基本不等式： ≤(a+b)4 PPT
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基本不等式： ≤(a+b)_教学课件
答案：(1)12 (2)B
热点之三 利用基本不等式求解实际问题
解实际应用题要注意以下几点：
1．设变量时一般要把求最大值或最小值的变 量定义为函数；
2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只 需利用基本不等式求得函数的最值；
3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使 实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
a＋b 基本不等式： ab≤ 2
1．基本不等式 设a，b∈R，则①a2≥0；②a2＋b2≥2ab，a，b∈R，要认识 到a和b代表的实数既可以是具体数字，也可以是比较复杂的变量 式，应用广泛． 2．均值不等式 设a，b∈(0，＋∞)，则a＋2 b≥ ab，当且仅当a＝b时，不等 式取等号．它的证明要能从基本不等式中得出，既是对基本不等 式中a，b的灵活变式，又具有自身特点，a，b∈(0，＋∞)．
＝x＋
1 2
＋
1 x＋21
－
3 2
≥2
x＋12·x＋1 12－
3 2
＝ 12 ，当且仅当x＋
1 2
＝
1 x＋21
，即x＝ 12
时取
等号，所以函数的最小值等于12.故填12.
(2)由a2＋2ac＋2ab＋4bc＝1，得(a＋2b)(a＋2c)＝1.因为a， b，c>0，所以a＋2b>0，a＋2c>0.因此有(a＋2b)＋(a＋ 2c)≥2 a＋2b·a＋2c ＝2，即2(a＋b＋c)≥2，当且仅当a＋2b ＝a＋2c时，取到等号．故a＋b＋c≥1，所以a＋b＋c的最小值为 1.故选B.
从近几年的高考试题看，基本不等式
ab ≤
a＋b 2
的应用一直
是高考命题的热点，在选择题、填空题、解答题中都有可能出
现，它的应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但是
热点之三 利用基本不等式求解实际问题
解实际应用题要注意以下几点：
1．设变量时一般要把求最大值或最小值的变 量定义为函数；
2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只 需利用基本不等式求得函数的最值；
3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使 实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
a＋b 基本不等式： ab≤ 2
1．基本不等式 设a，b∈R，则①a2≥0；②a2＋b2≥2ab，a，b∈R，要认识 到a和b代表的实数既可以是具体数字，也可以是比较复杂的变量 式，应用广泛． 2．均值不等式 设a，b∈(0，＋∞)，则a＋2 b≥ ab，当且仅当a＝b时，不等 式取等号．它的证明要能从基本不等式中得出，既是对基本不等 式中a，b的灵活变式，又具有自身特点，a，b∈(0，＋∞)．
＝x＋
1 2
＋
1 x＋21
－
3 2
≥2
x＋12·x＋1 12－
3 2
＝ 12 ，当且仅当x＋
1 2
＝
1 x＋21
，即x＝ 12
时取
等号，所以函数的最小值等于12.故填12.
(2)由a2＋2ac＋2ab＋4bc＝1，得(a＋2b)(a＋2c)＝1.因为a， b，c>0，所以a＋2b>0，a＋2c>0.因此有(a＋2b)＋(a＋ 2c)≥2 a＋2b·a＋2c ＝2，即2(a＋b＋c)≥2，当且仅当a＋2b ＝a＋2c时，取到等号．故a＋b＋c≥1，所以a＋b＋c的最小值为 1.故选B.
从近几年的高考试题看，基本不等式
ab ≤
a＋b 2
的应用一直
是高考命题的热点，在选择题、填空题、解答题中都有可能出
现，它的应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但是
2.2.1 基本不等式 课件(28张)
【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1
第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ )课件 理课件
考点四 利用基本不等式证明其他不等式
≥9. 【例4】 若x>0，y>0，x＋y＝1，求证：1＋1x·1＋1y
思路点拨：本题要求根据条件求最值，x＋y为常数， xy可有最大值，如何合理利用条件x＋y＝1是解答本题的关 键，可在要求的式子上乘以(x＋y)，也可通过三角换元转化 为三角问题.
之和为
f(x)
＝
20C(x)
＋
C1(x)
＝
20×
40 3x＋5
＋
6x
＝
800 3x＋5
＋
6x(0≤x≤10)．
(2)由(1)知 f(x)＝38x0＋05＋6x(0≤x≤10)， ∴f(x)＝38x0＋05＋2(3x＋5)－10≥
2 38x0＋05·23x＋5－10＝80－10＝70， 当且仅当38x0＋05＝2(3x＋5)时，等号成立， 即(3x＋5)2＝400,3x＋5＝±20， ∴x＝5 或 x＝－235(舍去)时，上式中的等号成立， 即 f(x)min＝70(万元)， 所以当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小， 最小值为 70 万元．
＝b时取等号)．
2
2
2(当且仅当a
三、均值不等式(基本不等式)
两个正数的均值不等式：若 a，b∈R＋，则a＋2 b
≥ ab(当且仅当 a＝b 时取等号)．
变式： ab≤a＋2 b2(a，b∈R＋)．
三个正数的均值不等式：a＋3b＋c≥3 abc(属知识
拓展)．
n
个
正
数
的
均
值
不
等
式
：
a1＋a2＋…＋an n
≥n a1a2…an(属知识拓展)．
四、最值定理
人教版A版高中数学必修5：基本不等式： ≤(a+b)_课件44
3 4
•[反思感悟] 在求解含有两个变量的代数式的最 值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值 “1”的替换，即由已知条件得到某个式子值
为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数， 再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不 等式求最值．
【自主体验】
(2013·台州一模)设 x，y 均为正实数，且2＋3 x＋2＋3 y＝1，则
求证：1a＋1b＋1c≥9.
证明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当 a＝b＝c＝13时，取等号．
• 答案 D
2．几个重要的不等式 (1)重要不等式：a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)．当且仅当 a＝b 时 取等号． (2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (3)a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (4)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号．
(√)
[感悟·提升] 两个防范 一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成 立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和 为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就 会出现错误．对于公式 a＋b≥2 ab，ab≤a＋2 b2，要弄清它们 的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab 和 a＋b 的转化关系．如(2)、(4)、(6)． 二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不 等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一 致.
•规律方法 (1)利用基本不等式解决实际问题时， 应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中 的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的 函数关系式，然后用基本不等式求解．
基本不等式： ≤(a+b)_多媒体课件
2
=3 2 .
4
当且仅当x= 3
2
,y=
22（即x2=
1 y2 2
）时,
x 1 y2 取得最大值 3 2 .
4
x=cosθ
(方法二)令 y= 2 sinθ(0≤θ≤
), 2
则x 1 y2 =cosθ 1 2sin2 =
2cos2 (1 sin2 ) 1
2
≤ 1·
2
2 cos2 (1 2sin2 ) 1
❖不等式及不等式选讲
知识体系
考纲解读
1.不等关系. 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解不等式（组）的实际背景. 2.一元二次不等式. (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式 模型. (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相 应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二 次不等式，会设计求解的程序框图.
点评 比较大小，常用作差（商）比较法. 题型三 利用基本不等式求最值
y2
例3 设x≥0,y≥0，x2+ =1，求
2
x 1 y的2 最大值.
(方法一)因为x≥0，y≥0，x2+ y=21,
2
所以x 1 y2 = x2 (1 y2 ) = 2x2 1 y2
2
≤
x2 1 y2
2
2=
2
x2 y2 1 2 2 2
B.a2+ ≥a+1a
a2
1
C.|a-b|+ ≥2
ab
D. a 3 - a 1≤ a 2- a
C选项|a-b|+
a
1
b
≥2，当a-b<0时不
成立.运用公式一定要注意公式成立的条
=3 2 .
4
当且仅当x= 3
2
,y=
22（即x2=
1 y2 2
）时,
x 1 y2 取得最大值 3 2 .
4
x=cosθ
(方法二)令 y= 2 sinθ(0≤θ≤
), 2
则x 1 y2 =cosθ 1 2sin2 =
2cos2 (1 sin2 ) 1
2
≤ 1·
2
2 cos2 (1 2sin2 ) 1
❖不等式及不等式选讲
知识体系
考纲解读
1.不等关系. 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解不等式（组）的实际背景. 2.一元二次不等式. (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式 模型. (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相 应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二 次不等式，会设计求解的程序框图.
点评 比较大小，常用作差（商）比较法. 题型三 利用基本不等式求最值
y2
例3 设x≥0,y≥0，x2+ =1，求
2
x 1 y的2 最大值.
(方法一)因为x≥0，y≥0，x2+ y=21,
2
所以x 1 y2 = x2 (1 y2 ) = 2x2 1 y2
2
≤
x2 1 y2
2
2=
2
x2 y2 1 2 2 2
B.a2+ ≥a+1a
a2
1
C.|a-b|+ ≥2
ab
D. a 3 - a 1≤ a 2- a
C选项|a-b|+
a
1
b
≥2，当a-b<0时不
成立.运用公式一定要注意公式成立的条
3.4.2基本不等式课件(人教A版必修5)
4 3 求函数y sin 其中 0， ] （ sin 2 的最小值。 4 4 解：y sin 2 sin sin sin 4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
4800 z 150 120( 2 3 x 2 3 y ) =240000+720(x+y) 3
由容积为4800m3 ,可得3xy=4800,
因此xy=1600,
由基本不等式与不等式性质，可得 240000+720(x+y)≥ 240000+720×2 xy 即:z≥240000+720×2 xy =297600
2 ( x 1) x 1 1 3
(1)x=2 (2)x=1/2
思考：取到最值时x的值呢？
构造法
变式：（1）已知x>-2,求
1 x 的最小值； x2
（2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值.
1 变式：（1）已知x>-2,求 x 的最小值；0 x2 （2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值. 1 8
解：设矩形菜园的长为x m,宽为y m 则 2(x+y)=36，x+y=18 由
xy x y 18 9 2 2
矩形菜园的面积为xy m2 xy≤81
可得
等号当且仅当x=y时成立，这时x=y=9.
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的 面积最大，最大面积为81m2
例6 某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容 积为4800m3，深为3 m。如果池底每平方米的造价为 所以,将水池的地面设计成边长为40 m的正方形 150元,池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能 时总造价最低,最低造价为297600元 使总造价最低？最低造价为多少元？ 解：设底面的长为x m,宽为y m, 水池总造价为z元,根据题意，有
基本不等式： ≤(a+b)_PPT
＝1＋1x0＋1x0≥1＋2 1x0·1x0＝3. 当且仅当1x0＝1x0，即 x＝10 时，y 取最小值． 答：汽车使用 10 年平均费用最少.
探索延拓创新 利用基本不等式证明不等式
已知 a、b、c、d 都是正数，求证：(ab＋cd)(ac ＋bd)≥4abcd.
[解析] 由 a、b、c、d 都是正数得， ab＋2 cd≥ ab·cd＞0， ac＋2 bd≥ ac·bd＞0. ∴ab＋cd4ac＋bd≥abcd， 即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
解法二：由 xy＝24 得 x＝2y4.
∴l＝4x＋6y
＝
96 y
＋6y＝
61y6＋y≥6×2
1y6·y＝48.当且
仅当1y6＝y，即 y＝4 时，等号成立，此时 x＝6.
故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
某种汽车，购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、汽 油费约为 0.9 万元，年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递 增 0.2 万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？
设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy. 解法一：由于 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， ∴2 6xy≤18，得 xy≤227， 即 S≤227，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．
由22xx＝＋33yy＝18 ， 解得yx＝＝34.5 故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大．
[辨析] a＋b≥2 ab是在 a>0，b>0 的条件下才成立，题 目中没有限定 x>0，函数的定义域应是(－∞，0)∪(0，＋∞)， 因此应分类讨论．
[正解] 显然函数 y＝x＋1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋ ∞)，
高中数学基本不等式 PPT课件 图文
2. 一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形菜园，墙长18 m，问这个矩形的长 、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大 面积是多少？
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前