5 位移法的基本体系
A
B
q
EI l
M
F AB
3FPl 16
19
3. 一端固定、一端滑动支座的梁
q
ql2 3 A
l
FPl 2
FP
BA ql2 6
B
l
FPl 2
M
F AB
ql 2 3