第一章集合与常用逻辑用语单元检测附答案

第一章集合与常用逻辑用语单元检测

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( )．

A ．真命题与假命题的个数相同

B ．真命题的个数一定是奇数

C ．真命题的个数一定是偶数

D ．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数

2．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N 等于( )．

A ．{0}

B ．{0,1}

C ．{1,2}

D ．{0,2}

3．(2011福建高考，理2)若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的( )．

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

4．命题“存在x ∈R ，x 2－3x ＋4＞0”的否定是( )．

A ．存在x ∈R ，x 2－3x ＋4＜0

B ．任意的x ∈R ，x 2－3x ＋4＞0

C ．任意的x ∈R ，x 2－3x ＋4≥0

D ．任意的x ∈R ，x 2－3x ＋4≤0

5．集合P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝( )．

A ．{(1，－2)}

B ．{(－13，－23)}

C ．{(1,2)}

D ．{(－23，－13)}

6．对任意两个集合M ，N ，定义：M －N ＝{x |x ∈M 且x ?N }，M △N ＝(M －N )∪(N －M )，设M ＝????

??x |x －31－x <0，N ＝{x |y ＝2－x }，则M △N ＝( )． A ．{x |x ＞3} B ．{x |1≤x ≤2}

C ．{x |1≤x ＜2，或x ＞3}

D ．{x |1≤x ≤2，或x ＞3}

7．已知全集U 为实数集R ，集合M ＝????

??x |x ＋3x －1<0，N ＝{x ||x |≤1}，则下图阴影部分表示的集合是( )．

A ．[－1,1]

B ．(－3,1]

C ．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)

D ．(－3，－1)

8．下列判断正确的是( )．

A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题

B ．命题“任意的x ∈N ，x 3＞x 2”的否定是“存在x ∈N ，x 3＜x 2”

C ．“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期是π”的必要不充分条件

D ．“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件

9．(2011陕西高考，文8)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝????

??x |????x i <1，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( )． A ．(0,1) B ．(0,1]

C ．[0,1)

D ．[0,1]

10．设命题p ：函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的定义域为R ，命题q ：函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的值域为R ，若命题p ，q 有且仅有一个为真，则c 的取值范围为( )．

A ．

B ．(－∞，－1)

C ．[－1，＋∞)

D ．R

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

11．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{2,4}，B ＝{3,4,5}，C ＝{3,4}，则(A ∪B )∩(?U C )＝__________.

12．(2011浙江温州模拟)已知条件p ：a ＜0，条件q ：a 2＞a ，则p 是q 的__________条件．(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)

13．若命题“存在x ∈R ，x 2－ax －a ＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为__________．

14．给出下列命题：

①原命题为真，它的否命题为假；

②原命题为真，它的逆命题不一定为真；

③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；

④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；

⑤“若m ＞1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ”的逆命题．

其中真命题是__________．(把你认为是正确命题的序号都填在横线上)

15．已知命题p ：不等式x x －1

＜0的解集为{x |0＜x ＜1}；命题q ：在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q 假；②“p 且q ”为真；③“p 或q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是__________．(请把正确结论的序号都填上)

三、解答题(本大题共6小题，共75分)

16．(12分)(1)设全集I 是实数集，则M ＝{x |x ＋3≤0}，N ＝2

12{|22}x x x ＋＝，求(?I M )∩N .

(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |(x ＋1)(x －1)＞0}，B ＝{x |－1≤x ＜0}，求A ∪(?U B )．

17．(12分)已知p ：－2≤1－x －13

≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若“非p ”是“非q ”的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．

18．(12分)已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.

19．(12分)(2011福建四地六校联合考试)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．

(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；

(2)若A ??R B ，求实数m 的取值范围．

20．(13分)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．

(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；

(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

21．(14分)已知三个不等式：①|2x －4|＜5－x ；②x ＋2x 2－3x ＋2

≥1；③2x 2＋mx －1＜0.若同时满足①和②的x 值也满足③，求m 的取值范围．

参考答案

一、选择题

1．C 解析：在原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，互为逆否的命题是成对出现的，故真命题的个数和假命题的个数都是偶数． 2．D 解析：集合N ＝{0,2,4}，

所以M ∩N ＝{0,2}．

3．A 解析：由(a －1)(a －2)＝0，得a ＝1或a ＝2，所以a ＝2?(a －1)(a －2)＝0.而由(a －1)(a －2)＝0不一定推出a ＝2，故a ＝2是(a －1)(a －2)＝0的充分而不必要条件．

4．D 解析：含有存在量词的命题的否定，先把“存在”改为“任意的”，再把结论否定．

5．B 解析：a ＝(m －1,2m ＋1)，b ＝(2n ＋1，3n －2)，令a ＝b ，

得????? m －1＝2n ＋1，2m ＋1＝3n －2，解得?

????

m ＝－12，n ＝－7. 此时a ＝b ＝(－13，－23)，故选B.

6．D 解析：∵M ＝{x |x ＞3或x ＜1}，N ＝{x |x ≤2}，∴M －N ＝{x |x ＞3}，

N －M ＝{x |1≤x ≤2}，

∴M △N ＝{x |1≤x ≤2，或x ＞3}．

7．D 解析：∵M ＝????

??x |x ＋3x －1<0＝{x |－3＜x ＜1}，N ＝{x ||x |≤1}＝{x |－1≤x ≤1}，∴阴影部分表示的集合为M ∩(?U N )＝{x |－3＜x ＜－1}，故选D.

8．D 解析：依据各种命题的定义，可以判断A ，B ，C 全为假，由b ＝0，可以判断f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数，反之亦成立． 9．C 解析：∵y ＝22|cos sin |x x －

＝|cos 2x |，x ∈R ，

∴y ∈[0,1]，∴M ＝[0,1]．

∵????x i ＜1，∴|x |＜1.∴－1＜x ＜1.

∴N ＝(－1,1)．∴M ∩N ＝[0,1)．

10．D 解析：本题考查根据命题的真假求参数的取值范围．

若函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的定义域为R ，则不等式x 2＋2x －c ＞0对任意x ∈R 恒成立，则有Δ＝4＋4c ＜0，解得c ＜－1；

若函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的值域为R ，则g (x )＝x 2＋2x －c 应该能够取到所有的正实数，因此Δ＝4＋4c ≥0，解得c ≥－1.

当p 为真，q 为假时，有c ＜－1；

当p 为假，q 为真时，有c ≥－1.

综上，当命题p ，q 有且仅有一个为真时，c 的取值范围为R .故选D.

二、填空题

11．{2,5} 解析：∵A ∪B ＝{2,3,4,5}，?U C ＝{1,2,5}，

∴(A ∪B )∩(?U C )＝{2,5}．

12．必要不充分 解析：p 为：a ≥0，q 为a 2≤a ，a 2≤a ?a (a －1)≤0?0≤a ≤1， ∴p q ，而q ?p ，

∴p 是q 的必要不充分条件．

13．[－4,0] 解析：∵“存在x ∈R ，x 2－ax －a ＜0”为假命题，则“对任意的x ∈R ，x 2－ax －a ≥0”为真命题，∴Δ＝a 2＋4a ≤0，解得－4≤a ≤0.

14．②③⑤ 解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确，又因为不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，

由?

???? m >0，Δ＝4(m ＋1)2－4m (m ＋3)<0??????

m >0，m >1?m ＞1.故⑤正确． 15．①③ 解析：解不等式知，命题p 是真命题，在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin

B ”的充要条件，所以命题q 是假命题，

∴①正确，②错误，③正确，④错误．

三、解答题

16．解：(1)M ＝{x |x ＋3＝0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＝x ＋12}＝{－3,4}， ∴(?I M )∩N ＝{4}．

(2)∵A ＝{x |x ＜－1，或x ＞1}，

B ＝{x |－1≤x ＜0}，

∴?U B ＝{x |x ＜－1，或x ≥0}．

∴A ∪(?U B )＝{x |x ＜－1，或x ≥0}．

17．解：由p ：－2≤1－x －13

≤2， 解得－2≤x ≤10，

∴“非p ”：A ＝{x |x ＞10，或x ＜－2}．

由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，

解得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．

∴“非q ”：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}，

由“非p ”是“非q ”的充分不必要条件得A B .

∴????? m >0，1－m ≥－2，

1＋m ≤10，解得0＜m ≤3.

∴满足条件的m 的取值范围为{m |0＜m ≤3}．

18．证明：必要性：∵a ＋b ＝1，即b ＝1－a ，

∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝0，

必要性得证．

充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，

∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0，

∴(a 2－ab ＋b 2)(a ＋b －1)＝0.

又ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，

∴a 2－ab ＋b 2＝22b a ??- ??

?＋3b 24≠0， ∴a ＋b ＝1，

充分性得证．

综上可知，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.

19．解：由已知得：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．

(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴?????

m －2＝0，m ＋2≥3， ∴?????

m ＝2，m ≥1.∴m ＝2，即实数m 的值为2. (2)?R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}．

∵A ??R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1.

∴m ＞5或m ＜－3.

∴实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．

20．解：(1)逆命题是：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0，为真命题． 用反证法证明：假设a ＋b ＜0，

则a ＜－b ，b ＜－a .

∵f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，

则f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )，

∴f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，这与题设相矛盾，∴逆命题为真．

(2)逆否命题：若f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＜0，为真命题． ∵原命题?它的逆否命题，

∴证明原命题为真命题即可．

∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a .

又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，

∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．

∴逆否命题为真．

21．解：设不等式|2x －4|＜5－x ，x ＋2x 2－3x ＋2

≥1， 2x 2＋mx －1＜0的解集分别为A ，B ，C ，

则由|2x －4|＜5－x 得，

当x ≥2时，不等式化为2x －4＜5－x ，得x ＜3，所以有2≤x ＜3. 当x ＜2时，不等式化为4－2x ＜5－x ，

得x ＞－1，所以有－1＜x ＜2，

故A ＝(－1,3)．

x ＋2x 2－3x ＋2≥1?x ＋2x 2－3x ＋2－1≥0?－x 2＋4x x 2－3x ＋2≥0?x (x －4)(x －1)(x －2)≤0?0≤x ＜1或2＜x ≤4， 即B ＝[0,1)∪(2,4]．

若同时满足①②的x 值也满足③，则有A ∩B ?C .

设f (x )＝2x 2＋mx －1，则由于A ∩B ＝[0,1)∪(2,3)，

故结合二次函数的图像，得????? f (0)<0，f (3)≤0??????

－1<0，18＋3m －1≤0?m ≤－173.