转子动力学求解转子临界转速与固有频率 PPT
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《理论力学 动力学》 第十讲 转子的临界转速
转子的临界转速与隔振
曾凡林
哈尔滨工业大学理论力学教研组
本讲主要内容
1、转子的临界转速
2、隔振
1、转子的临界转速
——使转子发生激烈振动的特定转速。
临界转速C O A C
O A ω
F I 圆盘惯性力的合力F I 由A 指向C ，通过质心。
OC m F I ×=2w 转轴的弹性恢复力F 指向轴心O ，大小为:F A
kr F =由达朗贝尔原理，惯性力与弹性恢复力相互“平衡”，得到
)(22e r m OC m kr A A +=×=w w 解得点A 的挠度（轴的变形量）为：2
2w w m k e m r A -=
考虑到, 上式变为：0w =m k
2202w w w -
=e
r A 当时，0w w =A r ®¥使转轴挠度异常增大的转动角速度—临界角速度。
记为cr w 0w =对应的转速称为临界转速, 记为n cr .当时，0w w >r A 迅速减小而趋于e 。
O rA
当时，0w w >>A r e
»质心C 与轴心点O 重合，圆盘绕质心转动。
—自动定心现象弓状回转1、转子的临界转速。
转子动力学课件第1次课
m I d Ω 4 − [ I d k11 − m k 22 ] Ω 2 − ( k11 k 22 − k12 k 21 ) = 0
1 k11 k 22 Ω = − + 2 m Id
2
I p = 2Id
k k − k12 k 21 1 k11 k 22 − + 11 22 4 m Id mId
eω 2 ( p 2 − ω 2 ) + (2ζ pω ) 2
cos(ω t − φ ) sin(ω t − φ )
dr =0 dω
ω cr
1 = p 1 − 2ζ
2
ω cr n cr = 60 2π
对于小阻尼情况: 对于小阻尼情况
ω cr = p
rm ax e ≈ 2ζ
φ ≈
π
2
1.3 刚性支承的单盘偏置转子的涡动
1.1 转子涡动的运动学分析
x = X cos(ωt + φx ) x = X [cos(ωt ) cos(φx ) − sin(ωt ) sin(φx )] y = Y sin(ωt + φ y ) y = Y [cos(ωt )sin(φ y ) + sin(ωt ) cos(φ y )] X a = X cos φx ; X s = X sin φx ; Ya = Y sin φ y ; Ys = −Y cos φ y ;
x = X a cos ωt − X s sin ωt ; y = Ya cos ωt − Ys sin ωt
1.2 Jeffcott转子的涡动分析 转子的涡动，抗弯刚度 轴中央有一刚性薄圆盘， 轴中央有一刚性薄圆盘，
厚度/直径 的盘为薄圆盘。 厚度 直径<0.1的盘为薄圆盘。 直径 的盘为薄圆盘
1 k11 k 22 Ω = − + 2 m Id
2
I p = 2Id
k k − k12 k 21 1 k11 k 22 − + 11 22 4 m Id mId
eω 2 ( p 2 − ω 2 ) + (2ζ pω ) 2
cos(ω t − φ ) sin(ω t − φ )
dr =0 dω
ω cr
1 = p 1 − 2ζ
2
ω cr n cr = 60 2π
对于小阻尼情况: 对于小阻尼情况
ω cr = p
rm ax e ≈ 2ζ
φ ≈
π
2
1.3 刚性支承的单盘偏置转子的涡动
1.1 转子涡动的运动学分析
x = X cos(ωt + φx ) x = X [cos(ωt ) cos(φx ) − sin(ωt ) sin(φx )] y = Y sin(ωt + φ y ) y = Y [cos(ωt )sin(φ y ) + sin(ωt ) cos(φ y )] X a = X cos φx ; X s = X sin φx ; Ya = Y sin φ y ; Ys = −Y cos φ y ;
x = X a cos ωt − X s sin ωt ; y = Ya cos ωt − Ys sin ωt
1.2 Jeffcott转子的涡动分析 转子的涡动，抗弯刚度 轴中央有一刚性薄圆盘， 轴中央有一刚性薄圆盘，
厚度/直径 的盘为薄圆盘。 厚度 直径<0.1的盘为薄圆盘。 直径 的盘为薄圆盘
转子平衡临界转速与强度
1
端面Ⅱ半径R处钻孔，去掉质量为 mⅡ ，则
也可在相反的方向加配重，这样转子就可达到刚性动平衡。如 F1 , F2 不垂直，则可将 它们分解到垂直与水平方向，而后如上所算。
化工机械强度与振动
二、转子柔性动平衡（高速动平衡） 由离心惯性力引起的动挠度是和转速有关的。因此，在低速时平衡（又称刚性平衡） 的转子，到高速时又可能会失稳而剧烈振动。校正这种动不平衡必须把离心惯性力 引起的动挠度影响考虑进去，故称为柔性动平衡或高速动平衡。
2
薄圆盘装斜了也可产生动不平衡。在转速较高的情况下,只要有很小的偏斜（约 1°），就会引起超过静反力百倍以上的反力。 现有如图4-3所示长转子，长度为l，半径为R。在距左端l/3的平面内垂直方向有偏心 2 量 m1e1，在中间平面内水平方向有偏心量 m2 e2 m1e1
3
化工机械强度与振动
偏心质量产生的离心惯性力总可以合成一通过旋转轴并与之垂直的合力和一个合力偶， 要平衡它们一般可选转子的两个端面和加配重或钻削掉一些重量。重量的大小和方位 很容易确定。
式中
r
k c , n , n m 2 mk
化工机械强度与振动
O’(x,y)点的运动轨迹是一个圆，其半径即转轴的动挠度
OO R x y
2 2
er 2
1 r 2 r
2 2
2
(4-7)
从以上两式可见动挠度R随频率比r的变化而变化。当r值较小时（r<<1），线段O‘C=e 比盘心位移段OO’=R导前的相位角 / 2 ,动挠度R值亦较小。当r=1，即 n 时， / 2，如在无阻尼情况下，此时动挠度趋于无限大，实际上由于阻尼的作用， 动挠度为有限值。这个较大的动挠度仍将会导致转子的破坏，并使机组受到巨大的激振 力而剧烈振动。这时的转速称为临界转速，以k nk 表示，及临界转速 k 在数值上 等于转子横振动的固有频率，所以它的数值可以用计算转子横振动固有频率的方法来计 算。
端面Ⅱ半径R处钻孔，去掉质量为 mⅡ ，则
也可在相反的方向加配重，这样转子就可达到刚性动平衡。如 F1 , F2 不垂直，则可将 它们分解到垂直与水平方向，而后如上所算。
化工机械强度与振动
二、转子柔性动平衡（高速动平衡） 由离心惯性力引起的动挠度是和转速有关的。因此，在低速时平衡（又称刚性平衡） 的转子，到高速时又可能会失稳而剧烈振动。校正这种动不平衡必须把离心惯性力 引起的动挠度影响考虑进去，故称为柔性动平衡或高速动平衡。
2
薄圆盘装斜了也可产生动不平衡。在转速较高的情况下,只要有很小的偏斜（约 1°），就会引起超过静反力百倍以上的反力。 现有如图4-3所示长转子，长度为l，半径为R。在距左端l/3的平面内垂直方向有偏心 2 量 m1e1，在中间平面内水平方向有偏心量 m2 e2 m1e1
3
化工机械强度与振动
偏心质量产生的离心惯性力总可以合成一通过旋转轴并与之垂直的合力和一个合力偶， 要平衡它们一般可选转子的两个端面和加配重或钻削掉一些重量。重量的大小和方位 很容易确定。
式中
r
k c , n , n m 2 mk
化工机械强度与振动
O’(x,y)点的运动轨迹是一个圆，其半径即转轴的动挠度
OO R x y
2 2
er 2
1 r 2 r
2 2
2
(4-7)
从以上两式可见动挠度R随频率比r的变化而变化。当r值较小时（r<<1），线段O‘C=e 比盘心位移段OO’=R导前的相位角 / 2 ,动挠度R值亦较小。当r=1，即 n 时， / 2，如在无阻尼情况下，此时动挠度趋于无限大，实际上由于阻尼的作用， 动挠度为有限值。这个较大的动挠度仍将会导致转子的破坏，并使机组受到巨大的激振 力而剧烈振动。这时的转速称为临界转速，以k nk 表示，及临界转速 k 在数值上 等于转子横振动的固有频率，所以它的数值可以用计算转子横振动固有频率的方法来计 算。
电主轴系统固有频率和临界转速分析PPT课件
• 在高速工作状态下，电主轴转子系统不仅要承受 轴向和径向切削力、预载荷作用，而且还要承受 很大的高速离心力和陀螺力矩等作用，它们都会 引起主轴系统的振动。
• 轴的临界转速与主轴振动的固有频率直接相关， 即要想求得临界转速，要先求得固有频率。
• 系统的固有频率只与系统的质量、刚度和阻尼有
关。
第1页/共页
一、主轴运动方程
电主轴属于多支承轴系，在弹性理论中，基本上都是基于弹性小变形假 设来解决问题的，实际应用中的主轴系统一般都能满足这个基本条件在 此我们将一根阶梯轴离散成N个单元进行分析。
主轴划分单元示意图 轴系振动时的振动微分方程为:
第2页/共12页
（1）
{x}—系统位移列阵，由各单元位移列阵迭加而成; { }—速度列阵;{ }—加速度列阵; {M}一系统质量矩阵，由各单元质量矩阵迭加而成; {c}—系统阻尼矩阵，由各单元阻尼矩阵迭加而成; {k}—系统刚度矩阵，由各单元刚度矩阵迭加而成，包括轴承的支 撑刚度; {p}为总体载荷列阵，由扩展之后单元载荷列阵迭加而成。
（5）
➢则单元质量矩阵[M]e为[m]与[mo]对应元素之和，单元刚度矩 阵即为[K]e。
第7页/共12页
三、固有频率与临界转速计算
其中（2）式的解具有下述形式：
（6）
将式(6)带入(2)，整理得：
临界转速: 固有频率：
（8） （9）
（7） 重要
➢(7)式是一个求解广义特征值问题，它的n个特征值就是主轴系统的n阶角 频率，其求解工作量非常大，可以借助于Matlab和VC十+联合编程求解。
第4页/共12页
单元质量和刚度矩阵分别为：
第5页/共12页
（3）
（4）
注：有些文献中对单元质量和刚度矩阵的计算采用了简化的方 法，此处需要指出的是，简化公式是以梁的高度远小于跨度为 条件的，因为只有在此条件下，才能忽略剪切变形的影响。
• 轴的临界转速与主轴振动的固有频率直接相关， 即要想求得临界转速，要先求得固有频率。
• 系统的固有频率只与系统的质量、刚度和阻尼有
关。
第1页/共页
一、主轴运动方程
电主轴属于多支承轴系，在弹性理论中，基本上都是基于弹性小变形假 设来解决问题的，实际应用中的主轴系统一般都能满足这个基本条件在 此我们将一根阶梯轴离散成N个单元进行分析。
主轴划分单元示意图 轴系振动时的振动微分方程为:
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（1）
{x}—系统位移列阵，由各单元位移列阵迭加而成; { }—速度列阵;{ }—加速度列阵; {M}一系统质量矩阵，由各单元质量矩阵迭加而成; {c}—系统阻尼矩阵，由各单元阻尼矩阵迭加而成; {k}—系统刚度矩阵，由各单元刚度矩阵迭加而成，包括轴承的支 撑刚度; {p}为总体载荷列阵，由扩展之后单元载荷列阵迭加而成。
（5）
➢则单元质量矩阵[M]e为[m]与[mo]对应元素之和，单元刚度矩 阵即为[K]e。
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三、固有频率与临界转速计算
其中（2）式的解具有下述形式：
（6）
将式(6)带入(2)，整理得：
临界转速: 固有频率：
（8） （9）
（7） 重要
➢(7)式是一个求解广义特征值问题，它的n个特征值就是主轴系统的n阶角 频率，其求解工作量非常大，可以借助于Matlab和VC十+联合编程求解。
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单元质量和刚度矩阵分别为：
第5页/共12页
（3）
（4）
注：有些文献中对单元质量和刚度矩阵的计算采用了简化的方 法，此处需要指出的是，简化公式是以梁的高度远小于跨度为 条件的，因为只有在此条件下，才能忽略剪切变形的影响。
转子动力学求解转子临界转速与固有频率 ppt课件
转子动力学求解转子临界转速与固有 频率
转子动力学求解转子 临界转速与固有频率
背景
• 旋转机械在当今机械行业有着非常广泛的应用，如 水轮机、汽轮机、加工车床和机械传动轴系等。转 子是旋转机械的主要部件。旋转轴系转子存在自身 固有频率，当转子旋转频率接近或等于其固有频率 时，旋转系统会发生剧烈振动，这时的转速称为临 界转速。临界转速的求解是转子动力学中非常重要 的研究课题。
计算方法
• 目前对临界转速的计算方法主要有：
• 传递矩阵法 先把转子分成若干段，每段左、右端四个截面参数（挠度、
挠角、弯矩和剪力）之间的关系可用该段的传递矩阵描述 。如此递推，可得系统左右两端面的截面参数间的总传递 矩阵，再由边界条件和固有振动时有非零解的条件，藉试 凑法得出各阶临界转速，并随后求得相应的振型。 • 有限元法 将连续系统分割成适当大小的单元，单元内的位移等状态量 用以节点的相应状态量为未知数的一系列函数表示，使系 统的能量之差即动能、势能之差为最小来调整节点的状态 ，从而得到相应的矩阵方程。
J J
L dj 1
L pj 1
mj
m (d) jmR j Nhomakorabeam
L j 1
• 其中，
s
mRj k 1
la k lj
s
mL j
k1
l
lj ak lj
s
k1
l kmR j
JPRj
s
k1
ak2
ak2 lk ak
2
jpklk
JPLj
s
lk ak 2
k1 ak2 lk ak
• 把状态矢量Z进行分组，具有0值的元素为一组,用矢量f表 示，非0值为另一组，表示为矢量e，于是状态向量简化成 为
转子动力学求解转子 临界转速与固有频率
背景
• 旋转机械在当今机械行业有着非常广泛的应用，如 水轮机、汽轮机、加工车床和机械传动轴系等。转 子是旋转机械的主要部件。旋转轴系转子存在自身 固有频率，当转子旋转频率接近或等于其固有频率 时，旋转系统会发生剧烈振动，这时的转速称为临 界转速。临界转速的求解是转子动力学中非常重要 的研究课题。
计算方法
• 目前对临界转速的计算方法主要有：
• 传递矩阵法 先把转子分成若干段，每段左、右端四个截面参数（挠度、
挠角、弯矩和剪力）之间的关系可用该段的传递矩阵描述 。如此递推，可得系统左右两端面的截面参数间的总传递 矩阵，再由边界条件和固有振动时有非零解的条件，藉试 凑法得出各阶临界转速，并随后求得相应的振型。 • 有限元法 将连续系统分割成适当大小的单元，单元内的位移等状态量 用以节点的相应状态量为未知数的一系列函数表示，使系 统的能量之差即动能、势能之差为最小来调整节点的状态 ，从而得到相应的矩阵方程。
J J
L dj 1
L pj 1
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L j 1
• 其中，
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k1 ak2 lk ak
• 把状态矢量Z进行分组，具有0值的元素为一组,用矢量f表 示，非0值为另一组，表示为矢量e，于是状态向量简化成 为
转子动力学分析方法
2019/1/8 4
同样，可以定义Xpc、Xps、Yrc、Yrs，则可得 x=Xpccosωt-Xpssinωt+Xrccosωt-Xrssinωt y=Xpcsinωt+Xpscosωt-Xrcsinωt-Xrscosωt 令 x=Xpc+iXps y=Xrc+iXrs 则有 x=Re{[(Xpc+iXps)+(Xrc+iXrs)]eiωt}=Re{(xp+xs)eiωt} y=Re{[-i(Xpc+iXps)+i(Xrc+iXrs)]eiωt}=Re{i(-xp+xs)eiωt} 一般将xp对应的运动称为正进动分量；xr对应的运动成为 反进动分量。 比较两种表达式，可得 Xc+iXs=xp+xr Yc+iYs=i(-xp+xr)
2019Байду номын сангаас1/8 8
两种座标关系为：ξ =xcosΩ t+ysinΩ t η =-xsinΩ t+ycosΩ t 对上式求一、二阶导数，可得
2 2 － － 式中： 、 表示离心加速度 －2 、2 表示哥氏加速度
ξ =xpei(ω-Ω)t+xrei(ω+Ω)t η =-ixpei(ω-Ω)t+ixrei(ω+Ω)t 式中省略取实部符号。 代入上式得
2019/1/8
11
第三节
刚体绕定点的转动
力学模型：连续质量模型——弹性体 集中质量模型——盘轴系统 本章以盘轴系统为分析模型 刚体在空间有六个自由度：沿三个垂直轴方向的平移和绕 这三个轴的转动。 理论力学：刚体运动可分解成随基点的平动和绕基点的转 动。 平动运动规律与基点选择有关； 转动运动规律与基点选择无关。 §5.3.1 描述定点刚体位置的欧拉角 刚体球铰定点约束：约束三个平动自由度； 只有三个转动自由度。
同样，可以定义Xpc、Xps、Yrc、Yrs，则可得 x=Xpccosωt-Xpssinωt+Xrccosωt-Xrssinωt y=Xpcsinωt+Xpscosωt-Xrcsinωt-Xrscosωt 令 x=Xpc+iXps y=Xrc+iXrs 则有 x=Re{[(Xpc+iXps)+(Xrc+iXrs)]eiωt}=Re{(xp+xs)eiωt} y=Re{[-i(Xpc+iXps)+i(Xrc+iXrs)]eiωt}=Re{i(-xp+xs)eiωt} 一般将xp对应的运动称为正进动分量；xr对应的运动成为 反进动分量。 比较两种表达式，可得 Xc+iXs=xp+xr Yc+iYs=i(-xp+xr)
2019Байду номын сангаас1/8 8
两种座标关系为：ξ =xcosΩ t+ysinΩ t η =-xsinΩ t+ycosΩ t 对上式求一、二阶导数，可得
2 2 － － 式中： 、 表示离心加速度 －2 、2 表示哥氏加速度
ξ =xpei(ω-Ω)t+xrei(ω+Ω)t η =-ixpei(ω-Ω)t+ixrei(ω+Ω)t 式中省略取实部符号。 代入上式得
2019/1/8
11
第三节
刚体绕定点的转动
力学模型：连续质量模型——弹性体 集中质量模型——盘轴系统 本章以盘轴系统为分析模型 刚体在空间有六个自由度：沿三个垂直轴方向的平移和绕 这三个轴的转动。 理论力学：刚体运动可分解成随基点的平动和绕基点的转 动。 平动运动规律与基点选择有关； 转动运动规律与基点选择无关。 §5.3.1 描述定点刚体位置的欧拉角 刚体球铰定点约束：约束三个平动自由度； 只有三个转动自由度。
转子动力学基础ppt课件
第一章 转子动力学基础
本章主要内容： 1. 涡动分析、临界转速 2. 重力影响 3. 弹性支承影响 4. 非轴对称转子影响、稳定性问题 5. 初始弯曲影响 6. 等加速过临界的特点
1
第一节 转子的涡动
旋转的转子是具有质量和弹性的振动系统，这与其他振动 系统相同。
区别：转子是旋转的 涡动：既有自转，又有公转，是一种复合运动。
ω ≠p，主要是陀螺力矩影响。
同步正进动轴的受力
12
例：已知：轴长l=57cm，直径d=1.5cm，轴材料弹性模量
E 20.58106 N / cm2，圆盘厚度h=2cm，直径D=16cm,材 料密度 7.810－3 kg / cm，3 不计阻尼。
求：1）临界转速ω cr
计入弹性轴等效质量，按照振动理论，梁在中点的等效质 量为原质量的17/35，则临界转速为：
cr
60
2
k mD＋ms17 /
35
30
12325.553103 1853.3r / min 3.137 0.785617 / 35
ω ＝0.6ω cr时挠度为：
r
(cr
e
/ )2
不平衡力引起的同步正进动分析
2
第二节 Jeffcott转子涡动分析
Jeffcott转子：垂直安装等截面对称转子、不计重力影响。
一、Jeffcott转子运动微分方程
Jeffcott转子示意图
薄盘：h/D<0.1；偏心矩：e
定坐标系：oxyz；基点：o 设自转ω为常数，确定 o的运动：
r= e
0
低转速区
圆盘重边飞出
p
r? e
本章主要内容： 1. 涡动分析、临界转速 2. 重力影响 3. 弹性支承影响 4. 非轴对称转子影响、稳定性问题 5. 初始弯曲影响 6. 等加速过临界的特点
1
第一节 转子的涡动
旋转的转子是具有质量和弹性的振动系统，这与其他振动 系统相同。
区别：转子是旋转的 涡动：既有自转，又有公转，是一种复合运动。
ω ≠p，主要是陀螺力矩影响。
同步正进动轴的受力
12
例：已知：轴长l=57cm，直径d=1.5cm，轴材料弹性模量
E 20.58106 N / cm2，圆盘厚度h=2cm，直径D=16cm,材 料密度 7.810－3 kg / cm，3 不计阻尼。
求：1）临界转速ω cr
计入弹性轴等效质量，按照振动理论，梁在中点的等效质 量为原质量的17/35，则临界转速为：
cr
60
2
k mD＋ms17 /
35
30
12325.553103 1853.3r / min 3.137 0.785617 / 35
ω ＝0.6ω cr时挠度为：
r
(cr
e
/ )2
不平衡力引起的同步正进动分析
2
第二节 Jeffcott转子涡动分析
Jeffcott转子：垂直安装等截面对称转子、不计重力影响。
一、Jeffcott转子运动微分方程
Jeffcott转子示意图
薄盘：h/D<0.1；偏心矩：e
定坐标系：oxyz；基点：o 设自转ω为常数，确定 o的运动：
r= e
0
低转速区
圆盘重边飞出
p
r? e
optisturct 转子动力学 临界转速
optisturct 转子动力学临界转速OptiStruct是一款功能强大的CAE软件，可以进行结构优化、拓扑优化、疲劳分析等多种任务。
在这些分析任务中，转子动力学分析是非常重要的一种，可以分析转子在运转过程中的振动情况及临界转速等参数。
下面将从OptiStruct中进行转子动力学分析的步骤入手，详细介绍转子临界转速的分析方法。
第一步：建立模型在进行动力学分析之前，需要首先建立转子的几何模型，并将其导入OptiStruct软件中。
在建立模型过程中，需要注意模型的尺寸和材料等参数的准确性，以保证后续分析结果的可信度。
第二步：定义约束和自由度在动力学分析中，需要为模型定义合适的约束和自由度。
例如，可以将模型的某些部位设置为固定支点，防止其在运转过程中发生滑动、旋转等位移。
同时，需要为模型定义合适的自由度，以便进行振动分析等操作。
第三步：设置质量特性在进行动力学分析之前，需要设置转子的质量特性。
例如，可以将转子的每个部件的质量、质心等参数设置为合适的值，以便更加准确地计算振动和临界转速等参数。
第四步：进行模态分析在进行动力学分析之前，需要进行模态分析，以确定模型的自然振动频率和模态形态。
模态分析可以帮助确定转子的振动模式，有助于后续的振动分析和临界转速计算。
第五步：设置负载条件在进行动力学分析之前，需要设置合适的负载条件，以模拟转子在运转过程中所受到的各种载荷。
例如，可以设置转子的转速、转矩等参数，以模拟其在运转过程中的实际工况。
第六步：进行振动分析在进行动力学分析之前，需要进行振动分析，以计算转子在运转过程中的振动情况。
振动分析可以帮助确定转子在不同转速下的振动幅值和振动频率等参数，有助于后续的临界转速计算和振动控制。
第七步：计算临界转速在进行动力学分析之前，需要通过振动分析等步骤，计算出转子的临界转速。
临界转速是指转子在运转过程中能承受的最大转速，超过该转速则可能导致转子的振动幅值和频率等参数超过允许范围，从而影响转子的性能和寿命。
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f ，左右端面都是自由端时，弯矩和剪力为0，而
Z
i
径向位移和挠角不为0，于是有
e i
fi M
QT i
ei X
AT i
• 于是得到 展开可以得到
f
u11 L
e
i1
u21
M L
u12
L
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L
M
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e
i
efii11
u11i u21i
fi fi
u12iei u22iei
ei u21Su22i1ei1
fi 1u 1 1 S u 1 2i u 2 1 S u 2 2i 1 e i
。即：
zX,A,M,QT
i
i
• 任一部件两端截面的状态向量总存在一定的关系，
即：
zi1Tizi
•
T
i
即称为该部件的传递矩阵。对于质量模型，有
z Tz
2
11
z 3 T 2 z 2 T 2 T 1 z 1
z i T i 1 z i 1 T i 1 T i 2 T 1 z 1
• 将转子质量及转动惯量集总到28个节点之后，模型 可以简化为
• 把低速轴分成27段之后，可以计算出每段等截面轴 的长度、质量、极转动惯量和直径转动惯量。各段 参数列表如下：
• 假设两个相邻节点之间的轴段是第j个轴段，这个轴 段是由s个截面尺寸不同的等截面轴段组成的。
• 将各个变截面轴段所具有的质量和转动惯量都集总 到左右的两个端点位置，形成集总的刚性刚性波圆 盘。
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交
• 对于简化后的节点j,它具有的直径转动惯量J d j ，极 转动惯量 J p j 以及总质量m j 的计算方法分别如下：
J dj J Pj
J (d) dj
J (d) pj
J
R dj
J
R pj
J J
L dj 1
L pj 1
mj
m (d) j
转子动力学求解转子 临界转速与固有频率
背景
• 旋转机械在当今机械行业有着非常广泛的应用，如 水轮机、汽轮机、加工车床和机械传动轴系等。转 子是旋转机械的主要部件。旋转轴系转子存在自身 固有频率，当转子旋转频率接近或等于其固有频率 时，旋转系统会发生剧烈振动，这时的转速称为临 界转速。临界转速的求解是转子动力学中非常重要 的研究课题。
• Riccati传递矩阵法
• 在计算过程中引入了一个Riccati变换，可以将一开始求解 微分方程两个边界条件的问题转变为一个初始值的问题， 这种转变一方面保留了传动传递矩阵法求解过程中所具有 的优点，另一方面直接提高了传递矩阵方法计算过程中数 值的稳定性。
• 把状态矢量Z进行分组，具有0值的元素为一组,用矢量f表 示，非0值为另一组，表示为矢量e，于是状态向量简化成 为
其中，
1
u11i
0
l
1
i
u12i
l
m2Ksj
m2Ksj
JpJd
2
0 i
l2
u21i
2EI
l
EI
l3
6EI
1
l2
2EI i
u22i
16lE 3I1 m2Ksj
l2 2EI
m2Ksj
l l2 2EI
JpJd
2
1l EI
JpJd
2 i
• 引入Riccati变换， fi Siei ，得到，
Z N 1 T N T N 1T 1 Z 1 A N Z 1
• 假设转子模型左右端面都是自由端，则其边界条件 为 M 1 0 ,Q 1 0 ,M N ， 于0 ,Q 是N 0
M QN1
aa13
a2 a4N
X A1
该式存在非零解的条件为
2 a1 a2 0 a3 a4 N
这是传统传递矩阵法的系统的频率方程，也就是求解临界转速的 方程式。
• 传递矩阵法是将集总了转动惯量和质量的刚性薄圆 盘和没有质量的等截面弹性轴结合起来，作为一个 组合构件来考虑，组合构件的传递矩阵为：
16lE3I1 m2Ksj
l l2 2EI
Jp Jd
2
l
l2
2EI
m2 Ksj
1 l EI
Jp Jd
2
l EI
l2
• 目前对临界转速的计算方法主要有：
• 传递矩阵法
先把转子分成若干段，每段左、右端四个截面参数（挠度、 挠角、弯矩和剪力）之间的关系可用该段的传递矩阵描述 。如此递推，可得系统左右两端面的截面参数间的总传递 矩阵，再由边界条件和固有振动时有非零解的条件，藉试 凑法得出各阶临界转速，并随后求得相应的振型。
• 有限元法
将连续系统分割成适当大小的单元，单元内的位移等状态量 用以节点的相应状态量为未知数的一系列函数表示，使系 统的能量之差即动能、势能之差为最小来调整节点的状态 ，从而得到相应的矩阵方程。
• 选取一篇硕士论文《高速列车传动齿轮箱齿轮转子 动力学特性研究》中传动齿轮箱中低速轴进行研究 。
• 实际的转子是一个质量连续分布的弹性系统，具有 无穷多个自由度。在转子动力学中经常把转子简化 为具有若干个集总质量的多自由度系统。即沿轴线 把转子质量及转动惯量集总到若干个节点上，这些 节点一般选在叶轮、轴颈中心、联轴器、轴的截面 有突变处以及轴的端部等位置，并按顺序编号。
2EI
l m2Ksj
JpJd 2
1
l
m2 Ksj
0
0
1
• 其中 为第j个节点处的支撑总刚度，E为弹性模
量，I为轴段的截面矩，l为轴段长度， 为考虑剪切
影响的系数。
6EI ktG A l 2
• 传统传递矩阵法：
• 转子系统右端终止截面状态向量Z N 与1 左端开始截面 状态矢量 Z 1之间的关系为：
Jd L jks 1ak 2 lk lka ka 2 k2 jdl1 1 2l3lalja k
• 低速轴集总后的参数列 表为：
• 对于转子中的第i个轴段，其左右两端截面的编号分
别为i与i+1，则截面i的挠度X i ，斜率 A i ，弯矩M i
及剪力 Q i 所组成的列阵，称为该截面的状态向量 z i
m
R j
m
L j 1
• 其中，
s
mRj k 1
la k lj
s
mL j
k1
l
lj ak lj
s
k1
l kmR j
JPRj
s
k1
ak2
ak2 lk ak
2
jpklk
JPLj
s
lk ak 2
k1 ak2 lk ak
2 jpklk
Jd R jks 1a k 2la kk 2 a k2 jdl1 1 2l3lalja k