函数 极限 连续重要概念公式定理

一、函数、极限、连续重要概念公式定理
（一）数列极限的定义与收敛数列的性质
数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有
n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞
=.若
{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.
收敛数列的性质：
(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞
=,则极限是唯一的．
(2)有界性：若lim n n x A →∞
=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ∀均有n x M ≤.
(3)局部保号性：设lim n n x A →∞
=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.
(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .
（二）函数极限的定义
（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)
1．海涅定理：()0
lim x x f x A →=⇔对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=L ,都有 ()lim n n f x A →∞
=．
2.充要条件：(1)()()0
lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-
→→→=⇔==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞
→+∞
→-∞
=⇔==.
3.柯西准则：()0
lim x x f x A →=⇔对任意给定的0ε>,存在0δ>,当
100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.
4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且0
lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则
lim ()x x f x A →=.
5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在
常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞
存在.
（四）无穷小量的比较 (重点记忆)
1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.
(1)若()
lim
0()
x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()
lim ,())()
x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()
lim (0),())()
x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)()
lim 1,())()
x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()
lim
(0),0,())()
k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,
（五）重要定理 (必记内容,理解掌握)
定理1 0
00lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==.
定理2 0
lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中.
定理3 (保号定理)：0
lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当
000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或.
定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且
lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0
lim ()x x f x A →=．
定理6 无穷小量的性质：
(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．
定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量． 定理8 极限的运算法则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =⋅
(3)()lim
(0)()f x A
B g x B
= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限． 定理10 初等函数在其定义域的区间内连续． 定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续．
（六）重要公式 (重点记忆内容,应考必备)
(1)0sin lim
1x x
x
→=
(2)1
1lim(1)e,lim(1)e n x
x n x n
→→∞
+=+=.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设
()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()
sin lim
1f x f x =,()()1
lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦
) (3)10110
10
0110,lim
,,n n n n m m x m m n m
a x a x a x a a n m
b b x b x b x b n m
---→∞-⎧ <⎪
++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩L L ． (4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==. (5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度 (6)几个常用极限
lim e 0,x x →-∞
= lim e ,x x →+∞
=∞ 0
lim 1x x x +
→=. （七）连续函数的概念
1. ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件：
①
()f x 在点0x 的某个领域内有定义
②()f x 当0x x →时的极限存在
③()()0
0lim x x f x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦. 2. ()f x 在0x 左连续：()f x 在(]00,x x δ-内有定义,且()()0
0lim x x f x f x -
→=. 3. ()f x 在0x 右连续：()f x 在[)00,x x δ+内有定义,且()()0
0lim x x f x f x +
→=. 4. ()f x 在(),a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内点点连续．
5. ()f x 在[],a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内连续,且左端点x a =处右连续,右端点x b =处左连续．
（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)
1．有界性定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对任意的
[],x a b ∈,恒有()f x M ≤．
2．最大最小值定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得：
()(){}[]max ,,a x b
f f x a b ξξ≤≤=∈; ()(){}[]min ,,a x b
f f x a b ηη≤≤=∈.
3．介值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,μ是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得
()().f a b ξμξ=≤≤．
4．零点定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 内至少∃一个ξ,使得
()()0.f a b ξξ=<<
（九）连续函数有关定理
1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数． 2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续．
3．复合函数的连续性：()u x ϕ=在点0x 连续,()00x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 连续,则复合函数
()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 连续．
4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数．
（十）间断点的定义及分类
1．定义：若在0x x =处,()0
lim x x f x →不存在,或()0f x 无定义,或()()0
0lim x x f x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间
断,0x x =称为()f x 的间断点．
2．间断点的分类。