七年级平面图形的认识(一)检测题(Word版 含答案)
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选(难)
1.如图AB∥CD,点H在CD上,点E、F在AB上,点G在AB、CD之间,连接FG、GH、HE,HG⊥HE,垂足为H,FG⊥HG,垂足为G.
(1)求证:∠EHC+∠GFE=180°.
(2)如图2,HM平分∠CHG,交AB于点M,GK平分∠FGH,交HM于点K,求证:∠GHD=2∠EHM.
(3)如图3,EP平分∠FEH,交HM于点N,交GK于点P,若∠BFG=50°,求∠NPK的度数. 【答案】(1)解:∵HG⊥HE,FG⊥HG
∴FG∥EH,
∴∠GFE+∠HEF=180°,
∵AB∥CD
∴∠BEH=∠CHE
∴∠EHC+∠GFE=180°
(2)解:设∠EHM=x,
∵HG⊥HE,
∴∠GHK=90°-x,
∵MH平分∠CHG,
∴∠EHC=90°-2x,
∵AB∥CD
∴∠HMB=90°-x,
∴∠HMB=∠MHG=90°-x,
∵AB∥CD,
∴∠BMH+∠DHM=180°,即∠BMH+∠GHM+∠GHD =180°,
∴90°-x+90°-x+∠GHD =180°,解得,∠GHD =2x,
∴∠GHD=2∠EHM;
(3)解:延长FG,GK,交CD于R,交HE于S,如图,
∵AB∥CD,∠BFG=50°
∴∠HRG=50°
∵FG⊥HG,
∴∠GHR=40°,
∵HG⊥HE,
∴∠EHG=90°,
∴∠CHE=180°-90°-40°=50°,
∵AB∥CD,
∴∠FEH=∠CHE=50°,
∵EP是∠HEF的平分线,
∴∠SEP= ∠FEH=25°,
∵GH平分∠HGF,
∴∠HGS= ∠HGF=45°,
∴∠HSG=45°,
∵∠SEP+∠SPE=∠HSP=45°,
∴∠EPS=20°,即∠NPK=20°.
【解析】【分析】(1)根据HG⊥HE,FG⊥HG可证明FG∥EH,从而得∠GFE+∠HEF=180°,再根据AB∥CD可得∠BEH=∠CHE,进而可得结论;(2)设∠EHM=x,根据MH是∠CHG的平分线可得∠MHG=90°-x,∠EHC=90°-2x,根据平行线的性质得∠HMB=90°-x,从而得∠HMB=∠MHG,再由平行线的性质得∠BMH+∠DHM=180°,从而可得结论;(3)分别延长FG,GK,交CD于R,交HE于S,由AB∥CD得∠HRG=50°,由FG⊥HG得∠GHR=40°,由MH平分∠CHG得∠CHE=50°,由AB∥CD得∠MEH=∠CHE=50°,可得∠SEP=25°,最后由三角形的外角可得结论.
2.问题情境1:如图1,AB∥CD,P是ABCD内部一点,P在BD的右侧,探究∠B,∠P,∠D之间的关系?
小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。
(直接写出结论)
问题情境2
如图3,AB∥CD,P是AB,CD内部一点,P在BD的左侧,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。(直接写出结论)
问题迁移:请合理的利用上面的结论解决以下问题:
已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
(1)如图4,若∠E=80°,求∠BFD的度数;
(2)如图5中,∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论。
(3)若∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,设∠E=m°,用含有n,m°的代数式直接写出∠M=________.
【答案】(1)解:根据问题情境2,可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF
∵,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
∴∠AEF=∠FBE,∠CDF=∠FDE
∴∠FBE+∠FDE=∠BFD
∵∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°
∴80°+∠BFD+∠BFD=360°
∴∠BFD=140°
(2)结论为:6∠M+∠E=360°
证明:∵∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF
∴∠ABF=3∠ABM,∠CDF=3∠CDM
∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
∴∠ABE=6∠ABM,∠CDE=6∠CDM
∵∠ABE+∠CDE+∠E=360°
∴6(∠ABM+∠CDM)+∠E=360°
∵∠M=∠ABM+∠CDM
∴6∠M+∠E=360°
(3)证明:根据(2)的结论可知
2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°
2n(∠ABM+∠CDME)+∠E=360°
∵∠M=∠ABM+∠CDM
∴2n∠M+m°=360°
∴∠M=
【解析】问题情境1: 图1中∠B,∠P,∠D之间关系是:∠P+∠B+∠D=360°,问题情境2:图3中∠B,∠P,∠D之间关系是:∠P=∠B+∠D;
【分析】问题情境1和2 过点P作EP∥AB,利用平行线的性质,可证得结论。
(1)利用问题情境2的结论,可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF,再根据角平分线的定义得出∠AEF=∠FBE,∠CDF=∠FDE,再证明∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°,就可建立方程80°+∠BFD+∠BFD=360°,解方程求出∠BFD的度数即可。
(2)根据已知可得出∠ABF=3∠ABM,∠CDF=3∠CDM,再根据角平分线的定义得出,∠ABE=6∠ABM,∠CDE=6∠CDM,然后根据问题情境1的结论∠ABE+∠CDE+∠E=360°,可推出6(∠ABM+∠CDM)+∠E=360°,变形即可证得结论。
(3)根据已知得出2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°,再根据∠M=∠ABM+∠CDM,代入变形即可得出结论。
3.已知如图,∠COD=90°,直线AB与OC交于点B,与OD交于点A,射线OE与射线AF交于点G.
(1)若OE平分∠BOA,AF平分∠BAD,∠OBA=42°,则∠OGA=________;
(2)若∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD,∠OBA=42°,则∠OGA=________;
(3)将(2)中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA= ”,其它条件不变,求∠OGA的度数.(用含的代数式表示)
(4)若OE将∠BOA分成1︰2两部分,AF平分∠BAD,∠ABO= (30°< α <90°),求∠OGA的度数.(用含的代数式表示)
【答案】(1)21°
(2)14°
(3)解:∵∠BOA=90°,∠OBA=α,
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=90°+α,
∵∠BOA=90°,∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD
∴∠GAD=30°+ α,∠EOA=30°,
∴∠OGA=∠GAD?∠EOA= α.
(4)解:当∠EOD:∠COE=1:2时,
∴∠EOD=30°,
∵∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°,
∵AF平分∠BAD,
∴∠FAD= ∠BAD,
∵∠FAD=∠EOD+∠OGA,
∴2×30°+2∠OGA=α+90°,
∴∠OGA= α+15°;
当∠EOD:∠COE=2:1时,则∠EOD=60°,
同理得到∠OGA= α?15°,
即∠OGA的度数为α+15°或α?15°.
【解析】解:(1)∵∠BOA=90°,∠OBA=42°,
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°,
∵AF平分∠BAD,OE平分∠BOA,∠BOA=90°,
∴∠GAD= ∠BAD=66°,∠EOA= ∠BOA=45°,
∴∠OGA=∠GAD?∠EOA=66°?45°=21°;
故答案为21°;
⑵∵∠BOA=90°,∠OBA=42°,
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°,
∵∠BOA=90°,∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD,
∴∠GAD=44°,∠EOA=30°,
∴∠OGA=∠GAD?∠E OA=44°?30°=14°;
故答案为14°;
【分析】(1)根据三角形外角的性质求出∠BAD,求出∠GOA和∠GAD,根据三角形外角性质求出即可;
(2)根据三角形外角的性质求出∠BAD,求出∠GOA和∠GAD,根据三角形外角性质求出即可;
(3)根据三角形外角的性质求出∠BAD,求出∠GOA和∠GAD,根据三角形外角性质求出即可;
(4)讨论:当∠EOD:∠COE=1:2时,利用∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°,∠FAD=∠EOD+∠OGA得到2×30°+2∠OGA=α+90°,
则∠OGA= α+15°;当∠EOD:∠COE=2:1时,则∠EOD=60°,同理得∠OGA= α-15°.
4.已知:如图1,点M是线段AB上一定点,AB=12cm,C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动,运动方向如箭头所示(C在线段AM上,D在线段BM上)
(1)若AM=4cm,当点C、D运动了2s,此时AC=________,DM=________;(直接填空)
(2)当点C、D运动了2s,求AC+MD的值.
(3)若点C、D运动时,总有MD=2AC,则AM=________(填空)
(4)在(3)的条件下,N是直线AB上一点,且AN﹣BN=MN,求的值.
【答案】(1)2;4
(2)解:当点C、D运动了2 s时,CM=2 cm,BD=4 cm
∵AB=12 cm,CM=2 cm,BD=4 cm
∴AC+MD=AM﹣CM+BM﹣BD=AB﹣CM﹣BD=12﹣2﹣4=6 cm
(3)4
(4)解:①当点N在线段AB上时,如图1,
∵AN﹣BN=MN,
又∵AN﹣AM=MN
∴BN=AM=4
∴MN=AB﹣AM﹣BN=12﹣4﹣4=4
∴ = = ;
②当点N在线段AB的延长线上时,如图2,
∵AN﹣BN=MN,
又∵AN﹣BN=AB
∴MN=AB=12
∴ = =1;
综上所述 = 或1
【解析】【解答】解:(1.)根据题意知,CM=2cm,BD=4cm,
∵AB=12cm,AM=4cm,
∴BM=8cm,
∴AC=AM﹣CM=2cm,DM=BM﹣BD=4cm,
故答案为:2,4;
(3.)根据C、D的运动速度知:BD=2MC,
∵MD=2AC,
∴BD+MD=2(MC+AC),即MB=2AM,
∵AM+BM=AB,
∴AM+2AM=AB,
∴AM= AB=4,
故答案为:4;
【分析】(1)根据运动速度和时间分别求得CM、BD的长,根据线段的和差计算可得;(2)由题意得CM=2 cm、BD=4 cm,根据AC+MD=AM﹣CM+BM﹣BD=AB﹣CM﹣BD可得答案;(3)根据C、D的运动速度知BD=2MC,再由已知条件MD=2AC求得MB=2AM,所以
AM= AB;(4)分点N在线段AB上时和点N在线段AB的延长线上时分别求解可得.
5.已知,AB//CD,(1)如图,若E 为DC 延长线上一点,AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE 的平分线.
(1)求证:AF//CG.
(2)若 E 为线段 DC 上一点(E 不与 C 重合),AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线,画出图形,试判断 AF,CG 的位置关系,并证明你的结论.
【答案】(1)证明:∵AB//CD
∴∠BAC=∠ACE,
∵AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线,
∴∠CAF= ∠BAC, ∠ACG= ∠ACE,
∴∠CAF=∠ACG
∴AF//CG.
(2)解:AF⊥CG,理由如下:
如图,AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线,
∴∠1= ∠BAC,∠2= ∠ACD,
∵AB//CD,
∴∠BAC+∠ACD=180°,
∴∠1+∠2= ∠BAC+ ∠ACD= (∠BAC+∠ACD)=90°,
∴∠3=180°-(∠1+∠2)=90°,
∴AF⊥CG.
【解析】【分析】(1)根据二直线平行,内错角相等得出∠BAC=∠ACE,根据角平分线的定义得出∠CAF=∠ACG ,进而根据内错角相等,二直线平行得出AF∥CG;
(2)根据题意作出图形,根据角平分线的定义得出∠1= ∠BAC,∠2= ∠ACD, 根据二直线平行,同旁内角互补得出∠BAC+∠ACD=180°,从而即可得出∠1+∠2= 90°,根据三角形的内角和定理得出∠3=90°,进而根据垂直的定义得出AF⊥CG.
6.如图,已知,在的右侧,平分,平分,,所在直线交于点.
(1)求的度数.
(2)若,求的度数(用含的代数式表示).
(3)将线段沿方向平移,使得点在点的右侧,其他条件不变,在图中画出平
移后的图形,并判断的度数是否发生改变?若改变,求出它的度数(用含的式子表示);若不改变,请说明理由.
【答案】(1)解:∵平分,,
.
(2)解:如图,过点作
∵,
,, .
∵平分,平分,,,
,,
..
(3)解:如图2为平移后的图形.
的度数发生了改变.
过点作,平分,平分,,,
, .
∵,
,
,,
.
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义即可求∠EDC的度数;
(2)过点E作EF∥AB,根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥EF,然后根据两直线平行内错角相等,即可求∠BED的度数;
(3)∠BED的度数改变.过点E作EF∥AB,先由角平分线的定义可得:∠ABE=∠ABC,
∠CDE=∠ADC,然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得:
,进而可由求得答案.
7.如图1,已知,是等边三角形,点为射线上任意一点(点与点不重合),连结,将线段绕点逆时针旋转得到线段,连结并延长交射线于点.
(1)如图1,当时, ________ ,猜想 ________ ;(2)如图2,当点为射线上任意一点时,猜想的度数,并说明理由;
【答案】(1)30;60
(2)解:结论:,
如图:
∵,
∴
在和中,,,
∴
∴.
∴
∴;
【解析】【解答】证明:(1)∵∠ABC=90°,△ABE是等边三角形,
∴∠ABE=60°,
∴∠EBF=30°;
猜想:;
理由如下:如图,
∵,
,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴;
故答案为:30;60;
【分析】(1)∠EBF与∠ABE互余,而∠ABE=60°,即可求得∠EBF的度数;先证明∠BAP=∠EAQ,进而得到△ABP≌△AEQ,证得∠AEQ=∠ABP=90°,则∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°,∠QFC=∠EBF+∠BEF,即可得到答案;(2)先证明∠BAP=∠EAQ,进而得到△ABP≌△AEQ,证得∠AEQ=∠ABP=90°,则∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°,∠QFC=∠EBF+∠BEF,即可得到答案.
8.已知,,,试回答下列问题:
(1)如图1所示,求证: .
(2)如图2,若点、在上,且满足,并且平分 .求 ________度.
(3)在(2)的条件下,若平行移动,如图3,那么的值是否随之发生变化?若变化,试说明理由;若不变,求出这个比值.
(4)在(2)的条件下,如果平行移动的过程中,若使,求度数. 【答案】(1)证明:∵,
∴
∵,
∴,
∴
(2)40°
(3)解:结论:的值不发生变化.理由为:
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴
(4)解:∵
∴,
由(2)可以设:,,
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵由(1)可知
∴
∴
∴
【解析】【解答】(2),所以∠BOA=180°-∠B=80°
由,且平分,得到∠EOC=∠EOF+∠FOC= (∠BOF+∠FOA)=
∠BOA=40°
【分析】(1)由同旁内角互补,两直线平行证明即可;(2)由,且平
分,得到∠EOC=∠EOF+∠FOC= (∠BOF+∠FOA)= ∠BOA,算出结果;(3),得到,,又,得到
,所以,故(4)结合(2)(3)结果,设出,
,由列出等式,得到,又由(1)得到
,列出等式解出α与β,所以
9.已知,如图,在四边形ABCD中,,延长BC至点E,连接AE交CD于点F,使
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)若BF平分,请写出与的数量关系________ 不需证明
【答案】(1)证明:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF,
∴∠BAF=∠CAD;
(2)证明:∵∠BAC=∠DAF,∠ACB=∠CFE=∠AFD,
∴∠B=∠D,
∵AB∥CD,
∴∠B+∠BCD=180°,
∴∠D+∠BCD=180°,
∴AD∥BE;
(3)2∠AFB+∠CAF=180°
【解析】【解答】解:(3)如图2,∵AD∥BE,
∴∠E=∠1=∠2,
∵BF平分∠ABC,
∴∠3=∠4,
∵∠AFB是△BEF的外角,
∴∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1,
∴∠AFB=3+∠2,
又∵AD∥BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,
∴∠3+∠4+∠1+∠CAF+∠2=180°,
即2∠AFB+∠CAF=180°.
故答案为:2∠AFB+∠CAF=180°.
【分析】(1)根据∠BAC=∠DAE,运用等式性质即可得出∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF,进而得到∠BAF=∠CAD;(2)根据∠BAC=∠DAF,∠ACB=∠CFE=∠AFD,可得∠B=∠D,最后根据∠B+∠BCD=180°,可得∠D+∠BCD=180°,进而判定AD∥BE;(3)根据AD∥BE,可得∠E=∠1=∠2,再根据BF平分∠ABC,可得∠3=∠4,根据∠AFB是△BEF的外角,得出∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1,即∠AFB=3+∠2,最后根据AD∥BC,得到∠ABC+∠BAD=180°,进而得到2∠AFB+∠CAF=180°.
10.已知直线AB//CD,P是两条直线之间一点,且AP⊥PC于P.
(1)如图1,求证:∠BAP+∠DCP=90°;
(2)如图2,CQ平分∠PCG,AH平分∠BAP,直线AH、CQ交于Q,求∠AQC的度数;【答案】(1)证明:过P作PQ∥AB,
∴∠BAP=∠APQ
∵AB//CD
∴PQ//CD
∴∠DCP=∠CPQ
∴∠BAP+∠DCP=∠APQ+∠CPQ=∠APC
又∵AP⊥PC于P
∴∠APC=90°
∴∠BAP+∠DCP=90°
(2)解:过Q作QM∥AB,
∵CQ平分∠PCG ,AH平分∠BAP,
设∠PCQ=∠QCG=a ,∠BAH=∠HAP=b,
∵QM∥AB,∠BAQ=180° b
∴∠BAQ=∠AQM=180°
又∵AB//CD,
∴MQ//CD,
∴∠CQM=180° a
∴∠AQC=(180° b)(180° a)=a b
又∵由(1)得∴∠BAP+∠DCP=90°
∵∠DCP=180° 2a ,∠BAP=2b
∴2b+180° 2a=90°
∴a b=45°
∴∠AQC=45°
【解析】【分析】(1)过P作PQ∥AB,根据平行线的判定定理得出PQ//CD,由平行线的性质,得到∠BAP=∠APQ,∠DCP=∠CPQ,结合AP⊥PC,即可得到答案;
(2)过Q作QM∥AB,由平行线的性质和角平分线的性质,得到角度之间的关系,即可得到答案.
11.如图1,,点,分别在,上,射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转,射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转.射线转动的速度是每秒度,射线转动的速度是每秒度.
(1)直接写出的大小为________;
(2)射线、转动后对应的射线分别为、,射线交直线于点,若射线比射线先转动秒,设射线转动的时间为秒,求为多少时,直线直线?
(3)如图2,若射线、同时转动秒,转动的两条射线交于点,作,点在上,请探究与的数量关系.
【答案】(1)60°
(2)解:设灯转动t秒,直线直线,
①当时,如图,
,
,
,
,
,
,
解得;
②当时,如图,
,,
,
,,解得,
综上所述,当秒或秒时直线;
(3)解:和关系不会变化,
理由:设射线AM转动时间为m秒,
作,,,
,,
,
,,
,而,
,
,
,
,
即,
和关系不变.
【解析】【解答】解:(1)∵
,
∴,
∴(两直线平行,内错角相等)
故结果为:;
【分析】(1)根据得到,再根据直线平行的性质即可得到答案;(2)设灯转动t秒,直线直线,分情况讨论重合前平行、重合后平行即可得到答案;(3)根据补角的性质表示出,再根据三角形内角和即可表示出,即可得到答案;
12.如图,直线,点E、F分别是AB、CD上的动点(点E在点F的右侧);点M 为线段EF上的一点,点N为射线FD上的一点,连接MN;
(1)如图1,若,,则 ________;
(2)作的角平分线MQ,且,求与之间的数量关系;(3)在(2)的条件下,连接EN,且EN恰好平分,;求的度数.
【答案】(1)60°
(2)解:如图,
∵,
∴∠EMQ=∠AEF,
∵,AB∥CD,
∴MQ∥CD,
∴∠NMQ=∠MNF,
∵MQ平分∠EMN,
∴∠EMQ=∠NMQ,
∴ = ;
(3)解:设∠ENM=x,则∠MNF=2x,
∴∠ENF=3x,
∵AB∥MQ,
∴∠BEN=∠ENF=3x,
∵EN平分∠BEF,
∴∠BEF=2∠BEN=6x,
∵∠AEF=∠MNF=2x,∠AEF+∠BEF=180°,
∴2x+6x=180°,
解得x=22.5°,
∴,∠EFN=∠AEF=∠MNF=45°,
∴∠EMN=∠EFN+∠MNF=90°.
【解析】【解答】解:(1)∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠EFD=180°,
∵ ,
∴∠EFD=30°,
∵,
∴∠NMF=90°,
∴∠MNF=180°-∠NMF-∠EFD=60°,
故答案为:60°;
【分析】(1)根据AB∥CD得到∠BEF+∠EFD=180°,由求出∠EFD=30°,
根据得到∠NMF=90°,再利用三角形的内角和定理得到∠MNF=180°-∠NMF-
∠EFD=60°;(2)根据得到∠EMQ=∠AEF,由,AB∥CD推出MQ∥CD,证得∠NMQ=∠MNF,根据角平分线的性质得到∠EMQ=∠NMQ,即可得到 =
;(3)设∠ENM=x,则∠MNF=2x,根据AB∥MQ得到∠BEN=∠ENF=3x,由EN平分∠BEF,证得∠BEF=2∠BEN=6x,再根据∠AEF=∠MNF=2x,∠AEF+∠BEF=180°,列式求出