地磁第2章 地球主磁场的解析表示-2

U [
n 0 m0 n
r
n m ( B C cos m B D sin m ) r ( A C cos m A D sin m )] P (cos ) nm nm nm nm nm nm nm nm n n 1
1
(15)
其中：
P (Z ) (1 Z ) [ Pn (Z )]
§2.2地磁场的高斯理论 ---地磁场的球谐分析
高斯分析的最终结果：地磁场模型
一、磁标势的引入 地磁场应满足麦克斯韦方程组:
B 0 （2 2 1 ） D H j （2 2 2） t
j为 H 式中 B 为磁感应强度， 为磁场强度，
[
1 r
n m ( B C cos m B D sin m ) r ( A C cos m A D sin m )] P (cos ) nm nm nm nm nm nm nm nm n n1
n 0,1,2,3,
m 0,1,2, , n
其中 Anm , Bnm , Cnm , Dnm为待定系数。 一般解为：
(6)
(6)式 sin 2 2 sin d d 1 d 2 (sin ) n（n 1） sin (7) 2 d d d 左边是 的函数，跟 无关；右边是 的函 数，跟 无关。两边相等显然是不可能的， 除非两边实际上是同一个常数，通常把这 个常数记作 。 得两个方程式：（第二次分离变量）
电流密度， D 为电位移矢量。
注意： B 和 H 的差别： H 只与产生磁场的 源电流大小、方向和位置有关，而 B H 不仅与源电流有关，而且与源电流周围的 介质有关，表征介质影响的参数就是磁导 率。
电动力学中指出：若某区域内的任何回路 都不被电流所链环，该区域中则可引入磁 标势。实质上引入磁标势的条件是在所研 究的区域内，磁场处处满足 H 0 。 考查地球表面及近地空间情况： ① 大气电导率σ≈0 ，而空气中电场强度是有 j E 0 限的，故有 ，即可认为空气中 不存在传导电流。
对磁标势通解(2-2-6)式必须进行的几点说明： ① 式中不包含n=0的项，这是磁场与电场及重 力场拉氏方程解的不同之处，它与不存在单一 磁荷或磁场散度处处为零（磁力线闭合）的物 理事实相联系。(自证：g0=0)
m m m m g , h ② 系数 n n 和 jn , kn 分别代表球内(r<R)和球外 (r>R)场源所产生的磁场。 R ( n1) 通解包含两部分：第一部分是 ( ) 项，相应的
左边是r的函数，跟 , 无关；右边是 , 的函数，跟r无关。两边相等显然是不可能 的，除非两边实际上是同一个常数，通常 把这个常数记作 n(n 1) 。这就分解为两个方 程： (第一次分离变量)
d 2 dR (r ) n(n 1) R 0 (5) dr dr 1 d d 1 d 2 (sin ) n（n 1） 0 2 2 sin d d sin d
② 又因于地球基本电磁场是一个缓变场， 所以位移电流 jD D 0 ,可以忽略不计。
t
因此，在地表附近，地磁场是一个无 旋场，即 ，可引入磁标势 U ， H 0 满足 H U （2 2 3）
又因为 B H ，在地表附近取μ=μ0， 其中μ为磁导率，μ0为真空磁导率。 由 B 0 ，可得 H 0 (2：
2.一般情况（不具有轴对称特点） 只得求解（12）式，解为： m m Pn (Z ) Pn (cos ) ——缔合勒让德函数 n 0,1,2 所以
U nm ( Anm r Bnm
n
1 r
m )( C cos m D sin m ) P nm nm n (cos ) n1
球谐函数：
Pnm (cos ) cosm和Pnm (cos ) sin m
其中：
g
m n
1
0
1
BnmCnm R ( n 2 ) Bnm Dnm R
( n 2)
h
m n
0
1
j
m n
0
1
AnmCnm R n 1 Anm Dnm R n 1
k
m n
0
g ~k 为 P (cos ) 叫施密特缔合勒让德函数，
1、在球坐标下，地磁场磁标势U满足拉普拉 斯方程，写为
2 1 U 1 U 1 U 2 2 U 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 0 (1) 2 r r r r sin r sin
其中r为地心距。 求通解的思路就是分离变量法
d 2 d (1 z ) n（n 1） 0 dz dz (13)
物理分析：由Z 1 时， 是有限值（即θ 取2k ，k为整数， 有限值） （13）式解为：
( ) Pn (cos )
∴ U R(r )( )c ( A r n B 1 ) P (cos ) n n n n 1 n
本征值问题方程 ：
0 （ 2） （）
∴本征值 0 ，即 m 解（即本征函数）为：
2
( ) A cosm B sin m, m 0,1,2, (10)
(5)式
d 2 dR (r ) n(n 1) R 0 dr dr (5)
r
磁标势表示为Ui；第二部分是
r n ( ) R
项，相应的
磁标势为Ue。 Ui随r增大而减少，当r→∞时， Ui →0，所以Ui为地球内部场源的磁标势；而Ue 随r减少而减少，当r→0时， Ue →0，所以Ue为 地球外部场源的磁标势。
③方程(2-2-6)式不仅适应于静磁场，也适 应随时间缓慢变化的似稳磁场，因此系数g、 h一般应是时间t的函数。
m n
m 2 2
( m)
(16)
对于地磁标势，它满足拉氏方程，其通解原始形式就是 （15）式，但考虑到一定的物理条件和进行得当的数学变 换，地磁标势U约定表述为：
R ( n 1) m m ( ) ( g cos m h sin m ) n n n m r 0U (r , , ) R Pn (cos ) n 1 m 0 r n m ( ) ( jn cosm knm sin m ) R （2 2 6）
为欧拉型方程（参梁昆淼《数学物理方程》附录九） 解为
R(r ) Cr D
n
1 r
n 1
(11)
将 m 代入（8），再
2
1 2 sin
,
1 d d m2 (sin ) n（n 1） 2 0 sin d d sin
进行变量置换：Z cos
———— 勒让德函数
n 0,1,2
r
这样我们就得到了一点的位函数。
U ( An r Bn 一般解 ：
n n 0

1 r
n 1
)Pn (cos )
(14)
其中： （ 1 P 0 Z） P （ Z ） Z cos 1 1 1 2 2 （ (3Z 1) (3 cos 1) 2 Z） P 2 2
设 U（r, , ） R(r )( ) ( ) 将（2）代入（1）
(2)
(3)
d 2 dR R d d R d 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r dr dr r sin d d r sin d
r2 上式乘 ： R
1 d 1 d 2 dR d 1 d 2 (r ) (sin ) n(n 1) 2 2 R dr dr d sin d sin d (4)
U 0
2
（2 2 5）
地磁场磁标势满足拉普拉斯方程。
3类数理方程
1、波动方程（振动与波） 2、扩散方程（输运过程） 3、拉氏方程（稳定过程）
u 2 2 a u 2 t u 2 k u t
2
u0
2
二、磁标势U的通解 设地球是一个半径 为R的标准球体，以 球心为原点O，Z轴 为地理轴，指向北 极，xoy为赤道平面， x轴过格林威治子午 线，θ为观测点的余 纬，λ为经度。
d d sin (sin ) n（n 1） sin 2 0 d d d 2 0 (9) 2 d


(8)
这样我们得到（5）、（8）、（9）三个常 微分方程，先求解好解的 ，即（9）式 因为对于地磁场来说，在空间的任一位置， U 只有一个相对应的位函数 ，所以 是单 U 值函数: U（r, , ） U (r, , 2 ) 即 R(r )( ) ( ) R(r )( ) ( 2 ) 所以 ( ) ( 2 ) ——自然的周期条件
1 Pnm (2m 1) /(2m) sin Pmm 1
m Pnm (2n 1) cosPnm 1 / Rn
m m m Pnm [(2n 1) cosPnm R P ] / R 1 n 1 n 2 n
dPnm / d (n cosPnm Rnm Pnm 1 ) / sin
在实际计算中，往往使用更为方便快捷的递推公式， 这样，可以从几个低阶函数依次得到全部函数，常用的递 推公式有以下几个：可由《数学物理方法 》P307的递推 公式以及公式（2-2-7）推导出来
Rnm n 2 m 2 P00 1 P10 cos P11 sin (m 1) (m n m 2) ( n m 2)
sin 1 Z
2
2 d d m 2 (1 Z ) n（n 1） 0 2 dZ dZ 1 Z