高中数学第四章定积分43定积分的简单应用432简单几何体的体积北师大版2-2.
4.3.2简单几何体的体积
一、教学目标
1、理解定积分概念形成过程的思想；
2、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。
二、 学法指导
本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的研究，关键是对定积分思想的理解及灵活运用，建立起正确的数学模型，根据定积分的概念解决体积问题。
三、教学重难点：
重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题；
难点；数学模型的建立及被积函数的确定。
四、教学方法：探究归纳，讲练结合
五、教学过程
（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积的方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？
（二）新课探析
问题：函数()y f x =，[],x a b ∈的图像绕x 轴旋转一周，所得到的几何体的体积V = 。
2[()]b
a V f x dx π=⎰ 典例分析
例1、给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体。
求它的体积。
学生阅读课本P89解：圆锥体的体积为x ∆
1231
0033V x dx x ππ
π===⎰
变式练习1、求曲线x y e =，直线0x =， 12x =
与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
答案：)(12-e π
；
例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一个圆锥，上方是
由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求
其体积。
分析：解此题的关键是如何建立数学模型。
将其轴载面按下图位置
放置，并建立坐标系。
则A ，B 坐标可得，再求出直线AB 和抛物线方程，
“冰激凌”可看成是由抛物线弧OB 和线段AB 绕X 轴旋转一周形成的。
解：将其轴载面按下图位置放
置，并建立如图的坐标系。
则),(012A ， ),(44B ，设抛物线弧OA 所在的抛物线方程为：px y 22=，代入),(44B 求得：2=p
∴抛物线方程为：x y 42=（0≥y ）
设直线AB 的方程为：12+=qy x ，代入),(44B 求得：
2-=q ∴直线AB 的方程为：621+-
=x y ∴所求“冰
激凌”的体积为：340124223
2246212)()()(cm dx x dx x ππ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+⎰⎰ 变式练习2
如图一，是火力发电厂
烟囱示意图。
它是双曲线绕
其一条对称轴旋转一周形成
的几何体。
烟囱最细处的直
径为m 10，最下端的直径为
m 12，最细处离地面m 6，
烟囱高m 14，试求该烟囱占有空间的大小。
（图二） （图一）
（精确到310m .） 答案：321659m .
归纳总结：求旋转体的体积和侧面积
由曲线()y f x =，直线,x a x b ==及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴
旋转而成的旋转体体积为2[()]b a V f x dx π
=⎰.其侧面积为
2(b a
S f x π=⎰侧. 求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体
积公式步骤如下：1．先求出()y f x =的表达式；2．代入公式()2b
a V f x dx π=⎰，即可求旋转体体积的值。
（三）、课堂小结：求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：1．先求出()y f x =的表达式；2．代入公式()2
b a V f x dx π=
⎰，即可求旋转体
体积的值。
（四）、作业布置：课本P90页练习题中2；习题4-3中6、7
五、教后反思。
2018年高中数学 第四章 定积分 4.3.2 简单几何体的体积课件3 北师大版选修2-2
旋转体的体积
由微元法，取x为积分变量，其变化范围为区间 [a,b]。在区间[a,b]的任意一个小区间[x,x+dx]上，相 应的薄旋转体的体积可以用以点x处的函数值f(x)为底 面半径，以dx为高 的扁圆柱体的体积近似代替，
从而得到体积元素
dV[f(x)]2dx
所以，所求旋转 体的体积
xx
练习
2. 求 y = x2 与 y2 = x 所围图形绕 x 轴旋转所
成的旋转体体积. 解
y
dV(y1 2y2 2)dx,
V01(y12y22)dx
O
y2 = x2
y12 x (1, 1)
x x+dx
x
解
(一) 绕x轴：
V
2V1
2
a 0
y2dx
20ab2(1ax22)dx
y
2b2
a2
(a2xx3)a 3
4ab2. 3
0
O
x x+dx x
(二)绕y轴：
则 V2V120bx2dy
2 b2 a2
b
(
0
b2y2)2dy4a2b. 3
y
y +dy
yx
O
V b [f(x)]2dx a
类似地可得，由区间[c,d]上的连续曲线 x(y) ,
两直线y=c与y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋 转一周所成的旋转体的体积为
V d [(y)]2dy c
练习1
求由椭圆
x2 a2
y2 b2
1
所围图形分别绕
x 轴和y轴旋转所成的旋转体的体积.
高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积课件 北师大版选修2-2
10
2.曲线y=x2-1与x轴所围成图形的面积等于 ( )
A .1B .2C .1 D .4
33
3
11
【解析】选D.函数y=x2-1与x轴的交点为(-1，0)，
(1，0)，且函数图像关于y轴对称，所以所求面积为
S=
(11-x2)dx=2 1
(1-x 210)dx=2
2× 2 4 .
33
=
(x
1 3
7
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)曲线y=sin x，x∈ [与 ，x3轴 ]围成的图形的面积
22
3
为 2
sin xdx.
(
)
2
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形的面积为
1 0
x3dx+
(22 -x)dx. 1
(
)
8
(3)曲线y=3-x2与直线y=-1围成的图形的面积为
24
【习练·破】 (2019·衡阳高二检测)如图，阴影部分的面积是( )
25
A.32
B.16
C. 3 2
D. 8
3
3
26
【解析】选C.由已知，阴影部分的面积
S=
1
3(3-x2-2x)dx=(3x13x3x2)|13332.
27
【加练·固】 若函数f(x)=Asin （ (Ax >0，） ω>0)的图像如图所示，则图
所以S=
1 0
(x2+1)dx+
3 1
(3-x)dx
( x 3 3 x ) |1 0 ( 3 x x 2 2 ) |1 3 1 3 1 ( 9 9 2 ) ( 3 1 2 ) 1 3 0 .
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用(二)定积分在物理中的应用 课件
2
)
，到达 C 点速度达 2 4 m
s
， 从 ，在
C 点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做
s
后，速度为 ( 2 4 1 .2 t 2 ) m
s
B 点恰好停车，试求： ⑴A、C 间的距离； ⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.
2013-4-2
3.A、 两站相距 7 .2 k m ， B 一辆电车从 A 站开往 B 站， 电车 开出 t 1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速直 线运动加速度为 1 .2 ( m 速直线运动)，经过 t 2
2
度表示为时间 t 的函数式.(记起点的高度为 0m)
t 0
( 4 0 1 0 x )d x 4 0 t 5 t
变式题 以初速度 4 0 m s 垂直向上抛一物体, t s 时刻的速度 为v
40 10t
(单位: m
s
),问多少秒后物体达到最
高?最大高度是多少?
4 秒时到达最高为 80m
2013-4-2
例2、 一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度 v=t2-4t+3 (m/s)运动,求:
(1)在t=4 s的位置;
(2)在t=4 s运动的路程.
(1)
4
(t
0
2
4t 3) d t
2
4
,t=4s时刻该点距出发点4/3m 3
3 1
(2)
S
1 0
( t 4 t 3) d t |
(2)240 (m)
(3)20+20+280=320(s)
2013-4-2 (3)电车从A站到B站所需的时间.
2021_2022学年高中数学第四章定积分3定积分的简单应用课件北师大版选修2_2
2
2Байду номын сангаас
2
∴V=π 0 y dx=π 0 4 (e +2+e )dx
π 2 2 -2
=4a 2 (e -e ) + 2 |0
π
=4a2 2 (e2 -e-2 ) + 2 .
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟简单旋转体的体积求解步骤
(1)画出旋转前的平面图形和旋转体的图形.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟求由两条曲线所围成图形的面积的步骤
(1)画出图形,确定图形的范围,即借助几何直观将所求图形的面积
问题转化为求曲边梯形的面积问题.
(2)确定积分上限和积分下限,即通过解方程组求出交点的横坐标确
定积分上限和积分下限.
(3)确定被积函数,特别要注意分清被积函数的上、下位置.
(4)写出平面图形的定积分表达式,运用微积分基本定理计算积分,
.
易错分析将阴影部分分为两部分,两部分所对应的被积函数是不同
的.利用数形结合可较易判断.
探究一
探究二
思维辨析
1
解:由
= ,
得交点 A(1,1).
2 = ,
1
故阴影部分的面积为 S= 0 √dx+
2 31
=3 2 |0 +ln
2
= +ln 2.
3
2
x|12
答案:3+ln 2
=
2
×
【例1】 计算由直线y=x-4,曲线y= √2 以及x轴所围成的图形的面
积.
分析先作出草图,由图形的形状确定求面积的方法.
解:(方法一)作出直线 y=x-4,曲线 y=√2的草图,如图所示.
高中数学第四章定积分4.3定积分的简单应用课件北师大版选修2_2
������
名师点拨
Hale Waihona Puke ������ ������
f(x)dx,
������ ������
|f(x)|dx 与
������ ������
������ ������
������(������) d������ 的异同.
B.V=π D.V=π
1 0 1 0
[12-(x2)2]dx (12-x2)dx
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在题后的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)任何曲线 y=f(x)及 x=a,x=b 与 x 轴围成的平面图形的面积都 可 ������ 以表示为 ������ f(x)dx. ( × )
直线y=x-4与x轴的交点为(4,0), 因此,所求图形的面积为S=S1+S2
8 4 8 = 0 √2������ dx+ 4 √2������d������- (������-4) d������ 4 2√2 3 4 2√2 3 8 1 40 = ������ 2 |0 + ������ 2 |4 − (x-4)2|8 = . 4 3 3 2 3
§4.3 定积分的简单应用
学 习 目 标 思 维 1.能用求定积分的方法 求 由已知曲线所围成的 平面图形的面积. 2.能用 求定积分的方法 求简单的几何体的体积. 3.注意 平面图形的面积 及几何体的体积与定积 分的内在联系与区别. 4.要学会 使用数形结合 和转化思想解决问题.
脉
络
1.一般地,设由曲线 y=f(x),y=g(x)以及直线 x=a,x=b 所围成的平面 ������ ������ 图形(如图)的面积为 S,则 S= ������ f(x)dx- ������ g(x)dx.
北师大版高中数学选修高二定积分的简单应用定积分在物理中应用及简单几何体的体积教学设计
第四课时4.3定积分的简单应用——定积分在物理中应用及简单几何体的体积一、教学目标：1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2、掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
3、理解定积分概念形成过程的思想；4、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。
二、教学重点与难点： 重点：1、定积分的概念及几何意义；2、定积分的基本性质及运算在物理中应用。
3.利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题； 难点：数学模型的建立及被积函数的确定。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：（1）、求曲边梯形面积的思想方法是什么？ （2）、定积分的几何意义是什么？ （3）、微积分基本定理是什么？ （二）、定积分的应用 【定积分在物理中应用】 1、求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即()bas v t dt =⎰例 1。
一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．解：由速度一时间曲线可知：3,010,()30,10401.590,4060.t t v t t t t ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪-+≤≤⎩因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：10406010403[30( 1.590)s tdt dt t dt =++-+⎰⎰⎰210402*********|30|(90)|1350()24t t t t m =++-+=答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m . 2．变力作功一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs . 探究如果物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，那么如何计算变力F(x ）所作的功W 呢？与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到()baW F x dx =⎰ 例2．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx , 其中常数k 是比例系数．由变力作功公式，得到220011|()22ll W kxdx x kl J ===⎰答：克服弹力所作的功为212kl J . 练习：如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，需做功（ A ）A 0.18JB 0.26JC 略解：设kx F =，则由题可得010.=k ，所以做功就是求定积分1800106..=⎰xdx 。
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
2
练习：用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3所 围成的图形面积
x + 3 dx - x
3 3 0 0
2
- x + 3 dx
-x
3 0
2
+ 3x dx
14
（四）、小结
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值． ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取逼近 化整为零
S S 1 S 2 f ( x )dx g ( x )dx
a a b b
S1 y f ( x ) d x g( )
a
b
S2
b
g ( x ) dx
a
O
a a
b x
10
性质1.
（三）、定积分的基本性质
b b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
1
一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽 车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于 几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概 念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解 掌握定积分的几何意义． 二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单 的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意 义． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
b
(x )d x f f (x x f c f )d x x(x 。 a f(xf )d x (x )da)dx(x)dfx(x(xa)df。 )d x c a
a a c
b
c
c
b
b b
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
y f (x)
a
b
x
5
积分上限
a f ( x )dx I
积分下限
b
lim f (i )xi
n i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
6
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx a
(3)
b
b
b
f (t)dt a
a
b
f(u)du。
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
a f(x)dx - b f (x)dx
7
(二)、定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分a f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
1
一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽 车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于 几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概 念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解 掌握定积分的几何意义． 二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单 的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意 义． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
ba Sn f (i )x f (i ) n i 1 i 1 如果 x 无限接近于 0（亦即 n ） 上述和式 S n 时， 无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f ( x) 在区
n n
间 [ a, b] 上的定积分。记为： S
b
a
f ( x )dx
高中数学第四章定积分4.3.1平面图形的面积4.3.2简单几何体的体积学案北师大版
4.3.1 平面图形的面积 4.3.2 简单几何体的体积1.会用定积分求平面图形的面积.(重点)2.会用定积分求简单几何体的体积.(重点)3.理解建立实际问题的积分模型的基本过程和方法.(难点)[基础·初探]教材整理1 平面图形的面积阅读教材P 87～P 88“例3”以上部分，完成下列问题.1.当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛ab f (x )dx .2.当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝－⎠⎛ab f (x )dx.图4313.当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]dx .(如图431)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)曲线y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2与x 轴围成的图形的面积为⎠⎜⎜⎛π23π2sin xdx .( )(2)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形的面积为⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12(2－x )dx .( )(3)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形的面积为⎠⎛－22(4－x 2)dx .( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 简单旋转几何体的体积阅读教材P 89～P 90“练习”以上部分，完成下列问题.旋转体可看作由连续曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的几何体，该几何体的体积为V ＝⎠⎛ab π[f (x )]2dx .由y ＝x 2，x ＝1和y ＝0所围成的平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( ) A.π6 B.π4 C.π5D.4π5【解析】 V ＝π⎠⎛01y 2dx ＝π⎠⎛01(x 2)2dx ＝π5x 5⎪⎪⎪10＝π5.【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](2)求由曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 和y ＝x 围成的图形的面积.【精彩点拨】 (1)作出两函数的图像，并求其交点坐标.确定积分区间，利用定积分求面积S .(2)求出三条曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下.【自主解答】 (1)作出直线y ＝x ＋3，曲线y ＝x 2－6x ＋13的草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－6x ＋13，y ＝x ＋3，得交点坐标为(2，5)和(5，8).因此，所求图形的面积S ＝⎠⎛25(x ＋3)dx －⎠⎛25(x 2－6x ＋13)dx＝⎠⎛25(－x 2＋7x －10)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋72x 2－10x ⎪⎪⎪52＝92.(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 解出O ，A ，B 三点的横坐标分别是0，1，2.故所求的面积S ＝⎠⎛01(2x －x )dx ＋⎠⎛12(2x －x 2)dx＝x 22⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2－x 33⎪⎪⎪21 ＝12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－83－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝76. 法二：由于点D 的横坐标也是2， 故S ＝⎠⎛02(2x －x )dx －⎠⎛12(x 2－x )dx＝x 22⎪⎪⎪20－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22⎪⎪⎪21＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12＝76. 法三：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 2′＝y 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23y 32－y 24′＝y －y2.故所求的面积为S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫y －y 2dy ＋⎠⎛14⎝⎛⎭⎪⎫y －y 2dy＝14y 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23y 32－y 24⎪⎪⎪41＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23×8－14×16－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－14＝76.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤： (1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限； (3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图像上、下位置； (4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积.[再练一题]1.由抛物线y ＝x 2－x ，直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( ) A.53 B.1 C.52D.23【解析】 由图可知，所求面积S ＝⎠⎛－10(x 2－x )dx ＋⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22⎪⎪⎪0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪10＝56＋16＝1. 【答案】 B求由曲线y ＝2x 2与y ＝2x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.【精彩点拨】 所求旋转体的体积可由两个不同的旋转体的体积作差得到，再利用定积分求解即可.【自主解答】 曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形如图阴影部分所示.设所求旋转体的体积为V ，根据图像可以看出V 等于曲线y ＝2x ，直线x ＝2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 1)减去曲线y ＝12x 2，直线x ＝2与x轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 2).V 1＝⎠⎛02π(2x )2dx ＝2π⎠⎛02xdx ＝2π·12x 2|20＝4π，V 2＝⎠⎛02π⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 22dx ＝π4⎠⎛02x 4dx ＝π4×15x 5|20＝8π5，所以V ＝V 1－V 2＝4π－8π5＝12π5.,1.两个曲线围成的图形的面积旋转而成的图形的体积是两个体积的差，即V ＝π⎠⎛abf 2(x )dx －π⎠⎛a bg 2(x )dx ，而不能写成V ＝π⎠⎛ab [f (x )－g (x )]2dx .2.求简单旋转体的体积时，首先要画出平面图形，分析旋转体的形状，再利用体积的定积分表达式V ＝π⎠⎛ab f 2(x )dx 求解.[再练一题]2.设平面图形由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的曲线y ＝sin x 及直线y ＝12，x ＝π2围成，求此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.【解】 先画草图.设f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，g (x )＝12.则f (x )与g (x )的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.V ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫122dx ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2x 2－14dx ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12cos 2x dx ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －14sin 2x ⎪⎪⎪⎪π2π6＝π212＋38π.[探究共研型]探究1 a 2，试求a 的值.【提示】 由已知得S ＝⎠⎛0axdx ＝23x 32⎪⎪⎪a 0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49.探究2 若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是23，试求c 的值.【提示】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝cx 3，得x ＝0或x ＝1c . ∵0<x <1c时，x 2>cx 3，∴S ＝⎠⎜⎛01c (x 2－cx 3)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14cx 4⎪⎪⎪⎪1c 0＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23.∴c 3＝18，∴c ＝12.在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112，试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程.【精彩点拨】 设出切点坐标，写出切线方程，利用定积分可列方程，解方程求得切点坐标，进一步求出切线方程.【自主解答】 设切点A (x 0，x 20)，切线斜率为k ＝2x 0， ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0). 令y ＝0，得x ＝x 02，如图，∴S ＝⎠⎜⎛0x 02x 2dx ＋⎠⎜⎛x 02x 0 [x 2－(2x 0x －x 20)]dx ＝112x 30.∴112x 30＝112，x 0＝1.∴切点A 的坐标为(1，1)，切线方程为y ＝2x －1.1.本题中求面积S 时，易错误地写成S ＝⎠⎛0x 0[x 2－(2x 0x －x 20)]dx .错误原因是没能分割好图形.2.关于导数与积分的综合题，要充分利用导数的几何意义，求切线的斜率或方程，利用定积分的几何意义求面积，进而解决问题.[再练一题]3.(2016·济南高二检测)如图432，设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2，4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1，S 2.图432(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值.【解】 (1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)，则P 点的坐标为(t ，t 2)， 直线OP 的方程为y ＝tx .S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)dx ＝16t 3，S 2＝⎠⎛t2(x 2－tx )dx ＝83－2t ＋16t 3.因为S 1＝S 2，所以t ＝43，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169. (2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83，S ′＝t 2－2， 令S ′＝0得t 2－2＝0.因为0<t <2，所以t ＝2，当0<t <2时，S ′<0；2<t <2时，S ′>0. 所以，当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－423，此时点P 的坐标为(2，2).[构建·体系]1.用S 表示图433中阴影部分的面积，则S 的值是( )图433A.⎠⎛ac f (x )dxB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a cf （x ）dxC.⎠⎛a b f (x )dx ＋⎠⎛b c f (x )dxD.⎠⎛bc f (x )dx －⎠⎛ab f (x )dx【解析】 ∵x ∈[a ，b ]时，f (x )<0，x ∈[b ，c ]时，f (x )>0， ∴阴影部分的面积S ＝⎠⎛b c f (x )dx －⎠⎛ab f (x )dx .【答案】 D2.直线y ＝x ，x ＝1及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积是( ) A.π B.π3C.13D.1【解析】 V ＝⎠⎛01πx 2dx ＝π3x 3|10＝π3.【答案】 B3.由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝________.【解析】 图形如图所示，S ＝⎠⎛01x 2dx －⎠⎛0114x 2dx ＝⎠⎛0134x 2dx＝14x 3⎪⎪⎪10＝14. 【答案】 144.由y ＝x 2，y ＝x 所围成的图形绕y 轴旋转所得到的旋转体的体积V ＝________. 【解析】 V ＝π⎠⎛01(y －y 2)dy ＝π6.【答案】π65.计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S .【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 2得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD＝⎠⎛01xdx －⎠⎛01x 2dx ＝23x 32⎪⎪⎪10－13x 3⎪⎪⎪10＝23－13＝13.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
高中数学第四章定积分4.3.2简单几何体的体积课件1北师大版选修22
0
＝ πa3－π3y3a0＝πa3－3πa3＝23πa3.
题型二 求组合型几何体的体积
【例2】 如图，求由抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＋y－6＝0 及y＝0所围成的图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积．
[思路探索] 解答本题可先由解析式求出交点坐标．把组 合体分开来求体积．
解 解方程yx2＋＝y8－x6y＝>00，， 得yx＝＝42.， 所以 y2＝8x 与直线 x＋y－6＝0 的交点坐标为(2,4)．
a
题型一 求简单几何体的体积
【例1】 给定一个边长为a的正方形，绕其一边旋转一周， 得到一个几何体，求它的体积． [思路探索] 由旋转体体积的求法可知，先建立平面直角坐 标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下 限，确定被积函数即可求出体积．
解 以正方形的一个顶点为原点，两边
所在的直线为 x，y 轴建立如图所示的
Δxi的小圆片，如图乙所示．当Δxi很小时，第i个小圆片近似于底 面半径为yi＝f(xi)的小圆柱，因此，第i个小圆台的体积Vi近似为V i＝πf2(xi)Δxi. 该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和
V≈π[f2(x1)Δx1＋f2(x2)Δx2＋…＋f2(xi)Δxi＋…＋f2(xn)Δxn]． 这个问题是积分问题，则有
所求几何体的体积 V＝2π( 8x)2dx＋6π(6－x)2dx
0
2
＝8π2xdx＋π6(x－6)2dx
0
2
＝8π·12x2
20＋π·13x－6362＝16π＋643π＝1132π. 解决组合体的体积问题，关键是对其构造进
行剖析，分解成几个简单几何体体积的和或差，然后，分
平面直角坐标系，如图 BC：y＝a.则该