高中数学讲义微专题54 数列求和(含通项公式与求和习题
微专题54 数列求和问题
数列求和问题是高考数列中的一个易考类型，在已知通项公式的前提下，要通过观察通项公式（或者项）的特点决定选择哪种方法进行求和。考查学生的观察能力与辨析能力。所以在复习的过程中要抓住每种求和方法相对应的通项公式特点，并在练习中熟悉解法 一、基础知识：
1、根据通项公式的特点求和： （1）等差数列求和公式：()1122
p q n
n a a a a S n n p q n ++=
?=?+=+ ()
112
n n n S a n d -=+
（2）等比数列求和公式：()
11
1,11,1n n a q q S q a n q ?-≠?
=-??=?
（3）错位相减法：
通项公式特点：n a =等差?等比，比如2n
n a n =?，其中n 代表一个等差数列的通项公式（关
于n 的一次函数），2n
代表一个等比数列的通项公式（关于n 的指数型函数），那么便可以使用错位相减法
方法详解：以()212n
n a n =-?为例，设其前n 项和为n S
① 先将n S 写成n 项和的形式()12
1232212n n S n =?+?+
+-?
② 两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列 ()1
2
1232212n n S n =?+?+
+-?
()()23121232232212n n n S n n +=
?+?+
+-?+-? ，发现乘完公比后，对比原
式项的次数，新等式的每项向后挪了一位。 ③ 然后两式相减：(
)()1
23
1122222212n n n S n +-=?+++
+--? 除了首项与末项，中
间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出n S 即可
()()1231122222212n n n S n +-=?++++--?
()()114212221221
n n n -+-=+?
--?-
()13226n n +=-?- 所以()12326n n S n +=-?+
对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和 （4）裂项相消：
通项公式特点：n a 的表达式能够拆成形如()()n a f n f n k =--的形式（=1,2,
k ），从
而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多 方法详解：以()
1
2n a n n =
+为例
① 裂项：考虑()1111222n a n n n n ??
=
=- ?++??
（这里()1f n n =），在裂项的过程中把握两点：一是所裂两项要具备“依序同构”的特点，比如这里的
11
,
1
n n +结构相同，且分母为相邻的两个数；二是可以先裂再调：先大胆的将分式裂成两项的差，在将结果通分求和与原式进行比较并调整（调整系数），比如本题中
()
112
22n n n n -=++，在调整系数使之符合通项公式即可
② 求和：设{}n a 前n 项和为n S
111111111232435
2n S n n ??∴=
-+-+-++
- ?+??
，求和的关键在于确定剩下的项。通过观察可发现正项中1
1,2
没有消去，负项中11,12n n ++没有消去。 所以()()
1111323
122124212n n S n n n n +??∴=
+--=- ?
++++??
一般来说，裂开的2n 项中有n 个正项，n 个负项，且由于消项的过程中是成对消掉。所以保留项中正负的个数应该相同。
(5）分类求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加。 例：()61118231n S n =+++
+++
可知通项公式为231n n a n =++，那么在求和的过程中可拆成3部分：2,3,1n
n 分别求和后
再相加
()()()()122211222312321
2
n n n n n S n n n -+=++
++++
++=
+?
+-
1
235
2
222
n n n +=++- 2、根据项的特点求和：
如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和
（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前n 项和中含多少个周期即可
（2）通项公式为分段函数（或含有()1n
- ，多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和
（3）倒序相加：若数列{}n a 中的第k 项与倒数第k 项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，即：
12n n S a a a =+++
11n n n S a a a -=++
+ 两式相加可得：
()()()()121112n n n n n S a a a a a a n a a -=++++
++=+
()
12
n n n a a S +∴=
二、典型例题
例1：已知函数()21
1
f x x =
+，求： ()()()111122015201520142f f f f f f ??????
++++++
+ ? ? ?????
??
思路：观察可发现头尾的自变量互为倒数，所以考虑其函数值的和是否具备特点。即
()11f x f x ??
+= ???
，所以考虑第n 个与倒数第n 个放在一起求和，可用倒序相加法
解： ()22
2221111111111x f x f x x x x x ??
+=+=+= ?+++??+ ()()()111122015201520142S f f f f f f ????
??
∴=++
++++
+ ? ? ?????
?? ()()()()11201520142122015S f f f f f f ??
??=++
++++
+ ? ???
??
()()()1112201520142015201520142015S f
f f f f f ?
????
???
??
??∴=++++++ ? ? ???????????????????
14029=?
4029
2
S ∴=
小炼有话说：此类问题要抓自变量之间的联系，并尝试发现其函数值的和是否有特点（常数或者与n 相关），本题求和的项就呈现出倒数关系。另外在求和过程中倒序相加的方法可以有效地避免项数的奇偶讨论。
例2：设数列{}n a 满足()
112,34n n n a a a n N *+=-=?∈ （1）求数列{}n a 的通项公式
（2）令n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S
解：（1）134n n n a a +-=?
1134n n n a a --∴-=? 21234n n n a a ----=?
2134a a -=?
()121112413434344441
n n n n a a ---∴-=?+?+
+?=
=--
42n n a ∴=-
（2）思路：由（1）可得：42n
n b n =+-，尽管整个通项公式不符合任何一种求和特征，
但可以拆成()()
()42n n ++-，在求和的过程中分成三组分别求和，再汇总到一起。
解：42n
n n b n a n =+=+-
()()12124442n n S n n ∴=++
+++++-
()()()24411342412
41
23
n n
n n n n n -+-=
+
-=+--
例3：已知数列{}n a 满足()
1211111,2,2,n n n n n n a a a a a a a a n n N *-+-+===++≥∈，且对
于1,1n n n N a a *
+?∈≠，设{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S =_________
思路：原递推公式1111n n n n n n a a a a a a -+-+=++很难再有变化，考虑向后再写一个式子进行变形。+12+12n n n n n n a a a a a a ++=++，两式相减可得：()()21110n n n n a a a a +-+--= ，由
11n n a a +≠可得：21n n a a +-=，{}n a 为周期是3的数列，所以求和时可先求出一个周期中项
的和，再看2015S 中含多少周期即可。 解：1111n n n n n n a a a a a a -+-+=++①
+12+12n n n n n n a a a a a a ++∴=++②
①-②得：
()12121n n n n n n a a a a a a ++-+-∴-=-?()()21110n n n n a a a a +-+--=
11n n a a +≠ 21n n a a +-∴=
{}n a ∴为周期是3的数列 在①中令2n = 123123a a a a a a =++解得：33a = ()()20151234562015S a a a a a a a ∴=++++++
+
而201536712=?+
()2015123201420151267167164029S a a a a a a a ∴=?++++=?++=
答案：4029
例4：已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且
1144442,27,10a b a b S b ==+=-=
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式 （2）记*1121,n n n n T a b a b a b n N -=++
+∈，求证：12210n n n T a b +=-+
解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q
则3
441127327a b a d b q +=?++= 3
4411104610S b a d b q -=?+-=
即3
3
2322786210
d q d q ?++=??+-=??，解得：32d q =??=?
31,2n n n a n b ∴=-=
（2）思路：虽然n T 所涉及数列通项公式不是“n n a b ?”形式，但观察到n T 中的项具备“等差?等比”的特点，所以考虑利用错位相减法求出n T ，再证明等式即可 解：()()2
31234222n n T n n =-?+-?+
+? ①
()()23+1231234222n n T n n =-?+-?+
+? ②
②-①
()()231312322222n n n T n +∴=--?+++
++?
()()12
4212
312321
n n n -+-=--?+?
-
()10223112n
n =?---
∴ 所证恒等式左边()=102231n n ?--
右边()210231102n
n n a b n =-+=--+? 即左边=右边
所以不等式得证
例5：已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且395,9a S ==，数列n n b a = （1）求{}n a 的通项公式 （2）求数列n b 的前n 项和n T 解：（1）19
959992
a a S a +=
?== 51a ∴= 53
253
a a d -=
=-- ()()332211n a a n n ∴=+-?-=-+
（2）思路：由（1）可得：112,5
112211,5n n n b n n n -≤?=-=?->?
，所以在求和时首先要考虑项数
是否大于5，要进行分类讨论，其次当5n >，求和可分成2组分别求和再汇总 解：112,5
112211,5n n n b n n n -≤?=-=?
->?
当5,n n N *
≤∈时，2191121022
n n b b n
T n n n n ++-=
?=?=- 当5,n n N *
>∈时，()()156n n T b b b b =+++++
()()61211
25525522
n b b n n n ++-=+
?-=+?- ()2
2
2551050n n n =+-=-+
2
210,51050,5
n n n n T n n n ?-≤?∴=?-+>??
例6：（2014，桐乡市校级期中）：设数列{}n a ，其前n 项和2
3n S n =-，{}n b 为单调递增的
等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+ （1）求数列{},n a {}n b 的通项公式 （2）若()()
21n
n n n b c b b =
--，求数列{}n c 的前n 项和n T
解：（1）2n ≥时，()22
133163n n n a S S n n n -??=-=----=-+??
1n =时，113a S ==-符合上式
63n a n ∴=-+
{}n b 为等比数列
3
1232512b b b b ∴== 28b ∴=
设{}n b 的公比为q ，则21328
,8b b b b q q q q
==== 而315a =-
113383158a b a b q q ∴+=+?-+
=-+解得：2q =或12
q =- {}n b 单调递增 2q ∴= 21222n n n b b -+∴=?=
（2）思路：由（1）可得：()()()()
1111
2222212121n n
n n n n n c ++++==----，观察到分母()()12
121n
n +--为两项乘积，且具备“依序同构”的特点，所以联想到进行裂项相消，考
虑()()()()()()()
1111
2121112212121212121n n n
n n n n n n ++++----==------，刚好为n c ，所以直接裂项然后相消求和即可
解：()()()()()()11111
2211
222121212121n n n n n n n n n c +++++===------- 11223
11
1111
1212121212121n n n n T c c +??????∴=+
+=-+-++- ? ? ?------??????
111
111
1212121
n n ++=
-=---- 例7：已知等差数列的首项11a =，公差0d >，前n 项和为n S （1）若124,,S S S 成等比数列，求数列2n n a ??
?
???
的前n 项和n T （2）若
122334
1111120152016
n n a a a a a a a a +++++
>对一切n N *
∈恒成立，求d 的取值范围 （1）思路：先利用已知条件求出n a 的通项公式，然后用错位相减法求和
解：
124,,S S S 成等比数列
()()2
2214111246S S S a d a a d ∴=??+=+，代入11a =可得：
()
2
224620d d d d +=+?-= 由0d >可得：2d =
21n a n ∴=-
()2
1111321222n
n T n ????
∴=?+?+
+-? ? ???
??
①
()()2
3
1
1111113232122222n
n n T n n +????
????
=?+?++-?+-? ? ? ? ?
????
????
②
①-②
()231
11
11112+21222222n n n T n +??????????=+?++--??? ? ? ? ???????????
?? ()1
1
111421122112212
n n n -+????
-?? ???
??????
=+?
-- ?
??
-
()()1
1
1
31131212322222n n n n n -++????
??=---=-+ ?
?
???
??
??
()13232n
n T n ??
∴=-+ ???
（2）思路：虽然不知道{}n a 的通项公式，但根据其等差数列特征可得：1n n a a d +-= 所以
111111n n n n a a a a d
++??=-? ???，从而可将不等式的左边通过裂项相消求和，然后根据不等
式恒成立解d 的范围即可 解：
111111n n n n a a a a d
++??=-? ???
12233411223
111111111111n n n n a a a a a a a a d a a a a a a ++??∴++++=-+-++- ???
111111111111n d a d a nd d nd +??????=
-=-=- ? ? ?++??
????
112015112016d nd ??-> ?+??对一切n N *
∈均成立 min 112015112016
d nd ????∴-> ???+???? 设()1111f n d nd ??
=
- ?+??
，由0d >可得：()f n 为增函数 ()()min 1111111f n f d d d
??∴==
-= ?
++?? 120151
120162015
d d ∴
>?<
+ 10,2015d ??∴∈ ???
例8：已知数列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,
，其中相邻的两个1被2隔开，第n 对1之间有n 个2，
则该数列的前1234项的和为__________
思路：本题求和的关键是要统计一共有多少个1，多少个2相加。那么首先应该确定第1234的位置，（即位于第几对1中的第几个2），可将1个1与之后n 个2划为一组，则第n 组数中含有1n +个数。即
()()
1212212112342
2
n n n n ++++?<<
?，可估算出1248,49n n ==，
所以
()()
121221211224123412742
2
n n n n ++++?=<<
?=即该数列的第1234项位于
第49组第10个数。可分析前48组中含有48个1，含有12481176+++=个2，在第
49组中有1个1，9个2，所以前1234项和为48117621922419+?++?= 答案：2419
小炼有话说：对于这种“规律性”（不含通项公式）的数列，首先要抓住此数列中数排列的规律，并根据规律确定出所求和的最后一项的位置。再将求和中的项进行合理分组使之可以进行求和，再汇总即可。
例9：已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2
232,1,2,3
n n S a n n n =+--=
（1）求证：数列{}2n a n -为等比数列
（2）设cos n n b a n π=?，求数列{}n b 的前n 项和n T
解：（1）2
232n n S a n n =+-- ①
()()2
1121312n n S a n n --∴=+---- ②
①-②可得： 12224n n n a a a n -=-+- 即1224n n a a n -=-+
()112244221n n n a n a n a n --∴-=-+=--????
{}2n a n ∴-为2q =的等比数列
（2）思路：若要求和，需要先求出n b 的通项公式。所以先利用（1）构造等比数列求出n a ，从而得到n b ，对于()cos 1n
n π=-，处理方式既可以将n b 进行奇偶分类，进而分组求和，也可放入到通项公式中进行求和 解：由（1）可得：()1
1222
n n a n a --=-?
令1n =代入2
232n n S a n n =+--
1124S a =- 14a ∴= 22n n a n ∴-= 22n n a n ∴=+
()22cos n n b n n π∴=+
方法一：直接求和
()()()()()22cos 221221n
n
n
n n n b n n n n π∴=+=+?-=-+-
()()
()()()1222121121121
n
n
n T n ??
-?--????∴=
+?-+?-+
+-??
--
设()()()1
2
11211n
n P n =?-+?-+
+- ()()()
23
1
11211n n P n +-=?-+?-+
+-
()()()()()()
2
1(1)112111111(1)
n n n n n P n n +??---??∴=-+-+
+---=+---
()()111142n n
n n P ??∴=
--+-?
?
()()()2121111342n n n
n n T ????∴=--+--+-????
小炼有话说：本题虽然可以直接求和，但是过程和结果相对形式比较复杂 方法二：分组求和
()()()22,21
22cos 22122,2n n
n
n
n n
n n k b n n n n n k
π?--=-?∴=+=+?-=?+=?? 当n 为偶数时
()1112212222n n n n n b b n n ---+=---++=+ ()()()12341n n n T b b b b b b -∴=++++++
()2141122222
n n
---=++
+?
()2241221413
n n n n ??- ?
??=+=?-+-
当n 为奇数时
()1
12211223
n n n n n T T b n n --=+=
-+--- 25233n n =-?--
()221,23
252,213
3n
n n n n k T n n k ??-+=??∴=??-?--=-??
小炼有话说：本题在分组求和时要注意以下几点
（1）相邻两项一组，如果项数为奇数，那么会留出一项，项数为偶数，那么刚好分组。所以要对项数进行奇偶的分类讨论
（2）在项数为偶数的求和过程中要注意n 的取值变化不再是1,2,3,，而是2,4,6,
所以
求和时的公比和求和的项数会对应发生改变。
（3）在项数为奇数的求和中可利用前面的结论，简化求和过程 方法三：分奇数项偶数项分别求和
()()()22,2122cos 22122,2n n
n
n
n n n n k b n n n n n k
π?--=-?∴=+=+?-=?+=??
当n 为偶数时：
()()1351246n n n T b b b b b b b b -=+++++++++
()()1311312222131n n b b b n --++
+=-+++-++
+-
2
12241112224122332
n n n n n +??- ?
+-??=--??=-+--
()()2424222224n n b b b n ++
+=++++++
+
()22441222424122332
n n n n n n +??- ?
++??=+??=-+
- 122
33
n n T n +∴=-+
同理：当n 为奇数时
()1
12211223
n n n n n T T b n n --=+=
-+--- 25233n n =-?--
()221,23
252,213
3n
n n n n k T n n k ??-+=??∴=??-?--=-??
例10：已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列 （1）求{}n a 的通项公式 （2）令()
1
141n n n n
n
b a a -+=-，求数列的{}n b 的前n 项和n T 解：（1）
124,,S S S 成等比数列
2213S S S ∴= ()()2
111246a d a a d ∴+=+即()()2
11122412a a a +=+
解得：11a = ()1121n a a n d n ∴=+-=- （2）思路：由第（1）问可得：()
()()
1
412121n n n
b n n -=--+，考虑相邻项作和观察规律：
n 为偶数时，
()()()()()()()()()()
1414844
232121212321212321n n n n n b b n n n n n n n n n ---+=
-==
---+--+-+
11
2321
n n =
-
-+，然后再进行求和即可 解：
n 为偶数时，
()()()()()
141423212121n n n n
b b n n n n --+=-
---+ ()()()
()()()
4121423232121n n n n n n n -+--=
--+
()()()()()84411
23212123212321
n n n n n n n n -=
==---+-+-+
()()()12341n n n T b b b b b b -∴=++++
++
1111
1121155923212121n n n n n ??????=-+-++-=-= ? ? ?-+++????
??
n 为奇数时：()()()()()()()()
12121214421121212121n n n n n n n n
T T b n n n n n ---++=+=
+=
-+-+-+ ()
()()
()()()()2221221122
2121212121
n n n n n n n n n n +--++=
=
=-+-++
∴综上所述：2,221
22,2121n n
n k n T n n k n ?=??+=?+?=-?+?
小炼有话说：本题还可以直接从n b 入手：
()
()()()1
14111121212121n n n n b n n n n --?
?=-=-+ ?-+-+??
尽管裂开不是两项作差，但依靠()1
1n --在求和过程中也可达到相邻项相消的目的。进而根
据项数的奇偶进行讨论求和。
三、历年好题精选
1、把等差数列{}n a 依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第
四个括号一个数……，循环分为()()()()()()()1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,,则
第50个括号内各数之和为（ ）
A. 390
B. 392
C. 394
D. 396 2、数列{}n a 满足()1121n
n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为（ ） A. 3690 B. 3660 C. 1845 D. 1830 3、（2016，山东青岛12月月考）设121sin ,25
n n n n a S a a a n π
==+++，则在12100
,,,S S S 中，正数的个数是（ ）
A. 25
B. 50
C. 75
D. 100
4、（2016，长沙一中月考）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，公比为q ，数列{}n c 中，n n n c a b =，n S 是数列{}n c 的前n 项和。若2311,7,201m m m S S S ===-（m 为正偶数），则4m S 的值为（ ）
A. 1601-
B. 1801-
C. 2001-
D. 2201- 5、若数列{}n a 满足()()
1111,2n n n a n a a a n N *++=--=-∈，则数列{}n a 的通项公式为____
6、（2015，新课标II ）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1111,n n n a a S S ++=-=，则n S =____
7、（2015，江苏）数列{}n a 满足11a =，且()
11n n a a n n N *+-=+∈，则数列1n a ??
????
的前10 项和为_________
8、在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，公比为q ，且2
222
12,S b S q b +== （1）求,n n a b
（2）设数列{}n c 满足5n n c b a =-，求{}n c 的前n 项和n T
9、（2015，广东文）设数列{}n a 的前n 项和为,n S n N *
∈，已知12335
1,,24
a a a ==
=，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+
（1）求4a 的值 （2）证明：112n n a a +??
-
????
为等比数列 （3）求数列{}n a 的通项公式
10、（2015，天津）已知数列{}n a 满足()21n n a qa q +=≠，12,1,2n N a a *
∈==，且
233445,,a a a a a a +++成等差数列
（1）求q 的值和{}n a 的通项公式 （2）设2221
log ,n
n n a b n N a *-=
∈，求数列{}n b 的前n 项和 11、（2014，湖南）已知数列{}n a 满足111,,n
n n a a a p n N *
+=-=∈ （1）若{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值
（2）若1
2
p =
，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式 12、（2014，全国卷）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1210,a a =为整数，且4n S S ≤
（1）求{}n a 的通项公式 （2）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T
13、（2015，山东）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23 3.n n S =+ （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
14、（2016，山东潍坊中学高三期末）在数列{}n a ，{}n b 中，已知11a =，12b =，且n a -，
n b ，1n a +成等差数列，n b -，n a ，1n b +也成等差数列．
（1）求证：{}n n a b +是等比数列； （2）若(
)()323
log
21n
n
n n n c a a ??=---??
，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
15、定义数列{}1:1n a a =，且2n ≥时，11,2,2,21,n n n a r n k k N
a a n k k N
*
-*
-?+=∈?=?=-∈??
（1）当0r =时，12n n S a a a =++
+，求n S
（2）若0r ≥，求证：121224k
n
k k k
a a =-<∑
习题答案：
1、答案：B
解析：由前面几组可得，组中项个数的循环周期为3，因为50316
2÷=，所以第50组
数含有两个元素。可知在一个周期中将占有{}n a 中的6项，所以16个周期共占有96项，从而第49个括号里为()97a ，第50个括号里含有的项为()9899,a a ，因为21n a n =-，所以9899195,197a a ==，则9899392a a += 2、答案：D
解析：2n k =时，21241k k a a k ++=-
21n k =-时，22143k k a a k --=-
21212k k a a +-∴+= 23212k k a a ++∴+=可得：2321k k a a +-= 161a a ∴=
()()()60126023456061S a a a a a a a a a ∴=+++=++++++
()3119
371126013018302
+=+++
+?-=
?= 3、答案：D 解析：()sin 25
n f n π
=的周期50T =，结合正弦函数性质可知：122425,,,0,0a a a a >=，且26274950,,,0,0a a a a >=，因为1
y n
=单调递减，所以2612724924,,,a a a a a a <<<
则1225,,
S S S 为正，()261262240S a a a a =+++
+>，同理可得：262750,,,S S S 也均
为正数，以此类推，可知12100,,,S S S 均为正数，共100个
4、答案：B
解析：令232,,m m m m m A S B S S C S S ==-=-
()112211222m m m m m m m m q A a b a b a b q a b a b a b ++∴=+++=++
+
()()()1112212m m m m m m m m B q A a a b a a b md b b +++∴-=-+
+-=+
+，d 为{}n a 的公
差
同理()()2122312m m m m m m m C q B md b b b md b b q +++-=++
+=++
()m m m C q B q B q A ∴-=-
代入23211,4,208m m m m m A S B S S C S S ===-=-=-=-可得：
()2
1182080m m q q +-=，解得4m q =或5211
m q =-
设43m m D S S =-，同理可知()
m m m D q C q C q B ∴-=-，代入可得：
()()20844208448327681600D =-?+--?-=--=-
4316002011801m m S D S ∴=+=--=-
5、答案：23
n n a n
-=
解析：()()111212n n n n n n a a a n a na +++-=-?+-= 设n n b na =，即12n n b b +-=
{}n b ∴为等差数列 111b a ==- ()12123n b b n n ∴=+-=- 23
n n a n
-∴=
6、答案：1n
-
解析：1111n n n n n n n a S S S S S S ++++=?-=，即
111
1n n S S +-=，所以1n S ??????
为公差是1-的等差数列，所以
()1111n n d n S S =+-=-，即1
n S n
=- 7、答案：
2011
解析：11n n a a n +-=+，可得：121,
,2n n a a n a a --=-=，进行累加可得：
()()12
1212
n n a a n n n +-=+-+
+=
?-，所以()()()211122n n n n n a +-+=
+=，即
()121
1211n a n n n n ??==- ?++??，故101111120
21223101111
S ????????=-+-++-=
? ? ??????????? 8、解析：（1）设{}{},n n a b 的公差和公比分别为,d q
22112112612b S b q a a b q a d q d ∴+=++=++=++=
22266S d
q q d b q
+=
=?=+，所以解得：3q =或4q =-（舍）
3d ∴=
()11313,3n n n a a n n b -∴=+-==
（2）11
1
315,43
15153,3
n n n n n c n ---?-≥?
=-=?-≤?? 当3n ≤时，(
)
()1
3115133
152
n
n n T n n --=-++
+=-
当4n ≥时，()()()234145133333153n n T n -=-++++++--
()327313127
77151531
2
n n n n --+=+
-=--
3115,32312715,42
n n n
n n T n n ?--≤??∴=?+?-≥?? 9、解析：（1）令2n =，则4231458S S S S +=+
435335415181124224a ?????
?∴+++++=+++ ? ? ??????
?，解得：478a =
（2）21121114584444n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S ++-++-++=+?-+-=- 即2144n n n a a a +++=
21111142222n n n n n n a a a a a a ++++???
?∴-=-=- ? ?????
211111222n n n n a a a a +++??
∴-=- ???
2n ∴≥时，112n n a a +?
?-???
?是公比为12的等比数列
当1n =时，由12335
1,,24
a a a ==
=可验证得：3221111222a a a a ??-=- ???
∴综上可得：112n n a a +?
?-???
?是公比为12的等比数列
（3）由（2）以及211
12
a a -
=可得：
数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结
数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、基本概念 （1）若已知数列的第1项（或前项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法. （2）数列的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，可以用一个公式()n a f n =来表示，那么n a 就是数列 的通项公式. 注：①并非所有的数列都有通项公式； ②有的数列可能有不同形式的通项公式； ③数列的通项就是一种特殊的函数关系式； ④注意区别数列的通项公式和递推公式. 题型归纳及思路提示 题型1 数列通项公式的求解 思路提示 常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用n S 与n a 的关系求解. 观察法 根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项. 利用递推公式求通项公式 ①叠加法：形如1()n n a a f n +=+的解析式，可利用递推多式相加法求得n a ②叠乘法：形如1()n n a f n a -= (0)n a ≠*(2,)n n N ≥∈的解析式， 可用递推多式相乘求得n a ③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列 构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法. 利用n S 与n a 的关系求解 形如 1(,)()n n n f S S g a -=的关系，求其通项公式，可依据 1* 1(1)(2,) n n n S n a S S n n N -=? =?-≥∈?，求出n a 观察法 观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(1)n -或者1 (1) n -- 部分.②考虑各项的变化 规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方{}2 n 、{}2n 与(1) n -有 关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列. 例6.20写出下列数列的一个通项公式： （1）325374 ,,,,,,;751381911 - --L
(完整版)放缩法典型例题
放缩法典型例题 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列的前项的和，满足，试求： （1）数列的通项公式； （2）设，数列的前项的和为，求证： 解：（1）由已知得，时，，作差得： ，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 （2），所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这 里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证：
解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以，， 所以 （2）因为，所以，所以 ； 2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：； （2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜． 解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，． 当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是 ．（2）∵，，，∴公比． ∴．．
∴．3．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列满足：，．求证： 证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：． 令，所以，两式相减得： ，所以，所以， 故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式； （2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为，
高中数学数列专题大题训练
高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
高考理科数学复习题解析 数列求和
高考数学复习 第四节 数列求和 [考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法． 1．公式法 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n a 1＋a n 2 ＝na 1＋n n －12 d ； (2)等比数列的前n 项和公式： 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解． 5．倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 6．并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002 －992 ＋982 －972 ＋…＋22 －12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [常用结论] 1．一些常见的数列前n 项和公式：
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝ n n ＋1 2 ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2 ； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2 ＋n . 2．常用的裂项公式 (1) 1n n ＋k ＝1k ? ?? ??1 n －1n ＋k ； (2)1 4n 2－1＝1 2n －1 2n ＋1＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1； (3) 1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ； (4)log a ? ?? ??1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n . [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2－1＝12? ?? ??1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2 ＋3a 3 ＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 2 1°＋sin 2 2°＋sin 2 3°＋…＋sin 2 88°＋sin 2 89°＝44.5.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n n ＋1 ，则S 5等于( ) A ．1 B.56 C.16 D. 1 30 B [∵a n ＝ 1n n ＋1＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 3．若S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1) n －1 ·n ，则S 50＝________. －25 [S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25.] 4．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1 2 n ，…的前n 项和S n 的值等于________．
数列求通项公式及求和9种方法
【方 a n a S n 数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型 亠、S n 是数列｛a n ｝的前n 项的和 S i (n 1) S n S n 1 (n 2 ) S n 1 ”代入消兀消a n 【注意】漏检验n 的值(如n 1的情况 ［例 U . ( 1)已知正数数列｛a n ｝的前n 项的和为S n , 且对 任意的正整数n 满足2\金 如1 ,求数列｛a n ｝的 通项公式。 (2)数列｛a n ｝中，印1对所有的正整数n 都有 a 1 a 2 a 3 L a n 『， 求数列 ｛a n ｝ 的通项公式 【作业一】 2 n 1 n * 1 — 1 ■数列 a n 满足 a 1 3a 2 3 a 3 L 3 a n - (n N ) , 求数列a n 的通项公式. (二).累加、累乘 a 型如 a a f(n) , am f (n )
型一：a n a n 1 f (n)，用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法) 【方法】 a n a n 1 f(n), a n 1 a n 2 f(n 1), a2 a1 f (2) n 2, 从而a n a1 f (n) f(n 1) L f (2),检验n 1 的情况型二：|电f(n)，用累乘法求通项公式(推导等比a n1 数列通项公式的方法) 【方法】n 2，亘也L邑f(n) f(n 1) L f(2) a n 1 a n 2 a i 即色f(n) f(n 1) L f(2)，检验n 1的情a1 况 【小结】一般情况下，“累加法”(“累乘法”)里只有n 1个等式相加(相乘). 1 1 【例2】.(1)已知a1 2，a n a n1 ■n^[(n 2)，求 a n ■ n 2 (2)已知数列a n满足a n1 - 2a n，且a1 n 2 3 求a n .
数列求和方法和经典例题
数列求和方法和经典例题 求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式 二、拆项分组求和法 某些数列，通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列求和公式求和，从而得出原数列的和。 三、裂项相消求和法 将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式，使一些项相互拆消，只剩下有限的几项，裂项时可直接从通项入手，且要判断清楚消项后余下哪些项。 四、重新组合数列求和法 将原数列的各项重新组合，使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和 五、错位相减求和法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 典型例题 一、拆项分组求和法 例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???，，，，的前n 项和 例2、求和：222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ?
例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和 例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和 二、裂项相消求和法 例5、求和：()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和 例7、求和：()11113242n S n n =+++??+
例8、数列{} n a 的通项公式n a =，求数列的前n 项和 三、重新组合数列求和法 例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法 例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和 例11、求和：()23230n n S x x x nx x =++++≠
高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题
用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 数列的通项公式与求和 的常见方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =， 12n n a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，13n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =， 110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-， 13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足21 1=a ，n a a n n 21+=+， * ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11 ln(1)n n a a n +=++， 求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数， )0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可 得数列λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-*()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新 的等差数列。 例：已知数列{}n a 满足11a =， 122 n n n a a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足11a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， *()n N ∈，求数列{} n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b （0n b ≠*n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b = 求数列{}n c 的通项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ =-++11，即数列?? ????n n p a 为以 p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ，11=a ，求数列{}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2 232221n a a a a ++++ . 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 2321 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 21 )12(++=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求 88sin 3sin 2sin 1sin 2 222+???+++ 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = （2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。 数列求通项公式及求和 9种方法 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a 的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都 有2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通项公式． （二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - = 1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-?? 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??，检验1n =的情况 【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知2 11=a ，)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ，求 n a . （2）已知数列 {}n a 满足1 2 n n n a a n +=+，且32 1=a ，求n a . 等差数列求和 引例：计算1+2+3+4+……+97+98+99+100 一、有关概念: 像1、2、3、4、5、6、7、8、9、……这样连起来的一串数称为数列；数列中每一个数叫这个数列的一项，排在第一个位置的叫首项，第二个叫第二项，第三个叫第三项，……，最后一项又叫末项；共有多少个数又叫项数；如果一个数列，从第二项开始，每一项与前一项之差都等于一个固定的数，我们就叫做等差数列。这个固定的数就叫做“公差”。 二、有关公式： 和=（首项+末项）×项数÷2 末项=首项+公差×（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 项数=（末项-首项）÷公差+1 三、典型例题： 例1、聪明脑筋转转转： 判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项、公差及项数写出来，如果不是请打“×”。 判断首项末项公差项数 （1）1、2、4、8、16、32. （）（）（）（）（）（2）42、49、56、63、70、77. （）（）（）（）（）（3）5、1、4、1、3、1、2、1. （）（）（）（）（）（4）44、55、66、77、88、99、110（）（）（）（）（） 例2、已知等差数列1,8,15,…,78.共12项，和是多少？（博易P27例2） （看ppt,推出公式） 例3、计算1+3+5+7+……+35+37+39 练习2：计算下列各题 （1）6+10+14+18+22+26+30 （3）1+3+5+7+……+95+97+99 （2）3+15+27+39+51+63 （4）2+4+6+8+……+96+98+100 （3）已知一列数4,6,8,10，…，64，共有31个数，这个数列的和是多少？ 例5、有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有10根，每向下一层增加一根，共堆了10层。这堆圆木共有多少根？（博易P27例3）（看ppt） 练习3： 丹丹学英语单词，第一天学了6个单词，以后每一天都比前一天多学会一个，最后一天学会了26个。丹丹在这些天中共学会了多少个单词？ 等差数列求和练习题 一、判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项 及公差写出来，如果不是请打“×”。 判断首项末项公差 1. 2、4、6、8、10、12、14、16.（）（）（）（） 2. 1、3、6、8、9、11、12、14. （）（）（）（） 3. 5、10、15、20、25、30、35. （）（）（）（） 4. 3、6、8、9、12、16、20、26.（）（）（）（） 二、请计算下列各题。 （1）3+6+9+12+15+18+21+24+27+30+33 （2）4+8+12+16+20+24+28+32+36+40 （3）求3、6、9、12、15、18、21、这个数列各项相加的和。 （4）2+4+6+8+……+198+200 ★（5）求出所有三位数的和。 （其他作业：练习册B 1题、4题、6题） 【高考地位】 数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位。数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一。此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。 【方法点评】 方法一 公式法 解题模板：第一步 结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 第二步 根据已知条件列方程求出未知量； 第三步 利用前n 项和公式求和结果 例1.设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，n T 为数列}{n S n 的前n 项和，求n T ． 【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有： 等差数列前n 项和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d +-==+． 等比数列前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a q a a q q q q =??=--?=≠?--? ． 自然数方幂和公式：1123(1)2 n n n +++???+=+ 22221123(1)(21)6 n n n n +++???+=++ 333321123[(1)]2 n n n +++???+=+ 【变式演练1】已知{a n }是等差数列，a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，则该数列前10项和S 10等于（ ） A.64 B.100 C.110 D.120 【答案】B 【解析】 试题分析：a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，解方程组可得11,2a d == 101109101002 S a d ?∴=+ = 考点：等差数列通项公式及求和 方法二 分组法 解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式； 第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列； 第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和； 第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和. 例2. 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项 S n . 第四节数列求和 一、基础知识批注——理解深一点 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2 －1＝12? ???1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 2＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) 数列的通项及求和公式专题课内导学案11 一、基本公式法：等差数列，等比数列。 例1、（1）若{}n a 是等差数列，公差0d ≠， 236,,a a a 成等比，11a =，则n a =_________。 （2）若{}n a 是等比数列，243,,a a a 成等差， 13a =，则n a =_________。 二、已知n S 求n a ：11 (2) (1)n n n S S n a S n --≥?=? =?。 类型1、（1）已知2 1n S n n =++，求n a 。 （2）已知101n n S =-，求n a 。 类型2、（1）已知32n n S a =-，求n a ； （2）已知3 32 n n S a =-，求n a ； （3）已知22n n S a +=，求n a 。 类型3、（1）2 24n n n a a S +=，0n a >，求n a ； （2）2 1056n n n S a a =++，0n a >，求n a ； （3）2111 424 n n n S a a = ++，0n a >，求n a 。 类型4、（1）11a =，12n n a S +=，求n a ； （2）11a =，12n n S a +=，求n a ； （3）13a =，11n n S a +=+，求n a 。 类型5、（1）122n n a a a ++???+=，则n a =_____ （2）123n a a a a n ?????=，则n a =_____ （3）12323n a a a na n +++???+=，则n a =_____ （4） 3 12123n a a a a n n +++???+=，则n a =_____ （5）231233333n n a a a a n +++???+=，n a =___ 三、形如1()n n a a f n +-=的递推数列求通项公式，使用累加法。 例1、（1）数列{}n a 中满足12a =，1n n a a n +=+，求n a 的通项公式。 （2）已知数列{}n a 中满足13a =， 12n n n a a +=+，求n a 的通项公式。 （3）求数列2,4,9,17,28,42,???的通项公式。 四、形如 1 ()n n a f n a +=的递推数列求通项公式，使用累乘法。 例1、（1）数列{}n a 中满足15a =，12n n n a a +=?， 求n a 的通项公式。 （2）数列{}n a 中满足14a =，11 n n n a a n +=?+，求n a 的通项公式。 （3）112a = ，111 n n n a a n --=+（2n ≥），求n a 的通项公式。 五、构造法 例1、（1）14a = 2=，求n a ； （2）14a =，22 12n n a a +-=，求n a ； （3）14a =， 144 2n n a a +-=，求n a ； （4）12a =，112(1)n n a a +-=-，求n a ； （5）11a =，1(1)3n n n a na ++=，求n a ； （6）11a =，121n n a a n n +-=+，求n a 。 三、数列求和 数列求和的方法. （1）公式法：①等差数列的前n 项求和公式 n S =__________________=_______________________. ② 等 比 数 列 的 前 n 项 和 求 和 公 式 ? ? ?≠===)1(___________________)1(__________q q S n （2）....++=n n n b a C ，数列{}n C 的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”. （3）n n n C a b =?，数列{}n C 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错 位相减法”. （4）1 n n n C a b = ?，数列{}n C 的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”. （5）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。适用于形如()()n f a n n 1-=的类型。举例如下： ()()() 5050 12979899100129798991002 22222=++???++++=-+???+-+-= n S 常见的裂项公式： （1） 111)1(1+-=+n n n n ;(2) =+-) 12)(12(1 n n ____________________;(3)1 1++n n =__________________ 题型一 数列求解通项公式 1. 若数列{a n }的前n 项的和1232 +-=n n S n ，则{a n }的通项公式是n a =_________________。 2. 数列}{n a 中，已知对任意的正整数n ，1321-=+???++n n a a a ，则22221n a a a +???++等 于_____________。 3. 数列中，如果数列是等差数列，则________________。 4. 已知数列{a n }中，a 1＝1且 3 1 111+=+n n a a ，则=10a ____________。 5. 已知数列{a n }满足)2(1 1≥-= -n a n n a n n ，则n a =_____________.。 6. 已知数列{a n }满足)2(11≥++=-n n a a n n ，则n a =_____________.。 {}n a 352,1,a a ==1 { }1 n a +11a = 数列求和例题精讲 1． 公式法求和 （1）等差数列前 n 项和公式 S n n(a 1 a n ) n(a k 1 a n k ) n( n 1) d 2 2 na 1 2 （2）等比数列前 n 项和公式 q 1 时 S n na 1 q 1 时 S n a 1 (1 q n ) a 1 a n q 1 q 1 q （3）前 n 个正整数的和 1 2 3 n(n 1) n 2 前 n 个正整数的平方和 12 22 32 n 2 n(n 1)(2n 1) 6 前 n 个正整数的立方和 13 23 33 n 3 [ n(n 1) ] 2 （ 1）弄准求和项数 n 的值； 2 公式法求和注意事项 （ 2）等比数列公比 q 未知时，运用前 n 项和公式要分类。 例 1．求数列 1，4，7， ，3n 1 的所有项的和 例 2．求和 1 x x 2 x n 2 ( n 2, x 0 ) 2．分组法求和 例 3．求数列 1， 1 2，1 2 3，，1 2 3 n 的所有项的和。 5n 1 (n为奇数 ) 例 4．已知数列a n中，a n ，求 S2m。 ( 2) n (n为偶数 ) 3．并项法求和 例 5．数列a n 中， a n ( 1) n 1 n2，求 S100。 例 6．数列a n中，，a n( 1) n 4n ，求 S20及 S35。 4．错位相减法求和 若a n 为等差数列，b n 为等比数列，求数列a n b n（差比数列）前n项 b n 的公比。 和，可由S n qS n求 S n，其中q 为 例 7．求和12x 3x 2nx n 1（x0 ）。 5．裂项法求和 :把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 例 8．求和 1 1 1 1 。 1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1) 例 9．求和 1 1 1 1 2 1 3 2 23 。 n 1n ［练习］ 1 1 1 1 1 2 3 2 3 n 1 2 1 a n S n 2 1 n 1数列的通项公式与求和的常见方法
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