利率期权
利率期权
利率期权一、定义利率期权是指买方在支付了期权费后即取得在合约有效期内或到期时以一定的利率（价格）买入或卖出一定面额的利率工具的权利。
二、特点利率期权是一项规避短期利率风险的有效工具，借款人通过买入一项利率期权，可以在利率水平向不利方向变化时得到保护，而在利率水平向有利方向变化时得益。
三、种类利率期权有多种形式，常见的主要有利率上限、利率下限、利率上下限。
1、利率上限期权利率上限是客户与银行达成一项协议，双方确定一个利率上限水平，在此基础上，利率上限的卖方向买方承诺：在规定的期限内，假如市场参考利率高于协定的利率上限，则卖方向买方支付市场利率高于协定利率上限的差额部分；假如市场利率低于或等于协定的利率上限，卖方无任何支付义务，同时，买方由于获得了上述权利，必须向卖方支付一定数额的期权手续费。
例1：大华公司拟以浮动利率方式借入一笔资金，为避免将来利率上升造成借款成本增加，决定同时购买一笔上限交易，形成附带上限交易条款的贷款方式。
大华公司的主要借款条件为：金额：10，000，000美元期限：3年利率：6个月期LIBOR+0.5% 大华公司购入的上限交易条件为：金额：10，000，000美元期限：3年基准利率：6个月期LIBOR 上限利率：10.0% 费用：0.5%，每年分两次支付3年内的6个月期的LIBOR水平（%）：8.0,9.0,10.0,11.0,12.0,13.0表1 大华公司借款的实际成本6个月期LIBOR浮动利率筹资成本（6个月期LIBOR_+0.5%)上限交易实际筹资成本交付费用收取利息差额8.0 8.5 0.5 0.0 9.09.0 9.5 0.5 0.0 10.010.0 10.5 0.5 0.0 11.011.0 11.5 0.5 1.0 11.012.0 12.5 0.5 2.0 11.0大华公司购入的下限交易条件为：金额：10，000，000美元期限：3年基准利率：6个月期LIBOR 下限利率：8.0% 费用：0.3%，每年分两次支付3年内的6个月期的LIBOR水平（%）：8.0,9.0,10.0,11.0,12.0,13.0表2 大华公司资金运用的实际收益6个月期LIBOR浮动利率筹资成本（6个月期LIBOR_-0.5%)下限交易实际收益交付费用收取利息差额6.0 5.5 0.3 2.07.27.0 6.5 0.3 1.0 7.28.0 7.5 0.3 0.0 7.29.0 8.5 0.3 0.0 8.210.0 9.5 0.3 0.0 9.2具体地说，购买一个利率上下限，是指在买进一个利率上限的同时，卖出一个利率下限，以收入的手续费来部分抵销需要支出的手续费，从而达到既防范利率风险又降低费用成本的目的. 而卖出一个利率上下限，则是指在卖出一个利率上限的同时，买入一个利率下限。
20140312-利率期权定价
利率期权的定价
• 一般而言，若利率上限为RX，本金为L，从利率上限有效期开 始，在T，2T，3T，……nT时支付，则利率上限的出售方在 （k+1）T时刻须支付：TLmax（Rk-RX,0）,其中RX是kT时刻被限 定的利率价值。 • 假设Rk服从对数正态分布，其波动率测度是 k ，根据Black模 型，这个期权元的价值为：
TLe
r*
( Fk N (d1 ) Rx N (d 2 ))
k kT
d1 d2
ln( Fk / Rx ) k 2 kT / 2 ln( Fk / Rx ) k 2 kT / 2
k kT
d1 kT
•Fk为kT时刻与（k+1）T 时刻之间的远期利率； •r*为到期日是（k+1）T 的按连续复利计息的零收 益率曲线利率； •RxFk都按T的频率计复 利。
Fk=0.07，T=0.25，L=10 000，Rx=0.08，r*=0.065, kT=1.0 ln 0.8d1
0.20
0.5677
d 2 d1 0.20 76.77
所以利率期权元的价格是： 0.25*10 000e-0.065*1.25(0.07N(-0.5677)-0.08N(-0.7677))=5.19
利率期权的定价
（2）利率上限期权的定价
假如一个本金为1000万美元的贷款的利率为每三个月按3个月期 LIBOR重新设定一次，一家金融机构提供了一项年利率10%的利率上 限（按复利来表示）。 该金融机构在每个季末的盈亏：0.25*10 000 000*max（R10%,0），其中R是每季度开始时的3个月期LIBOR（按季度计复利来 表示）。
利率期权的定价
（1）运用Black模型为欧式期权定价
企业利率风险管理
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浅谈LPR_利率期权与商业银行衍生品业务模式
M acro-Economics宏观CAPITALWEEK15 精心栽培和改造环境并举，才能使LPR 利率期权从稚嫩小苗成长为参天大树。
浅谈LPR 利率期权与商业银行衍生品业务模式本刊特约作者 郭柳翠 王汝泽／文2020年1月2日，《关于试点利率期权业务有关准备事项的通知》发布。
为更好发挥银行间利率衍生品市场对实体经济支持作用，满足市场成员利率风险管理需求，完善利率风险定价机制，经中国人民银行批复同意，全国银行间同业拆借中心（下称“交易中心”）将试运行利率期权交易及相关服务。
3月23日，挂钩LPR 人民币利率期权业务正式在中国银行间市场正式推出，交易品种包括挂钩LPR1Y/LPR5Y 的利率互换期权、利率上/下限期权，期权类型为欧式期权。
作为银行间第一个利率期权，LPR 利率期权受到的关注众多，作为利率交易员，笔者持续观察该品种，首日交易至今3月有余，部分心得、观点与诸位商。
期权与期权市场参与者期权（option）顾名思义是未来的权利。
一份期权合约向一方提供延迟决定的权利。
期权合约的买方在支付了期权费（option premium）后，具有在特定时间内向合约卖方以约定价格买入或卖出特定资产的权利。
期权分为看涨期权和看跌期权两种基本类型。
其中，看涨期权（call option）的持有者有在指定日期或之前对特定资产以约定价格买入或持有多头的权利，看跌期权（put option）的持有者有在指定日期或之前对特定资产以约定价格卖出或持有空头的权利。
期权按资产标的又可分为利率期权、外汇期权、股票期权、期货期权等。
其中，利率期权是一种与利率变化挂钩的期权，到期时以现金或者与利率相关的合约进行结算，包括但不限于利率互换期权、利率上/下限期权。
互换期权（swaption）是指以利率互换为交易标的的选择权。
当选择权买入方在支付期权费后，依照合约规定，买入方拥有在某一到期日执行某一利率互换的权利。
通常当指标利率有利于期权买入方时，买入方才会向卖出方提出执行利率互换。
利率期权和利率掉期产品解读
利率期权和利率掉期产品解读第一节 利率期权一、期权的特征从交易方式看，期权有两个基本的类型：看涨期权和看跌期权。
看涨期权赋予期权的持有者有权在某一时刻以敲定的价格购买某一基础金融工具，但也有权不购买；看跌期权赋予期权的持有者有权在某一时刻以敲定的价格卖出某一基础金融工具，但也有权不卖出。
不过这一权力不是免费的，期权的购买者必须向出售者支付一定的费用，这种费用叫期权费，也称为期权的价格。
此外，期权的交易还可分为美式期权和欧式期权，美式期权在期权到期以前任何时刻都可以行使期权赋予的权利；欧式期权只有在期权到期日才能行使期权赋予的权利。
按期权合约的标的资产来看，金融期权可分为股权期权、利率期权和货币期权三大类。
利率期权是指现金流依赖于利率水平的期权，主要分为实际证券期权（如国债期权、政府票据期权等）、债券期货期权（如国库券期权、欧洲美元期货期权等）和利率协定（如利率上限等）。
在期权交易中，期权合约的买卖双方所面临的风险是不对称的。
期权的卖方所面临的风险比期权的买方要大的多，因为期权买方的最大损失为支付给卖方的期权费。
而对卖方而言，如利率向不利卖方方向变动，卖方的损失是无限的。
二、 利率期权的套期保值原理 利率期权的套期保值的效果图见图11-2。
运用金融期货和金融期权进行套期保值的主要区别在于：运用金融期货套期保值，在防范利率不利变动的同时，也将利率的有利变动转移出去了。
而运用金利润 期权费0 损失期权 获利S标的资产价格标的资产价格图11-1 银行购入看涨期权效果图利润期权费0 损失期权 获利 S图11-2 银行购入看跌期权效果图融期货进行套期保值，这些新增加的利润将会被期货市场的亏损冲消。
运用金融期权进行套期保值，能将不利的利率变动带来的风险转移出去，而将有利的利率变动留给自己。
不过这种权利不是免费的，银行必须支付一定的成本（期权费）。
因此，银行在运用金融期权进行套期保值时，应进行成本—利润—风险分析。
外汇期权、利率期权与金融期权(ppt 71页)
三种监督方式的比较
• 自我监督：越来越难，因为价值的多元化， 能够被内化到个人心中而且被普遍接受的东 西越来越少。
• 双向监督：越来越难，分工的存在，隔行如 隔山。另外，坑你的和你坑的人不是同一个 人。
行使期权，其最终损失为0。 期权的盈亏平衡点
• 市场汇率>执行价格＋期权费 行使期权比不行使期权少支出的数量大
于期权费×交易数量，它可弥补期权费损失 并有余。
行使期权，可获得盈利
补充材料：信用与安然事件
• 信用
在金融经济中，涉及对偿信任关系” • 金融是有“风险”的：包括能力和信誉 能力：客观因素，想还没钱还 信誉：主观因素，有钱也不还 金融具有“规模经济”：股份制使得用大家
一、外汇期权的含义和种类
期权购买者在向期权出售者支付相应 期权费后获得一项权利，即期权购买者有 权在约定的到期日按照双方事先约定的协 定汇率和金额向期权出售者买卖约定的外 汇。
期权实际上是一种选择权 *期权种类
•根据期权内容划分 看涨期权（买入期权）
看跌期权（卖出期权）
*根据行使选择权的时间划分：
卖权 卖入一项卖出特定货币的权利 买出一项卖出特定货币的权利
例：标准化合约 一项期权的内容： USD PUT YEN CALL， 美元卖权，日元买权， 期权的买方有权向卖方卖出美元， 同时买入日元。
*期权买卖直接对象 *金额期权交易的金额 *协定价格（执行价格）
*期权费报价
采用买入价和卖出价双边价
•期权合同的期限或有效期 期权合同的时间越长，大幅度价格变动的
奇异期权的10种常见类型与案例也来解牛
奇异期权的10种常见类型与案例也来解⽜本⽂纲要1.亚式期权（Asian Option）2.障碍期权（Barrier Option）3.两值期权（Binary Option）4.远期期权（Forward Start Option）5.分阶段期权（Cliquet Option）6.复合期权（Compound Option）7.利率期权（Interest Rate Option）8.回望期权（Lookback Options）9.掉期期权（Swaption Options）10.彩虹期权（Rainbow Option）奇异期权的10种常见类型与案例|也来解⽜作者：也来专栏：也来解⽜期权的组成要素主要有：到期⽇、执⾏价格、期权类型、期权费、标的资产等等。
对于“正常”的期权，买⼊⼀个购汇期权的准确说法是：买⼊⼀个3个⽉后交割、执⾏价格为6.5000的欧式购汇期权，每份⽀付权利⾦1元。
这句话⾥就包含了期权的各个基本要素。
所谓奇异期权，是指不同于⼀般标准欧式或美式期权的期权，奇异期权的奇异⽆⾮就是期权要素的“不寻常”，⽐如执⾏价格不是⼀个固定值，是在某⼀段时间内的资产平均价格或者是最⾼、最低价。
还有⼀些把标准期权中默认的条件加以更改，⽐如期权合约的⽣效⽇期不是当期，⽽是约定的未来某⼀天。
还有⼀些则把期权中的“权利”进⾏异化，⽐如到期⽇标的资产价格⾼于约定价格就获得固定收益，⼩于约定价格就⽆所得。
这些“奇形怪状”的特殊期权共同组成了奇异期权家族。
当然，这个家族在不断扩⼤，因为不断有新的产品被研发出来，也有产品顺应时代潮流⽽落下帷幕。
本期给⼤家介绍10个⽐较常见的奇异期权，供⼊门学习。
为避免出现歧义和误导，本⽂中的⼤多数案例均⽤股票这⼀标的来说明，实际上汇率、利率类标的效果相似，不再赘述。
1. 亚式期权（Asian Option）定义：亚式期权也叫亚洲期权，最先出现于⽇本，因此得名。
其收益是由⼀些预先设定时间段的标的平均价格决定的。
理解与应用利率期货与期权
理解与应用利率期货与期权在金融市场中，利率期货和利率期权是两种重要的金融工具，用于对冲风险、进行投机和套利交易。
它们的价值和作用不可忽视，对于投资者和金融从业人员来说，理解和应用利率期货和期权是非常重要的。
什么是利率期货和期权？利率期货是一种金融合约，它允许买方在未来某个约定日期按照约定的利率进行买卖。
利率期权则是一种金融衍生品，它给予买方在未来某个约定日期以约定的利率买入或卖出某个标的资产的权利，而并非义务。
这两种金融工具的价值都与利率的变动有关。
由于利率是金融市场中最重要的变量之一，它对债券、贷款、投资等产生着深远的影响。
而利率期货和期权的存在，使得投资者可以灵活地应对利率波动，规避风险和实现利润。
利率期货与期权的应用利率风险的对冲在金融市场中，各种金融交易都受到利率波动的影响。
例如，一个企业可能需要贷款来扩大业务，但害怕利率上升会增加其资金成本。
为了对冲这种利率风险，企业可以使用利率期货或期权。
通过购买利率期货合约，企业可以锁定未来的利率，避免利率上升带来的不利影响。
而通过购买利率期权，企业则获得了在未来以约定利率进行贷款或投资的权利，从而保护自己免受利率上升的冲击。
投机和套利交易除了对冲利率风险，利率期货和期权还可以用于投机和套利交易。
投机交易是指通过买入或卖出利率期货或期权来盈利，而不是用于保护自己免受利率波动的影响。
例如，如果一个投资者预计利率将上升，他就可以购买利率期货合约，从中获利。
同样地，如果一个投资者预计利率将下降，他可以购买利率期权，以便未来以较低的利率进行投资或贷款。
套利交易则是通过利用不同市场之间的价格差异来获得无风险利润。
在利率期货和期权市场中，由于市场的错配和不同参与者的需求，常常会出现价格差异，投资者可以利用这些差异进行套利交易，来获取风险。
便且的利润。
为什么要理解与应用利率期货和期权？理解和应用利率期货和期权的好处是显而易见的。
它们可以帮助投资者和企业规避利率风险，保护自己的利益。
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利率期权【学习目标】通过本章的学习要掌握利率期权的基本含义，利率期权市场的基本情况，主要的利率期权，包括利率期货期权，场外市场期权，以及内嵌在债务工具中期权。
还要掌握为利率期权定价的解析工具。
期权调整差额(Option Adjusted Spread, OAS)的含义。
要理解利率期权定价的核心——布莱克模型。
第一节利率期权市场我们可以将利率期权分成三类：交易所交易的，场外市场交易的和内嵌在金融工具里的利率期权。
一、交易所交易的利率期权交易所交易的利率期权主要是指利率期货期权，此外还有一些债券期权，在第13章，我们讨论了期货期权定价的一般情况，在这一章，我们将通过利率期货期权更加深入地讨论这一问题。
主要利率期货期权是在CBT(Chicago Board of Trade),CMT(Chicago Mercantile Exchange)和LIFFE(London International Financial Futures Exchange)交易的。
二、场外市场交易的利率期权场外市场上的利率期权不像内嵌在其他金融工具中的利率期权，它是单独直接交易的，它也是利率期权发展和创新的根源。
因为场外交易市场几乎完全是私下进行的，所以没有关于市场规模和交易活动的完整、精确的统计数据。
不过，我们有可能确定其市场规模的下限，因为我们可以利用有两个数据来源，一个是国际互换和衍生工具协会（International Swaps and Derivatives Association，ISDA），ISDA会定期调查其成员的交易规模和营业资产；还有一个是美国货币审计办公室（Office of the Comptroller），它要求商业银行提交衍生产品交易的报告。
在场外交易市场上，名义本金的概念是很关键的。
名义本金可以通过与期货和期货期权市场的类比来理解。
举个例子，一份欧元期货合约（或一份欧元期货期权合约）的本金是$1,000,000，不过这一百万美元并不是合约中实际的投资或风险暴露头寸，这一百万美元类似于OTC上的名义本金。
名义本金是用来计算利息额的本金数量，它既不是实际的风险暴露，也不进行实际的支付，只是计算利息流的基础。
根据ISDA的报告，到1997年，场外市场上交易的利率期权的名义本金已超过5万亿美元，在过去10年每年以接近35％的速度增长。
ISDA的数据在一定程度上低估了场外市场的发展，因为它只包括101个会员的数据，不过仅此数据就表明场外市场的发展远远超过了交易所市场的发展。
而货币控制办公室（OCC）的报告显示，475家商业银行和信托公司在交易所和场外市场上均有大量的衍生证券头寸，它们的报告没有将利率期权和其他衍生工具区分开来，但可以断言银行的期权头寸主要是利率期权头寸。
1997年，这些银行持有的交易所期权头寸为1.363万亿美元，场外市场期权头寸为4.598万亿美元，两者都是用名义本金来衡量的。
货币控制办公室（OCC）的报告还显示，场外市场交易的期权和交易所交易的期权的比例约为3比1。
这些数据和ISDA报告的数据不是独立的，每份期权合约都有买方和卖方，因此可能银行的一些期权头寸在ISDA的调查中已经包括了，而且一些银行的衍生证券部也是ISDA 的会员，这些银行的期权头寸就可能被计算两次，这说明统计场外市场交易的利率期权是很困难的。
不过，至少有一点是清楚的，利率期权的市场规模巨大，名义本金的头寸以万亿计。
三、内嵌的利率期权除了在交易所和场外市场直接交易的利率期权，有大量的利率期权是内嵌在其他证券之中的。
这些利率期权一般是内嵌在可赎回的公司息票债券和抵押债务中。
在美国，长期公司债券一般是息票债券，而且是可赎回的。
赎回条款允许发行公司在特定的时间以特定的价格从投资者手中买回债券，即发行公司拥有一个内嵌在债券合约中的期权。
这个赎回条款在本质上是一个利率期权，因为赎回条款的价值依赖于债券的价值，而债券的价值依赖于利率。
几年前发行的美国国库券也有赎回条款，但现在没有了。
广泛存在的赎回条款说明内嵌的利率期权大量存在，这些内嵌的利率期权对债券的市场价值有显著影响，我们将看到，债券的期权特征会影响债券价格对利率变动的反应方式。
另外一类主要的内嵌的利率期权存在于抵押的不动产之中。
几乎所有的不动产抵押都含有提前偿还条款，它允许借款人在抵押到期前提前偿还负债，这个提前偿还条款是贷款人提供给借款人的。
不动产抵押贷款的余额以万亿美元计，多数抵押贷款会在到期前提前偿还，这意味着提前偿还期权一般会被执行。
在美国，住房抵押贷款一般是抵押银行用来形成抵押担保证券的基础。
在本质上，抵押担保证券（Mortgage-Backed Security, MBS）是一个组合或不动产抵押池。
MBS的投资者投资于由抵押贷款构成的组合，并按事先确定的比例参与组合现金流的分配。
一旦抵押贷款被纳入资产池，政府抵押协会(Government National Mortgage Association, GNMA)或联邦抵押协会( Federal National Mortgage Association, FNMA )会提供违约风险的担保。
因此MBS的收益率在考虑提前偿还的期权后略高于国库券的收益率。
在组成MBS的抵押贷款中，每期都有一些被提前偿还。
提前偿还住房抵押贷款的原因主要有两个：首先是一些人卖掉了住房，其次是为了利用更有利的再融资利率。
从MBS的投资者角度看，第二个原因更重要。
再融资一般会在现在的市场利率大大低于抵押贷款的合同利率的时候发生。
当MBS中的抵押贷款出现提前偿还的时候，MBS的投资者收到提前偿还款项的一部分。
从MBS投资者角度看，本金的偿还是不受欢迎的，因为这主要出现在利率很低的时候，MBS的投资者将面临以一个更低的利率投资。
提前偿还的定价是复杂的，因为提前偿还不但依赖于利率的变动，还依赖于人口统计学。
一些抵押贷款的提前偿还率更高，是因为借款人更倾向于卖掉房子，这些人的流动性和跳槽比例都比较高。
因此住房抵押贷款中内嵌的提前偿还期权很复杂，而且对理解MBS的定价非常重要。
MBS专家要花费大量的时间和精力，考虑提前偿还。
除了住房抵押贷款，另外一类MBS是证券化的抵押支持证券(Collateralized Mortgage Obligation, CMO)。
CMO是通过将抵押贷款的现金流分解后从新打包以满足不同投资者的需求。
这个打包称为部分( Tranche )，不同部分的息票率和到期日不同，它们被出售给不同的投资者。
此外，抵押贷款也可以剥离成利息和本金量部分，在一个典型的抵押贷款中，每个月的偿还额中的一部分是偿还当月的利息，剩下的部分是偿还本金。
一个利率( Interest only ) MBS仅由抵押贷款的利息偿还部分组成，类似的，本金( Principal only )MBS仅由本金偿还组成。
对于可赎回的债券和抵押贷款而言，理解它的价值和投资特征依赖于理解其中内嵌的期权带来的影响。
一般将含有内嵌期权的金融工具价格分解成两部分，主体价值和期权价值，主体价值是不含期权的同类工具的价值。
含内嵌期权的金融工具的价值＝主体价值±期权价值内嵌期权既可能增加主体的价值，也有可能降低主体的价值。
举个例子，可赎回债券中的赎回条款是发行者拥有的一个看涨期权，从投资的角度看，它降低了债券的价值。
可在抵押贷款中，借款人拥有一个提前偿还的期权。
在这两种主要的内嵌期权中，借款人拥有期权，因此期权降低了资产的价值，提高了资产的收益率。
第二节 利率期权的定价一、经过期权调整的价差现在我们开始讨论利率期权的定价，利率期权定价的关键是利率期限结构。
在讨论定价模型之前，我们还需要了解经过期权调整的价差（Option-Adjusted Spread ，OAS ），OAS 度量的是考虑了期权以后，以上内嵌了期权的金融工具和国债收益率的差值。
为了计算某个金融工具的OAS ，首先利用政府长期零息票收益率曲线进行估值，并将该值输入到新的定价模型中去。
将模型给出的该金融工具的价格与它在市场中的价格进行比较。
运用一系列迭代过程以确定平行漂移到所输入的国债收益率曲线的平行漂移量，该量将使得模型的价格等于市场的价格。
这个平行漂移量就是OAS 。
举个例子，假设市场价格是＄102.00，利用国债收益曲线计算出的价格为＄103.27。
作为第一步试算，我们可以选择平等漂移到国债零息票曲线的平行漂移量为60个点。
假设这个漂移量给出该金融工具价格为＄101.20。
这低于＄102.00的价格，意味着在0和60点之间的某个平行漂移量将使得模型所计算的价格等于市场价格。
自然我们利用线性插值计算得： 103.27102.006036.81103.27101.20⨯－＝－ 即36.81点，将它作为下一次试算的漂移量。
假设这个漂移量给出的价格为＄101.95。
这说明OAS 比36.81点要稍微小一些。
线性插值给出的下一次试算的漂移量为： 103.27102.0036.8135.41103.27101.95⨯－＝－ 即35.41点；如此等等。
二、布莱克（Black ）模型与利率期权的定价自从1973年布莱克－舒尔斯（Black-Scholes ）期权公式首次公布以来，该公式已成为非常流行的工具。
正如在第十三章所述，该模型经过扩展之后，可为货币期权、指数期权以及期货期权估值。
交易员已经非常习惯于支撑该模型的对数正态分布假设和用来描述不确定性的波动率测度。
为了将该模型运用于利率衍生证券的定价，人们做了各种扩展。
在利率衍生证券领域应用最广泛的布莱克－舒尔斯扩展模型是发表于1976年的Black 模型，起初开发该模型是为了给商品期货期权进行估值。
该模型扩展后为范围广泛的欧式期权估值提供了一个灵活的框架。
我们还将给出一些例子说明Black 模型如何应用于利率期权的定价。
（一）运用Black 模型为欧式期权定价考虑一个基于变量V 的欧式看涨期权，假设利率是非随机变量并定义：T ：期权到期日F ：在期限为T 的合约中的V 的未来价格X ：期权的执行价格r ：期限为T 的零息票收益σ：F 的波动率T V ：在时刻T 时V 的价值T F ：在时刻T 时F 的价值在时刻T ，期权的盈利状态是max(,0)T V X -，由于T T F V =，因此我们可认为在T 时刻的期权盈利状态为max(,0)T F X -，Black 模型给出0时刻欧式看涨期权的价值c 为：12[()()]rT c e FN d XN d -=- （14.1） 其中 21d =221d d σ==-相应的欧式看跌期权的价值p 为：21[()()]rT p e XN d FN d -=--- （14.2）（二）Black 模型的扩展Black 模型假设F 的波动率为常数，我们可以稍微放松这个假设。