第二章_工业机器人运动学(2)
nz oz az
o o
o
T
刚体的姿态可由动坐标 刚体Q在固定坐标系 系的坐标轴方向来表示。 OXYZ中的位置可用齐次 令n、o、a分别为X′、y 坐标形式的一个(4×1)列 ′、z ′坐标轴的单位方 阵表示为： 向矢量，每个单位方向矢 量在固定坐标系上的分量 xo 为动坐标系各坐标轴的方 y 向余弦，用齐次坐标形式 p o zo 的(4×1)列阵分别表示为： 1
T T
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刚体的位姿可用下面(4×4)矩阵来描述：
第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
T [n o a
nx n p] y nz 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
xo yo zo 1
对刚体Q位姿的描述就是对固连于刚体Q的坐标系 O`X`Y`Z`位姿的描述。
1 1 1 1
写出坐标系{A`} {A``}的矩阵表达式 内蒙古工业大学—工业机器人
动坐标系{A}的两个平移坐标变换算子均为
60o 60o 45o
矢量 u: cosα=0.5, cosβ=0.5, cosγ=0.7071067 u=[0.5 0.5 0.7071067 0]T
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四、动坐标系位姿的描述
第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学 动坐标系位姿的描述就是对动坐标系原点位置的
p [1 1 1 1]T
手部位姿可用矩阵表达为： o o 0 n : 90 , 180 , 90 0 1 0 1 手部坐标系 X` : n 1 , 0, z 0 x y0 Y`轴与 Z`轴的方向可分 cos 1 0 0 1 x 轴方向可用单位 T [n o和 α来表示： p] : 0, z 1 别用单位矢量 y cos 0 ,1 0 n 0yx 1 1 矢量n来表示： 0z cos 0 1 0 n 0 内蒙古工业大学—工业机器人
第二章
工业机器人运动学
第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
直角坐标式 圆柱坐标式
球坐标式
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3 3 6 第 2 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学 4 2 5 1 1
4
6 5
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第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
机器人实际上可认为是由一系列关节连接起来的连杆 所组成。我们把坐标系固连在机器人的每一个连杆关节 上，可以用齐次变换来描述这些坐标系之间的相对位置 和方向。
B
XB 的方向矩阵：n=[cos30o cos60o cos90o 0]T =[0.866 0.500 0.000 0]T
第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
=[0.000 0.000 1.000 0]T 坐标系的位置列阵： p=[10.0 5.0 0.0 1]T
坐标系{B}的(4×4)矩阵表达式为：
1955年提出了一种采用矩阵代数的系统而广义的方法， 来描述机器人手臂杆件相对于固定参考坐标系的空间几何。 第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
这种方法使用4×4齐次变换矩阵来描述两个相邻的机 械刚性构件间的空间关系，把正向运动学问题简化为寻求 等价的4×4齐次变换矩阵，此矩阵把手部坐标系的空间位 移与参考坐标系联系起来。并且该矩阵还可用于推导手臂 运动的动力学方程。而逆向运动学问题可采用几种方法来 求解。最常用的是矩阵代数、迭代或几何方法。
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图中矢量ν的方向用(4×1)列阵可表达为：
第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
a b c 0T
a cos , b cos , c cos
矢量ν坐落的点O为坐标原点，可用方向用 (4×1)列阵可表达为：
0 0 0 0 1
T
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2.2 齐次坐标及换算
第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学 刚体的运动是由转动和平移组成的。为了能用同 一、平移的齐次变换 一矩阵表示转动和平移，有必要引入 的齐次 × x 4) x x '(4 坐标变换矩阵。 y ' y y z ' z z A' T rans (x, y, z) A
描述以及对动坐标系各坐标轴方向的描述：
1、刚体位置和姿态的描述
机器人的一个连杆可以看成一个刚体。若给定了刚体 上某一点的位置和该刚体在空间的姿态，则这个刚体在 空间上是完全确定的。
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第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
o o a a
n nx
x x
ny oy ay
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2.1 齐次坐标及对象物的描述
第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
一、点的位置描述
在选定的直角坐标系{A},空间任一点P的位置可用 3×1的位置矢量AP表示。
px A p py pz
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二、齐次坐标
x x' 11 0 0 0 0 x x y ' 0 1 0 y y 0 1 0 y T rans (x, yz , ' z ) 00 0 0 1 1 z z z 1 1 00 0 0 0 0 1 1
nx x x n y y p] y nz z z 0 0 0
px py pz 1
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例：手部抓握物体Q，物体为边长2个单位的正立方体， 写出表达该手部位姿的矩阵式。
第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学 因为物体Q形心与手部坐标系 0`X`y`z`的坐标原点0’相重合， 所以手部位置的(4x1)列阵为：
齐次变换具有较直观的几何意义，而且可描述各杆件之 间的关系，所以常用于解决运动学问题。已知关节运动
学参数，求出手部运动学参数是工业机器人正向运动学 问题的求解；反之，是工业机器人逆向运动学问题的求 解。
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机器人运动学主要是把机器人相对于固定参考系的运 第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
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例：动坐标系{A}相对于固定坐标系的X。、y。、z。轴作( 一1，2，2)平移后到{A`}；动坐标系{A}相对于自身坐标系 (即动系)的X、y、Z轴分别作(一1，2，2)平移到{A``}。
第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
0 1 0 1 0 0 A 0 0 1 0 0 0
第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
机器人的运动学可用一个开环关节链来建模，此链由数 个刚体(杆件)以驱动器驱动的转动或移动关节串联而成。
1)开环关节链的一端固定在基座上，另一端是自由的，安 对一给定的机器人，已知杆件几何参数和关节角矢量求 装着工具，用以操作物体或完成装配作业。关节的相对运 机器人末端执行器相对于参考坐标系的位置和姿态。 动导致杆件的运动，使手定位于所需的方位上。在很多机 2)已知机器人杆件的几何参数，给定机器人末端执行器相 器人应用问题中，人们感兴趣的是操作机末端执行器相对 对于参考坐标系的期望位置和姿态(位姿)，机器人能否使 于固定参考坐标系的空间描述。 其末端执行器达到这个预期的位姿? 如能达到，那么机器 人有几种不同形态可满足同样的条件?。 内蒙古工业大学—工业机器人
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第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
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要规定各种坐标系来
描述机器人与环境的相 对位姿关系。
第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
{B}代表基坐标系，{T}是工具系，{S}是工作站系， 必须建立机器人各连杆之间，机器人与周围环境之 {G}是目标系，它们之间的位姿关系可用相应的齐次变 间的运动关系，用于描述机器人的操作。 换来描述。
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三、坐标轴方向的描述
i、j、k分别是直角坐标系中x、y、Z坐标轴的单位 第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
向量。若用齐次坐标来描述x、y、z轴的方向，则
X 1 0 0 0 Y 0 1 0 0
规定：
T
T T
Z 0 0 1 0
(4×1)列阵[a b c o]T中第四个元素为零，且a2+b2+c2=1， 则表示某轴(某矢量)的方向； (4x1)列阵[a b c w]T中第四个元素不为零，则表示空 间某点的位置。
第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
45o 90o 45o
矢量 u: cosα=0.7071067, cosβ=0, cosγ=0.7071067 u=[0.7071067 0 0.7071067 0]T
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如用四个数组成(4×1)列阵 第 二 章 工 业 机 器 人 运 动 学
px p p y pz 1
表示三维空间直角坐标系{A}中点p，则列阵[px py pz 1]T称为三维空间点p的齐次坐标。 齐次坐标的表示不唯一：
px a p b p y pz c 1 w
动作为时间的函数进行分析研究，而不考虑引起这些运动 的力和力矩。
就是要把机器人的空间位移解析地表示为时间的函数， 特别是要研究关节变量空间和机器人末端执行器位置和姿 态之间的关系。 运动学就涉及到机器人空间位移作为时间函数的解析 说明，特别是机器人末端执行器位置和姿态与关节变量空
间之间的关系。
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工业机器人技术及应用第二章答案
示 _示教器_ 。 1
2
3 4
题2图
(3) 工业机器人的运动控制主要是实现 _PTP_ 和 _CP_ 两种。当机器人进行 _CP_ 运动控制时，末端执行器既要保证运动的起点和目标点位姿，而且必 须保证机器人能沿所期望的轨迹在一定精度范围内运动。
(4) 对给定的机器人操作机，己知各关节角矢量，求末端执行器相对于参 考坐标系的位姿现方式做保护处理对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑并不能对任何下载内容负责
第二章 作业 1 、填空
(1) _自由度_ 通常作为机器人的技术指标，反映了机器人动作的灵活性，可 用轴的直线移动、摆动或旋转动作的数目来表示。
(2) 工业机器人主要由 _操作机_ 、 _控制器_ 和 _示教器_ 组成。下图中 1 表示_末端执行器_ ； 2 表示 _操作机_ ； 3 表示 _控制器_ 和的机械主体，是用于完成各种作业的执行机构。它主 要哪几部分组成？（ D）
①机械臂；②驱动装置；③传动单元；④内部传感器 A. ①② B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④ (2) 示教器也称示教编程器或示教盒，主要由液晶屏幕和操作按键组成，可由 操作者手持移动。它是机器人的人机交互接口，试问以下哪些机器人操作可通 过示教器来完成？（D ）。 ①点动机器人；②编写、测试和运行机器人程序；③设定机器人参数；④查 阅机器人状态 A. ①② B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④
工业机器人技术及应用(教案)2-工业机器人的机械结构和运动控制
第二章工业机器人的机械结构和运动控制章节目录2。
1 工业机器人的系统组成2。
1。
1 操作机2.1。
2 控制器2。
1.3 示教器2。
2 工业机器人的技术指标学习目标导入案例课堂认知扩展与提高本章小结思考练习2.3 工业机器人的运动控制2。
3。
1 机器人运动学问题2。
3。
2 机器人的点位运动…2。
3.3 机器人的位置控制课前回顾何为工业机器人？工业机器人具有几个显著特点,分别是什么？工业机器人的常见分类有哪些，简述其行业应用。
学习目标认知目标*熟悉工业机器人的常见技术指标*掌握工业机器人的机构组成及各部分的功能＊了解工业机器人的运动控制能力目标*能够正确识别工业机器人的基本组成*能够正确判别工业机器人的点位运动和连续路径运动导入案例国产机器人竞争力缺失关键技术是瓶颈众所周知，中国机器人产业由于先天因素，在单体与核心零部件仍然落后于日、美、韩等发达国家.虽然中国机器人产业经过30 年的发展，形成了较为完善的产业基础,但与发达国家相比，仍存在较大差距，产业基础依然薄弱，关键零部件严重依赖进口。
整个机器人产业链主要分为上游核心零部件(主要是机器人三大核心零部件-—伺服电机、减速器和控制系统，相当于机器人的“大脑”)、中游机器人本体（机器人的“身体”）和下游系统集成商（国内95% 的企业都集中在这个环节上）三个层面。
课堂认知2.1 工业机器人的系统组成第一代工业机器人主要由以下几部分组成: 操作机、控制器和示教器。
对于第二代及第三代工业机器人还包括感知系统和分析决策系统,它们分别由传感器及软件实现.工业机器人系统组成2.1.1 操作机操作机（或称机器人本体）是工业机器人的机械主体,是用来完成各种作业的执行机构。
它主要由机械臂、驱动装置、传动单元及内部传感器等部分组成。
关节型机器人操作机基本构造机器人操作机最后一个轴的机械接口通常为一连接法兰，可接装不同的机械操作装置，如夹紧爪、吸盘、焊枪等。
(1) 机械臂关节型工业机器人的机械臂是由关节连在一起的许多机械连杆的集合体。
工业机器人课件-知识点2.2 机器人坐标系及数学基础
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.3 机器人坐标系中的各种变换 2、机器人本体的关节运动和连杆变换矩阵
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.3 机器人坐标系中的各种变换 3、机器人工具变换与工具变换数据
基本变换：从机器人世界坐标系变换至机器人基座坐标系的运
动过程，称之为基本变换。
基本变换数据：沿着机器人世界坐标系X、Y、Z轴平移的距离分
别用X、Y、Z表示，绕机器人世界坐标系X、Y、Z轴旋转的角度分别用 A、B、C表示。以上6个数据构成一个一维数组（X，Y，Z，A，B，C）， 该数组被称为基本变换数据。
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.4 机器人正运动学与逆运动学
2、逆运动学计算
把根据机器人工具坐标系在 世界坐标系中的直交位置数据计 算出各个关节角度值（J1，J2， J3，J4，J5，J6）的过程称之为
逆运动学计算
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.1 坐标系的运动和变换矩阵 2、坐标系的旋转运动和矩阵表示
例如，将坐标系{F}绕坐标系{U}的X轴正方向旋转30°
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.1 坐标系的运动和变换矩阵 3、复合运动和矩阵表示
例如，将坐标系{F}绕坐标系{U}的X轴正方向旋转30°
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.4 机器人正运动学与逆运动学 （2）构造标志数据FL1 (X，Y，Z，A，B，C，L1，L2)(FL1，FL2）
工业机器人的运动学PPT课件
手部坐标系X′轴的方向可用单位矢量n
来表示:
α=90°,β=180°,γ=90°
n: n=cosγ=0
同理,手部坐标系 Y′轴与 Z ′轴的方向可分别用单位矢量 o 和 a 来表示，
根据式(2-8)可知,手部位姿可用矩阵表达为
0 -1 0 1
T=[n o a p]= -1 0 0 1
0 0 -1 1
0 精选PPT课件 0 0 1
11
2.2齐次变换及运算
刚体的运动是由转动和平移组成的。为了能用同一矩阵 表示转动和平移,有必要引入(4×4)的齐次坐标变换矩阵。
一、平移的齐次变换
首先,我们介绍点在空间直角坐标系中的平移。
如图所示,空间某一点A ,坐标为( x , y ,z),当它平移至
a=cosα, b=cosβ, c=cosγ 图中矢量v所坐落的点O为坐标原点,可用(4×1)列
精选PPT课件
5
例2-1 用齐次坐标写出图2-3中矢量 u 、v、w 的方向列阵。
解 矢量 u: cosα =0, cosβ =0.7071067, cosγ =0.7071067 u=[0 0.7071067 0.7071067 0] T 矢量 v: cosα =0.7071067, cosβ =0, cosγ =0.7071067 v=[0.7071067 0 0.7071067 0] T 矢量 w: cosα =0.5, cosβ =0.5, cosγ =0.7071067 w=[0.5 0.5 0.7071067 0] T
系{B}的位姿来表示,如图所示。
手部的位姿可用(4×4)矩阵 表示为：
nx ox ax px [ n o a p ]= ny oy ay py
工业机器人的运动学
工业机器人运动学的展望
未来工业机器人运动学将与人工智能、机器视觉等技 术进一步融合，实现更智能化的运动控制和决策。
输入 标题
应用拓展
随着技术的进步，工业机器人运动学的应用领域将进 一步拓展，如微纳操作、深海/空间探索等高精度、高 可靠性要求的领域。
技术融合
理论深化
随着工业机器人运动学的不断发展，对相关领域的人 才需求将进一步增加，未来将需要更多的专业人才进
运动学逆问题
定义
给定机器人末端执行器的 位置和姿态，求解实现该 位置和姿态所需的关节角 度。
计算方法
通过逆向运动学模型，将 末端执行器的笛卡尔坐标 代入机器人结构参数方程， 反解出关节角度。
应用
根据目标位置和姿态，规 划机器人的关节运动轨迹， 实现精确控制。
雅可比矩阵
定义
描述机器人末端执行器速度与关节速 度之间关系的线性映射矩阵。
03 工业机器人运动学原理
运动学正问题
01
02
03
定义
给定机器人的关节角度， 求解机器人末端执行器的 位置和姿态。
计算方法
通过正向运动学模型，将 关节角度代入机器人结构 参数方程，求解末端执行 器的笛卡尔坐标。
应用
根据已知的关节角度，预 测或验证机器人的末端位 置和姿态，为机器人控制 提供基础。
基于运动学的轨迹规划
轨迹规划
基于运动学的轨迹规划是工业机器人运动学优化与控制的 重要环节，它涉及到机器人在空间中运动的路径和速度的 规划。
路径规划
路径规划是轨迹规划的基础，它通过寻找起点和终点之间 的最优路径，确保机器人在移动过程中能够安全、高效地 完成任务。
速度规划
速度规划是在路径规划的基础上，对机器人在各个运动阶 段的速度进行优化，以达到最佳的运动效果和效率。
工业机器人技术试题库与答案
工业机器人技术试题库与答案工业机器人技术题库及答案一、判断题第一章1、工业机器人由操作机、控制器、伺服驱动系统和检测传感装置构成。
√2、被誉为“工业机器人之父”的XXX最早提出了工业机器人概念。
×（删除）3、工业机器人的机械结构系统由基座、手臂、手腕、末端操作器4大件组成。
×（改为：工业机器人的机械结构系统主要由基座、手臂、手腕和末端操作器组成。
）4、示教盒属于机器人-环境交互系统。
×（删除）5、直角坐标机器人的工作范围为圆柱形状。
×（改为：直角坐标机器人的工作范围为立方体形状。
）6、机器人最大稳定速度高,允许的极限加速度小,则加减速的时间就会长一些。
√7、承载能力是指机器人在工作范围内的特定位姿上所能承受的最大质量。
×（改为：承载能力是指机器人能够承受的最大质量。
）第二章1、工业机器人的机械部分主要包括末端操作器、手腕、手臂和机座。
√2、工业机器人的机械部分主要包括末端操作器、手腕、手肘和手臂。
×（改为：工业机器人的机械部分主要包括末端操作器、手腕、手臂和机座。
）3、工业机器人的手我们一般称为末端操作器。
√4、齿形指面多用来夹持表面粗糙的毛坯或半成品。
√5、吸附式取料手适应于大平面、易碎、微小的物体。
√6、柔性手属于仿生多指灵巧手。
√7、摆动式手爪适用于圆柱表面物体的抓取。
√8、柔顺性装配技术分两种：主动柔顺装配和被动柔顺装配。
√9、一般工业机器人手臂有4个自由度。
×（改为：一般工业机器人手臂有6个自由度。
）10、机器人机座可分为固定式和履带式两种。
×（改为：机器人机座可分为固定式和移动式两种。
）11、行走机构按其行走运动轨迹可分为固定轨迹和无固定轨迹两种方式。
√12、机器人手爪和手腕最完美的形式是模仿人手的多指灵巧手。
√13、手腕按驱动方式来分，可分为直接驱动手腕和远距离传动手腕。
√第三章1、正向运动学解决的问题是：已知手部的位姿，求各个关节的变量。
《工业机器人基础知识》
2.3 坐标系
2.3.1 简介
机器人是由运动轴和连杆组成的，而其运动方式是在不同的坐标系下进 行的，为了掌 握机器人的示教方法，应首先了解机器人的坐标系及各运动轴 在不同坐标系的运动。
主要有： 关节坐标系 绝对坐标系(直角坐标系) 圆柱坐标系 工具坐标系 用户坐标系
关节坐标系 机器人每个轴均可以独立地正向或反向转动，关节坐标系是机器人各关节 上固定的坐标系，用于确定机器人的关节角。
图4-17 工具坐标系及各轴的运动
主运动轴 腕运动轴
表4-4 工具坐标系下机器人的运动方式
轴
运动方式
六轴联动
沿 X 轴方向运动 沿 Y 轴方向运动
沿 Z 轴方向运动
末端点位置不变， 机器人分别绕 X 、Y、Z 轴转动
5. 用户坐标系 用户坐标系是用户根据工作的需要，自行定义的坐标系，用户可根据需要
基坐标系 基坐标系是一个固定定义的直角坐标系，位于位于机器人基座。它是最便 于机器人从一个位置移动到另一个位置的坐标系。
世界坐标系 世界坐标系是固定定义的直角坐标系，默认世界坐标系与基坐标系重合。 世界坐标系可定义机器人单元，所有其他的坐标系均与世界坐标系直接或 间接相 关。它适用于微动控制、一般移动以及处理具有若干机器人或外轴 移动机器人的工作站 和工作单元。
最大值
对于结构固定的机器人 ，其最大行程为定值，因此 额定速度越高，运动循环时 间越短，工作效率也越高。 而机器人每个关节的运动过 程一般包括启动加速、匀速 运动和减速制动三个阶段。 如果机器人负载过大，则会 产生较大的加速度，造成启 动、制动阶段时间增长，从 而影响机器人的工作效率。 对此，就要根据实际工作周 期来平衡机器人的额定速度 。
2.2.3 额定速度
工业机器人的运动学及动力学
工业机器人的动力学方程
动力学方程是描述机器人受到的力和力矩与其运动状态之间 关系的数学模型。
动力学方程包括牛顿方程（描述机器人受到的力和加速度之 间的关系）和欧拉方程（描述机器人受到的力矩和角加速度 之间的关系）。
轻量化与模块化设计
为了便于运输和部署，工业机器人将采用更轻的材料和设计，同时采 用模块化设计，便于维护和升级。
工业机器人在工业领域的应用前景
自动化生产线
工业机器人将在自动化生产线中 发挥重要作用，实现生产过程的 自动化和智能化，提高生产效率
。
质量检测
机器视觉和人工智能技术的引入 ，使得工业机器人能够更精准地 检测产品质量，降低检测成本。
结合位置和力控制，实现 机器人在复杂环境中的适 应性和灵活性。
工业机器人的运动控制器
硬件控制器
使用专门的硬件设备进行 机器人运动控制，具有高 效、稳定的特点。
软件控制器
通过软件实现对机器人的 运动控制，具有灵活、易 升级的特点。
云端控制器
通过网络连接实现远程控 制，方便对机器人进行远 程调试和维护。
运动学是研究物体运动的科学，它涉 及物体的位置、姿态和速度等信息的 描述。
在机器人领域，运动学主要关注机器 人各关节的位置和姿态，以及它们之 间的相互关系。
工业机器人的坐标系
工业机器人通常采用笛卡尔坐标 系（也称为直角坐标系）来描述
其位置和姿态。
笛卡尔坐标系包括x、y、z三个 坐标轴，用于描述物体在空间中
精度
通过优化算法和结构设计，提 高机器人的运动精度。
工业机器人技术基础第2章 工业机器人的数学基础
根据此定义与微分的基本性质，可得如下关系式：
def d da dA (aA) A a dt dt dt
def d dA dB ( A B) dt dt dt
def d dA dB ( AB) B A dt dt dt
上式中： a为时间函数的标量； A与B 均为时间函数的矩阵，它们满足 矩阵运算的条件。
4 2 0
2 2 1
0 1 3
如果n阶矩阵A=（aij）的元素满足aij= aji（i，j=1，2，，n），则称 A为n阶反对称矩阵。显然，故aii=0（i=1，2，，n）
如：
0 1 2
1 0 3
2 3 0
第二章 工业机器人的数学基础
对于单位矩阵E,容易验证 EmAmn = Amn ， AmnEn = Amn 。 有了矩阵的乘法，就可以定义n阶方阵的幂。设A是n阶方阵，定义 A1 = A，A2 = A1 A1， ，Ak+1 = AkA1 ， 其中k为正整数。这就是说，Ak就是k个A相乘。显然，只有方阵的幂才有 意义。由于矩阵乘法适合结合律，所以方阵的幂满足以下运算规律： AA = A+ ，(A) = A 不过，一般 (AB)k AkBk。
b1 b B 2 bn
第二章 工业机器人的数学基础
工业机器人技术基础
例2 求AB和BA。其中
1 A 1
解：
1 1 ,B 1 1
1 1
1 AB 1 1 BA 1
1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 2` 2 1 1 1 2 2
a1n b1n a2 n b2 n amn bmn
第二章 2.3工业机器人运动学(一)
第二章机器人基础知识2.3工业机器人运动学(一)【内容提要】本课主要学习工业机器人技术的运动学基础知识，涉及机器人正逆运动学的概念、平面二连杆机器人的运动学、以及机器人一般运动学的数学基础（位姿描述、齐次变换及运算）。
知识要点：✓机器人正逆运动学概念✓平面二连杆机器人的正逆运动学✓机器人的位姿描述✓齐次变换及运算重点：✓掌握机器人正逆运动学概念✓掌握平面二连杆机器人的正逆运动学✓理解机器人的位姿描述和齐次变换✓掌握齐次变换及运算难点：✓机器人的位姿描述、齐次变换及运算关键字：✓机器人正逆运动学、平面二连杆机器人、位姿描述、齐次变换及运算【本课内容相关资料】2.3机器人运动学从机构学的角度看，机器人可以看成开式运动链结构，由一系列连杆通转动或移动关节串联而成。
机器人运动学研究的是机器人各关节运动的几何关系，具体而言是各连杆之间的位移关系、速度关系和加速度关系。
本节仅研究位移关系，重点是研究手部相对于机座的位姿与各连杆之间的相互关系。
“位姿”是“位置和姿态”的简称。
工业机器人手部相对于机座的位姿与工业机器人各连杆之间的相互关系直接相关。
为了便于数学上的分析，一般将连杆和关节按空间顺序进行编号。
同时，选定一个与机座固联的坐标系，称为固定坐标系，并为每一个连杆（包括手部）选定一个与之固联的坐标系，称为连杆坐标系。
一般把机座也视为一个连杆，即零号连杆。
这样，连杆之间的相互关系可以用连杆坐标系之间的相互关系来描述。
工业机器人手部相对机座的位姿就是固联在手部的坐标系相对固定坐标系的位姿。
这样，就可以将“手部相对于机座的位姿”这样一个物理问题转化为一个数学问题，即，得到了工业机器人的运动学数学模型，便于用计算机进行分析计算。
工业机器人运动学主要包括正向运动学和反向运动学两类问题。
正向运动学是在已知各个关节变量的前提下，解决如何建立工业机器人运动学方程，以及如何求解手部相对固定坐标系位姿的问题。
反向运动学则是在已知手部要到达目标位姿的前提下，解决如何求出关节变量的问题。