高中数学必修二空间中的平行关系-高中课件精选
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高中数学必修二课件-1.2.2 空间中的平行关系4-人教B版
A
E
EO// BD
EO
平面ACE
BD // 平面AEC
D
BD 平面ACE
O
A
C
B
C
B
如图，四棱锥P-ABCD底面为梯形
练习3
，且 ，ABE为1 DPCC的中点，求证： BE//平面PAD2
解析：
P
F
E
D
C
A B
拓展训练1 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BC与 C1D1上的 中点,求证：EF//平面BDD1B1
a
的 判
b α
定
b
快 对于不重合的两直线m、n和平面α，下列命题中的真
乐
命题是(
)．
A．如果m⊂α，n α，m、n是异面直线，那么n∥α
体 B．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
C．如果m⊂α，n α，m、n是异面直线，那么n与α相交
验 D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
探 究
文字 语言
直线与平面平行的判定
符号 语言
图形语言
平面外一条直线与
此平面内的一条直
线平行，则该直线
与此平面平行.
a ,b ,且a // b a //
学生寄语
课下实践探究
三角板的一边所在直线与桌面 平行，这个三角形所在平面与 桌面平行吗？
若三角板两边所在直线分别与 桌面平行，情况如何呢？
变式:两个全等的正方形ABCD和ABEF所在 快 平 面 相 交 于 AB ， M∈AC ， N∈FB ， 且
究
二
如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们
：
说这条直线和这个平面平行.
空间直线、平面的平行_课件
线线平行
面面平行判定定理: 线面平行 面面平行
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行那么这两 个平面平行．
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平 面内的两条直线，那么这两个平面平行
面面平行判定定理: 面面平行 线面平行
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线 平行。
几个重要结论
1.平行于同一平面的两平面平行 ； 2.过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行 ； 3.夹在两平行平面间的平行线段相等 。 4、如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与 另一个平面平行
5.求证：夹在两个平行平面间的平行线段相 等
重要思想方法
直线与平面平行
判定
性质
性质 直线与直线平行
判定 性质
判定 平面与平面平行
× √ × √ √
空间中的平行关 系
理解并掌握空间中线面平行、面面平行的判定方法
理解并掌握空间中线面平行、面面平行的性 质
已知：ab在平面α外，a∥α.求证： b∥α.
(1)(2)(4)(5)
(1)
(2)
(3)
总 结
线线平行
线面平行
线面平行
精品 课件
高中数学必修2
第八章 立体几何初步
空间直线、平面的平行
新人教版
特级教师优秀课件精选
教学目标
理解并掌握直线与直线平行的判定方 法理解并掌握直线与平面的判定方 法理解并掌握直线与平面平行的性质定 理理解并掌握平面与平面平行的判定方 法理解并掌握平面与平面平行的性质定 理能够根据定理写证明过 程
四边形的两条邻边相等。
在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两 边分别平行，那么这两个角相等或互补”。 在空间中,结论是否仍然成立呢?
高中数学 1.2.2.3 空间中的平行关系课件 新人教B版必修2
名师点睛 1．平面与平面平行的判定方法 (1)利用定义：说明平面与平面无公共点(往往用反证法)． (2)判定定理：平面 α 内的两条相交直线 a，b 都平行于 β，则 a⊂α b⊂α a∩b＝A⇒α∥β，五个条件缺一不可． a∥β b∥β
α∥β.即
应用时的关键是在 α 内找到与 β 平行的相交直线 a，b.
(3)化归为线线平行：平面 α 内的两条相交直线与平面 β 内的 两条相交直线分别平行，则 α∥β. (4)利用平行平面的传递性： 两个平面同时和第三个平面平行， 则这两个平面平行．
2．关于平面和平面平行的性质 (1)性质定理的作用：利用性质定理可证线线平行，也可用来 作空间中的平行线． (2)面面平行的其他性质 ①两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平 α∥β ⇒a∥β，可用来证明线面平行． 面，即 a⊂α ②夹在两平行平面间的平行线段相等． ③平行于同一平面的两个平面平行 ( 平面平行的传递性 ) 即 α∥β ⇒α∥γ. γ∥β
B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明Βιβλιοθήκη (1)如图所示，连接 SB.
∵E、G 分别是 BC、SC 的中点， ∴EG∥SB. 又∵SB⊂平面 BDD1B1，EG⊄平面 BDD1B1， ∴直线 EG∥平面 BDD1B1. (2)如图所示，连接 SD. ∵F、G 分别是 DC、SC 的中点，∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面 BDD1B1，FG⊄平面 BDD1B1， ∴直线 FG∥平面 BDD1B1.
规律方法
利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键
是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个面是其应
高一数学课件必修2《空间中的平行关系》
D A
D A
C B
C B
学以至用
例1：已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是 AB、AD的中点．
求证：EF∥平面BCD．
A
ELeabharlann FD BC
直线和平面平行的性质：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的 平面和这个平面相交，那么这条直线就和两个平面 的交线平行。
l∥ ,l ， m, l ∥ m
实例感受
A
B
A
B
直线与平面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则 该直线与此平面平行．
a
a
b
b
a //
b// a
证明直线与平面平行，三个条件必须具备，才能 得到线面平行的结论．
线线平行
线面平行
随堂练习
1．如图，长方体 ABCD ABCD中， 与AB平行的平面是 平面 ABCD 平面 CCD；D
1.2.2空间中的平行关系（1）
直线与平面有几种位置关系？ 三种： 线在面内 线面相交 线面平行
线面位置关系
关系 内容
直线在平面内
直线与平面相交 直线与平面平行
特征
有无数个
公共点
a 图形表示
有且只有一个 没有公共点 公共点
a
a
A
符号表示
a
a ∩=A
a ∥
怎样判定直线与平面平行
a
例2：AB∥平面 ，AC∥BD，且AC，BD与 分别
交于点C，D 求证：EF∥平面BCD．
A
B
C
D
例3：已知：长方体ABCD-A1B1C1D1，求证：A1C1 // 平面B1AC
高中数学1.2.2《空间中的平行关系》课件人教B版数学必修2
如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是 它的对角线
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬 托，如下图中的两种空间四边形ABCD和 ABOC.
6． 异面直线所成的角：已知两条异面直 线a、b，经过空间任意一点O作直线a’//a， b’//b，由于a’、b’所成的角的大小与点O 的选择无关，我们就把a’与b’所成的锐角 或直角叫做异面直线所成的角.
b a′ ？ OP a
b′ a′ θ O
若两条异面直线所成角为90°，则称 它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b
异面直线所成角θ的取值范围：（0，90]
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系
共面情况
公共点个数
相交直线 在同一平面内 有且只有一个
平行直线 在同一平面内
没有
异面直线 不在任何一平面内 没 有
所以四边形EFGH是平行四边形。
A
E
H
B
D
F
G
C
例2．如图：在长方体ABCD－A1B1C1D1
中，已知E，F分别是AB , BC 的中点，
求证：EF∥A1C1.
证明:连结AC.
D1
C1
在△ABC中, E, F分别A1
B1
是AB, BC 的中点.
所以 EF ∥ AC
D
A
E
C F B
又因为 AA1∥BB1 且 AA1 = BB1 BB1∥CC1 且 BB1 = CC1
公理4反映了两条直线的位置关系. 公理4主要用来证明两条直线平行，它是 证明两直线平行的重要依据.
4. 等角定理：
如果一个角的两边和另一个角的两边分 别平行并且方向相同，那么这两个角相等.
已知：如图所示，∠BAC和 ∠B1A1C1的边AB//A1B1， AC//A1C1，且射线AB与A1B1 同向，射线AC与A1C1同向， 求证：∠BAC=∠B1A1C1.
高中数学必修二课件-1.2.2 空间中的平行关系10-人教B版
D A
F
E C
B
例2.已知：平面α//平面β//平面γ，两条直 线l，m分别与平面α、平面β、平面γ相交 于点A、B、C和点D、E、F，
求证：AB DE
BC EF
证明：连接DC，设DC与平面β相交于 点G，则平面ACD与平面α，β分别相交 于直线AD，BG，
平面DCF与平面β，γ分别相交于直 线GE，CF， 因为 α//β，β//γ，所以BG//AD， GE//CF，
4.直线与平面平行，则直线与平面内的任意直线平 行( )
5.两个平面平行，则两个面内的所有直线平行( )
6.若两条直线分别在两个平行平面内，则这两条直线的 位置关系是平行或异面（ ）． 7.平行于同一直线的两个平面平行（ ） 8.平行于同一平面的两条直线平行( ) 9.若a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α∥β；（ ） 10.若a∥α，b⊂α，则a∥b（ ） 11. 若a∥α且b∥α，则a∥b；（ ） 12.若α∥γ，β∥γ，则α∥β；（ ）
1.2.2 空间中的平行关系
复习：直线与平面平行：
a a
-------b-----------
b
3． 平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行.
Aa
b
（2）推论：如果一个平面内有两条相交
直线分别平行于另一个平面内的两条直
线，则这两个平面平行.
于是得 AB DG DG DE BC GC GC EF
所以 AB DE BC EF
判断正误：
1.如果一个平面内有两条平行直线平行于另一个平 面，那么这两个平面平行( )
2.如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行( )
人教A版高中数学必修二《空间中的平行关系》PPT
解：A 中缺少 l 在平面 α 外这一条件；直线在平面
α外包括直线与平面相交和与平面平行两种情况，故 B
错；C 中缺少 a 不在平面 α 内这一条件；D 满足线面平 行的三个条件，故选 D.
答案：D
2．下列命题错误的是( ) A．若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平 面，则这两个平面平行 B. 垂直于同一直线的两平面平行 C. 平行于同一直线的两平面平行 D. 平行于同一平面的两平面平行
2.作用：判定或证明直线与直线平行的一种方法， 在两个平面找两条平行线的一种方法
3.定理简写：面面平行
线线平行.
定理应用 热身练习
1．下列说法正确的是( )
A．若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α
B．若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α C．若直线 a∥b，b⊂α，则 a∥α D．若直线 a⊄α，b⊂α 且 a∥b，那么直线 a∥α
(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它 与另一个也相交．
(5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直 于另一个平面．
(6)夹在两个平行平面间的平行线段相等． (7)两平行平面间的距离处处相等． (8)平行于同一条直线的两条直线平行． (9)平行于同一个平面的两个平面平行． (10)平行于同一直线的两个平面平行或相交． (11)平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面．
平面与此平面的交线与该直线平行.
(简记：线面平行，则线线平行)
a
符号语言：
a//
a
a//b
b
b
作用： 可以用来证明线线平行
平面与平面平行的性质定理
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它 们的交线平行。
α外包括直线与平面相交和与平面平行两种情况，故 B
错；C 中缺少 a 不在平面 α 内这一条件；D 满足线面平 行的三个条件，故选 D.
答案：D
2．下列命题错误的是( ) A．若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平 面，则这两个平面平行 B. 垂直于同一直线的两平面平行 C. 平行于同一直线的两平面平行 D. 平行于同一平面的两平面平行
2.作用：判定或证明直线与直线平行的一种方法， 在两个平面找两条平行线的一种方法
3.定理简写：面面平行
线线平行.
定理应用 热身练习
1．下列说法正确的是( )
A．若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α
B．若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α C．若直线 a∥b，b⊂α，则 a∥α D．若直线 a⊄α，b⊂α 且 a∥b，那么直线 a∥α
(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它 与另一个也相交．
(5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直 于另一个平面．
(6)夹在两个平行平面间的平行线段相等． (7)两平行平面间的距离处处相等． (8)平行于同一条直线的两条直线平行． (9)平行于同一个平面的两个平面平行． (10)平行于同一直线的两个平面平行或相交． (11)平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面．
平面与此平面的交线与该直线平行.
(简记：线面平行，则线线平行)
a
符号语言：
a//
a
a//b
b
b
作用： 可以用来证明线线平行
平面与平面平行的性质定理
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它 们的交线平行。
空间中的平行关系-人教A版高中数学必修第二册上课用PPT
• 练习：如图所示,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,S是B1D1 的 中点，E. F. G分别是BC、CD和SC的中点。
求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1； • (2)平面EFG∥平面BDD1B1.
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
5.如图,四棱锥PABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2,
E、F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF＝
A
又因为 DE EF E,
所以 平面DEF//平面ABD
化归思想
P
F E
C B
空间中的平行关系-人教A版高中数学 必修第 二册优 秀课件
练习．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、E、 F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点． 求证：平面AMN∥平面EFDB．
空间中的平行关系-人教A版高中数学 必修第 二册优 秀课件
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
课堂小结
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平 面 AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. • 求证：N为AC的中点．
求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1； • (2)平面EFG∥平面BDD1B1.
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
5.如图,四棱锥PABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2,
E、F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF＝
A
又因为 DE EF E,
所以 平面DEF//平面ABD
化归思想
P
F E
C B
空间中的平行关系-人教A版高中数学 必修第 二册优 秀课件
练习．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、E、 F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点． 求证：平面AMN∥平面EFDB．
空间中的平行关系-人教A版高中数学 必修第 二册优 秀课件
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
课堂小结
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平 面 AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. • 求证：N为AC的中点．
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第二课时 辽宁师范大学 王晓桐
1
1.2.1 平面的基本性质与推论
2
3
P23-例1.38
4
注：证明直线在平 面内的依据
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都在这个平面内，即 直线在平面内。
P23-例1.39
5
P23-例1.40 公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们有且 只有一条通过这个点的公共直线。
α A b 面直线
9
①用定义（多用反证法），即证明两条直线既不相 交又不平行； ②判定定理：与一平面相交于一点的直线与平面内 不经过该点的直线是异面直线。
P24-例1.42
10
当点在同一平面内，当点不在同一平面内分别讨论。 例1.43：空间中的四点可以确定几个平面？
11
图形语言用文字语言表述； 文字语言转化为符号语言。 画图顺序：先画平面，再画点线。
P24-例1.44
12
证明三点共线常用方法： 法1、找出两个平面，证明这三点都是这两个平面 的公共点； 法2、选择其中两点确定一条直线。然后证明另一 点也在直线上。
P24-例1.45
13
.例1.46：三个平面能把空间分成几
部分？
一个平面能把空间分成几部分？ 二个平面能把空间分成几部分？
求证：EF// 平面 BDD B . 1 1 F D1
C1 A1 B1 A1 B1 D1 F C1
M
ND M
A B E
C A
D E B
C
P26-例1.56
34
问题1：命题“若直线a平行于平面α，则 直 线a平行于平面α内的一切直线．” 对吗？
a c b
那么直线a会与平面内那些线平行呢？
35
问题2：在上面的论述中平面的直线b
α， a // b， a //α.
29
a在平面外 b在平面内 ab平行 可以用判定定理将直线与平面间的平行关系，转化 为直线间的平行问题。
P26-例1.55
30
证明：如图,连接BD,在△ABD中,
A E D B F C
因为 E,F分别为AB，AD的中点，
又因为BD 平面BCD, EF 平面BCD,
20
所以 AA1 / /DD1
同理可得
AA1 / /EE1
所以DD1E1E是平行四边形。 在△ADE和△A1D1E1中. AD=A1D1，AE=A1E1，
DE=D1E1，
于是△ADE≌△A1D1E1， 所以∠BAC=∠B1A1C1.
21
一组边的方向相同，而另一组边 的方向相反，又如何？
γ
α
β
，互补 , 互补
14
证明几点共面问题：可先取不共线的三点确定一个 平面，再证明其余各点都在这个平面内。 证明空间几条直线共面问题：可先取两条相交或平 行直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平 面内。
P24-例1.47 课堂练习：P25
15
1.2.2 空间中的平行关系
16
平行于同一条直线的两条直线互相平行，符号表述 为：
a∩=A
1、我们把直线与平面相交或平行的情况统称为直 线在平面外，用符号表示为 a ／
2、“直线与平面不相交”说明： “直线与平面没有公共点”说明：
28
（1）文字语言：如果不在一个平面内的 一条直线和平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平面平行. （2）图形语言：
b a
（3）符号语言： a α，b
24
如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线
25
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图
中的两种空间四边形ABCD和ABOC.
P26-例1.50
26
空间直线与平面的位置关系有哪几种?
直线a在平面 内
直线a与平面相 直线a与平面平 交 行
a
a A
a//
27
a
a
22
空间中任意的角通过平行移动，角度都不会改变。
P26-例1.49
23
（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成的图 形，叫做空间四边形； （2）四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； （3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的 边； （4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对 角线。
所以 EF ∥BD,
31
D1 A1 E D A
F
C1 B1 C B
32
例1.53：如图，已知在三棱柱ABC— A1B1C1中，D是AC的中点. 求证：AB1//平面DBC1
A1 C1 B1
P
D A C
B
33
例1.54：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC与C1D1 的中点.
a//c，b//c
a//b.
a
c
b
α
17
例1.48：已知AA1是正方体ABCD-A1B1C1D1的 一条棱，这个正方体中与AA1平行的棱共有（C）
A.1条B.2条源自C.3条 D.4条18
定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对 应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
已知：如图所示，∠BAC和∠B1A1C1 的边AB//A1B1，AC//A1C1，且射线 AB与A1B1同向，射线AC与A1C1同向，
求证：∠BAC=∠B1A1C1.
19
证明：对于∠BAC和∠B1A1C1在同一个平面内的情形， 在初中几何中已经证明， 下面证明两个角不在同一平面内的情形。 分别在∠BAC的两边和∠B1A1C1 的两边上截取线段AD=A1D1和
AE=A1E1.
因为， AD / / A D 所以AA1D1D 1 1 是平行四边形，
(1)两个平面有公共点必有公共直线；
(2)公共点必在公共直线上； 注：1）确定两平面是否相交； 2）证明三点共线的依据；
3）证明三线共点的依据。
6
P23-例1.41
公理 3 ：经过不在同一条直线上的三点，有且 只有一个平面。 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点, 有且只有一个平面 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个 平面 推论3：经过两条平行直线, 有且只有一个平面
注：确定平面的方法。
7
共面直线的定义：空间中几条直线都在同一平面内。 异面直线的定义：既不相交又不平行的直线。（不 在任意一平面内）
异面直线 画法： a
b a
a
b
b
8
位置 图 示 表示方法 公共点个 关系 数 相 a 一个 Ab a b A 两 交 α 直 a 线 平 a∥b 没有 共 行 b 面 a、b是异 异面 没有
1
1.2.1 平面的基本性质与推论
2
3
P23-例1.38
4
注：证明直线在平 面内的依据
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都在这个平面内，即 直线在平面内。
P23-例1.39
5
P23-例1.40 公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们有且 只有一条通过这个点的公共直线。
α A b 面直线
9
①用定义（多用反证法），即证明两条直线既不相 交又不平行； ②判定定理：与一平面相交于一点的直线与平面内 不经过该点的直线是异面直线。
P24-例1.42
10
当点在同一平面内，当点不在同一平面内分别讨论。 例1.43：空间中的四点可以确定几个平面？
11
图形语言用文字语言表述； 文字语言转化为符号语言。 画图顺序：先画平面，再画点线。
P24-例1.44
12
证明三点共线常用方法： 法1、找出两个平面，证明这三点都是这两个平面 的公共点； 法2、选择其中两点确定一条直线。然后证明另一 点也在直线上。
P24-例1.45
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.例1.46：三个平面能把空间分成几
部分？
一个平面能把空间分成几部分？ 二个平面能把空间分成几部分？
求证：EF// 平面 BDD B . 1 1 F D1
C1 A1 B1 A1 B1 D1 F C1
M
ND M
A B E
C A
D E B
C
P26-例1.56
34
问题1：命题“若直线a平行于平面α，则 直 线a平行于平面α内的一切直线．” 对吗？
a c b
那么直线a会与平面内那些线平行呢？
35
问题2：在上面的论述中平面的直线b
α， a // b， a //α.
29
a在平面外 b在平面内 ab平行 可以用判定定理将直线与平面间的平行关系，转化 为直线间的平行问题。
P26-例1.55
30
证明：如图,连接BD,在△ABD中,
A E D B F C
因为 E,F分别为AB，AD的中点，
又因为BD 平面BCD, EF 平面BCD,
20
所以 AA1 / /DD1
同理可得
AA1 / /EE1
所以DD1E1E是平行四边形。 在△ADE和△A1D1E1中. AD=A1D1，AE=A1E1，
DE=D1E1，
于是△ADE≌△A1D1E1， 所以∠BAC=∠B1A1C1.
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一组边的方向相同，而另一组边 的方向相反，又如何？
γ
α
β
，互补 , 互补
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证明几点共面问题：可先取不共线的三点确定一个 平面，再证明其余各点都在这个平面内。 证明空间几条直线共面问题：可先取两条相交或平 行直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平 面内。
P24-例1.47 课堂练习：P25
15
1.2.2 空间中的平行关系
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平行于同一条直线的两条直线互相平行，符号表述 为：
a∩=A
1、我们把直线与平面相交或平行的情况统称为直 线在平面外，用符号表示为 a ／
2、“直线与平面不相交”说明： “直线与平面没有公共点”说明：
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（1）文字语言：如果不在一个平面内的 一条直线和平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平面平行. （2）图形语言：
b a
（3）符号语言： a α，b
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如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线
25
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图
中的两种空间四边形ABCD和ABOC.
P26-例1.50
26
空间直线与平面的位置关系有哪几种?
直线a在平面 内
直线a与平面相 直线a与平面平 交 行
a
a A
a//
27
a
a
22
空间中任意的角通过平行移动，角度都不会改变。
P26-例1.49
23
（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成的图 形，叫做空间四边形； （2）四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； （3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的 边； （4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对 角线。
所以 EF ∥BD,
31
D1 A1 E D A
F
C1 B1 C B
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例1.53：如图，已知在三棱柱ABC— A1B1C1中，D是AC的中点. 求证：AB1//平面DBC1
A1 C1 B1
P
D A C
B
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例1.54：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC与C1D1 的中点.
a//c，b//c
a//b.
a
c
b
α
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例1.48：已知AA1是正方体ABCD-A1B1C1D1的 一条棱，这个正方体中与AA1平行的棱共有（C）
A.1条B.2条源自C.3条 D.4条18
定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对 应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
已知：如图所示，∠BAC和∠B1A1C1 的边AB//A1B1，AC//A1C1，且射线 AB与A1B1同向，射线AC与A1C1同向，
求证：∠BAC=∠B1A1C1.
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证明：对于∠BAC和∠B1A1C1在同一个平面内的情形， 在初中几何中已经证明， 下面证明两个角不在同一平面内的情形。 分别在∠BAC的两边和∠B1A1C1 的两边上截取线段AD=A1D1和
AE=A1E1.
因为， AD / / A D 所以AA1D1D 1 1 是平行四边形，
(1)两个平面有公共点必有公共直线；
(2)公共点必在公共直线上； 注：1）确定两平面是否相交； 2）证明三点共线的依据；
3）证明三线共点的依据。
6
P23-例1.41
公理 3 ：经过不在同一条直线上的三点，有且 只有一个平面。 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点, 有且只有一个平面 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个 平面 推论3：经过两条平行直线, 有且只有一个平面
注：确定平面的方法。
7
共面直线的定义：空间中几条直线都在同一平面内。 异面直线的定义：既不相交又不平行的直线。（不 在任意一平面内）
异面直线 画法： a
b a
a
b
b
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位置 图 示 表示方法 公共点个 关系 数 相 a 一个 Ab a b A 两 交 α 直 a 线 平 a∥b 没有 共 行 b 面 a、b是异 异面 没有