等差数列前n项和性质
等差数列前n项和性质
n(n 1)d 由Sn na1 2
二.巩固练习
1.已知数列{an }的前项和Sn =2n -23n,
2
（1）求其通项公式a n；
（2）求Sn的最值。
2.在等差数列{an }中，a1 =25,S17 =S9 , 求Sn的最值。
2.等差数列前n项和的性质（2）最值问题：
(1)配方法： 利用二次函数求得最值时n的值.
(2) 当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值. 可由an≥0，且an＋1 ≤ 0，求得n的值； 当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值. 可由an≤0，且an＋1 ≥ 0，求得n的值.
4差数列。即 等差数列中： Sk ,S2k -Sk ,S3k -S2k ,......也成等差数列。 (公差为k2 d)
等差数列前n项和性质
一.知识点回顾
1.等差数列的前n项和公式：
n(a1 an ) Sn 2
n( n 1)d S n na1 2
2.等差数列前n项和的性质（1）
Sn是常数项为零的二次式
数列为等差数列
d 2 d 可化成 S n n (a1 )n 2 2 当d≠0时，是一个常数项为零的二次式.
Sk a1 a2 a3 ak
S2k Sk ak 1 ak 2 ak 3 a2k S3k S2k a2k 1 a2k 2 a2k 3 a3k
例 ：在等差数列{an }中，S10 =10,S20 =40,求S30 1
解：由等差数列前n项和性质知S10 ,S20 -S10 ,S30 -S20 也成等差数列，即10，30，S30 -40成等差数列， 2 30 10 30 -40） （S 解得S30 90
等差数列前n项和的性质
等差数列前n项和的性质及应用
密码学：等差数列 前n项和公式可用于 设计密码算法和加 密方案
计算机图形学：等差数 列前n项和公式可用于 生成等差数列曲线，用 于计算机图形学中的渲 染和动画制作
定义：等差数 列中，任意两 项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等 差数列的定义， 将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用， 尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小 值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性 质
优化等差数列前n项和的计算 过程
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
01
02
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04
05
06
等差数列前n项和 是数列中前n个数 的和，记作Sn。
等差数列前n项和的 公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为 首项，an为第n项。
等差数列前n项和 的性质包括对称性、 奇偶性、线性关系 等。
等差数列前n项和的定义：一个数列， 从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
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等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。
等差数列前n项和Sn的性质应用
nn 1
2
d,
Sn n
d 2
n
a1
d 2
.
Sn n
为等差数列.
又Q12,20成,2等8 差数列，
S12 12
,
S20 20
,
S28 28
成等差数列，
2 S20 S12 S28 ， 20 12 28
即2 460 84 S28 ,
(2)前20项中，奇数项和
S奇
=
1 3
75=25，
偶数项和
S偶=
2 3
75=50，
又S偶 S奇=10d,
d 50 25 2.5 10
小结
等差数列前n项和Sn的性质应用
等差数列an 中
性质1.
sm，s2m sm，s3仍m 为 s等2m差，K数列，
公差为 m2d.
性质2.
例3 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数
项之和为33，求这个数列的中间项及项数.
设数列共有2n 项1 ，则 S奇 a1 a3 a5 L a2n1, S偶 a2 a4 a6 L a2n ,
S奇 S偶
a1 a3 a2 a5 a4 L a2n1 a2n
a21 a22 a23 a24 a25
S5 5 1 S10 S5Байду номын сангаас S5
15 4 20 15 15
25
例2
等差数列an前 项n和为
求 s28.
,若sn
S12 84，S20 =460，
等差数列前n项和的性质ppt课件
解析： 方法一：设 an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1＋(n－1)e.
取 n＝1，则ab11＝TS11＝12，所以 b1＝2a1.所Βιβλιοθήκη 以Sn Tn＝
na1＋nn－ 2 1d nb1＋nn－ 2 1e
＝
a1＋n－2 1d b1＋n－2 1e
＝
a1＋n2d－d2 2a1＋n2e－2e
＝
3n2＋n 1，
一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求 前110项之和．
由题目可获取以下主要信息： ①S10＝100，S100＝10；②此数列为等差数列． 解答本题可充分利用等差数列前n项和的有关性质解答．
[解题过程] 方法一：设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则 Sn＝na1＋nn－2 1d.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9 ＝________.
解析： 由等差数列的性质S9＝9a5＝72，a5＝8，a2＋a4＋a9 ＝a1＋a5＋a9＝3a5＝24，故填24.
答案： 24
4．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，求 S13. (2)等差数列{an}的公差 d＝12，且 S100＝145， 求 a1＋a3＋a5＋…＋a99. 解析： (1)∵a2＋a12＝a1＋a13＝2a7， 又 a2＋a7＋a12＝24，∴a7＝8. ∴S13＝13a12＋a13＝13×8＝104. (2)∵S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100) ＝2(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝145， 又 d＝12，∴a1＋a3＋…＋a99＝60.
an＝Sn－Sn－1＝n2－3n＋1－[(n－1)2－3(n－1)＋1] ＝2n－4，
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用 (3)
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用性质1：设等差数列{}n a的前n项和公式和为n S，公差为d，*m∈n.N则①()dm n m S n S m N -=-21②()mnd S S S S nm n m S n m n m n m ++=--+=+性质2：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，*..N k n m ∈,若k n m ..成等差数列，则k S n S m S knm,,成等差数列性质3：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，*....N n m q p ∈,若n m q p +=+，则qp S S n m S S qp n m --=--性质4：设等差数列{}na 的前n 项和公式和为k S①当()*2N k k n ∈=时，()12++=k k k a a k S ②当()*12N k k n ∈-=时，()121212---=k k a k S例1：如果等差数列{}n a 的前4项和是2，前9项和是-6，求其前n 项和公式。
解1：由性质1得：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-d n S nS d S S n 4214492149449 ()()21将9,294-==S S 代入()()2,1得：nn S n 30433072+-=解2：求1a ,d.例2：设n S 是等差数列{}n a 的前n项和，已知331S 和441S 的等比中项为551S ，331S 和441S 的等差中项为1，求等差数列{}na 的通项公式n a 。
解1：由性质1和题意知，()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=+=-=-d d S S S S d d S S 2145214523421342134453434)3()2()1( 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=-=d S dS d S 431541144113543又3453425S S S ⋅=⎪⎭⎫⎝⎛，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+d d d 4114114312，∴5120-==d d 或当d=0时，33=S ，∴*,1N n a n ∈= 当512-=d 时，52435124113=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=S又da S 223313⨯+=，即524512331=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a ，∴41=a故()*,512153251214N n n n a n ∈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=例3：一等差数列前4项和是24，前5项和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
2.3 等差数列前n项和的性质
第2课时等差数列前n项和的性质学习目标1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值．知识点一 等差数列{a n }的前n 项和S n 的性质思考 若{a n }是公差为d 的等差数列，那么a 1＋a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9是否也是等差数列？如果是，公差是多少？答案 (a 4＋a 5＋a 6)－(a 1＋a 2＋a 3)＝(a 4－a 1)＋(a 5－a 2)＋(a 6－a 3)＝3d ＋3d ＋3d ＝9d ， (a 7＋a 8＋a 9)－(a 4＋a 5＋a 6)＝(a 7－a 4)＋(a 8－a 5)＋(a 9－a 6)＝3d ＋3d ＋3d ＝9d . ∴a 1＋a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9是公差为9d 的等差数列． 知识点二 等差数列{a n }的前n 项和公式的函数特征1．公式S n ＝na 1＋n (n －1)d 2可化成关于n 的表达式：S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n .当d ≠0时，S n 关于n 的表达式是一个常数项为零的二次式，即点(n ，S n )在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2．等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定．(2)S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值．1．等差数列的前n 项和一定是常数项为0的关于n 的二次函数．( × )2．若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n .则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为d2.( √ )3．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则{a n }不是等差数列．( √ )题型一 等差数列前n 项和性质的应用例1 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ； (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．解 (1)方法一 在等差数列中， ∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列， ∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210. (2)a 5b 5＝12(a 1＋a 9)12(b 1＋b 9)＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝S 9T 9＝7×9＋29＋3＝6512. 反思感悟 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练1 一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和． 解 方法一 设S n ＝an 2＋bn . ∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.方法二 S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100＝90·a 11＋a 1002＝－90，∴a 11＋a 1002＝－1，∴S 110＝110×(a 1＋a 110)2＝－110.题型二 求等差数列前n 项和的最值问题例2 在等差数列{a n }中，若a 1＝25，且S 9＝S 17，求S n 的最大值． 解 方法一 ∵S 9＝S 17，a 1＝25， ∴9×25＋9(9－1)2d ＝17×25＋17(17－1)2d ，解得d ＝－2.∴S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n＝－(n －13)2＋169.∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二 同方法一，求出公差d ＝－2. ∴a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27. ∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，又∵n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法三 同方法一，求出公差d ＝－2.∵S 9＝S 17， ∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0. ∴a 13>0，a 14<0.方法四 同方法一，求出公差d ＝－2.设S n ＝An 2＋Bn . ∵S 9＝S 17，∴二次函数f (x )＝Ax 2＋Bx 的对称轴为x ＝9＋172＝13，且开口方向向下，∴当n ＝13时，S n 取得最大值169.反思感悟 (1)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形： ①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和． ②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和． (2)求等差数列前n 项和S n 最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找． ②运用二次函数求最值．跟踪训练2 已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？ 解 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0， 得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n (n ∈N *)． (2)方法一 由(1)知，a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．方法二 由(1)知，a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列． 令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112.∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.题型三 求数列{|a n |}的前n 项和例3 若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 解 ∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n . 当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4)＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2)＝56＋2n 2－15n .∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n －2n 2，n ≤4，n ∈N *，2n 2－15n ＋56，n ≥5，n ∈N *.反思感悟 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|a n |}．若原等差数列{a n }中既有正项，也有负项，那么{|a n |}不再是等差数列，求和关键是找到数列{a n }的正负项分界点处的n 值，再分段求和．跟踪训练3 已知等差数列{a n }中，S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2＝16，S 4＝24，求数列{|a n |}的前n 项和T n .解 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由S 2＝16，S 4＝24， 得⎩⎨⎧2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2.所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)． 由a n ≥0，解得n ≤512，则①当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n . ②当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n ) ＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n ，n ≤5且n ∈N *，n 2－10n ＋50，n ≥6且n ∈N *.用数形结合思想求解数列中的参数问题典例 在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫－1，－78 解析 方法一 由当且仅当n ＝8时S n 最大，知a 8＞0且a 9<0，于是⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d ＞0，7＋8d <0，解得－1<d <－78，故d 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－78. 方法二 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 对称轴x ＝－⎝⎛⎭⎫a 1－d 22⎝⎛⎭⎫d 2＝12－a 1d ，∵n ＝8时，S n 取最大值． ∴7.5<12－a 1d <8.5，即－8<7d <－7，∴d ∈⎝⎛⎭⎫－1，－78. [素养评析] 利用数形结合抓住事物本质，解决问题才能思路清晰，方法简捷．等差数列{a n }(a 1>0，d <0或a 1<0，d >0)中，a n ＝dn ＋(a 1－d )，其图象为y ＝dx ＋(a 1－d )上的一系列点，要求S n 的最大(小)值，只需找出距x 轴最近的两个点；S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，其图象为y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2x 上的一系列点．要求S n 的最大(小)值，只需找出距对称轴最近的点.1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ．63 答案 C解析 S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝7(3＋11)2＝49.2．已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为( )A ．11或12B ．12C ．13D ．12或13答案 D解析 ∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2，∴数列{a n }为等差数列．又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋25n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2522＋6254. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 最大．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27答案 B解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 考点 等差数列前n 项和绝对值之和题点 求等差数列前n 项和绝对值之和解 a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n －⎣⎡⎦⎤－32(n －1)2＋2052(n －1) ＝－3n ＋104.∵n ＝1也符合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋104(n ∈N *)．由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤1043. 即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0.(1)当n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n＝S n ＝－32n 2＋2052n ； (2)当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 35＋a 36＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2S 34－S n＝2⎝⎛⎭⎫－32×342＋2052×34－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n ＝32n 2－2052n ＋3 502. 故T n＝⎩⎨⎧ －32n 2＋2052n ，n ≤34且n ∈N *，32n 2－2052n ＋3 502，n ≥35且n ∈N *.1．等差数列{a n }的前n 项和S n ，有下面几种常见变形(1)S n ＝n (a 1＋a n )2； (2)S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ；(3)S n n ＝d 2n ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2⎝⎛⎭⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为d 2的等差数列. 2．求等差数列前n 项和最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n 取得最小值．3．求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点.一、选择题1．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15答案 B解析 ∵S 5＝5a 3＝25，∴a 3＝5，∴d ＝a 3－a 2＝5－3＝2，∴a 7＝a 2＋5d ＝3＋10＝13.故选B.2．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，那么此数列前20项的和为( )A ．160B ．180C ．200D ．220答案 B解析 由a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝－24，得a 2＝－8，由a 18＋a 19＋a 20＝3a 19＝78，得a 19＝26，于是S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 2＋a 19)＝10×(－8＋26)＝180.3．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案 B解析 ∵等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝An 2＋Bn ，∴λ＝－1.4．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 016，S k ＝S 2 008，则正整数k 为( )A ．2 017B ．2 018C ．2 019D ．2 020答案 C解析 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 016，S k ＝S 2 008，可得2 011＋2 0162＝2 008＋k 2，解得k ＝2 019. 5．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，即193≤k ≤223. 因为k ∈N *，所以k ＝7.故满足条件的n 的值为7.6．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )A.2n ＋1nB.n ＋1nC.n －1nD.n ＋12n答案 B解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2，∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n . 7．已知等差数列{a n }中，a 1 009＝4，S 2 018＝2 018，则S 2 019等于( )A ．－2 019B ．2 019C ．－4 038D ．4 038答案 C解析 因为{a n }是等差数列，所以S 2 018＝1 009(a 1＋a 2 018)＝1 009(a 1 009＋a 1 010)＝2 018， 则a 1 009＋a 1 010＝2.又a 1 009＝4，所以a 1 010＝－2，则S 2 019＝2 019(a 1＋a 2 019)2＝2 019a 1 010＝－4 038. 8．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11，其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．①③D ．①④答案 B解析 ∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，①正确．又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，②正确． S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，③不正确． {S n }中最大项为S 6，④不正确．故正确的是①②.二、填空题9．等差数列{a n }的前m 项和S m 为20，前3m 项和S 3m 为90，则数列{a n }的前2m 项和S 2m 的值是 ．答案 50解析 由题易知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，∴2(S 2m －20)＝20＋90－S 2m ，∴S 2m ＝50.10．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为 ．答案 4或5解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1＋3d ＝1，S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－1， ∴a 5＝a 1＋4d ＝0，∴S 4＝S 5且同时最大．∴n ＝4或5.11．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3(n ∈N *)，则a 7b 7＋a 9b 11＝ . 答案 463解析 设A n ＝kn (7n ＋45)，B n ＝kn (n ＋3)，则n >1，n ∈N *时，a n ＝A n －A n －1＝k (14n ＋38)，b n＝k (2n ＋2)，则a 7b 7＝k (14×7＋38)k (2×7＋2)＝172，a 9b 11＝k (14×9＋38)k (2×11＋2)＝416，所以a 7b 7＋a 9b 11＝172＋416＝463. 三、解答题12．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的自然数n 的值．解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n ，n ∈N *.(2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25，所以当n ＝5时，S n 取得最大值．13．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0 (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴{a n }是等差数列，又∵a 1＝8，a 4＝2，∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n ，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝8n ＋n (n －1)2×(－2)＝9n －n 2.∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0.∴当n >5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n＝2×(9×5－25)－9n ＋n 2＝n 2－9n ＋40，当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9n －n 2，n ≤5，n ∈N *，n 2－9n ＋40，n ≥6，n ∈N *.14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n 等于( )A ．12B ．14C ．16D ．18答案 B解析 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14. 15．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝ .答案 4178解析 因为b 3＋b 18＝b 6＋b 15＝b 10＋b 11，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝10(a 10＋a 11)10(b 10＋b 11)＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178.。
等差数列的前n项和公式的巧记及其性质
我们都知道等差数列的前n 项和公式有2个，你都记住了吗？有没有巧妙的记忆方法？等差数列的前n 项和S n 有哪些我们必须知道的性质呢？问题2：问题1：课前提示目录1. 等差数列的前n项和公式S n的巧记方法2. 等差数列的前n项和公式S n的性质及其应用等差数列的前n项和公式S n的巧记方法对一般的等差数列{a n } ，则有S n =a n +a n -1+…+a 12S n =(a 1+a 2+…+a n )+(a n +a n -1+…+a 1)=(a 1+a n )+(a 2+a n -1)+…+(a n +a 1)S n =a 1+a 2+…+a n=n (a 1+a n)等差数列的前n项和将a n用首项a1和公差d 表示，可得等差数列的前n项和已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式S n＝S n＝1a nna 1a n n a S n 与梯形面积1a n a 12()n n a a nS +⋅=n 补成平形四边形n a 1a n S S n与梯形面积1a 112()n n n d S n a -=+分割成一个平行四边形和一个三角形n 1a a n =a 1+(n -1)d(n -1)d n S S n 与梯形面积例1 已知数列{a n}是等差数列，(1)若a1＝1，a n＝－512，S n＝－1 022，求公差d；(2)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10；(3)若S10＝310，S20＝1 220，求S n.(1) 若a1＝1，a n＝－512，S n＝－1 022，求公差d；还有更简单的方法吗？(2) 若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10；(3) 若S10＝310，S20＝1 220，求S n.[题后感悟] a1，n，d称为等差数列的三个基本量，a n和S n都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，a n ，S n中可知三求二，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．1. 在等差数列{a n}中，(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8.(2)已知a2＋a4＝48/5，求S5；(3)已知a10＝12，a20＝32，S n＝120，求a n和n的值．(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8.(2)已知a2＋a4＝48/5，求S5；(3)已知a10＝12，a20＝32，S n＝120，求a n和n的值a n=a10+(n－10)d1．等差数列{a n}中，d＝2，a n＝11，S n＝35，则a1等于( )A．5或7 B．3或5C．7或－1 D．3或－12．已知等差数列{a n}，a1＝50，d＝－2，S n＝0，则n等于( )A．51 B．50C．49 D．483．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＋a17＝10，则S19的值为________．4．已知{a n}是等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a6＝9.求此数列前6项的和．等差数列的前n项和公式S n的性质等差数列的S n最值问题2122()n d d S n a n =+-S n 是一个关于n 的二次函数. 因此我们可以借助二次函数的图像 和性质来研究等差数列前n 项和的有关问题.等差数列的S n 最值问题2122()n d d S n a n =+-2A B n S n n =+若某个数列的前n 项和S n 可以表示成 ，则这个数列是等差数列.2A B n S n n =+等差数列的S n 的性质2122()n d d S n a n =+-122()n S d d n a n =+- 是一个等差数列，公差为 .2d {}n S n例2 在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，求S n的最大值．由题目可获取以下主要信息：①{a n}为等差数列．②a1＝25，S17＝S9.解答本题可用二次函数求最值或由通项公式求n，使a n≥0，a n＋1<0或利用性质求出大于或等于零的项．方法三：先求出d＝－2(同方法一)，由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14, 故a13＋a14＝0.∵d＝－2<0，a1>0.∴a13>0，a14<0，故n＝13时，S n有最大值169.已知等差数列{a n}中，a1＝－3，11a5＝5a8－13，(1)求公差d 的值；(2)求数列{a n}的前n项和S n的最小值．已知等差数列{a n}中，a1＝－3，11a5＝5a8－13，(1)求公差d 的值；(2)求数列{a n}的前n项和S n的最小值．n117{|a n|}的前n项和．由题目可获取以下主要信息：①数列{a n}为等差数列；②a1＝－60，a17＝－12，可求得公差d.先分清哪些项是负的，再分段求出前n项的绝对值之和．n117 {|a n|}的前n项和．已知等差数列{a n}中，S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n项和A n.{}n S n 是等差数列282=S 464=S 公差－12．等差数列的前n项和公式的应用(1)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．(2)两个公式共涉及a1、d、n、a n及S n五个基本量，依据方程的思想，在五个基本量中要知道三个基本量可求其它基本量，这也就是我们所说的“知三求二”．。
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当 n 13, (Sn )max 169
4.等差数列前n项和的性质（3）
等 差 数 列 连 续 的 k项 之 和 也 成 等 差 数 列 。 即 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,......也 成 等 差 数 列 。 (公 差 为 k2•d)
例 1 ： 在 等 差 数 列 { a n } 中 ， S 1 0 = 1 0 , S 2 0 = 4 0 , 求 S 3 0 课 堂 练 习 2 ： 等 差 数 列 { a n } 中 ， 若 S 2 = 2 ， S 6 = 2 4 , 求 S 4
中
间
项
)(2)
S S
奇 偶
n n 1
例 2： 已 知 等 差 数 列 {an}中 ， 共 有 10项 ,S偶=15,S奇=12.5, 求 a1与 d。 例 3： 已 知 等 差 数 列 {an}中 ， 共 有 2n-1项 ,S奇=290,S偶=261, 求 项 数 与 中 间 项 。
例 2 ： 已 知 等 差 数 列 { a n } 中 ， 共 有 1 0 项 , S 偶 = 1 5 , S 奇 = 1 2 . 5 , 求 a 1 与 d 。
5.等差数列前n项和的性质（4） 关于奇数项与偶数项和的关系的几个结论：
S奇 S偶 S所有 1.当 项 数 为 2n（ 偶 数 ） 时 ：
（ 1） S偶
S奇
n • d (2) S偶 S奇
a n 1 an
2 .当 项 数 为 2 n - 1 （ 奇 数 ） 时 ：
（ 1） S奇
S偶
an
(an是
1.已知数列{an}的前项和Sn=2n2-23n, （1）求其通项公式an；
（2）求Sn的最值。
1.解：(1)由题意可知：
当n 2时，an Sn Sn1 2n2 23n [2(n 1)2 23(n 1)]
2n2 2(n 1)2 23n 23(n 1) 4n 25
当n 1时，a1 21 S1
谢谢！
解 : 该 等 差 数 列 的 项 数 为10项 ,
S偶
S奇 =n
• d即 15-12.5=5 • d,解 得 d
1 2
10 9 1
又
S偶
S奇
S
1
即
0
1
5
1
2
.5
10a1
2 2
解 得 a1
1 2
a1
1 2
,d
1 2
例 3 ： 已 知 等 差 数 列 { a n } 中 ， 共 有 2 n - 1 项 , S 奇 = 2 9 0 ,S 偶 = 2 6 1 . 求 项 数 与 中 间 项 。
解 : 该等差数列的项数为2n 1项, S奇 S偶 a中即 290 261 a中, a中 29 又 S奇 n 即 290 n ,解得n 10
S偶 n 1 261 n 1 项数为2 10 1 19
课 堂 练 习 ： 已 知 等 差 数 列 { a n } 中 ， 共 有 2 n + 1 项 , S 奇 = 5 1 ,S 偶 = 4 2 . 5 ， a 1 1 ,求 项 数 及 通 项 公 式 。
an 4n 25(n N )
(n2
23 2
n)
2(n
23)2 4
529 8
由二次函数的性质可知当n=6时,(Sn )min 66
2 .解
: (法
一
)由
S17 =S9 , 得
25
17
17
(1 7 2
1)
d
25 9 9 (9 1) d 解 得 d 2 2
一.知识点回顾
1.等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 an) 2
Sn
na1
n(n1)d 2
2.等差数列前n项和的性质（1）
由Sn na1n(n21)d
可化成
Sn
dn2 2
(a1d2)n
当d≠0时，是一个常数项为零的二次式.
思考3：一般地，若数列{an}的前n和Sn＝An2＋Bn，那 么数列{an}是等差数列吗？若Sn＝An2＋Bn＋C 呢？ （1）数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn （2）数列{an} 的前n项和是Sn＝An2＋Bn＋C ，则：
①若C＝0，则数列{an}是等差数列；
②若C≠0，则数列{an}从第2项起是等差数列。
结论：
等差数列前n项和的最值问题有两种方法：
(1) 由
Sn
dn2 2
(a1
d)n 2
利用二次函
数配方法求得最值时n的值.
(2) 当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值. 可由an≥0，且an＋1 ＜ 0，求得n的值； 当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值. 可由an≤0，且an＋1 ＞ 0，求得n的值.
Sn
25n
n
(n
1) 2
(2)
n2
26n
(n
13)2
169
由 二 次 函 数 的 性 质 知 ,当 n 13, (Sn )max 169
(法 二 )先 求 出 d = - 2 (同 法 一 )
a1
25
0 ,由
an 25 (n 1) (2)
a
n
1
25
n
(2)
0
0
得
n
n
1 3 .5 1 2 .5
3.等差数列前n项和的性质（2）
已知等差数列的前n项和Sn，如何求an ? 利用Sn与an的关系: an=SS1n,nSn11,n2
二.巩固练习
1.已知数列{an}的前项和Sn=2n2-23n, （1）求其通项公式an； （2）求Sn的最值。
2.在 等 差 数 列 {an}中 ， a1=25,S17=S9, 求 Sn的 最 值 。