连续时间信号与系统的频域分析
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析v11.01
（9）共轭特性 p226 ）
若f (t ) ← F ( s ), ROC : R → 则f (t ) ← F ( s ), ROC : R →
∗ ∗ ∗
4.2 单边拉普拉斯变换
4.2.1定义 定义
定义：f (t ) ↔ F ( s ), σ : (α , ∞) 正变换L[ f (t )] = ∫ − f (t )e − st dt = F ( s ), σ : (α , ∞)
（3）尺度变换特性 ）尺度变换特性p225 则：
若f (t ) ↔ F ( s ), σ : (α , β ), 1 s f (at ) ↔ F ( ), σ : a a 推论：
{
( aα , aβ ), a > 0 ( aα , aβ ), a < 0
，a为常数。
f (−t ) ↔ F (− s ), σ : (− β ,−α )
即：
∫
∞
-∞
δ (t ) e − st dt = 1
δ (t ) ↔ 1
σ：（-∞，∞）
（3）指数信号 ）
∞
F ( s ) = L[e u (t )] = ∫ e e dt
0
− at
− at − st
σ > −α
1 s +α
即：
1 e u (t ) ↔ , σ : (−α , ∞) s +α
− at
（7）时域卷积特性 ）时域卷积特性p227
若f1 (t ) ↔ F1 ( s ), σ : (α1 , β1 ), f 2 (t ) ↔ F2 ( s ), σ : (α 2 , β 2 ), 则 f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ↔ F1 ( s ) ⋅ F2 ( s ), σ : (公共部分 )
连续时间信号与系统的频域分析报告
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
连续时间信号与系统的频域分析
(d) 对冲激响应为 h(t) = u(t) 的 LTI 系统，假如φ (t)是它的特征函数，其特征值为 λ ，
确定φ (t) 应满足的微分方程，并解出φ (t) 。
此题各部分的结果就验证了正文中指出的结论。
解：(a) ∵ h(t) = δ (t) 的 LTI 系统是恒等系统，所以任何函数都是它的特征函数，其特征值
则称 x(t) 为偶．谐．信．号．；如果同时满足
x(t) = −x(t − T ) 2
则称 x(t) 为奇．谐．信．号．。证明偶谐信号的傅里叶级数中只包含偶次谐波；奇谐信号
的傅里叶级数只包含奇次谐波。
(c) 如果 x(t) 是周期为 2 的奇谐信号，且 x(t) = t,0 < t < 1，画出 x(t) 的波形，并求
∑ x(t)
=
a0
+
2
∞ k =1
⎡ ⎢⎣
Bk
2π kt cos(
3
)
−
Ck
2π kt sin(
3
)⎤⎥⎦
∑ z(t)
=
d0
+
2
∞ k =1
⎡ ⎢⎣
Ek
cos(2π kt 3
)
−
Fk
sin(2π kt 3
)⎤⎥⎦
∑ y(t)
=
4(a0
+
d0
)
+
∞
2
k =1
⎡⎢⎣(Bk
+
1 2
Ek
) cos(2π kt 3
n = −∞
∞
(c) x(t) = ∑ (−1)nδ (t − n)
n = −∞
(d) x(t) 如图 P4.3 所示。
连续时间信号与系统的频域分析实验报告
《信号与系统》课程实验报告
一．实验原理 1、傅里叶变换 实验原理如下：
傅里叶变换的调用格式
F=fourier(f)：返回关于w 的函数；
F=fourier(f ，v):返回关于符号对象v 的函数，而不是w 的函数。
傅里叶逆变换的调用格式
f=ifourier(F):它是符号函数F 的fourier 逆变换，返回关于x 的函数； f=ifourier(f,u):返回关于u 的函数。
2、连续时间信号的频谱图 实验原理如下：
符号算法求解如下：
ft=sym('4*cos(2*pi*6*t)*(heaviside(t+1/4)-heaviside(t-1/4))'); Fw=simplify(fourier(ft)) subplot(121)
ezplot(ft,[-0.5 0.5]),grid on subplot(122)
ezplot(abs(Fw),[-24*pi 24*pi]),grid on 波形图如下所示：
当信号不能用解析式表达时，无法用MATLAB 符号算法求傅里叶变换，则用MATLAB 的数值计算连续信号的傅里叶变换。
∑⎰
∞
-∞
=-→-∞∞
-==n n j t
j e
n f dt e
t f j F ττωτ
ωτω)(lim
)()(0
若信号是时限的，或当时间大于某个给定值时，信号已衰减的很厉害，可以近似地看成时限信号，设n 的取值为N ，有
1
1()
a jw
++
的分母和分子多项式的系数向量，
1、在调用函数fourier()及ifourier()之前，要用syms命令对所用到的变。
连续时间系统的频域分析
d
ln(e2 )
12
d
1
2
2
d
1
1 2
1
d
lim
B
tg 1
B B
lim 2(B tg1B) 2 lim (B )
B
B
2
发散的，物 理不可实现
5.7 希尔伯特变换*（Hilbert）
物理可实现系统的实质是具有因果性 因果系统的实部和虚部之间相互限制 因果系统的模和相角之间相互限制
e
j
2
arctg (
2
)
2 2
V2 ( j )
j
E (1 e j )
j
E (1 e j ) E (1 e j )
j
j
v2 (t) E(1 et )u(t) E(1 e(t ) )u(t )
v2 (t )
t
5.3 周期信号激励下的系统响应*
一、正弦周期信号激励下的系统响应 正弦周期激励信号的傅氏变换
ln H ( j) ln H ( j) j( j)
ln H ( j ) 1 () d
( j ) 1
ln H ( j) d
因果系统的频谱模被已知的相位唯一地确 定,反过来也一样.
5.8 调制与解调
调制：
g(t) 相乘 g(t) cos0t f (t) g(t) cos0t
R( j) [ () 1 ](1 e j )e j t0 j
r(t) 1 R( j)e j t d 2
1
Si[(t
t0
)
Si[(t
t0
)]
Y=处,为Si(y)第一个峰起点, Si()=1.8514.
r(t)
|max
实验二 连续信号与系统的频域分析
(2)绘出f(t)的时域波形及频谱图。
f(t) 1
(2)电路的系统函数为 H(jω)
1 j 1 j
(b)用MATLAB求系统的单位冲激响应。
(c) 当输入为 f (t) sint sin3t t
求系统的稳态响应。
程序清单: syms w t; Hw=(1-j*w)/(1+j*w); ht=ifourier(Hw,t); ft=sin(t)+sin(3*t); Fw=fourier(ft); Yw=Fw*Hw; yt=ifourier(Yw,t);
函数fourier()——傅立叶正变换 函数ifourier()——傅立叶逆变换
3、连续时间系统的响应
已知某电路的系统传递函数为 H(jω)=1/(0.08(jω)2+0.4jω+1)
用MATLAB绘制系统的幅频特性曲线和相频特性曲线，并分
析该系统的频率特性。 系统频率特性
H(j)=|H(j)|ej() |H(j)|——系统的幅频特性
for i=1:9
a(i)=subs(an,n,i); % 计算系数a1~a9,存于数组a中 end
a0=double(a0);a=double(a); %转换成数值型
stem(0,a0,i,a); %绘f(t)的频谱图
2、非周期信号的分析 (1)已知某一连续时间信号为
f t e2 t
试绘出它的时域波形及相应的频谱图。
第七章连续时间信号与系统的复频域分析
第七章连续时间信号与系统的复频域分析1、内容简介在连续时间信号与系统的复频域分析中，首先介绍了利用Laplace 变换进行连续时间信号的复频域分析和连续时间系统的复频域分析。
在此基础上，分析了系统函数及其与系统特性的关系，并介绍了系统的复频域方框图表示。
最后介绍了用MATLA实现连续时间系统的复频域分析。
2、学习目标1．熟练掌握单边Laplace 变换及其基本性质和Laplace 反变换。
（双边Laplace 变换不要求）2．掌握用单边Laplace 求解连续系统响应的零输入响应和零状态响应。
3．重点掌握系统的传输函数，及系统函数与系统特性（频响特性、因果性、稳定性）的关系。
4．掌握连续系统的直接型、级联型和并联行模拟框图。
5•能够利用MATLA进行连续系统的复频域分析。
3、重点难点1. 单边Laplace 变换及其基本性质和Laplace 反变换。
2. 系统的传输函数，及系统函数与系统特性（频响特性、因果性、稳定性）的关系。
3. 连续系统的直接型、级联型和并联行模拟框图。
4、应用利用MATLA进行连续系统的复频域分析5、教案内容1、复频域分析方法的引入背景由于频域分析存在不足：其一，某些信号不存在傅立叶变换，因而无法利用频域分析法；其二，系统频域分析法只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应仍按时域方法求解；其二，频域分析法中，傅立叶反变换一般较为复杂2、连续时间信号与系统的复频域（S域）分析Laplace变换的定义L[f(t)]F(s) f (t)e st dtLaplace反变换的定义L1[F(s)] f(t)1 j2 j jF (s)e st ds单边Laplace变换对L[f(t)] F(s)o f(t)est dt1 1 j stL [ F (s)] f (t)2 j jF (s)e dsLap lace变换实现从时间域到复频域的转换，而Laplace反变换实现从复频域到时间域的变换。
第三、四章连续时间信号与系统的频域分析内容总结
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
8 页
例15、试求信号f(t)=cos(4t+ )的频谱 。 3
解：
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
9 页
例16、一因果LTI系统的输入和输出，由下列微分方程表示：（采用傅里叶变
换计算）。 （1）求系统的单位冲激响应 h( t ) ；
d 2 y( t ) dy( t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析内容总结
2 页
第四章是傅里叶变换在LTI系统分析中的应用。 在第三章信号频域分解、分析基础上，研究不同激励信号 通过系统的响应、信号通过系统无失真条件、理想低通滤波器 模型以及物理可实现条件、希尔伯特变换、抽样定理等主要内 容。
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
3) (j
5)
1ห้องสมุดไป่ตู้
j
3
1
j 5
2
j
4
y z s(t ) e 3t (t ) e 5t (t ) 2e 4t (t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
10 页
例17、如图所示系统，其乘法器的两个输入端分别为：f (t) sin(2t) , s(t) cos(6t)
系统的频率响应为
8
15y( t ) 2 f ( t )
dt 2
dt
（2）若 f ( t ) e4t( t ) ，求该系统的零状态响应 yzs (t) 。
解： （1）
H ( j)
2
11
j2 8 j 15 j 3 j 5
h(t) e 3t(t) e 5t(t)
（2）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第3章连续时间信号与系统的频域分析3.1 学习要求1、掌握周期信号的频谱及其特点；2、了解周期信号的响应问题；3、掌握非周期信号的频域描述——傅立叶变换；4、熟练掌握傅立叶变换的性质与应用；5、掌握系统的频域特性及响应问题；6、了解系统的无失真传输和理想滤波。
3.2 本章重点1、频谱的概念及其特性；2、傅里叶变换及其基本性质；3、响应的频域分析方法；4、系统频率响应的概念。
3.3 知识结构3.4内容摘要3.4.1信号的正交分解两个矢量1V 和2V 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：o 1212cos900⋅=⋅=V V V V若有一个定义在区间()12,t t 的实函数集{}()(1,2,,)i g t i n =L ，在该集合中所有的函数满足⎪⎩⎪⎨⎧=≠===⎰⎰2121,,2,1,0)()(,,2,1)(2t t j i t t i in j j i dt t g t g n i k dt t g ΛΛ 则称这个函数集为区间()12,t t 上的正交函数集。
式中i k 为常数，当1i k =时，称此函数集为归一化正交函数集。
若实函数集{}(),1,2,,i g t i n =L 是区间()12,t t 内的正交函数集，且除()i g t 之外{}(),1,2,,i g t i n =L 中不存在()x t 满足下式2120()t t x t dt <<∞⎰且21()()0t i t x t g t dt =⎰则称函数集{}(),1,2,,i g t i n =L 为完备正交函数集。
若在区间()12,t t 上找到了一个完备正交函数集{}(),1,2,,i g t i n =L ，那么，在此区间的信号()x t 可以精确地用它们的线性组合来表示11221()()()()()n n i i i x t C g t C g t C g t C g t ∞==++++=∑L L各分量的标量系数为21212()()d ()d t i t it it x t g t tC g t t=⎰⎰系数i C 只与()x t 和()i g t 有关，而且可以互相独立求取。
3.4.2周期信号的傅里叶级数1、三角形式的傅里叶级数0001()(cos sin )n n n x t a a n t b n t ωω∞===++∑式中， 02Tπω=⎰+=Tt t dt t f T a 00)(10 ⎰+=Tt t n tdt n t x T a 000cos )(2ω ⎰+=Tt t n tdt n t x T b 000sin )(2ω若将同频率项加以合并，又可以写成三角函数形式的傅里叶级数的另外一种形式：∑∞=++=100)cos()(n n n t n c c t x ϕω式中，2200cos sin arctannn n n n n n n n n n nb ac c a b a c b c a ϕϕϕ==+==-=-，，，，。
在信号与系统中，定义：0c 为直流信号，Tπω20=为基数，)cos(101ϕω+t c 为基波，)3,2(),cos(0K =+n t n c n n ϕω为n 次谐波。
各参数n a 、n b 、n c 以及n ϕ都是n （谐波序号）的函数，也可以说是0ωn （谐波频率）的函数。
如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴绘出n c 和n ϕ等的变化关系，便可直观地看出各频率分量地相对大小和相位情况，这样的图分别称为信号的幅度频谱图和相位频谱图。
2、指数形式的傅里叶级数t jn n n tjn n e X en X t x 00)()(0ωωω∑∑∞-∞=∞-∞===式中)(0ωn X dt e t x Ttjn T t t 000)(1ω-+⎰=3、周期信号的功率谱0022222222*11()()1()T Tjn t T T n n T jn t T n n n n n nn n n P x t dt x t X e dtT T X x t e dt T XX XX X ωω∞--=-∞∞-=-∞∞∞∞-=-∞=-∞=-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦===∑⎰⎰∑⎰∑∑∑上式反映了周期信号的平均功率与离散谱之间的关系，称为功率信号的帕塞瓦尔关系式。
通常将2n X 随0n ω分布的特性称为周期信号的功率谱。
4、傅立叶级数系数与函数对称性的关系对于偶函数，满足)()(t x t x -=，⎰=20cos )(4T n tdt n t f T a ω，0=n b ，即偶函数的傅里叶级数中不含正弦项，只可能包含直流项和余弦项。
复振幅n X 是实数，其初相位n ϕ为零或π。
对于奇函数，满足)()(t x t x --=，⎰=20sin )(4T n tdt n t f T b ω，00==n a a ，即偶函数的傅里叶级数中不含余弦项和直流项，只可能包含余弦项。
复振幅n X 是虚数，其初相位n ϕ为2π或2π-。
对于奇谐函数，满足)()2(t f Tt f -=±，当n 为偶数时，00=a ，0,==n n b a ；当n 为奇数时，tdt n t x T a T n 02/0cos )(4ω⎰=，⎰=200sin )(4Tn tdt n t f T b ω，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
5、周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。
但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。
无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即⎰+==T t t N NN t t T t E 00d )(1)(22εε。
式中，()N N S t x t -=)(ε，()()[]∑=++=Nn n n N t n b t n a a S 1000sin cos ωω。
研究表明，N 越大，()t N ε越小，当∞→N 时，()0→t N ε。
6、周期信号频谱的特点第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率0ω的整数倍频率上。
第三：收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随0n ω的变化有起伏变化，但总的趋势是随着0n ω的增大而减小，当0n ω→∞时，0||→n X 。
3.4.3非周期信号的傅里叶变换1、傅里叶变换定义傅里叶变换： dt e t x j X t j ⎰∞∞--=ωω)()(傅里叶逆变换： ωωπωd e j X t x t j ⎰∞∞-=)(21)()(ωj X 一般为复函数，可写成)()()(ωϕωωj e j X X =，其中，)(ωj X 为幅度频谱，)(ωϕ为相位频谱。
2、典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期函数和常用函数的傅里叶变换如表3.4.1所示。
序号名称时间表示式()x t傅里叶变换(j )X ω矩形脉冲信号()()()22G t E u t u t τττ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦Sa 2E ωττ⎛⎫⎪⎝⎭单边指数信号()ate u t -，0a > 1a j ω+双边指数信号 ,0()a tea t ->-∞<<+∞222aa ω+ 三角脉冲信号21202t t t τττ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪>⎪⎩2Sa 22τωτ⎛⎫⎪⎝⎭抽样脉冲信号0Sa()t ω0000πωωωωω⎧<⎪⎨⎪>⎩钟形脉冲信号2t eτ⎛⎫- ⎪⎝⎭22eωτπτ⎛⎫- ⎪⎝⎭余弦脉冲信号cos 202t t t πτττ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩2cos221ωττπωτπ⎛⎫- ⎪⎝⎭升余弦脉冲信号121cos 2202t t t πτττ⎧⎛⎫+< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪>⎪⎩2Sa 2212ωττωτπ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭符号函数10sgn()1t t t >⎧==⎨-<⎩2j ω单位冲激函数 ()t δ1直流信号12()πδω单位阶跃函数()u t1()j πδωω+冲激偶信号 ()t δ'j ω单位斜变信号()tu t21()j πδωω'-傅里叶变换的性质如表3.4.2所示。
.序号 性质名称 时域频域1线性性质()()ax t by t + ()()aX j bY j ωω+ 2 尺度变换特性()x at ，0a ≠1||X j a a ω⎛⎫ ⎪⎝⎭3奇偶虚实性()x t 为实函数()()X j X j ωω=-()()ϕωϕω=--()()R j R j ωω=- ()()I j I j ωω=-- *()()X j X j ωω-=()()x t x t =-()()x t x t =--()()X j R j ωω=，()0I j ω= ()()X j jI j ωω=，()0R j ω=()x t 为虚函数()()X j X j ωω=-()()ϕωϕω=--()()R j R j ωω=- ()()I j I j ωω=-- *()()X j X j ωω-=4 时移特性 0()x t t - 0()j t X j e ωω- 5频移特性0()j t x t e ω0[()]X j ωω-6对偶性()X jt 2()x πω- 7 时域微分特性()x t '()j X j ωω ()()n x t()()n j X j ωω8时域积分特性()d tx ττ-∞⎰1()(0)()X j X j ωπδωω+ 9频域微分特性()jtx t -()dX j d ωω ()nt x t()n nnd X j j d ωω10 频域积分特性()(0)()x t x t jtπδ+- ()X j d ωττ-∞⎰11 时域卷积特性 ()()12x t x t *()()12X j X j ωω⋅12 频域卷积特性 12()()x t x t ⋅121()()2X j X j ωωπ* 13帕塞瓦尔定理221|()||()|2x t dt X j d ωωπ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰3.4.5周期信号的傅里叶变换周期信号()x t 的频谱∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=n nn nXXj X )(2)(2)(00ωωδπωωπδω3.3.6 调制与解调幅度调制的过程：设载波信号为0cos t ω，调制信号为()g t ，二者的傅里叶变换分别为000cos [()()]t ωπδωωδωω↔++-和()G ω。
已调信号为0()()cos f t g t t ω=，其频谱为[])()(21)(00ωωωωω-++=G G F 这样，信号()g t 的频谱被搬移到载频0ω附近。