高一数学必修一第五章知识总结
高一数学必修第五章知识点
高一数学必修第五章知识点一、集合与命题1. 集合的概念及表示方法- 集合是具有某种特定性质的事物的总体，用大写字母表示。
- 用罗马字母表示集合的元素，用花括号{}表示集合。
2. 集合的分类- 根据元素的性质，集合可分为数集、点集、平面集等。
3. 命题的概念- 命题是陈述性质的句子，可以判断真假。
- 用P、Q等表示命题。
4. 命题的连接词- 与、或、非分别表示“且”、“或”、“非”的逻辑关系。
二、命题的复合1. 合取命题- 由两个或多个命题通过“且”的关系连接而成的命题。
- 用P∧Q表示，当P和Q同时为真时，命题为真。
2. 析取命题- 由两个或多个命题通过“或”的关系连接而成的命题。
- 用P∨Q表示，当P和Q中至少有一个为真时，命题为真。
3. 否定命题- 对一个命题取相反的意义而得到的命题。
- 用¬P表示，当P为真时，命题为假。
三、集合间的关系1. 子集关系- 对于任意集合A和集合B，如果A的所有元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。
2. 并集- 由两个或多个集合的所有元素组成的新集合。
- 记作A∪B，表示A和B的并集。
3. 交集- 由两个或多个集合共有的元素组成的新集合。
- 记作A∩B，表示A和B的交集。
4. 互斥集合- 两个集合没有共同的元素。
- 当A∩B=∅时，称A和B为互斥集合。
四、集合的运算1. 并、交、差集的运算性质- 交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A- 结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)- 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)- 对偶律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A2. 补集的概念及性质- 对于集合A，A的补集是与A互斥的集合，记作A的补集。
- 补集的性质：A∪A的补集=全集，A∩A的补集=空集。
五、关于集合的定理1. 幂集定理- 对于一个有n个元素的集合，其幂集有2^n个元素。
高一数学必修一第5章-知识点总
高一数学必修一第5章-知识点总结第一节直线的方程与图像1. 直线的一般方程直线的一般方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，并且A与B不同时为0。
2. 直线的斜率与截距直线的斜率用k表示，斜率与直线上任意两点的坐标有关。
直线的截距用b表示，截距与直线与y轴的交点有关。
3. 直线的点斜式方程直线的点斜式方程为y - y₁ = k(x - x₁)，其中k为斜率，(x₁, y₁)为直线上一点的坐标。
第二节函数的概念与性质1. 函数的定义函数是一个或多个自变量与因变量之间的对应关系，常用f(x)表示。
2. 定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数所有可能的取值范围。
3. 函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的表示，用于观察函数的性质和特点。
4. 奇偶函数奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。
可以通过函数的定义来判断函数的奇偶性。
第三节一次函数与斜率1. 函数的表达式一次函数的表达式为f(x) = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
2. 斜率的计算两点之间的斜率可以通过Δy/Δx来计算，其中Δy为纵坐标的变化量，Δx为横坐标的变化量。
3. 直线的平行与垂直关系如果两条直线的斜率相等且截距不相等，则这两条直线平行；如果两条直线的斜率的乘积为-1，则这两条直线垂直。
第四节二次函数的图像与性质1. 二次函数的一般式二次函数的一般式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a不等于0。
2. 二次函数的图像特点二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于a的正负，开口向上为a大于0，开口向下为a小于0。
3. 二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
4. 二次函数的轴对称性二次函数关于直线x = -b/2a具有轴对称性，即函数图像关于这条直线对称。
第五节平方根与二次函数的解1. 平方根的概念平方根是指一个数的平方等于该数的非负实数解。
高一数学上册第五章知识点
高一数学上册第五章知识点第五章《不等式》是高一数学上册的重要章节，主要讲述了一元一次不等式、一元二次不等式以及绝对值不等式等内容。
通过学习该章节，我们可以掌握不等式的基本概念、解不等式的方法和不等式的性质，为接下来的学习和应用打下坚实的基础。
一、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程的不等式。
其解的求解方法与一元一次方程的解法类似。
我们可以通过移项、合并同类项以及求解方程的方法，找到不等式的解集。
例如，对于不等式3x + 2 > 7，我们可以先将2移到不等式左边，得到3x > 7 - 2，即3x > 5。
然后将不等式两边同时除以3得到x > 5/3，即不等式的解集为x > 5/3。
二、一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次方程的不等式。
其求解方法与一元二次方程的解法相同，可以使用因式分解、配方法、二次根式法等方法求解。
例如，对于不等式x^2 - 5x + 6 < 0，我们可以先求出该二次方程的解集x1和x2，然后根据二次方程解的性质，得到不等式的解集为x1 < x < x2。
三、绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
对于绝对值不等式的求解，我们需要根据绝对值的定义进行分类讨论。
例如，对于绝对值不等式|2x - 3| < 5，我们可以将其分解为两个不等式2x - 3 < 5和2x - 3 > -5，进而求解得到解集为-1 < x < 4。
四、不等式的性质除了具体的解法，不等式还具有一些基本的性质。
我们通过研究这些性质，可以更好地理解和应用不等式。
1. 加减性质：若a < b，则a + c < b + c，a - c < b - c。
2. 乘除性质：若c > 0，则a < b成立时，ac < bc也成立；若c < 0，则a < b成立时，ac > bc成立。
新教材人教版高中数学必修1 第五章 复习知识点
A．(1,2)
B．(1，＋∞)
C．[2，＋∞)
D．[1，＋∞)
【解析】 由题意M＝(1，＋∞)，N＝(0,2)， 则M∩N＝(1,2)，故选A. 【答案】 A
3．设集合A＝{5，log2(a＋3) }，集合B＝{a，b}． 若A∩B＝{2}，则A∪B＝________. 【解析】 ∵A∩B＝{2}，∴ log2(a＋3) ＝2. ∴a＝1.∴b＝2. ∴A＝{5,2}，B＝{1,2}． ∴A∪B＝{1,2,5}．
集合中元素的互异性，故a≠1，
∴a＝－1，此时集合为{－1,0,1}，符合题意， ∴a2012＋b2012＝(－1)2012＋02012＝1.
【答案】 1
【发散思维】 在利用集合相等或其他相关概念求字母的 值时，特别需注意利用集合中元素的互异性来检验所得 结果是否正确．
1．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2 }，
2．(2011·海淀模拟)已知集合S＝ P＝{x|a＋1＜x＜2a＋15}．
xxx＋ －25＜0
，
(1)求集合S；
(2)若S⊆P，求实数a的取值范围．
【解析】
(1)由
x＋2 x－5
＜0得－2＜x＜5，∴S＝{x|－2＜x＜5}
(2)由S⊆P得
a＋1≤－2 2a＋15≥5
解之得－5≤a≤－3.
(7,1)，(5,3)，(8,1)． 【答案】 C
则A∩( NB )为( )
A．{1,5,7}
B．{3,5,7}
C．{1,3,9}
D．{1,2,3}
【解析】 显然A∩( NB )＝ A(A∩B)， 且A∩B＝{3,9}，所以结果为{1,5,7}．
【答案】 A
2．(2011·东北四校模拟)已知集合M＝{y|y＝2x ，
第五章高一数学知识点总结
第五章高一数学知识点总结高一数学知识点总结第五章：函数与方程一、函数的概念与性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的映射关系，它将定义域中的每个数值都对应到值域中的唯一数值。
函数可以用数学表达式、函数图像或函数关系式来描述。
1.2 函数的性质（1）定义域与值域：函数的定义域是所有可以接受的输入值的集合，值域是函数所有可能的输出值的集合。
（2）奇偶性：一个函数是奇函数，当且仅当对于任意x有f(-x)=-f(x)。
一个函数是偶函数，当且仅当对于任意x有f(-x)=f(x)。
（3）单调性：一个函数在其定义域内的某个区间上是单调增加的，当且仅当对于该区间中的任意两个实数x1、x2，若x1<x2，则有f(x1)<f(x2)。
（4）周期性：一个函数f(x)是周期函数，当且仅当存在一个正数T，使得对于函数定义域中的任意x都有f(x+T)=f(x)。
（5）上下界：一个函数的最小值和最大值分别是其定义域中取到的最小值和最大值。
二、一次函数一次函数由形如y=ax+b的数学表达式表示，其中a和b是实常数。
2.1 函数图像一次函数的图像是一条直线，其斜率为a，截距为b。
当a>0时，函数图像呈现上升趋势；当a<0时，函数图像呈现下降趋势。
2.2 解一次方程对于一次方程ax+b=0，其中a≠0，解可以表示为x=-b/a。
一次方程的解即为函数与x轴的交点。
2.3 求斜率斜率代表了一次函数的变化速率，可以通过求取任意两个点的纵坐标差与横坐标差之比得到，即斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)。
三、二次函数二次函数由形如y=ax^2+bx+c的数学表达式表示，其中a、b和c是实常数且a≠0。
3.1 函数图像二次函数的图像是一个抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上，形状为“U”字型；当a<0时，抛物线开口朝下，形状为倒置的“U”字型。
3.2 求顶点坐标二次函数图像上的最低点（或最高点）被称为顶点。
顶点的纵坐标可以通过将二次函数化为标准形式y=a(x-h)^2+k来求得，其中(h,k)为顶点坐标。
新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结 第五章三角函数
新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结第五章三角函数【考纲要求】序号考点课标要求1角与弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。
了解2三角函数的概念和性质①借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值。
借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切）。
理解②借助图象理解正弦函数、余弦函数在上，正切函数在上的性质。
理解③结合具体实例，了解的实际意义，能借助图象理解的意义，了解参数的变化对函数图象的影响。
理解3同角三角函数的基本关系理解同角三角函数的基本关系：理解4三角恒等变换①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦的意义理解②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
理解③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）掌握5三角函数应用会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型掌握5.1 任意角和弧度制知识点总结5.1 任意角和弧度制1.角的有关概念（1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
（2）角的表示：如图射线为始边，射线为终边，点为角的顶点，图中角可以记为“角”或“”，也可以简记为“”。
（3）角的分类提示：（1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面：①旋转的方向②旋转角的大小③射线未作任何旋转时的位置。
（2）角的范围不再限于2.终边相同的角：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。
3.角的单位制4.弧长公式及扇形面积公式5.常用角之间的换算6.象限角和轴线角（1）象限角：在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总
第五章三角函数5.1任意角和弧度制..................................................................................................... - 1 -5.1.1任意角 ......................................................................................................... - 1 -5.1.2弧度制 ......................................................................................................... - 7 -5.2三角函数的概念................................................................................................... - 13 -5.2.1三角函数的概念........................................................................................ - 13 -5.2.2同角三角函数的基本关系........................................................................ - 21 -5.3诱导公式(1) ........................................................................................................ - 27 -5.3诱导公式(2) ........................................................................................................ - 33 -5.4三角函数的图象与性质....................................................................................... - 39 -5.4.1正弦函数、余弦函数的图象.................................................................... - 39 -5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(1) ............................................................... - 45 -5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2) ............................................................... - 51 -5.4.3正切函数的性质与图象............................................................................ - 57 -5.5三角恒等变换....................................................................................................... - 74 -5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式.................................................... - 74 -5.5.2简单的三角恒等变换................................................................................ - 79 -5.6函数y＝A sin(ωx＋φ) ........................................................................................... - 85 -5.7三角函数的应用................................................................................................... - 99 - 5.1任意角和弧度制5.1.1任意角知识点一角的概念⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点P的位置变化呢？知识梳理(1)角的概念角描述定义角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形表示其中O为顶点，OA为始边，OB为终边记法角α或∠α，或简记为α按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转称它形成了一个零角(3)相等角与相反角①把角的概念推广到了任意角(any angle)，包括正角、负角和零角．设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.②设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.③把射钱OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.知识点二象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非半轴重合，如何借助象限来定义角？知识梳理角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．分别为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．知识点三终边相同的角30°与390°、－330°的终边有什么关系？知识梳理所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．解题方法探究探究一任意角的概念[例1](1)下列说法正确的有________．(填序号)①零角的始边和终边重合．②始边和终边重合的角是零角．③如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，则∠AOB＝45°；若射线OB为角的始边，OA为角的终边，则∠BOA＝－45°.④绝对值最小的角是零角．(2)经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？[解析](1)根据角的概念知①③④正确，②不正确，因为360°角的始边和终边也重合．(2)时针走一周用12小时，即12小时转－360°，那么时针每小时应转－30°，而5小时25分钟为5512小时，而分针每小时转－360°，所以，时针转过的角度为－(5＋512)×30°＝－162.5°；分针转过的角度为－⎝⎛⎭⎪⎫5＋512×360°＝－1 950°.[答案](1)①③④(2)见解析求解任意角问题的步骤(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角．(2)定大小：根据旋转角度的绝对量确定角的大小．探究二象限角与终边相同的角[例2][教材P170例1、例2拓展探究](1)与－2 010°终边相同的最小正角是________．(2)下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角β的集合S，并求出S中适合不等式－360°≤β<360°的元素．①60°；②－21°.(3)写出终边在x轴上的角的集合．[解析](1)因为－2 010°＝－6×360°＋150°，所以与－2 010°终边相同的最小正角是150°.(2)①60°是第一象限角，S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：60°＋(－1)×360°＝－300°；60°＋0×360°＝60°.②－21°是第四象限角，S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：－21°＋0×360°＝－21；－21°＋1×360°＝339°.(3)终边在x轴的非负半轴的角的集合S1＝{β|β＝k·360°，k∈Z}．终边在x轴的非正半轴的角的集合S2＝{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}．∴终边在x轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·360°，k∈Z}∪{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝2k·180°＋180°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝n·180°，n∈Z}．[答案](1)150°(2)(3)见解析1.判断α是第几象限角的三个步骤第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式．第二步，判断β的终边所在的象限．第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}2．求解给定范围内终边相同的角的方法先写出与角α终边相同的角β，即：β＝α＋k·360°(k∈Z)，根据给定的范围建立关于k的不等式，解出k的范围，再根据k∈Z确定β.3．已知角的终边所在直线或射线求角的集合方法先写出0°～360°内的射线所在的角的集合，再将各个集合进行合并．探究三区域角的写法[例3](1)如图，已知角α的终边在图中阴影部分所表示的区域内(包括边界)，用集合表示角α的取值范围为________．(2)写出角的终边落在图中阴影区域内的角的集合(包括边界)．[解析](1)若角α的终边落在OA上，则α＝－60°＋360°·k，k∈Z.若角α的终边落在OB上，则α＝30°＋360°·k，k∈Z.所以角α的终边在图中阴影区域内时，－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z.故角α的取值范围为{α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z}(2)在0°～360°范围内，45°≤α≤90°或225°≤α≤270°，所以S1＝{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}，＝{α|45°＋2k·180°≤α≤90°＋2k·180°，k∈Z}，S2＝{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋(2k＋1)·180°≤α≤90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}，所以S1∪S2＝{α|45°＋n·180°≤α≤90°＋n·180°，n∈Z}．[答案](1){α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z}(2)见解析由角的终边的范围求角的集合的步骤(1)写出临界处终边所对应的角，一般在0°～360°内找一个．(2)按照所给的范围写出角的范围．(3)每个临界角都加上360°·k，即得范围内的角的集合．易错点归纳一、“分”角所在象限的判定方法——“分封制”已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法：(1)用不等式表示出角αn的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除，被n除余1，被n除余2，…，被n除余n－1，从而得出结论．(2)作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据角α终边所在的象限确定角αn的终边所落在的区域．如此，角αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．[典例]若α是第一象限角，α3是第几象限角？[解析]∵k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，∴k·120°＜α3＜k·120°＋30°(k∈Z)．法一(分类讨论)：当k＝3n(n∈Z)时，n·360°＜α3＜n·360°＋30°(n∈Z)，∴α3是第一象限角；当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋120°＜α3＜n·360°＋150°(n∈Z)，∴α3是第二象限角；当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋240°＜α3＜n·360°＋270°(n∈Z)，∴α3是第三象限角．综上可知：α3是第一、二或第三象限角．法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在区域，故α3为第一、二或第三象限角．二、角的终边与角的终边旋转方向不明致错[典例]写出角的终边落在OA、OB之间的阴影的角的集合．[解析]由OA逆时针旋转到OB，角是由小变大．OA表示角的终边为k·360°＋210°.则OB的终边为k·360°＋300°阴影中的角的集合为{β|β·360°＋210°≤β≤k·360°＋300°，k∈Z}．纠错心得此题易错为将角的终边随意写一个角的形式不考虑角的旋转方向，如写为[k·360°＋210°，k·360°－60°]写区域角时，务必要明确角的旋转方向，才能写对角的边界．5.1.2弧度制知识点一角度制与弧度制设α＝n°，OP＝r，点P所形成的圆弧PP1的长为l.由初中所学知识可知l＝nπr 180，于是lr＝nπ180.如果n°确定，lr的值变化吗？知识梳理(1)度量角的单位制单位制内容角度制周角的1360为1度角，记作1°；用度作为单位来度量角的单位制叫角度制弧度制规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad(2)弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．(3)弧度制与角度制的换算公式角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝π180rad≈0.017 45 rad 1 rad＝(180π)°≈57.30°角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，如图．知识点二 扇形的弧长、面积初中学的扇形的弧长公式、扇形面积公式，改为弧度制如何表示？ 知识梳理 扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0＜α＜2π)为其圆心角，其中α＝n π180，则解题方法探究探究一 角度与弧度之间的互化[例1] (1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)： α1＝－117π，α2＝5116π，α3＝9，α4＝－855°；(2)把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式：16π3，－315°，－11π7； (3)在0°～720°中找出与2π5终边相同的角． [解析] (1)α1＝－117π＝－117×180°≈－282.86 °； α2＝5116π＝5116×180°＝15 330°； α3＝9＝9×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈515.66°；α4＝－855°＝－855×π180＝－194π. (2)16π3＝4π＋4π3；－315°＝－360°＋45°＝－2π＋π4； －11π7＝－2π＋3π7.(3)∵2π5＝25×180°＝72°，∴与2π5终边相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )． 当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°. ∴在0°～720°中与2π5终边相同的角为72°，432°.1．进行角度与弧度的互化时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×(180π)°＝度数．2．特殊角的弧度数与度数对应值要熟记： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π6 π4 π3 π2 23π 34π 56π π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 76π54π43π32π53π74π116π2π探究二 用弧度制表示角[例2] 用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．[解析] 对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－3π4，60°角的终边即π3的终边，∴所求集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－3π4＜α＜2k π＋π3，k ∈Z.对于题图(2)，同理可得， 所求集合为⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6＜α≤2k π＋π2，k ∈Z ∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＋π6＜α≤2k π＋π＋π2，k ∈Z＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π6＜α≤k π＋π2，k ∈Z .首先写出终边所在的角的形式，再根据旋转方向写出所在区域的角的集合，注意单位要统一，注意虚实边．探究三 扇形的弧长、面积公式的应用 [例3] [教材P 174例6拓展探究](1)已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________，圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．[解析] 设扇形的圆心角为α，半径为r ，则 2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r －2.∴S 扇形＝12|α|·r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2＋1. ∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2. [答案] 1 cm 2 1 cm 2(2)求半径为2，圆心角为5π3的圆弧的长度． [解析] ∵半径R ＝2，圆心角α＝5π3， ∴弧长l ＝|α|·R ＝10π3.(3)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． [解析] 设扇形的半径为r ，弧长为l ，所对圆心角为α(0<α<2π)．则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝10，12rl ＝4，解得⎩⎨⎧ r ＝1，l ＝8，或⎩⎨⎧r ＝4，l ＝2.当r ＝1时，l ＝8，此时α＝lr ＝8(rad)>2π，不符合，舍去； 当r ＝4时，l ＝2，此时α＝l r ＝24＝12(rad)． ∴所求圆心角的弧度数为12rad.求扇形的弧长和面积的解题技巧(1)记公式：弧长公式为：l ＝|α|R .面积公式为S ＝12lR ＝12|α|R 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．易错点归纳一、弧度的实际应用生活实际中的“旋转”量都可以用“弧度”来解释，甚至要比用“度”方便． [典例] 已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿． (1)当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；(2)如果大轮的转速为180 r/min(转/分)，小轮的半径为10.5 cm ，那么小轮周上一点每1 s 转过的弧长是多少？[解析] 设大齿轮的半径为R ，小齿轮的半径为r . 根据题意设大齿轮的周长L ＝48. 小齿轮的周长l ＝20. 故2πR 2πr ＝4820，即R r ＝4820.(1)当大轮转动一周时，小轮转动的角度为θ， ∴θr ＝2πR ，θ＝R r ×2π＝4820×2π＝245π. (2)大轮的转速v 1＝3 r/s ， 故小轮的转速v 2＝4820×3，1 s 转过的弧长为4820×3×2π×10.5＝151.2π(cm)． 二、角度制与弧度制混用[典例] 把角－570°化为2k π＋α(0≤α＜2π)的形式为( ) A ．－3π－16π B ．－4π＋150° C ．－3k π－30°D ．－4π＋56π[解析] －570°＝－2×360°＋150°， 化为弧度为－4π＋56π. [答案] D纠错心得 (1)－3π不是2k π的形式，实际上解答本类题时要时刻注意其形式为2k π＋α的形式，其中α的范围也有限制．故A ，C 错．(2)同一表达式中角度与弧度不能混用，实际上这是最易出错的位置，在做题时要时刻谨慎以防出错，故B 错．5.2 三角函数的概念5.2.1 三角函数的概念知识点一 三角函数的定义如图所示，以单位圆的圆心O 为原点，以射线OA 为x 轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A 的坐标为(1,0)，点P 的坐标为(x ，y )．射线OA 从x 轴的非负半轴开始，绕点O 按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP .当α＝π6时，点P的坐标是什么？当α＝π2或2π3时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？知识梳理(1)利用单位圆定义任意角的三角函数．设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数(sine function)，记作sin α，即y＝sin_α；②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数(cosine function)，记作cos α，即x＝cos α；③把点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切，记作tan α，即yx＝tanα(x≠0)．称为正切函数(tangent function)．我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数(trigonometric function)，通常将它们记为：正弦函数y＝sin_x，x∈R；余弦函数y＝cos x，x∈R；正切函数y＝tan x，x≠π2＋kπ(k∈Z)．(2)利用角α终边上一点的坐标定义三角函数．如图所示，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.其中r＝x2＋y2.知识点二三角函数值在各象限的符号若一个角的终边任意一点为P(x，y)，则该角的三角函数值在各象限的符号如何？知识梳理记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．知识点三诱导公式π6与136π终边有什么关系？sinπ6与sin136π.cosπ6与cos136π，tanπ6与tan136π之间有什么关系？知识梳理终边相同的角的同一三角函数的值相等．由此得到一组公式(公式一)：sin(α＋k·2π)＝sin_α，cos(α＋k·2π)＝cos_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z.解题方法探究探究一利用三角函数定义求三角函数值[例1][教材P178例1拓展探究](1)已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝________.[解析]由题意知x＝4a，y＝－3a，故r＝(4a2)＋(－3a)2＝5|a|.①当a＞0时，r＝5a，sin α＝yr＝－3a5a＝－35，cos α＝xr＝4a5a＝45，则2sin α＋cosα＝－2 5.②当a＜0时，r＝－5a，2sin α＋cos α＝2×－3a －5a ＋4a －5a ＝25. 综上，2sin α＋cos α＝⎩⎪⎨⎪⎧－25，a ＞0，25，a ＜0.[答案] ±25(2)求43π的正弦、余弦和正切值．[解析] 在直角坐标系中作∠AOB ＝43π，如图．∠AOB 的终边OB 与单位圆的交点B . 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，∴sin 43π＝－32，cos 43π＝－12，tan 43π＝ 3.(3)已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上一点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．[解析] 设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意可知，sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 1＝－22.∴cos α＝22，tan α＝－1，或cos α＝－22，tan α＝1.(4)已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．[解析] 法一：(单位圆)设直线y ＝2x 与单位圆x 2＋y 2＝1的交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，y ＝2x ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝55，y 1＝255，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－55，y 2＝－255.①当角α的终边在第一象限时，cos α＝x 1＝55， sin α＝y 1＝255，tan α＝y 1x 1＝2.②当角α的终边在第三象限时， cos α＝x 2＝－55，sin α＝y 2＝－255， tan α＝y 2x 2＝2.法二：(定义法)在直线y ＝2x 上任取一点P (t,2t )(t ≠0)，则r ＝t 2＋(2t )2＝5|t |. ①若t ＞0时，则r ＝5t ，从而sin α＝2t 5t ＝255， cos α＝t 5t ＝55，tan α＝yx ＝2.②若t ＜0，则r ＝－5t ， 从而sin α＝2t －5t ＝－255，cos α＝t －5t＝－55， tan α＝y x ＝2.1.已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：解法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．解法二：第一步，取点，在角α的终边上任取一点P(x，y)，(P与原点不重合)，第二步，计算r：r＝|OP|＝x2＋y2，第三步，求值：由sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)求值．2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.探究二三角函数值的符号问题[例2]判断下列各式的符号．(1)sin 2 005°cos 2 006°tan 2 007°；(2)tan 191°－cos 191°；(3)sin 2cos 3tan 4.[解析](1)∵2 005°＝1 800°＋205°＝5×360°＋205°，2 006°＝5×360°＋206°，2 007°＝5×360°＋207°，∴它们都是第三象限角，∴sin 2 005°<0，cos 2 006°<0，tan 2 007°>0，∴sin 2 005°cos 2 006°tan 2 007°>0.(2)∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0，∴tan 191°－cos 191°>0.(3)∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<3π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角．∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0.∴sin 2cos 3tan 4<0.判断三角函数值正负的两个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．探究三利用公式一求值[例3]求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan(－15π4)；(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.[解析](1)原式＝cos(8π＋π3)＋tan(－4π＋π4)＝cos π3＋tanπ4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤易错点归纳一、单位圆的妙用——比较函数值的大小在单位圆中，由三角函数的定义可知sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.如果α在第一象限，作PM⊥x轴于M点．则|PM|＝y，|OM|＝x.过A点作QO的切线，交OP的延长线于T点由于ATMP＝OAOM，即ATOA＝MPOM＝yx＝tan α，OA＝1，∴tan α＝AT.即此时，可用线段MP 、OM 、AT 的长度来表示sin α、cos α、tan α的值．[典例] 如果π4＜α＜π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α＜sin α＜tan αB ．tan α＜sin α＜cos αC ．sin α＜cos α＜tan αD ．cos α＜tan α＜sin α[解析] 在坐标系中作∠AOC ＝π4，OC 与单位圆的交点为C .作∠AOP ＝α，OP 与单位圆的交点为P .如图． 作PM ⊥x 轴于M 点，由OP 和OC 相比较可知． MP ＞OM .过A 点作切线AT ， 则AT ＞MP .又sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT . ∴tan α＞sin α＞cos α.故选A. [答案] A二、利用三角函数的定义运算出错[典例]已知角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求α的各三角函数值．[解析]因为点P的坐标是(4t，－3t)且t≠0，所以r＝|PO|＝(4t)2＋(－3t)2＝5|t|.当t＞0时，α是第四象限角，r＝|PO|＝5t，sin α＝yr＝－3t5t＝－35，cos α＝xr＝4t5t＝45，tan α＝yx＝－3t4t＝－34；当t＜0时，α是第二象限角，r＝|PO|＝－5t，sin α＝yr＝－3t－5t＝35，cos α＝xr＝4t－5t＝－45，tan α＝yx＝－3t4t＝－34.纠错心得对涉及的参数未讨论符号，去根号时没有加绝对值而致错．因为t≠0，所以分t＞0和t＜0两种情况讨论．5.2.2同角三角函数的基本关系知识点同角三角函数基本关系式如图，设点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点．过P作x轴的垂线，交x 轴于M，则△OMP是直角三角形，而且OP＝1.由勾股定理有OM2＋MP2＝1.由此想到sin α、cos α、tan α之间有什么关系？知识梳理(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：sin αcos α＝tan_α(α≠π2＋kπ，k∈Z)．(3)文字叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．解题方法探究探究一利用基本关系式求值[例1][教材P183例6拓展探究](1)已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值． [解析] 法一：∵tan α＝－2<0，∴α为第二或第四象限角，且sin α＝－2 cos α，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②消去sin α，得(－2cos α)2＋cos 2α＝1， 即cos 2α＝15；当α为第二象限角时，cos α＝－55，代入①得sin α＝255； 当α为第四象限角时，cos α＝55，代入①得sin α＝－255. 法二：∵tan α＝－2<0，∴α为第二或第四象限角． 由tan α＝sin αcos α，两边分别平方，得tan 2α＝sin 2αcos 2α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴tan 2α＋1＝sin 2αcos 2α＋1＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＝1cos 2α，即cos 2α＝11＋tan 2α.当α为第二象限角时，cos α<0， ∴cos α＝－ 11＋tan 2α＝－11＋(－2)2＝－55， ∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＝255.当α为第四象限角时，cos α>0， ∴cos α＝11＋tan 2α＝11＋(－2)2＝55，∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×55＝－255.(2)已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．[解析] ∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限角． 当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝ －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝－1517， tan α＝sin αcos α＝158.(3)已知tan α＝3，求：①2sin α－3cos α4sin α－9cos α；②sin 2α－3sin αcos α＋1.[解析] ①原式＝2tan α－34tan α－9＝2×3－34×3－9＝1.②原式＝sin 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－3tan α1＋tan 2α＋1＝32－3×31＋32＋1＝0＋1＝1.由某角的一个三角函数值求它的其余各三角函数值的依据及种类 (1)依据：cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α，要根据角α所在的象限，恰当选定根号前面的正负号，而在使用tan α＝sin αcos α时，不存在符号的选取问题．(2)分类：①如果已知三角函数的值，且角的象限已被指定时，则只有一组解； ②如果已知三角函数的值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值确定角可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解；(3)sin θ±cos θ与sin θcos θ相互转化方法：(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ.探究二三角函数式的化简[例2]化简下列各式．(1) 1－cos θ1＋cos θ＋1＋cos θ1－cosθ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π；(2)sin x1－cos x·tan x－sin xtan x＋sin x.[解析](1)原式＝(1－cos θ)2sin2θ＋(1＋cos θ)2sin2θ＝1－cos θ|sin θ|＋1＋cos θ|sin θ|＝2|sin θ|.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴原式＝2sin θ.(2)原式＝sin x1－cos x·sin xcos x－sin xsin xcos x＋sin x＝sin x1－cos x·sin x(1－cos x)sin x(1＋cos x)＝sin x1－cos x·1－cos x|sin x|＝sin x|sin x|＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ，2kπ＋π2∪⎝⎛⎭⎪⎫2kπ＋π2，2kπ＋π(k∈Z)，－1，x∈⎝⎛⎭⎪⎫2kπ＋π，2kπ＋3π2∪⎝⎛⎭⎪⎫2kπ＋3π2，2kπ＋2π(k∈Z).1．三角函数式化简的本质及关注点(1)本质：三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变换，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则．(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α，sin α＝tan α·cos α，cos α＝sin αtan α.2．对三角函数式化简的原则 (1)使三角函数式的次数尽量低． (2)使式中的项数尽量少． (3)使三角函数的种类尽量少． (4)使式中的分母尽量不含有三角函数． (5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号．(6)能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示．探究三 三角恒等式的证明[例3] 求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2. [证明] 法一：左边＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α) ＝1＋(sin 2α＋cos 2α)－2sin α＋2cos α－2sin αcos α ＝(1－2sin α＋sin 2α)＋2cos α(1－sin α)＋cos 2α ＝(1－sin α)2＋2cos α(1－sin α)＋cos 2α ＝(1－sin α＋cos α)2＝右边． ∴原式成立．法二：令1－sin α＝x ，cos α＝y ，则⎩⎨⎧sin α＝1－x ，cos α＝y .由sin 2α＋cos 2α＝1，消去α得(x －1)2＋y 2＝1， 即x 2＋y 2＝2x ，∴左边＝2x (1＋y )＝2x ＋2xy ＝x 2＋y 2＋2xy ＝(x ＋y )2＝右边． ∴原式成立．证明三角恒等式的常用方法证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则． (2)证明左右两边等于同一个式子．(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1. (4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．易错点归纳一、同角关系式与方程思想的“联袂”在同角三角函数关系中，sin 2α＋cos 2α＝1可变换成(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1，其中sin α＋cos α与sin αcos α很容易与一元二次方程中根与系数的关系产生联系．若以sin α，cos α为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题．[典例] 已知方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ. (1)求k 的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．[解析] (1)已知方程有两个实根sin θ，cos θ，应满足如下条件：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 2－32·(2k ＋1)≥0， ①sin θ＋cos θ＝－34k ， ②sin θ·cos θ＝2k ＋18. ③由平方关系可建立关于k 的等式．∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，即(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1， ④ ∴将②③代入④，得9k 216－2k ＋14＝1，即9k 2－8k －20＝0， 解得k ＝－109或k ＝2. 将k 值代入Δ≥0验证． ∵k ＝2不满足①式，故舍去，∴k ＝－109.(2)切化弦，再通分．tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θ·cos θ， 把(1)求得的k 值代入．由(1)知sin θ·cos θ＝2k ＋18＝－1172， ∴tan θ＋1tan θ＝1sin θ·cos θ＝－7211. 二、忽略角的取值范围，造成增解或丢解[典例] 已知sin θ＋cos θ＝15，且0＜θ＜π，求sin θ－cos θ. [解析] ∵sin θ＋cos θ＝15， ∴(sin θ＋cos θ)2＝125， 解得sin θcos θ＝－1225.∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925. ∵0＜θ＜π，且sin θcos θ＜0， ∴sin θ＞0，cos θ＜0， ∴sin θ－cos θ＞0， ∴sin θ－cos θ＝75.纠错心得 此题易错为忽略“0＜θ＜π”的条件，错解为sin θ－cos θ＝±75.当题目中已知角的范围时，或涉及到开方时，都要结合角度范围．确定三角函数值的符号．5.3 诱 导公式(1)知识点一 诱 导公式(二)如图，作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系？角β，α的三角函数值之间有什么关系？知识梳理公式二sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.知识点二诱导公式(三)如图，作P1关于x轴的对称点P3，那么P1与P3点的坐标有什么关系？知识梳理公式三sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.知识点三诱导公式(四)如图，作P1关于y轴的对称点P4，那么OP1与OP4所表示的角有什么关系？函数值有什么关系？知识梳理公式四sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α.公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．解题方法探究探究一给角求值[例1]求下列各三角函数的值：(1)sin(－945°)；(2)cos(－16π3)；(3)sin 43π·cos(－196π)·tan214π.[解析](1)法一：sin(－945°)＝－sin 945°＝－sin(225°＋2×360°) ＝－sin 225°＝－sin(180°＋45°)＝sin 45°＝2 2.法二：sin(－945°)＝sin(135°－3×360°) ＝sin 135°＝sin(180°－45°)＝sin 45°＝2 2.(2)法一：cos(－16π3)＝cos16π3＝cos(4π3＋4π)＝cos 4π3＝cos(π＋π3)＝－cos π3＝－12. 法二：cos(－16π3)＝cos(2π3－6π)＝cos 2π3 ＝cos(π－π3)＝－cos π3＝－12.(3)原式＝sin 4π3·cos(2π＋7π6)·tan(4π＋5π4) ＝sin 4π3·cos 7π6·tan 5π4＝sin(π＋π3)·cos(π＋π6)·tan(π＋π4) ＝(－sin π3)·(－cos π6)·tan π4 ＝(－32)×(－32)×1＝34.利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：探究二 给值求值[例2] [教材P 195第8题拓展探究](1)已知sin(π3－x )＝13，则sin(43π－x )＝________. [解析] sin(43π－x )＝sin[π＋(π3－x )]＝－sin(π3－x )＝－13. [答案] －13(2)已知sin(π3－x)＝13，且0＜x＜π2，则tan(23π＋x)＝________.[解析]∵0＜x＜π2，∴－π6＜π3－x＜π3.又sin(π3－x)＝13＞0，∴0＜π3－x＜π3.cos(23π＋x)＝cos[π－(π3－x)]＝－cos(π3－x)＝－1－sin2(π3－x)＝－1－(13)2＝－223，sin(23π＋x)＝sin[π－(π3－x)]＝sin(π3－x)＝13，∴tan(23π＋x)＝sin(23π＋x)cos(23π＋x)＝13－223＝－24.[答案]－24(1)解决条件求值问题时，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．探究三化简三角函数式[例3]化简cos(4n＋14π＋x)＋cos(4n－14π－x)(n∈Z)．[解析]原式＝cos(nπ＋π4＋x)＋cos(nπ－π4－x)．(1)当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，原式＝cos[(2k＋1)π＋π4＋x]＋cos[(2k＋1)π－π4－x]＝－cos(π4＋x)－cos(－π4－x)＝－2cos(π4＋x)；(2)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， 原式＝cos(2k π＋π4＋x )＋cos(2k π－π4－x ) ＝cos(π4＋x )＋cos(－π4－x )＝2cos(π4＋x )． 故原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2cos (π4＋x )，n 为奇数2cos (π4＋x )，n 为偶数.利用诱 导公式化简三角函数式的注意点(1)当碰到kx ±α(k ∈Z )的形式时，要注意对k 分奇数和偶数进行讨论，其目的在于将不符合条件的问题，通过分类使之符合条件，达到能利用公式的形式．(2)要注意观察角之间的关系，巧妙地利用角之间的关系，会给问题的解决带来很大的方便，如k π－α＝2k π－(k π＋α)，k ∈Z .易错点归纳一、角的终边关系与诱 导公式的拓展在弧度制下，常见的对称关系如下(可结合图象分析)：α与β的终边关于x 轴对称 α＋β＝2k π(k ∈Z ) α与β的终边关于y 轴对称 α＋β＝(2k ＋1)π(k ∈Z ) α与β的终边关于直线y ＝x 对称 α＋β＝4k ＋12π(k ∈Z ) α与β的终边关于直线y ＝－x 对称α＋β＝4k －12π(k ∈Z ) α与β的终边在同一条直线上α－β＝k π(k ∈Z ) α与β的终边垂直α－β＝4k ±12π(k ∈Z )[典例] 化简：sin[(k ＋1)π＋θ]·cos[(k ＋1)π－θ]sin (k π－θ)·cos (k π＋θ)(k ∈Z )．[解析] 原式＝(－1)k ＋1sin θ·(－1)k ＋1cos (－θ)(－1)k sin (－θ)·(－1)k cos θ＝(－1)2k ＋2sin θcos θ(－1)2k sin (－θ)cos θ＝－1. [答案] －1 二、盲目套用公式[典例] 若tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为________．[解析] 由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m .于是原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. [答案] m ＋1m －1纠错心得 此题中tan(5π＋α)与sin(α－3π)都不是公式形式，而直接套用公式易致错．使用诱 导公式时，必须符合公式中的特点要求，才可正确应用．5.3 诱 导公式(2)知识点 诱 导公式(五)、(六)如图，作P 1关于直线y ＝x 的对称点P 5，以OP 5为终边的角γ与角α有什么关系？角γ与角α的三角函数值之间有什么关系？知识梳理 公式五(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin_α.公式六(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin_α.(3)公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．解题方法探究探究一 利用诱 导公式求值[例1] (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25 B ．－15 C.15D.25(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝________.(3)已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，35，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α的值．[解析] (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23.(3)因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，35，所以a 2＋925＝1(a <0)，所以a ＝－45，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以原式＝cos α＋2cos α－2sin α＝－32·cos αsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×－4535＝2. [答案] (1)C (2)23 (3)见解析已知三角函数值求其他三角函数值的解题思路(1)观察：①观察已知的角和所求角的差异，寻求角之间的关系； ②观察已知的三角函数名与所求的三角函数名的差异．(2)转化：运用诱 导公式将不同的角转化为相同的角；将不同名的三角函数化为同名的三角函数．探究二 化简三角函数式 [例2] 化简：sin (4π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋αcos (2π－α)－tan (5π－α)sin (3π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.[解析] ∵sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α。
高一数学上册第五章重点知识点
高一数学上册第五章重点知识点(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高一数学必修一知识点总结人教
高一数学必修一知识点总结人教高一数学必修一是数学课程的基础，是后续学习的重要基石。
本文将为你总结高一数学必修一的主要知识点，希望能够帮助你更好地学习和掌握这些内容。
第一章相似与全等1. 相似三角形的判定条件- AAA 相似判定法：两个三角形对应角相等。
- AA 相似判定法：两个三角形有两个对应角相等，且对应边成比例。
- SAS 相似判定法：两个三角形的对应两边成比例，且夹角相等。
2. 相似三角形的性质和应用- 长度比例关系：对应边比例相等，对应角相等。
- 面积比例关系：面积比例等于边长比例的平方。
- 重心、垂心、外心、内心等的位置关系。
- 相似三角形的几何应用。
3. 全等三角形的判定条件- SSS 全等判定法：两个三角形的三边对应相等。
- SAS 全等判定法：两个三角形有两边及其夹角对应相等。
- ASA 全等判定法：两个三角形有两个角及其夹边对应相等。
- AAS 全等判定法：两个三角形有两个角及其对边对应相等。
4. 全等三角形的性质和应用- 证明等腰三角形的性质。
- 证明直角三角形的性质。
- 证明等边三角形的性质。
第二章平面向量1. 向量的概念及运算- 平面向量的定义和表示。
- 向量的加法、减法和数乘。
- 向量的数量积和向量积。
2. 向量的应用- 向量几何问题的分析与处理。
- 判断向量共线和垂直的方法。
- 平行四边形和三角形的面积计算。
第三章二次函数1. 二次函数的图像特征- 平移变换和伸缩变换。
- 最值点和零点的性质。
- 对称轴和对称点的关系。
2. 二次函数的性质与应用- 二次函数的单调性与求解方程。
- 二次函数与一次函数的关系。
- 二次函数在几何中的应用。
3. 二次函数图像的绘制- 根据函数的参数绘制函数图像。
- 根据函数图像确定函数的参数。
第四章导数与微分1. 导数的概念和性质- 导数的定义与几何意义。
- 导数的四则运算法则。
- 导数与函数图像的关系。
2. 导数的应用- 导数表示函数的变化率。
高中数学必修一第五章知识点
高中数学必修一第五章知识点摘要：一、三角函数的定义和分类二、三角函数的性质三、三角函数的图像和应用四、三角函数的恒等变换五、正弦定理和余弦定理正文：高中数学必修一第五章知识点主要涉及三角函数。
首先，我们要了解三角函数的定义和分类。
三角函数是指以角度为自变量，以正弦、余弦、正切等为函数值的函数。
根据角度的范围和函数值的正负性，三角函数可以分为正弦函数、余弦函数、正切函数等。
其次，我们要了解三角函数的性质。
例如，正弦函数和余弦函数的值域都是[-1,1]，正切函数的值域是R 等。
此外，还有一些特殊的三角函数性质，如和差化积、倍角公式、半角公式等。
接下来，我们要了解三角函数的图像和应用。
对于正弦函数和余弦函数，它们的图像都是关于y 轴对称的，而正切函数的图像则关于原点对称。
这些函数的图像都可以通过描点法或利用函数的性质来绘制。
三角函数在物理学、工程学等领域都有广泛的应用，如正弦函数可以用来描述周期性现象，余弦函数可以用来描述简谐振动等。
然后，我们要了解三角函数的恒等变换。
恒等变换是指通过代数运算，将一个三角函数表达式转化为另一个三角函数表达式，而不改变其值。
例如，正弦函数和余弦函数可以通过和差化积公式相互转化，正切函数可以通过倍角公式和半角公式相互转化等。
最后，我们要学习正弦定理和余弦定理。
正弦定理是指在直角三角形中，三角形的三条边与它的三个内角之间存在着一定的关系。
余弦定理是指在三角形中，一个角的余弦值等于它的两条边与第三条边的比值。
这些定理可以帮助我们计算三角形的边长和角度，是解决三角形问题的关键。
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高一数学必修一第五章知识总结1.本章主要内容是关于一次函数及其应用。
The main content of this chapter is about linear functions and their applications.2.一次函数的定义是f(x)=ax+b。
The definition of a linear function is f(x)=ax+b.3.一次函数的图像是一条直线。
The graph of a linear function is a straight line.4.一次函数的斜率表示为a，截距表示为b。
The slope of a linear function is represented by a, and the intercept is represented by b.5.一次函数的斜率可以表示为Δy/Δx。
The slope of a linear function can be represented asΔy/Δx.6.斜率为正的一次函数是递增的，斜率为负的一次函数是递减的。
A linear function with a positive slope is increasing, while a linear function with a negative slope is decreasing.7.一次函数的零点就是方程f(x)=0的解。
The zero point of a linear function is the solution tothe equation f(x)=0.8.一次函数的图像经过坐标原点时，截距为零。
The graph of a linear function passes through the origin when the intercept is zero.9.一次函数的图像是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度。
The graph of a linear function is a straight line, andits slope determines the steepness of the line.10.对于两点(x1, y1)和(x2, y2)，一次函数的斜率可以表示为(y2-y1)/(x2-x1)。
For two points (x1, y1) and (x2, y2), the slope of a linear function can be represented as (y2-y1)/(x2-x1).11.一次函数的斜率可以用点斜式来表示为y-y1=a(x-x1)。
The slope of a linear function can be represented in point-slope form as y-y1=a(x-x1).12.一次函数的斜率也可以用截距式来表示为y=ax+b。
The slope of a linear function can also be represented in slope-intercept form as y=ax+b.13.一次函数的平行线具有相同的斜率。
Parallel lines of a linear function have the same slope.14.一次函数的垂直线的斜率为无穷大。
The slope of a vertical line of a linear function is infinitely large.15.一次函数的平行线之间的距离等于它们之间任一点的纵坐标的差的绝对值。
The distance between parallel lines of a linear functionis equal to the absolute difference of their y-coordinates at any point.16.一次函数的垂直线之间的距离等于它们的横坐标的差的绝对值。
The distance between vertical lines of a linear functionis equal to the absolute difference of their x-coordinates.17.一次函数的平行线的截距相等。
The intercept of parallel lines of a linear function is equal.18.一次函数的垂直线的截距不存在。
The intercept of vertical lines of a linear function does not exist.19.一次函数的解对应了线性方程的解。
The solution of a linear function corresponds to the solution of a linear equation.20.一次函数的应用包括了直线运动、物品成本及收益的关系等。
The applications of linear functions include linear motion, cost and revenue relationships, etc.21.点斜式是表示一次函数的直线方程的一种形式。
The point-slope form is a way to represent the linear equation of a linear function.22.两点式是表示一次函数的直线方程的一种形式。
The two-point form is a way to represent the linear equation of a linear function.23.斜率截距式是表示一次函数的直线方程的一种形式。
The slope-intercept form is a way to represent the linear equation of a linear function.24.一次函数的值域是整个实数集。
The range of a linear function is the entire set of real numbers.25.一次函数的定义域是整个实数集。
The domain of a linear function is the entire set of real numbers.26.一次函数的图像是直线，它穿过网格线上的整点。
The graph of a linear function is a line that passes through the integer points on the grid.27.一次函数的图像通常用直线图形来表示。
The graph of a linear function is usually represented bya straight line.28.一次函数的表达式中x的最高次是1。
The highest power of x in the expression of a linear function is 1.29.一次函数的图像是右上方倾斜或右下方倾斜的直线。
The graph of a linear function is a line that slopes upward to the right or slopes downward to the right.30.一次函数的导数是其斜率。
The derivative of a linear function is its slope.31.一次函数的导数是常数。
The derivative of a linear function is a constant.32.一次函数的导数与函数值的关系是对应的。
The relationship between the derivative and the function value is corresponding for a linear function.33.一次函数的解析式是f(x)=ax+b。
The analytical expression of a linear function isf(x)=ax+b.34.一次函数的定理包括零点定理、中点定理和导数定理等。
The theorems of a linear function include the zero-point theorem, midpoint theorem, and derivative theorem, etc.35.一次函数的图像可用斜率和截距来描述。
The graph of a linear function can be described by its slope and intercept.36.一次函数的图像在坐标平面上是一条直线。
The graph of a linear function is a straight line on the coordinate plane.37.一次函数的图像在坐标平面上是单值而不是多值。
The graph of a linear function on the coordinate plane is single-valued rather than multi-valued.38.一次函数的图像可以通过已知的点和斜率来绘制。
The graph of a linear function can be plotted by known points and slope.39.一次函数的图像的方向由斜率的正负决定。
The direction of the graph of a linear function is determined by the sign of the slope.40.一次函数的斜率存在，且不等于零。
The slope of a linear function exists and is not equal to zero.41.一次函数的截距可以为零、正值或者负值。
The intercept of a linear function can be zero, positive, or negative.42.一次函数的截距表示了函数与y轴的交点。
The intercept of a linear function represents the intersection with the y-axis.43.一次函数的零点是方程f(x)=0的解。
The zero point of a linear function is the solution of the equation f(x)=0.44.一次函数的零点决定了直线与x轴的交点。