不等式的基本性质高中
高中数学知识点精讲精析 不等式的基本性质
4.1不等式的基本性质1．不等式的基本性质： ①对称性：a>b b<a; ②传递性：a>b,b>c a>c; ③可加性：a>b a+c>b+c; ④加法法则：a>b,c>d a+c>b+d; ⑤可乘性：a>b,c>0 ac>bc; a>b,c<0 ac<bc; ⑥乘法法则：a>b>0,c>d>0 ac>bd;⑦倒数法则：a>b,ab>0 ; ⑧乘方法则：a>b>0 an>bn;⑨开方法则：a>b>0 ;⑩绝对值不等式的性质： |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 2．基本不等式（以下√表示根号，＾表示指数）如果a 、b 都为实数，那么a 平方+b 平方≥2ab，当且仅当a=b 时等号成立 证明如下： ∵（a-b)^2≥0 ∴a^2+b^2-2ab≥0 ∴a^2+b^2≥2ab如果a 、b 、c 都是正数，那么a+b+c≥3*3√abc,当且仅当a=b=c 时等号成立 如果a 、b 都是正数，那么（a+b ）/2 ≥√ab ，当且仅当a=b 时等号成立。
（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b 时等号成立。
）和定积最大：当a+b=S 时，ab≤S^2/4（a=b 取等） 积定和最小：当ab=P 是，a+b≥2√P（a=b 取等）ba 11<⇒nn b a >⇒均值不等式：如果a,b 都为正数，那么√(( a 平方+b 平方)/2)≥（a+b ）/2 ≥√ab≥2/（1/a+1/b)（当且仅当a=b 时等号成立。
）( 其中√(( a 平方+b 平方)/2)叫正数a,b 的平方平均数也叫正数a,b 的加权平均数；（a+b ）/2叫正数a,b 的算数平均数；√ab 正数a,b 的几何平均数；2/（1/a+1/b)叫正数a,b 的调和平均数。
高中数学不等式知识点
高中数学不等式知识点在高中数学的学习中，不等式是一个重要的内容板块，它不仅在数学领域有着广泛的应用，也对我们培养逻辑思维和解决实际问题的能力有着重要的作用。
下面我们就来详细梳理一下高中数学不等式的相关知识点。
一、不等式的基本性质1、对称性：若 a ＞ b，则 b ＜ a 。
2、传递性：若 a ＞ b 且 b ＞ c ，则 a ＞ c 。
3、加法法则：若 a ＞ b ，则 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
4、乘法法则：若 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，则 ac ＞ bc ；若 a ＞ b 且 c ＜0 ，则 ac ＜ bc 。
这些基本性质是我们解决不等式问题的基础，需要牢记并能熟练运用。
二、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （a ≠ 0）的不等式称为一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤为：1、去分母（若有分母）。
2、去括号。
3、移项，将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边。
4、合并同类项。
5、系数化为 1 ，注意当系数为负数时，不等号方向要改变。
例如，解不等式 2x ＋ 5 ＞ 7 ，移项得到 2x ＞ 7 5 ，即 2x ＞ 2 ，系数化为 1 得 x ＞ 1 。
三、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （a ≠ 0）的不等式称为一元二次不等式。
解一元二次不等式的关键是求出其对应的二次方程的根。
通过判断二次函数图象的开口方向以及与x 轴的交点情况来确定不等式的解集。
例如，对于不等式 x² 2x 3 ＜ 0 ，先求出方程 x² 2x 3 ＝ 0 的根，即（x 3)（x ＋ 1) ＝ 0 ，解得 x ＝ 3 或 x ＝－1 。
因为二次函数开口向上，所以不等式的解集为－1 ＜ x ＜ 3 。
四、简单的绝对值不等式1、当|x| ＜ a （a ＞ 0）时，a ＜ x ＜ a 。
高中不等式知识点
高中不等式知识点高中阶段，不等式是数学中的重要内容之一。
不等式不仅在数学中有广泛的应用，也在生活中有很多实际意义。
下面我将重点介绍高中阶段学习不等式的一些重要知识点。
1. 不等式的基本性质：(1) 加减性质：对于不等式两边同时加减同一个数，不等号的方向保持不变；(2) 乘除性质：如果同一个正数或同一个负数同时乘或除不等式两边，不等号方向不变，如果同一个正数乘或除不等式两边，不等号的方向保持不变，如果同一个负数乘或除不等式两边，不等号的方向发生改变；(3) 倒置性质：不等号两边同时倒置，不等号的方向也要倒置。
2. 不等式的解集表示法：(1) 常用解集表示法：使用不等号来表示解集，如x>2表示x 大于2；(2) 区间表示法：使用数轴上的区间来表示解集，如[2, +∞)表示大于或等于2的所有实数。
3. 一元一次不等式：一元一次不等式指的是只含有一个未知数（一元）和一次方程的不等式。
对于一元一次不等式的求解，可以进行类似于方程的运算，通过移项和化简得出解集。
4. 一元二次不等式：一元二次不等式指的是含有一个未知数（一元）以及二次项（平方项）的不等式。
对于一元二次不等式的求解，可以通过变换成二次方程，求出方程的解集，再用数轴上的区间来表示解集。
5. 系统不等式：系统不等式指的是多个不等式组成的一个问题。
对于系统不等式的求解，可以通过图像法，通过画出各个不等式的直线图像，找出满足全部条件的交集部分来表示解集。
6. 约束条件的不等式：在一些实际问题中，不仅有不等式的限制条件，还有其他的约束条件。
对于这种情况，需要将不等式的解集与其他条件进行比较来确定最终的解集。
不等式作为数学中的重要内容，不仅仅是应试的一部分，更是对学生逻辑思维和数学思考能力的考验。
通过学习不等式，可以培养学生的分析问题和解决问题的能力，使他们在解决实际问题时能够灵活运用数学知识。
在生活中，不等式也有很多实际应用，如求解最大值、最小值问题、经济学中的供求关系等等。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
高一基本不等式的知识点
高一基本不等式的知识点在数学学科中，不等式是我们经常遇到的一类问题，也是解决实际问题和推理证明的常用工具。
在高中数学的学习中，如何正确处理和应用不等式是非常重要的。
本文将介绍一些高一阶段常见的基本不等式的知识点，希望能够对同学们的学习有所帮助。
一、正数不等式的基本性质正数不等式是我们在学习不等式时最常见的一种形式。
正数不等式的基本性质有以下几点：1. 加减同项，不等号方向不变。
例如，若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
2. 乘除同正数，不等号方向不变。
例如，若a>b，且c>0，则ac>bc，a/c>b/c。
3. 乘除同负数，不等号方向改变。
例如，若a>b，且c<0，则ac<bc，a/c< b/c。
二、平方不等式的知识点平方不等式是高一阶段经常遇到的一个重要内容。
对于大多数正实数和负实数，我们可以使用平方不等式进行简化和推导。
以下是一些常见的平方不等式知识点：1. 平方不等式基本性质：对于任意实数a和b，若a>b，那么a^2>b^2。
这是由于当a和b都为正数或负数时，平方操作不改变不等关系；而当a为正数，b为负数时，平方操作会改变不等关系。
2. 平方不等式求解方法：对于形如x^2-c>0的平方不等式，我们可以通过因式分解法或配方法将其转化为(x-a)(x-b)>0的形式，然后根据零点的位置关系进行讨论求解。
三、绝对值不等式的知识点绝对值不等式也是高一数学中重要的内容之一。
绝对值不等式的处理方法与普通的不等式稍有不同，需要注意以下几个方面：1. 绝对值不等式基本性质：对于任意实数a和b，若|a|>|b|，那么a^2>b^2。
这是因为绝对值的定义决定了当a和b的符号不同时，|a|>|b|必然意味着a^2>b^2。
2. 绝对值不等式求解方法：对于形如|ax+b|>c或|ax+b|<c的绝对值不等式，我们可以根据绝对值的定义将其转化为不等式组形式进行求解。
高三不等式知识点归纳图
高三不等式知识点归纳图不等式是高中数学中一个重要的概念，广泛应用于代数、几何和实际问题中。
在高三阶段，学生需要深入理解不等式的性质、求解方法以及在应用问题中的运用。
本文将通过归纳图的形式对高三不等式的知识点进行整理和归纳，帮助学生们更好地理解和掌握这一知识点。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：如果 a>b，b>c，则有 a>c；2. 不等式两边同时加（减）同一个数，不等号方向不变；3. 不等式两边同时乘（除）同一个正数，不等号方向不变；4. 不等式两边同时乘（除）同一个负数，不等号方向改变。
二、一元一次不等式1. 不等式的解集表示法：用集合的形式表示不等式的解集；2. 不等式的图像表示法：用数轴上的点表示不等式的解集；3. 一元一次不等式的解法：通过移项和化简，找到不等式的解集；4. 一元一次不等式组：通过解每个不等式，再求解交集；5. 不等式的解空间：解多个不等式组成的方程组。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解集表示法：用集合的形式表示不等式的解集；2. 一元二次不等式的图像表示法：用数轴上的点表示不等式的解集；3. 一元二次不等式的解法：利用一元二次不等式的性质和变形求解；4. 一元二次不等式组：通过解每个不等式，再求解交集。
四、绝对值不等式1. 绝对值不等式的性质：|a|＜b 等价于 -b＜a＜b；2. 绝对值不等式的解法：通过移项和化简，根据情况分析绝对值的正负，找到不等式的解集。
五、分式不等式1. 分式不等式的解集表示法：用集合的形式表示不等式的解集；2. 分式不等式的解法：通过移项和化简，确定分式不等式的解集。
六、不等式应用1. 几何意义：利用不等式解决三角形、多边形的不等式问题；2. 实际问题：应用不等式解决数学建模、经济学、物理学等实际问题。
七、不等式的证明1. 证明不等式的基本方法：利用不等式的性质和变形进行证明；2. 数学归纳法的应用：通过数学归纳法证明不等式的正确性。
高中数学教案不等式的性质和解法
高中数学教案不等式的性质和解法高中数学教案：不等式的性质和解法在高中数学中，不等式是一个重要的概念，它可以帮助我们描述数值大小的关系。
掌握不等式的性质和解法对于学生的数学素养的提高至关重要。
本教案将介绍不等式的基本性质以及常用的解法方法，帮助学生深入理解不等式的本质和应用。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：不等式具有传递性的性质，即如果对于实数a、b和c，若a < b，b < c，则有a < c。
这是由实数集的有序性决定的。
2. 不等式的加法性：对于实数a、b和c，若a < b，则有a + c < b + c。
这是由实数加法运算的性质决定的。
3. 不等式的乘法性：对于实数a、b和c，若a < b且c > 0，则有ac < bc。
若a < b且c < 0，则有ac > bc。
这是由实数乘法运算的性质决定的。
4. 已知不等式的平方：对于实数a，若a > 0，则有a^2 > 0。
若a < 0，则有a^2 > 0。
这是由实数平方的性质决定的。
二、不等式的解法方法1. 图解法：利用数轴上的点、线段和箭头等图形表示不等式的解集。
可以通过图示的方式直观地观察解集的范围。
2. 代数法：通过代数方法，利用不等式的性质，将不等式转化为若干等价的不等式，再通过解等价不等式得到原不等式的解集。
3. 数值法：对于一些简单的不等式，可以通过列举数字的方式求解。
将不等式中的变量替换为具体的数值，并逐个验证是否满足不等式，从而得到解集。
4. 增减法：通过逐步增减变量的值，缩小不等式的解集范围。
通过观察变量的增减趋势，可以确定不等式的解集。
三、应用实例例1：求解不等式2x + 5 > 10。
解：首先，由不等式的加法性质，可以将不等式转化为2x > 5。
然后，再利用不等式的乘法性质，将不等式进一步转化为x > 2.5。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结一、知识点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a > bb > a②传递性: a > b, b > ca > c③可加性: a > b a + c > b + c④可积性: a > b, c > 0ac > bc;a > b, c < 0ac < bc;⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)⑧开方法则：a > b > 0,2.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则重要结论1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。
3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法:以已知或已证明的不等式为基础，根据不等式的性质推导出待证明的不等式。
平均不等式常用于综合法的标度。
分析方法:不等式两边的关系不够清晰。
通过寻找不等式成立的充分条件，对待证明的不等式进行逐步转化，直到找到一个容易证明或已知成立的结论。
4.不等式的解法(1) 不等式的有关概念同解不等式:如果两个不等式有相同的解集，那么这两个不等式称为同解不等式。
同解变形:当一个不等式转化为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形称为同解变形。
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步骤
大小的方法：
理论根据
作商比较法
步骤
二、不等式的性质
1、对称性： a b b a
2、传递性： a b,b c a c
abacbc
3、加法性质：a b
c
d
a
c
b
d
同向可加性
二、不等式的性质
4、乘法性质：
a c
b
0
ac
bc
a b 0
c
d
0
ac bd 0
同向同正可乘
5、乘方性质：
Q2a3
1 1 1 （倒数法则）
3a2
3 b2 8（乘法法则）
a
注意：
在求解过程中要避免犯如下错误：
由24
a b
3 3
得 8 ab 9
错因：用乘法法则时不符合其
“同向同正”的前提条件。
• 主要内容
小结
• 基本理论:
• a - b > 0 <=> a > b
• a - b = 0 <=> a = b
ba
解：（4）Q 4 b 3 3 b 4（乘法单调性）
Q2a3
6 ab 1（2 乘法法则）
-12 ab -6 （乘法单调性）
三、例题分析：
例5:已知 2 a 3, 4 b 3，求 a b, a b, a , ab, b2 的取值范围。
ba
解：（4）Q 4 b 3
9 b2 16（乘方法则）
ab
[( )2 ( )2 ] ( a b) a b
b
a
ba
a b b a（分组通分） (a b)( 1 1 )
ba
ba
(a b)( a b) ( a b)( a b)2
ab
ab
（定号）
0
(
a
2
)
1 2
b2 (
1
)2
b
a
a b
三、例题分析：
例4:已知a
0, b
0，比较( a2
x1 )（分组）
(x2
x1 )
(
x1 x2 x1 x2
)
（通分）
(x2
x1 )
(x1x2 1) x1x2
（定号）
(x2
0
x1 )(1
1 x1x2
)
三、例题分析：
例4:已知a
0, b
0，比较( a2
1
)2
b2 (
1
)2
b
a
与 a b 的大小。
解法1:(作差法) Q a 0,b 0
a2 1 b2 1
ba
解：（1）Q 2 a 3, 4 b 3
-2 a+b 0
（加法法则-同向可加性）
（2）Q 4 b 3
3 -b 4（乘法单调性）
Q2a3
5 a b 7（加法法则）
三、例题分析：
例5:已知 2 a 3, 4 b 3，求
a b, a b, a , ab, b2 的取值范围。
ba
解：（3）Q 4 b 3
1 1 1（倒数法则）
3b 4
1 1 1（乘法单调性）
4 Q2
a
b
3
3
1
-
a
（1 乘法法则）
2b
1 a 1（乘法单调性）
b2
三、例题分析：
例5:已知 2 a 3, 4 b 3，求 a b, a b, a , ab, b2 的取值范围。
一、不等式的相关概念：
1.不等式的定义：
用不等号表示不等关系的式子
按两不等式 同向不等式 的方向分 异向不等式
2.不等式 的分类：
按未知数最 高次幂分
一次不等式 二次不等式 高次不等式
分式不等式 无理不等式
3、两数在数轴上的表示：
在数轴上右边的点比左边的点表示的数大
理论根据 作差比较法
4、比较两式
ab
ab
a2 1 b2 1
( )2 ( )2 a b
b
a
小结：
作差比较大小（变形是关键）
常用手段:配方法，因式分
变形
解法
常见形式:变形为常数；
一个常数与几
个平方和；
几个因式的积
注：平方差，完全平方，立方和、
差等公式的应用
三、例题分析：
例5:已知 2 a 3, 4 b 3，求 a b, a b, a , ab, b2 的取值范围。
用于简单判断或填空题
解法1：特殊值法
解法2：作差比较法
三、例题分析：
例2:(1)已知0 a b, a b 1，则 a,b, 1 , 2ab, a2 b2 从小到大的顺序是
2
_a___2_a_b___12___a_2__b_2___b___ 特殊值法: 取 a 1 ,b 3 44
三、例题分析：
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物 的形状结构，事与事的成因与结果的不同等 等都表现出不等关系，这表明现实世界中的 量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局 部的、相对的。
不等式知识贯穿整个高中数学，也是高 等数学的基础和工具，一直是高考的重点内 容，占相当大的比重。不等式具有应用广泛、 变换灵活的特点。
b
a
三、例题分析：
例4:已知a
0, b
0，比较( a2
1
)2
b2 (
1
)2
b
a
与 a b 的大小。
解法3:(平方作差法) Q a 0,b 0
a2 [(
1
)2
b2 (
1
) 2 ]2
(
a
b)2
立方和baa2 b2( 2 ab) (a b 2 ab)
ba
变形
a3 b3 (a b) (a b)(a b)2 0
a b 0 an bn;
（ n取正整数）
二、不等式的性质
6、开方性质：a b 0 n a n b
（ n取正整数）
ab
7、倒数性质：
ab
0
1 a
1 b
三、例题分析：
例1：已知a 0,1 b 0 ，那么在
a, ab, ab2 这三个数中，最小的数是
__a__，最大的数是__a_b____
1
)2
b2 (
1
)2
b
a
与 a b 的大小。
解法2:(作商法) Q a 0,b 0
(a2
1
)2
(b2
1
)2
b
a
a b
b a (
a)3 (
b )3
a b
a b ( a b) ab
a
b ab
ab
（立方和 公式）
(
a
b)2 ab
a（b 配方）
（定号）
ab
1
(
a
2
)
1 2
(
b2
)
1 2
a
b
ab
例2:(2)已知2x 4y 1 ，比较 x2 y2
作与差210比的较大法:小__xx2_2_y_y2_2__121_0 _
注：特殊值 法容易漏“=”
20
x2
(1 4
1 2
x)2
1（条件 20
2x
4y=1
的应用）
5 x2 - 1 x+ 1 5（x2 - 1 x+ 1 ） 4 4 80 4 5 100
5（x4
110）（2 配方）
0
小结：
作差比较两数大小的步骤
(1)作差；
(2)变形； 常用手段:配方法，因式分
(3)定号；
解法
(4)下结论；
三、例题分析：
例3:已知 x2 x1 1 ，比较
作与差x1比 较x11 法的: Q大x小2 。x12
( x1
1 )
x1
x2
1 x2
11
(x2
x1)
( x2