多项式乘以多项式详解
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多项式的乘法
多项式的乘法多项式的乘法是代数学中的一种基本运算，用于计算两个多项式的乘积。
在多项式的乘法运算中，我们将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，并将结果相加得到最终的乘积。
本文将介绍多项式的乘法运算规则，并通过例子详细说明其计算方法。
1. 多项式的乘法运算规则设有两个多项式：P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0Q(x) = bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0其中，an, an-1, ..., a1, a0, bn, bm-1, ..., b1, b0为常数系数，n, m为非负整数，n ≥ m。
两个多项式的乘积定义为：P(x) * Q(x) = (anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0) * (bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0)根据乘法的分配律，我们可以将上式展开为：P(x) * Q(x) = anxn * (bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0) + an-1xn-1 * (bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0) + ... + a1x * (bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0) + a0 * (bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0)再根据乘法的结合律，我们可以进一步简化上式为：P(x) * Q(x) = anxn * bmxm + anxn * bm-1xm-1 + ... + anxn * b1x + anxn * b0 + an-1xn-1 * bmxm + an-1xn-1 * bm-1xm-1 + ... + an-1xn-1 *b1x + an-1xn-1 * b0 + ... + a1x * bmxm + a1x * bm-1xm-1 + ... + a1x * b1x + a1x * b0 + a0 * bmxm + a0 * bm-1xm-1 + ... + a0 * b1x + a0 * b0由此可见，多项式的乘法运算实际上是将两个多项式的每一项进行相乘，并将结果按指数次数相加。
人教八年级数学上册《多项式乘以多项式》课件
14．1 整式的乘法
14．1 整式的乘法
第6课时 多项式乘以多项式
得分
卷后分
自我评价
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项 乘 另一个多项式的 每一项，再把所得的积 相加 ， 即(a＋b)(m＋n)＝ am＋an＋bm＋bn .
多项式与多项式相乘
1．(3分)计算(x＋4y)(x－5y)等于( C ) A．x2－20y2 B．x2－9xy－20y2 C．x2－xy－20y2 D．x2＋xy－20y2 2．(3分)下列计算结果正确的是( B ) A．(x－2)(x＋3)＝x2＋x＋6 B．(x－3)(x＋2)＝x2－x－6 C．(x＋3)(x＋2)＝x2＋6x＋6 D．(x－3)(x－2)＝x2－5x－6
三、解答题(共36分) 13．(8分)先化简，再求值：(x＋3)(x－3)－x(x－2)， 其中x＝4. 解：原式＝2x－9，当x＝4时，原式＝－1 14．(8分)解方程： (x－2)(x－3)＋2(x＋6)(x－5)＝3(x2－7x＋15)．
解：x＝121
15．(10分)若多项式x2＋px＋8和多项式x2－3x＋q的 乘积中不含x2和x3项，你能否求出p和q的值？
11．如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长 方形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注 的数据，计算图中空白的面积，其面积是( B )
A．bc－ab＋ac＋c2 B．ab－bc－ac＋c2 C．a2＋ab＋bc－ac D．b2－bc＋a2－ab
二、填空题(共6分) 12．如图，用A类、B类、C类卡片若干张， 拼成一个长为2a＋3b，宽为a＋2b的矩形，则 分别需要A类卡片__2__张，B类卡片__7__张，C 类卡片__6__张．
解：pq＝＝31
【综合运用】 16．(10分)甲、乙二人共同计算一道整式乘法：
14．1 整式的乘法
第6课时 多项式乘以多项式
得分
卷后分
自我评价
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项 乘 另一个多项式的 每一项，再把所得的积 相加 ， 即(a＋b)(m＋n)＝ am＋an＋bm＋bn .
多项式与多项式相乘
1．(3分)计算(x＋4y)(x－5y)等于( C ) A．x2－20y2 B．x2－9xy－20y2 C．x2－xy－20y2 D．x2＋xy－20y2 2．(3分)下列计算结果正确的是( B ) A．(x－2)(x＋3)＝x2＋x＋6 B．(x－3)(x＋2)＝x2－x－6 C．(x＋3)(x＋2)＝x2＋6x＋6 D．(x－3)(x－2)＝x2－5x－6
三、解答题(共36分) 13．(8分)先化简，再求值：(x＋3)(x－3)－x(x－2)， 其中x＝4. 解：原式＝2x－9，当x＝4时，原式＝－1 14．(8分)解方程： (x－2)(x－3)＋2(x＋6)(x－5)＝3(x2－7x＋15)．
解：x＝121
15．(10分)若多项式x2＋px＋8和多项式x2－3x＋q的 乘积中不含x2和x3项，你能否求出p和q的值？
11．如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长 方形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注 的数据，计算图中空白的面积，其面积是( B )
A．bc－ab＋ac＋c2 B．ab－bc－ac＋c2 C．a2＋ab＋bc－ac D．b2－bc＋a2－ab
二、填空题(共6分) 12．如图，用A类、B类、C类卡片若干张， 拼成一个长为2a＋3b，宽为a＋2b的矩形，则 分别需要A类卡片__2__张，B类卡片__7__张，C 类卡片__6__张．
解：pq＝＝31
【综合运用】 16．(10分)甲、乙二人共同计算一道整式乘法：
《多项式与多项式相乘》
相同项合并
总结词
在两个多项式相乘的结果中，对于两个多项式中相同 的项，将其系数合并。
详细描述
例如，假设有两个多项式A(a1x^n + a2x^(n-1) + ... + an)和B(b1x^n + b2x^(n-1) + ... + bm)，其中 an=bm，那么在它们相乘的结果中，这一项的系数就 是两个多项式相应项系数的乘积再加上余项的系数。 例如，如果an=bm=5，那么这一项的系数就是 5*5+1=26。
排列的计算
多项式相乘可以用于计算排列数，即将n 个不同元素全部排列在一起，共有多少种 排列方式。
VS
组合的计算
多项式相乘也可以用于计算组合数，即将 n个不同元素中取出m个元素进行组合， 共有多少种组合方式。
05
多项式相乘的例子
两个二次三项式的相乘
例子1
$多项式A:2x^2+3x+1$，$多项式 B:x^2+2x+3$，相乘结果为： $2x^4+7x^3+9x^2+6x+3$。
展开平方差公式
利用平方差公式可以将多 项式中的某些项进行展开 ，简化多项式的形式。
微积分中的近似计算
泰勒级数展开
利用多项式相乘可以将一个函数展开成泰勒级数，从而近似计算函数的值。
近似计算
在进行微积分中的近似计算时，可以利用多项式相乘来近似表达一个函数， 提高计算的精度。
组合数学中的排列与组合计算
03
多项式相乘的步骤
确定多项式的项数和次数
确定第一个多项式的项数和次 数。
确定第二个多项式的项数和次 数。
计算两个多项式的项数和次数 的乘积，得到相乘后的多项式
多项式乘以多项式
初中数学七年级下册 （苏科版）
课题：多项式乘多项式
句容二中
复习：计算
1、 2a c) (3bc) (
2
2、 3a b)( 2a b (
2n
n 1
n 1
)
3、 6a(a 3b)
1 2 2 4、 ab( ab 4ab) 2 3
句容二中
9.3
多项式乘多项式
句容二中
计算下图的面积，并把你的算法与同学交流
dac ad bc bd
此时，这个大长 c 方形的面积可表 示为
a
b
句容二中
由此得到
(a b)(c d ) = ac ad bc bd
一般的，对于任意的a、b、c、d，把 （a+b)看成一个整体，利用单项式乘 多项式法则可以得到
(a b)(c d ) = (a b)c + (a b)d
注意:多项式与多项式相乘的结果中,要 合并同类项.
句容二中
（1）( x 1)( 2 x 3) （2） (7 3x)(7 3x) （3） n(n 2)( 2n 1) （4） (6a 5)
2
1 、计算
法则Leabharlann 句容二中2、计算图中变压器的L形硅钢片的面积
n
2n
m
m
3、一块边长分别为a cm、b cm的长方 形地砖，如果长、宽各裁去2 cm，剩余 部分的面积是多少？
句容二中
2、计算
（1）(a b)(a 2b) (a 2b)(a b)
（2） 5 x( x 2 x 1) (2 x 3)( x 5)
2
句容二中
3.解方程
4( x 2)( x 5) (2 x 3)(2 x 1) 5
课题：多项式乘多项式
句容二中
复习：计算
1、 2a c) (3bc) (
2
2、 3a b)( 2a b (
2n
n 1
n 1
)
3、 6a(a 3b)
1 2 2 4、 ab( ab 4ab) 2 3
句容二中
9.3
多项式乘多项式
句容二中
计算下图的面积，并把你的算法与同学交流
dac ad bc bd
此时，这个大长 c 方形的面积可表 示为
a
b
句容二中
由此得到
(a b)(c d ) = ac ad bc bd
一般的，对于任意的a、b、c、d，把 （a+b)看成一个整体，利用单项式乘 多项式法则可以得到
(a b)(c d ) = (a b)c + (a b)d
注意:多项式与多项式相乘的结果中,要 合并同类项.
句容二中
（1）( x 1)( 2 x 3) （2） (7 3x)(7 3x) （3） n(n 2)( 2n 1) （4） (6a 5)
2
1 、计算
法则Leabharlann 句容二中2、计算图中变压器的L形硅钢片的面积
n
2n
m
m
3、一块边长分别为a cm、b cm的长方 形地砖，如果长、宽各裁去2 cm，剩余 部分的面积是多少？
句容二中
2、计算
（1）(a b)(a 2b) (a 2b)(a b)
（2） 5 x( x 2 x 1) (2 x 3)( x 5)
2
句容二中
3.解方程
4( x 2)( x 5) (2 x 3)(2 x 1) 5
七年级数学下册第一章课件：多项式乘以多项式
B )
4．(福州中考)计算：(x－1)(x＋2)的结果是 x2＋x－2 的面积是 xy－x＋y－1
5．将一个长为 x，宽为 y 的长方形的长增加 1，宽减少 1，得到的新长方形 .
6．计算： (1)(2a＋3b)(3a－b); (2)(－2m－1)(3m－2)．
解：(1)原式＝6a2＋7ab－3b2； (2)原式＝－6m2＋m＋2.
第一章 整式的乘除
4
整式的乘法
第3课时
多项式乘以多项式
多项式乘以多项式． 【例 1】计算： (1)(x＋1)(x2－x＋1)； (2)(a－b)(a2＋ab＋b2)．
【思路分析】用二项式 x＋1 的每一项去乘以三项式 x2－x＋1 的每一项，再 把积相加即可．
【规范解答】 (1)原式＝x3－x2＋x＋x2－x＋1＝x3－x2＋x2＋x－x＋1＝x3＋1；
解：a2＋7a＋12；a2＋a－12；a2－a－12；a2－7a＋12；(1)x2＋(p＋q)x＋pq； (2)①x2－3016x＋2016000；②x2－4015x＋4030000；
(3)
11．若等式(x－5)(x－7)＝x2－mx＋35 成立，则 m 的值为 12 12．若(ax＋3y)(x－y)的展开式不含 xy 项，则 a 的值为 3 .
13．如图，正方形卡片 A 类、B 类和长方形卡片 C 类若干张，如果要拼一 个长为(a＋2b)，宽为(a＋b)的大长方形，那么需要 C 类卡片 3 张．
14．计算： (1)(3x＋4)(2x－1)； (2)(x＋7)(x－6)－(x－2)(x＋1)．
解：(1)原式＝6x2＋5x－4； (2)原式＝2x－40.
15．先化简，再求值： 3x(2x＋1)－(2x＋3)(x－5)，其中 x＝－2.
多项式乘以多项式
（2）多项式里的每一项都包含前面的符号，两 项相乘时先判断积的符号，再写成代数和形式。
（3）展开后若有同类项要合并，化成最简形式。
多项式与多项式相乘的法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每 一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把 所得的积相加
在进行多项式乘法运算的过程中运用 了哪些数学思想方法？与同伴交流1)(1 x)(0.6 x) (2)(2x y)(x y) (3)(x 2y)2 (4)(2x 5)2
多项式乘以多项式
以下不同形状的长方形卡片各有若干张， 请你选取其中的两张，用它们拼成更大 的长方形，尽可能采用多种拼法。
n m
a m
n b
a b
n
a m
m (a+n )= ma+mn
n
a b
b (a+n) = ba+bn
n
n
m
b
a
a
m
b
n (m+b) = mn+bn
a (m+b) = am+ab
(5)(x 2)( y 3) (x 1)( y 2) (6)a2 (a 1)2 2(a 1)(a 2)
练习：课本33页：随堂练习和知识技能
（1）用一个多项式的每一项依次去乘另一个多 项式的每一项，不要漏乘，在没有合并同类项之 前，两个多项式相乘展开后的项数应是原来两个 多项式项数之积。
（3）展开后若有同类项要合并，化成最简形式。
多项式与多项式相乘的法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每 一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把 所得的积相加
在进行多项式乘法运算的过程中运用 了哪些数学思想方法？与同伴交流1)(1 x)(0.6 x) (2)(2x y)(x y) (3)(x 2y)2 (4)(2x 5)2
多项式乘以多项式
以下不同形状的长方形卡片各有若干张， 请你选取其中的两张，用它们拼成更大 的长方形，尽可能采用多种拼法。
n m
a m
n b
a b
n
a m
m (a+n )= ma+mn
n
a b
b (a+n) = ba+bn
n
n
m
b
a
a
m
b
n (m+b) = mn+bn
a (m+b) = am+ab
(5)(x 2)( y 3) (x 1)( y 2) (6)a2 (a 1)2 2(a 1)(a 2)
练习：课本33页：随堂练习和知识技能
（1）用一个多项式的每一项依次去乘另一个多 项式的每一项，不要漏乘，在没有合并同类项之 前，两个多项式相乘展开后的项数应是原来两个 多项式项数之积。
《多项式乘多项式》课件
A．ab－bc＋ac－c2 B．ab－bc－ac＋c2 C．ab－ac－bc D．ab－ac－bc－c2
8．方程(x－1)(2x＋1)＝(2x－1)(x＋2)的解为__x_＝_14___. 9．商店经营一种产品，定价为12元/件，每天能售出8件，而每降价x 元，则每天多售出(x＋2)件，则降价x元后每天的销售总收入是 __(－__x_2_＋__2_x_＋__1_2_0_)_元．
18．甲、乙二人共同计算一道整式乘法：(2x＋a)(3x＋b)，由于甲抄 错了第一个多项式中 a 的符号，得到的结果为 6x2＋11x－10；由于乙漏 抄了第二个多项式中 x 的系数，得到的结果为 2x2－9x＋10.
(1)你能知道式子中 a，b 的值各是多少吗？ (2)请你计算出正确结果． 解：(1)由题意，得(2x－a)(3x＋b)＝6x2－(3a－2b)x－ab＝6x2＋11x － 10 ， (2x ＋ a)(x ＋ b) ＝ 2x2 ＋ (a ＋ 2b)x ＋ ab ＝ 2x2 － 9x ＋ 10 ， 则 有 －a＋（23ba＝－－2b9），＝11，解得ab＝＝－－52， (2)(2x－5)(3x－2)＝6x2－19x＋10
3．若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n＝( C ) A．1 B．－2 C．－1 D．2 4．下列计算结果是x2－5x－6的是( B ) A．(x＋6)(x－1) B．(x－6)(x＋1) C．(x－2)(x＋3) D．(x－3)(x＋2)
5．(习题5变式)计算： (1)(x＋1)(2x－1)； 解：原式＝2x2＋x－1
10．若M＝(x－3)(x－5)，N＝(x－2)(x－6)，则M与N的关系为( B ) A．M＝N B．M＞N C．M＜N D．M与N的大小由x的取值而定 11．若(x2－mx－1)(x－2)的积中，x的二次项系数为0，则m的值是
8．方程(x－1)(2x＋1)＝(2x－1)(x＋2)的解为__x_＝_14___. 9．商店经营一种产品，定价为12元/件，每天能售出8件，而每降价x 元，则每天多售出(x＋2)件，则降价x元后每天的销售总收入是 __(－__x_2_＋__2_x_＋__1_2_0_)_元．
18．甲、乙二人共同计算一道整式乘法：(2x＋a)(3x＋b)，由于甲抄 错了第一个多项式中 a 的符号，得到的结果为 6x2＋11x－10；由于乙漏 抄了第二个多项式中 x 的系数，得到的结果为 2x2－9x＋10.
(1)你能知道式子中 a，b 的值各是多少吗？ (2)请你计算出正确结果． 解：(1)由题意，得(2x－a)(3x＋b)＝6x2－(3a－2b)x－ab＝6x2＋11x － 10 ， (2x ＋ a)(x ＋ b) ＝ 2x2 ＋ (a ＋ 2b)x ＋ ab ＝ 2x2 － 9x ＋ 10 ， 则 有 －a＋（23ba＝－－2b9），＝11，解得ab＝＝－－52， (2)(2x－5)(3x－2)＝6x2－19x＋10
3．若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n＝( C ) A．1 B．－2 C．－1 D．2 4．下列计算结果是x2－5x－6的是( B ) A．(x＋6)(x－1) B．(x－6)(x＋1) C．(x－2)(x＋3) D．(x－3)(x＋2)
5．(习题5变式)计算： (1)(x＋1)(2x－1)； 解：原式＝2x2＋x－1
10．若M＝(x－3)(x－5)，N＝(x－2)(x－6)，则M与N的关系为( B ) A．M＝N B．M＞N C．M＜N D．M与N的大小由x的取值而定 11．若(x2－mx－1)(x－2)的积中，x的二次项系数为0，则m的值是
多项式乘以多项式PPT课件
多项式的乘法法则
多项式与多项式相乘, 先用一个 多项式的每一项乘以另一个多项式 的每一项, 再把所得的积相加.
2020年10月2日
3
例题教学
(1) (x+2y)(3a+2b)
解:原式= (x·3a) + (x·2b)+ (2y·3a) + (2y·2b)
=3ax+2bx+6ay+4by
(2) (2x–3)(x+4)
+(3y·(-xy) )+( 3y·2y )
2
=-2x3 +2x2y-4xy2+3x2y-3xy2+6y3
=-2x3 +5x2y-7xy2+6y3
2020年10月2日
5
展示风采
(1) (2a–3b)(a+5b) ;
(2) (xy–z)(2xy+z) ;
(3) (x–1)(x2+x+1) ;
2020年10月2日
解:原式= (2x·x) + (2x·4) + (-3·x) + (-3·4)
=2x2+8x+(-3x)+(-12)
=2x2+5x-12
2020年10月2日
4
(3) (-2x+3y)(x2-xy+2y2) 解:原式= (-2x·x2)+( -2x ·(-xy) )+(-2x·2y2 )+( 3y·x2 )
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巩固法则
问题3 计算: （1）（x 2）（x 3）； x2+5x+6. （2）（x 4）（x 1）； x2-3x-4. （3）（y 4）（y 2）； y2+2y-8. （4）（y 5）（y 3）. y2-8y+15.
根据上述求解过程，观察计算结果的各项系数与原 式中的系数有怎样的关系？
q
p
abຫໍສະໝຸດ 探索法则（a b）（p q）=ap aq bp bq
你能类比单项式与多项式相乘的法则，叙述多项式 与多项式相乘的法则吗？
多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘 另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
探索法则
不同的表示方法： （a b）（p q）； （ a p q） （ b p q）； （ p a b） （ q a b）； ap aq bp bq.
根据上节课积累的探究经验，你能得到什么结论 呢？
巩固法则
例1 计算: （1）（3x 1）（x 2）； （2）（x 8y）（x y）； （3）（x y）（x2 xy y2）.
解：（1）原式=3x2+6x+x+2=3x2+7x+2. （2）原式=x2-xy-8xy+8y2=x2-9xy+8y2. （3）原式=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3.
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）在运用多项式与多项式相乘的法则时，你认为
应该注意哪些问题？ （3）举例说明在探索多项式与多项式相乘的法则的
过程中，体现了哪些思想方法？
14.1.4 整式的乘法
第3课时 多项式与多项式相乘
解决实际问题
问题1 已知某街心花园有一块长方形绿地，长为 a m，宽为p m．则它的面积是多少？
p
a
b
若将这块长方形绿地的长增加b m，则扩大后的绿 地面积是多少？
探索法则
问题2 若将原长方形绿地的长增加b m、宽增加 q m，你能用几种方法求出扩大后的长方形绿地的面积 呢？
探索法则
你认为在运用法则计算时，应该注意什么问题？
巩固法则
练习 计算： （1）（2x 1）（x 3）； 2x2+7x+3. （2）（m 2n）（3n m）；-m2+mn+6n2 （3）（a 1）2； a2-2a+1. （4）（a 3b）（a 3b）；a2-9a2. （5）（2x2 1）（x 4）； 2x3-8x2-x+4. （6）（x2 2x 3）（2x 5）. 2x3-2x2-4x-15.
方法技能： 1．多项式与多项式相乘，要按一定的顺序进行，做到不重不漏． 2．多项式中每一项都包括它前面的符号，在计算时应先准确地确定 积的每一项符号． 3．多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项 数应该等于两个多项式的项数之积．相乘后，若有同类项的应合并． 易错提示： 多项式与多项式相乘时易漏乘或误判符号而出错．