8 利率期权定价

1
在交易所市场（例如 CME）中，大部分的债券期权实际上是以债券期货为期权的标的资产，但其基本原 理是一样的。 2
这些模型下存在欧式零息债期权的解析解。这样，将附息债期权分解为零息债期权的组合， 就可以得到附息债期权的解析解。 数值法定价的应用则更为广泛， 可以应用于由于产品本身 或利率模型设定过于复杂而造成的不存在解析解的情况。 在固定收益证券领域， 最常用的数 值方法就是第七章介绍的树图法。 在本节里，我们将主要介绍第一种思路下的 模型和第二种思路下的 解 析解方法。在第二节介绍含权债时，我们再讨论树图方法的运用，其基本原理都是一样的。 （一） 模型 模型是由 于 年提出的。这个模型最早提出时是为欧式期货期权 定价， 后来人们发现可以将其拓展至更广的领域， 欧式债券期权定价就是其中之一。 在这里， 我们直接介绍该模型在欧式债券期权定价中的应用结论，对原文有兴趣的读者可参考 。 模型对欧式债券期权定价的基本思路是，假设标的债券价格在期权到期时刻 服 从对数正态分布，则该债券欧式期权的定价公式为
*
。在可赎回时刻 T ，债券发行者的回报可以表达为
* * * max P T , T , X P T , T max P T , T X ,0


式 的左边表示发行者有权选择较低的负债水平，右边则表示对于债券发行者而言，发行 一份可赎回债，等价于发行一份普通的不含权债券，并持有一份以该债券为标的资产、以赎 回价 为执行价格、 时刻到期的看涨期权多头。基于债券价格与到期收益率之间的反向 函数关系，也可以看作发行者持有一份利率的看跌期权多头。利率下跌时，发行者便可借新 债还旧债，将旧债提前赎回，降低利息负担；利率上升时发行者可以弃权。可赎回债的投资 者则刚好与之相反，等于持有一份普通不含权债券，并拥有该债券看涨期权（或利率看跌期 权）的空头。 类似地，在可回售时刻 ，可回售债投资者的回报为
c Model
i 1 i
N
j
i
j r T ci Modeli rX ；反之亦然。因此，式 i 1
N
又可以写为
j j max P T , TN X , 0 max ci Modeli r T Modeli rX , 0 i 1 j ci max Modeli j r T Modeli rX , 0 i 1 N N
）所
支付息票的现值。 值得强调的是，距离债券到期时刻越近，债券价格的波动越小。因此公式 率
中的波动

实际上只是确定了债券价格的对数在 T t 期间的标准差为 P t , T T t ，
并不一定意味着此期间任意瞬间的波动率为

。
3
我们可以看到，用 模型对债券期权进行定价，其形式与标的资产为支付红利的股 票的期权价格非常相似。应该注意的是，如果标的债券在 时刻不服从对数正态分布，那 么 公式就不能使用。另外，对于美式期权，由于没有利率动态过程的信息， 模型 也不适用。 （二） 模型 由于附息债可以视为零息债的组合， 模型的基本思路是将附息债期权表示为 零息债期权的组合，再应用我们在第七章中得到的 或 等单因子模型下的零息债 期权价格的解析解，得到附息债期权价格的解析解。 首先，在单因子模型的假设下，瞬时利率发生变动时，整条利率期限结构将发生相应变 动，且长短期利率的变动方向将是一致的。给定某个单因子模型，记为 Model j ，在该模型 下，任意到期期限的零息债价格都可以写成当前瞬时利率的函数
1
为书写方便，以下都略去其他参数。 4
值得注意的是，在式
中，瞬时利率 r T 是影响附息债及其包含的零息债的唯一随
X
机 因 素 。 因 此 只 要 r T
r， 则 对 于 任 意 现 金 流 时 刻
， 都 有
j Modeli j r T Modeli rX ， 而 对 于 整 个 附 息 债 ， 我 们 也 有
N





ci max B T , Ti X i , 0
i 1
其中， X i Modeli
j
rX 。观察等式
，我们实际上已经将附息债期权的回报转换成一
系列零息债期权回报的组合。 这样， 运用第七章中介绍的特定单因子模型下的零息债欧式期 权定价公式，我们就可以很快写出附息债欧式期权定价的解析解。

其中













这里，




和 分别为欧式看涨期权和欧式看跌期权在
时刻的价值，
为执行价格， 和 ，
N 为标准正态分布的累积概率分布函数，期权和标的债券的到期时刻分别为
在学习完本章后，你应该能够理解和掌握： 债券期权的基本特征与常用定价方法 可赎回债券与可回售债券的基本特征与常用定价方法 利率顶与利率底的基本特征与定价公式 利率互换期权的基本特征与定价公式 利率期权定价的一般原理
1
在第三章中我们介绍了利率的远期、 期货以及互换等简单利率衍生产品的定价； 然而除 了这些产品外，国际金融市场上还存在着大量的期权类利率衍生产品。在本章中，我们主要 介绍市场常见的几种利率期权产品的基本特征与定价方法：债券期权、含权债、利率顶与利 率底以及利率互换期权。 在这一章中， 你将会了解第七章中那些抽象的动态利率模型是如何 运用的。
B t , Model j r t ;
其中 Model r t ; 中的 表示其他参数 ，
j
为
时刻的零息债价格的一般表达形式，
其中“ ”表示债券到期时刻，
则是
时刻的瞬时利率。虽然这个函数的形式可能根据
模型选择不同而变化，但该函数必定关于瞬时利率单调递减。 其次，由于附息债的价格可以表示为零息债价格之和，即
i 1
N
这样，在期权到期的
时刻，欧式附息债看涨期权的回报可以写成
N j max P T , T X , 0 max N r T X , 0 ci Modeli i 1
由于附息债价格是瞬时利率的单调函数，因此必然存在一个瞬时利率 rX ，使得
二、中国市场上的含权债案例
表 展示了国家开发银行在 表
债券名称
年发行的一只可回售债的具体条款。 可回售债 国开 基本条款
08 国开 23
国家开发银行 2008 年第二十三期金 债券简称
6
融债券 发行人 债券类型 期限(年) 债券面值 票面利率 (%) 利率类型 国家开发银行股份有限公司 金融债 3+7 100.00 2.1000 累进利率 20081215-20111214,票面利率 利率说明 为 2.1%; 20111215-20181214,票面利率 为 3.6% 回售条款: 投资人可选择在 2011 年 12 月 15 日向发行人全部或部分 内含特殊条款 回售条款 特殊条款说明 回售该债券(回售价格为 100 元/百 元面值)或继续持有该债券至 2018 年 12 月 15 日。 起息日期 摘牌日期 2008-12-15 2018-12-12 到期日期 2018-12-15 付息日说明 每年 12 月 15 日付息,节假日顺延 上市市场 上市日期 发行价格(元) 发行规模(亿元) 息票品种 年付息次数 银行间债券 2008-12-19 100.00 300.00 附息 每年付息 1 次

为
至
期间标的债券价格对数的波动率，

为
时刻标的债券的远期价
格，远期到期时刻为
。根据第三章中的债券远期定价原理，
的定价公式为
F t,T ,T
其中 P t , T
*

P t,T * I B t,T

*
为标的债券在
时刻的价格， I 为标的债券在期权的存续期间（从 至
5
在本节中， 我们将介绍市场上常见的两类含权债 可赎回债券与可回售债券的基本特 征，并以市场上的真实案例帮助读者了解中国含权债的一些基本情况。之后，我们将以可赎 回债为例介绍如何用 模型为含权债定价。
一、可赎回债与可回售债的基本特征
可赎回债是在普通债券的基础上附加了赎回条款， 规定债券的发行人有权在债券到期前 以事先约定的价格将债券买回； 可回售债中内嵌的条款则规定了债券的持有者有权在到期前 按照约定的价格将债券卖还给发行者。 若在约定的行权期间未行权， 则这些债券都与普通不 含权债券一样按合同约定还本付息。 我们首先来分析可赎回债的基本特征。假设当前时刻为 t ，可赎回的时刻为 T ，债券到 期日为 T ，约定的赎回价为
一、 债券期权的基本特征
在第一章的第三节中， 我们已经介绍了债券期权的基本含义， 这里我们仅给出欧式债券 看涨期权到期回报的公式为

其中 期日为 为期权执行价格， 且



的标的债券价格，注意该债券的到

则为期权到期时刻

，也就是说，期权到期时刻标的债券仍存续。相应的欧式看跌期权的到
期回报公式为
P t , TN ci Bi t , Ti
i 1
N
其中
为附息债每次现金流入的时刻， 为每次对应的现金流，
是附息债到期时刻，而
加和并不改变函数的单调性， 因此附息债价格也可以写成当前瞬时利率的单调递减函数， 即
P t , TN ci Modeli j r t
X ci Modeli j rX
i 1
N
这样，我们实际上是把执行价格 X 表示成标的债券在 此，式 可以写成