2020-2021学年上海市华东师大二附中高一上学期期中考试数学试题
2020-2021学年上海市华东师大二附中高一上学期期中考试数学试题
2020．11
一、填空题
1．已知集合{}1,0,1,7A =-，则集合A 的非空真子集的个数为______．
2．不等式123x -<
<的解集为______． 3．．函数()
3x f x +=的定义域是______．
4．若{}3,2,1,0,1,2,3U =---，{}210,A x x x =-≤Z ，{}13,B x x x =-≤≤∈Z ，则A B ⋂=______．
5．设集合{}{},T =∅∅，则下列命题：①T ∅∈；②T ∅⊆；③{}T ∅∈；④{}T ∅⊆．其中正确的是______．（写出所有正确命题对应的序号）
6．若集合{x y ==R ，则实数a 的取值范围是______． 7．如果全集U 含有12个元素，P 、
Q 都是U 的子集，P Q ⋂中含有2个元素，P Q ⋂含有4个元素，P Q ⋂含有3个元素，则P 含有______个元素．
8．叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a 元、b 元、c 元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是______老师，理由是______（请写出关键的不等式）．
9．对于集合M ，定义函数()11M x M f x x M
-∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合A 、B ，定义集合
()(){}1A B A B x f x f x *=⋅=-，
已知集合{}A x =>，()(){}330B x x x x =-+>，则A B *=______．
10．已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程
123123x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，
则集合A 中最多有______个元素． 二、选择题
11．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是（ ）
A ．若q 不正确，则p 不正确
B ．若q 不正确，则p 正确
C ．若p 正确，则q 不正确
D ．若p 正确，则q 正确 12．已知a ，b ∈R ，则“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的（ ）条件
A ．充分非必要
B ．必要非充分
C ．充要
D ．既不充分又不必要
13．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题：
①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞
②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞
③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M
④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞
⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞
其中正确命题的个数为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
14．设集合{}110P x ax =+>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}
2220Q x x x b =++>，其中a ，b ∈R 下列说法正确的是（ ）
A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集
B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集
C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集
D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集
三、解答题 15．设0a >，0b >，且11a b a b
+=
+，证明： （1）2a b +≥； （2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立．
16．已知集合()(){}23210A x x m x m =-+++=，(){}223120B x x n x =+++=，其中m ,n ∈R ．
（1）若A B A ⋂=，求m 、n 的值；
（2）若A B A ⋃=，求m 、n 的取值范围．
17．已知命题P ：函数()()113f x x =-且()f a a <，命题Q ：集合(){}
2210,A x x a x x =+++=∈R ，{}0B x x =>且A B ⋂=∅．
（1）若命题P 、Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围；
（2）若命题P 、Q 均为真命题时的实数a 的取值范围；
（3）由（2）得结论，a 的取值范围设为集合S ，若,,,0m T y y x x m x x ⎧
⎫==+∈>≠⎨⎬⎩⎭
R ，若T S ⊆，求实数m 的范围．
18．2020年初，有一种高危传染病在全球范围内传播，中国东部沿海某市总人口约200万人，根据分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，未被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样结合后结果不发生改变．
（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组x 人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，求每个分组的最优人数是多少？
（2）在上题的检测方案中，对于检测结果为阳性的组取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样再进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少；
（3）在上题的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案．
华二附中高一期中数学试卷
参考答案
一、填空题
1．14 2．11,,23⎛
⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3．{}03x x x <≠-且 4．{}23， 5．①②③④ 6．3a ≤- 7．5
8．王老师，22a b ab a b +>+ 9．()[)(),30,13,-∞-⋃⋃+∞
10．3 二、选择题
11．D 12．A 13．B 14．B
三、解答题
15．（1）证明略；（2）证明略．
16．（1）122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或12m n =⎧⎨=-⎩； （2）5,13m n ∈⎧⎪⎨⎛⎫∈- ⎪⎪⎝
⎭⎩R 或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩． 17．（1）(][)5,47,a ∈--⋃+∞； （2）()4,7a ∈-； （3）(]0,4m ∈．
18．（1）在最坏情况下，需要进行6
2101000x x
⨯+次检测可以找到所有的被感染者，在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数是45：
（2）第一次每个组159人，第二次每个组13人，可使总次数尽可能少；
（3）进行这样的检测18次，即可得到总次数更少．。
2020-2021学年上海市浦东新区华师大二附中高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市浦东新区华师大二附中高一上学期期中数学试题一、单选题1．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是（ ） A ．若q 不正确，则p 不正确 B ．若q 不正确，则p 正确 C ．若p 正确，则q 不正确 D ．若p 正确，则q 正确【答案】D【分析】由命题“若p 不正确，则q 不正确”，根据四种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果． 【详解】解：命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题是： “若q 不正确，则p 不正确” 其等价命题是它的逆否命题，即 “若p 正确，则q 正确” 故选D ．【点睛】本题考查的知识点是四种命题的逆否关系，根据四种命题的定义，求出满足条件的逆命题，及互为逆否的两个命题为等价命题是解答本题的关键．2．已知,a b ∈R ，则“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充要D ．既不充分又不必要 【答案】A【分析】化简不等式1ab a b +>+为()()110a b -->，再根据充分、必要条件的判断方法，选出正确选项.【详解】不等式1ab a b +>+等价于()()110a b -->.故当“1a <，1b <”时，10,10a b -<-<，故()()110a b -->，即“不等式1ab a b +>+”成立.当“不等式1ab a b +>+”成立时，()()110a b -->，可能是1,1a b >>，故不能推出“1a <，1b <”.所以“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的充分非必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题. 3．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题：（ ） ①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],m -∞. ②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞. ③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M . ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞. ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞. A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】这是一个对不等式恒成立，方程或不等式解集非空的理解，概念题．对各个选项分别加以判断，在①②中，得出①正确②错误，④⑤中得出⑤正确④错误，而不难发现③是一个真命题，由此可得正确答案.【详解】对任何x ∈[a ，b]都有()p f x ≤，说明p 小于等于()f x 的最小值，①是正确的; 由于①正确，所以②是一个错误的理解，故不正确;关于x 的方程p =f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 应属于函数f (x ）在[a ，b ]上的值域[m ，M ]内，故③是正确的;关于x 的不等式p ≤f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 小于或等于的最大值，所以④是错误的，而⑤是正确的 正确的选项应该为①③⑤ 故选： B.【点睛】关键点点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．不等式或方程解集非空，只要考虑有解;而不等式恒成立说明解集是一切实数，往往要考虑函数的最值了．4．设集合{}21|10P x x ax =++>，{}22|20P x x ax =++>，{}21|0Q x x x b =++>，{}22|20Q x x x b =++>，其中,a b ∈R ，下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【分析】先证得1P 是2P 的子集，然后求得b 使1Q 是2Q 的子集，由此确定正确选项．【详解】对于1P 和2P ，由于210x ax ++>时222110x ax x ax ++=+++>，所以1P 的元素，一定是2P 的元素，故对任意a ，1P 是2P 的子集. 对于1Q 和2Q ，根据判别式有140440b b -<⎧⎨-<⎩，即1b >时，12Q Q R ==，满足1Q 是2Q 的子集，也即存在b ，使得1Q 是2Q 的子集. 故选B.【点睛】本小题主要考查子集的判断，考查恒成立问题和存在性问题的求解策略，属于基础题.二、填空题5．已知集合{}1,0,1,7A =-，则集合A 的非空真子集的个数为_________. 【答案】14【分析】先算出集合中的元素个数n ,根据非空真子集的计算公式22n -即可求出结果. 【详解】解: 集合{}1,0,1,7A =-， 元素个数4n = ,所以非空真子集个数为4222214n -=-=. 故答案为:146．不等式123x -<<的解集为__________. 【答案】11(,)(,)23-∞-+∞.【分析】将原不等式转化为1213xx⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解方程组求得原不等式的解集.【详解】原不等式等价于1213x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即120130x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，120130x x x x +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，()()120130x x x x ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩，解得11(,)(,)23x ∈-∞-+∞. 故答案为11(,)(,)23-∞-+∞.【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.7．函数0()f x =_________.【答案】()(),33,0-∞--【分析】解不等式组30||0x x x +≠⎧⎨->⎩即得解.【详解】由题得30,0||0x x x x +≠⎧∴<⎨->⎩且3x ≠-. 所以函数的定义域为()(),33,0-∞--.故答案为：()(),33,0-∞--8．若{}3,2,1,0,1,2,3U =---，{}{}210,,13,A x x x Z B x x x Z =-≤∈=-≤≤∈则()UA B =_________.【答案】{2,3}【分析】先化简,A B ，求出UA ，即得解.【详解】由题得{}210,{1,0,1}A x x x Z =-≤∈=-，{3,2,2,3}UA =--，{}13,{1,0,1,2,3}B x x x Z =-≤≤∈=-，所以()UA B ={2,3}.故答案为：{2,3}9．设集合{}{},T =∅∅，则下列命题：①T ∅∈，②T ∅⊆，②{}T ∅∈，④{}T ∅⊆中正确的是__________（写出所有正确命题对应的序号）. 【答案】①②③④.【分析】根据集合T 元素的特征，对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号. 【详解】集合{}{},T =∅∅，也即集合T 的元素为两个集合，一个是∅，另一个是{}∅. 对于①，空集是集合T 的元素，故①正确. 对于②，空集是任何集合的子集，故②正确. 对于③，{}∅是集合T 的元素，故③正确. 对于④，{}∅中含有元素∅，故④正确. 故答案为①②③④.【点睛】本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合与集合的关系，属于基础题. 10．若集合()22{|215}x y x a x a R =+++-=，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(],3-∞-【分析】根据()222150x a x a +++-≥恒成立列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】题目所给集合研究对象为函数()22215y x a x a =+++-的定义域，依题意可知()222150x a x a +++-≥恒成立，故()()2221450a a ∆=+--≤⎡⎤⎣⎦，即8240,3a a +≤≤-.故答案为：(],3-∞-.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合元素的概念，考查一元二次不等式恒成立问题的求解策略，属于基础题.11．如果全集U 含有12个元素，,P Q 都是U 的子集，P Q 中含有2个元素，P Q含有4个元素，PQ 含有3个元素，则P 含有_________个元素.【答案】作出韦恩图，可知P 中元素个数为25x +=．【分析】根据题目所给条件，画出图像，由此判断集合P 的元素个数． 【详解】依题意画出图像如下图所示，由图可知，集合P 的元素个数为5个．故答案为：5.12．对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M-∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,A B ，定义集合()(){}|1A B A B x f x f x *=⋅=-. 已知集合{}A x x =>，()(){}|330B x x x x =-+>，则A B *=__________.【答案】(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【分析】解不等式求得集合A 与集合B ，根据新定义函数()M f x 以及新定义集合A B *的概念，求得A B *中x 的取值范围.【详解】当0x >x >两边平方并化简得220x x +-<，即()()210x x +-<，解得21x -<<，由于0x >，故x 的范围是()0,1.当0x ≤x >恒成立，故x 的取值范围是(],0-∞.综上所述，(),1A =-∞.故()1,11,1A x f x x -<⎧=⎨≥⎩①. 由()()330x x x -+>，解得30x -<<或3x >，故()()3,03,B =-⋃+∞.故()()()(][]1,3,03,1,,30,3B x f x x ⎧-∈-⋃+∞⎪=⎨∈-∞-⋃⎪⎩②. 要使()()1A B f x f x ⋅=-，由①②可知，(,3][0,1)(3,)x -∞-∞∈+.故答案为(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查新定义集合的理解和运用，考查不等式的解法，属于中档题.13．已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有________个元素 【答案】3【分析】设a 1＜a 2＜a 3与b 1＜b 2＜b 3，设函数()123f x x a x a x a =-+-+-和()123g x x b x b x b =-+-+-，去绝对值，利用图像讨论交点的情况，即可得到所求个数．【详解】转化为：()123f x x a x ax a =-+-+-和()123g x x b x b x b =-+-+-图象的交点，6个不同的实数不妨假设1a ＜2a ＜3a ，1b ＜2b ＜3b ，则()()()()()1233123231231212313,,,3,x a a a x a x a a a a x a f x x a a a a x a x a a a x a ⎧-++>⎪-+-<≤⎪=⎨----<≤⎪⎪-+++≤⎩，()()()()()1233123231231212313,,,3,x b b b x b x b b b b x b g x x b b b b x b x b b b x b ⎧-++>⎪-+-<≤⎪=⎨----<≤⎪⎪-+++≤⎩，画出函数的函数图象如下图，两图象最多可有3个交点，即集合A 中最多有3个元素， 故答案为3.【点睛】本题考查函数方程的转化思想和分类讨论思想及数形结合思想，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题．三、双空题14．叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a 元，b 元，c 元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是_________老师，理由是_________.(请写出关键的不等式) 【答案】叶33a b c abcbc ac ab++>++ 【分析】根据题意分别算出叶老师和王老师所打酱油的平均价格，运用比较法进行判断即可.【详解】叶老师的平均价格为1001001003100100100abcbc ac ab a b c++=++++，王老师的平均价格为1001001001001001003a b c a b c++++=++，于是有：2223()()9()()()33()3()a b c abc a b c bc ac ab abc c a b b a c a b c bc ac ab bc ac ab bc ac ab ++++++---+--==+++++++，因为每次打的酱油价格都不相同，所以222()()()03()c a b b a c a b c bc ac ab --+->+++，即33a b c abcbc ac ab++>++所以叶老师的平均价格更低， 故答案为：叶； 33a b c abcbc ac ab++>++.四、解答题15．设0a >，0b >，且11a b a b+=+. 证明：(1) 2a b +≥；(2) 22a a +<与22b b +<不可能同时成立． 【答案】(1)见解析. (2)见解析.【详解】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立. 试题解析： 由11a b a b a b ab++=+=,0,0a b >>,得1ab =.(1)由基本不等式及1ab =,有2a b +≥=,即2a b +≥ (2)假设22a a +<与22b b +<同时成立,则由22a a +<及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾. 故22a a +<与22b b +<不可能同时成立.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.16．已知集合()(){}2|3210A x x m x m =-+++=，(){}2|23120B x x n x =+++=，其中,m n R ∈.（1）若AB A =，求,m n 的值；（2）若A B A ⋃=，求,m n 的取值范围. 【答案】（1）2n =-，1m =或12m =-； （2）5(,1)3m R n ∈⎧⎪⎨∈-⎪⎩或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 【分析】先求得集合A 中元素的可能取值. （1）根据AB A =，判断出2x =是集合,A B 的元素，由此求得n 的值，进而求得集合B ，由此确定m 的值.（2）根据B 为空集、单元素集、双元素集进行分类讨论，由此确定,m n 的取值范围. 【详解】由()()()()2321210x m x m x x m -+++=--+=⎡⎤⎣⎦，解得2x =或1x m =+.（1）当AB A =，所以2x =是集合,A B 的元素，所以()22231220n ⨯++⨯+=，解得2n =-，所以{}21|2520,22B x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭.若12,1m m +==，此时{}2A =，符合A B A =.若111,22m m +==-，此时12,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合A B A =.故2n =-，1m =或12m =-.（2）由于A B A ⋃=，当B =∅时，由判别式得()2314220n +-⨯⨯<，解得5,13n ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，此时m R ∈. 当B 为单元素集时，由判别式得()2314220n +-⨯⨯=，解得53n =-或1n =.当53n =-时，{}1B =，要使A B A ⋃=，则11,0m m +==.当1n =时，{}1B =-，，要使A B A ⋃=，则11,2m m +=-=-. 当B 为双元素集时，由（1）知2n =-，12m =-. 综上所述，,m n 的取值范围为5(,1)3m R n ∈⎧⎪⎨∈-⎪⎩或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 【点睛】本小题主要考查根据集合交集和并集的情况求参数，考查一元二次方程根的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 17．已知命题:P 函数()()113=-f x x 且()2<f a ，命题:Q 集合(){}221=0,A x x a x x R =+++∈，{}0B x x =>且A B =∅.（1）若命题P 、Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围. （2）若命题P 、Q 均为真命题时的实数a 的取值范围.（3）由（2）得结论，a 的取值范围设为集合S ，,,0,0mT y y x x R m x x ⎧⎫==+∈>≠⎨⎬⎩⎭，若T S ⊆，求实数m 的范围. 【答案】（1）(][)5,47,--+∞；（2）()4,7-；（3）(]0,4. 【分析】（1）分别求出当命题P 、Q 为真命题时实数a 的取值范围，然后分P 真Q 假、P 假Q 真两种情况讨论，综合可得出实数a 的取值范围；（2）由（1）结合命题P 、Q 均为真命题可求得实数a 的取值范围；（3）利用基本不等式可求得集合T ，进而得出T ，由T S ⊆可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】（1）若P 为真，则()()1123f a a =-<，所以616a -<-<，解得57a -<<； 若Q 为真，集合(){}221=0,A x x a x x R =+++∈，{}0B x x =>，且AB =∅，若A =∅，则()()22440a a a ∆=+-=+<，解得40a ；若A ≠∅，则()()224020a a ⎧∆=+-≥⎪⎨-+<⎪⎩，解得0a ≥.故若Q 为真，则4a >-.因为P 、Q 中有且只有一个为真，若P 真Q 假，则574a a -<<⎧⎨≤-⎩，此时54a -<≤-；若P 假Q 真，则574a a a ≤-≥⎧⎨>-⎩或，此时7a ≥.综上所述，实数a 的取值范围是(][)5,47,--+∞；（2）当P、Q均为真时，574aa-<<⎧⎨>-⎩，所以()4,7a∈-；（3）对于函数my xx=+，0m >，当0x>时，由基本不等式可得y≥=当且仅当x当0x<时，()my xx⎡⎤=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦当且仅当x=.所以，(),T⎡=-∞-⋃+∞⎣，则(T=-，T S⊆，即(()4,7-⊆-，所以47m⎧-≥-⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得04m<≤，综上所述，实数m的取值范围是(]0,4.【点睛】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论．18．公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变.（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样再进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案.【答案】（1）62101000x x⨯+ 次，45人；（2）第一次每组159人，第二次每组13人；（3）见解析【分析】(1)根据最坏的情况是1000名被感染者分布在其中1000组里,可得检测总次数,再用基本不等式可得;(2)设第一次每个组1x 人,第二次每个组2x 人,可得检测总次数,再用三元基本不等式,结合整数解可得;(3)设第n 次分组中,每组人数为n x ,则可得检测总次数,然后运用n 元基本不等式,结合1n x =,可得n 的最小值,进而得到所求结果.【详解】(1)200万人平均分组,每组x 人,总共分6210x⨯组,每组检测一次,共需检测6210x⨯次,最坏的情况是1000名被感染者分布在其中1000组里,每组一人,然后在这1000组里逐个排查,每组需检测x 次,共需检测1000x 次,所以找到所有的被感染者共需检测6210x⨯1000x +次,由6210x ⨯1000x +≥410=,当且仅当62101000x x⨯=,所以2x = 2000,所以x ==44.72≈时等号成立.由于x 为正整数,所以当44x =时,6621021010004400044x x ⨯⨯+=+89454.54≈, 当45x =时,62104500045⨯+89444.44≈, 因为89444.4489454.54<,所以要使检测总次数尽可能少,每个分组的最优人数为45人.(2)设第一次每个组1x 人,分61210x ⨯组;第二次每个组2x 人,分121000x x 组 第一次需检测61210x ⨯次,由(1)的思路知,第二次共需检测121000x x 21000x +次, 所以两次检测的总次数为61210x ⨯121000x x +21000x +, 因为61210x ⨯121000x x +21000x+3≥=4310=, 当且仅当6121210002101000x x x x ⨯==, 即221x x =,1x =2x =,因为1x =158.74≈,2x =12.6≈,且12,x x 为正整数,且|159158.74||158158.74|-<-,|1312.6||1212.6|-<-,所以12159,13x x ==,时两次检测的总次数尽可能少,则第一次每个组159人,第二次每个组13人,可使检测总次数尽可能少.(3)假设进行n 次这样的分组检测,可以达到检测次数更少,设第n 次分组中,每组人数为n x , 则总共检测次数为61121231000100010002101000n n n x x x x x x x x -⨯+++++, 因为61121231000100010002101000n n nx x x x x x x x -⨯+++++ (1)n n n x ≥+⨯⨯⨯ (1)n =+⨯, 当且仅当612123100010002101000n x x x x x x ⨯====,时等号成立, 所以6112123100010001000210(1000)n n n nx x x x x x x x -⨯⨯⨯⨯⨯=,所以63131210(10)(10)n n n n x -+⨯⨯=⨯,所以13210n n x +=⨯,所以n x =,当18n =时,18x = 1.49≈,因为|1 1.49||2 1.49|-<-,且18x 为正整数,所以可取181x =,即这样进行了18次检验可得到总次数更小.【点睛】本题考查了二元、三元、n 元基本不等式求最小值,属于难题.解题关键是理解出最坏情况是1000名被感染者分布在其中1000组里.。
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
华二附中高一期中数学卷一.填空题1.若{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{1,3,5,7}A =，{5,7,8}B =，则()U A B ð为________.2.不等式11x>的解集是3.某班有50名同学，参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，则两种竞赛都参加的有________人.4.命题A ：|x －1|＜3，命题B ：(x ＋2)(x ＋a)＜0；若A 是B 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________.5.不等式|||1|3x x +->的解集为________.6.已知2()f x x ax b =++，集合{|()}{4}x f x x ==，将集合{|()4}M x f x ==用列举法表示________.7.已知正实数x 、y 满足211x y+=，则2x y +的最小值为________.8.232(1)(1)(3)(5)0(2)(4)x x x x x x x -+---≤--的解集为________.9.已知集合2{(,)|20}A x y x mx y =+-+=，{(,)|10,02}B x y x y x =-+=≤≤，若集合A B 的子集个数为2，则实数m 的取值范围为________.10.若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是___________二.选择题11.设M 、P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为{M P x x M -=∈且}x P ∉，则()M M P --等于（）A.PB.MC.M PD.M P ⋃12.有四个命题：①若0a b >>，则11a b <；②若0a b <<，则22a b >；③若11a>，则1a >；④若12a <<且03b <<，则22a b -<-<；其中真命题的数量是（）.A.1个B.2个C.3个D.4个13.对三个正实数a 、b 、c ，下列说法正确的是（）A.存在（a 、b 、c ）的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a+均小于2B.存在（a 、b 、c ）的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a +中恰有两个小于2C.对（a 、b 、c ）任意值，1a b +、1b c +、1c a +都不小于2D.对（a 、b 、c ）任意值，1a b +、1b c +、1c a +中至多有两个不小于214.已知0,0a b >>，则“1120182019420182019a b a b +++=”是“11(20182019)(420182019a b a b ++=”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件三.解答题15.已知,a b R +∈，求证：11223332()()a b a b +≥+.16.已知集合2{|60,}A x x x x R =--≤∈，22{|320,}B x x ax a x R =-+<∈，若A B R =R R 痧U ，求实数a 的取值范围.17.某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－1k m +(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？18.已知集合22{|31,,}S m m n m n Z =+-=∈.（1）证明：若a S ∈，则1Sa ∈S ；（2）证明：若1p q <≤，则112p q p q <+≤+，并由此证明S 中的元素b 若满足12b <≤+2b =+；（3）设c S ∈，试求满足22(2c <≤+的所有c 的可能值.华二附中高一期中数学卷一.填空题1.若{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{1,3,5,7}A =，{5,7,8}B =，则()U A B ð为________.【答案】{2,4,6}先计算A B ，再求()U A B ð即可.【详解】{1,3,5,7}A = ,{5,7,8}B =，{}1,3,5,7,8A B ∴= ，因此()U A B ⋃=ð{2,4,6}.故答案为{2,4,6}.【点睛】本题考查集合的并、补的基本运算，属于基础题.2.不等式11x>的解集是【答案】(0,1)将分式不等式转化为一元二次不等式来求解.【详解】依题意110x ->，()1010x x x x->⇔-<，解得01x <<，故原不等式的解集为()0,1.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.3.某班有50名同学，参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，则两种竞赛都参加的有________人.【答案】14先求出参加数学与化学竞赛的人数和，再加上两种竞赛都不参加的人数，这样就比全班总人数多算了一次数学与化学都参加的人数，因此减去总人数，就得出结果.【详解】因为参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人3620864++=，全班有50人，因此两种竞赛都参加的有645014-=（人）故答案为14.【点睛】本题考查了容斥原理公式：既是A 类又是B 类的元素=属于A 类元素个数+属于B 类的元素个数+非A 非B 元素的个数-元素总个数.是基础题.4.命题A ：|x －1|＜3，命题B ：(x ＋2)(x ＋a)＜0；若A 是B 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】(－∞,－4)【详解】对于命题A ：∵|x －1|＜3，∴-2<x<4,要使A 是B 的充分而不必要条件,则a<2,-a>4,即实数a 的取值范围是(－∞,－4)5.不等式|||1|3x x +->的解集为________.【答案】(,1)(2,)-∞-+∞ 先找到使两个绝对值等于零的点，然后分类讨论，再求得解集的并集.【详解】当1≥x 时，不等式|||1|3x x +->等价于213x ->，解的2x >，当01x <<时，不等式|||1|3x x +->等价于13>，不等式无解，当0x ≤时，不等式|||1|3x x +->等价于123x ->，解得1x <-，所以不等式的解集是(,1)(2,)-∞-+∞ .故答案为(,1)(2,)-∞-+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式的解法（零点分段讨论法），属于中档题.6.已知2()f x x ax b =++，集合{|()}{4}x f x x ==，将集合{|()4}M x f x ==用列举法表示________.【答案】{3,4}根据集合{|()}{4}x f x x ==求出,a b ，再解方程()4f x =，即可得到集合M .【详解】集合{|()}{4}x f x x ==,即方程2(1)0x a x b +-+=，有两个相等的实数根为4,()2140a b ∴∆=--=,即22(1)(4)x a x b x +-+=-，16,18,7b a a ∴=-=-=-，2()716f x x x ∴=-+，()4f x =即27120x x -+=，解得123,4x x ==，所以{}{|()4}3,4M x f x ===.故答案为{3,4}.【点睛】本题考查一元二次方程的解，及集合的表示方法，是基础题.7.已知正实数x 、y 满足211x y+=，则2x y +的最小值为________.【答案】9利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.【详解】正实数x 、y 满足211x y+=,则()212222559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22y x x y=，即3x y ==时取等号，2x y ∴+的最小值为9.故答案为9.【点睛】本题考查基本不等式的性质的应用，“1”的灵活代换，属于中档题.8.232(1)(1)(3)(5)0(2)(4)x x x x x x x -+---≤--的解集为________.【答案】[1,2){3}(4,5]U U 将分式不等式转化为高次不等式，再利用穿根法（奇穿偶不穿）求解高次不等式即可.【详解】原不等式等价于232(1)(1)(3)(5)(2)(4)0x x x x x x x -+-----≤且20x -≠，40x -≠，又22131()024x x x -+=-+> 可得，32(1)(3)(5)(2)(4)0x x x x x -----≤，且20x -≠，40x -≠，利用穿根法得原不等式的解集为[1,2){3}(4,5]U U .故答案为[1,2){3}(4,5]U U .【点睛】本题考查分式不等式和高次不等式的解法，属于中档题.9.已知集合2{(,)|20}A x y x mx y =+-+=，{(,)|10,02}B x y x y x =-+=≤≤，若集合A B 的子集个数为2，则实数m 的取值范围为________.【答案】3(,){1}2-∞--U 集合A B 的子集个数为2，判断出A B 只有一个元素，即()2110x m x +-+=在[]0,2上只有一解，即可求得实数m 的取值范围.【详解】由()2200210x mx y x x y ⎧+-+=≤≤⎨-+=⎩，得()2110x m x +-+=①因为A B 的子集个数为2，所以A B 只有一个元素，所以等价于方程①在区间[]0,2上只有一个实数根，令()()2110f x x m x =+-+=，又()01f = ，()20f <得32m <-，或()()2140201022m f m ⎧⎪--=⎪≥⎨⎪-⎪≤≤⎩，得1m =-.或()()214012220m m f ⎧-->⎪-⎪>⎨⎪=⎪⎩，无解∴实数m 的取值范围为3(,{1}2-∞--U .故答案为3(,){1}2-∞--U .【点睛】本题主要考查学生对集合子集的理解，及方程在给定区间的解的问题，是比较难的题..10.若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是___________【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭试卷分析：设2t x y =+则0t >，44t xy +=，t ≥∴2442t xy t ≥=+∴4t ≥，不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立可化为223202t ta a ++-≥恒成立，即232212a t a -≥+恒成立，故2322412a a -≤+∴(]5,3,2a ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.考点：均值不等式及恒成立问题二.选择题11.设M 、P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为{M P x x M -=∈且}x P ∉，则()M M P --等于（）A.PB.MC.M PD.M P ⋃【答案】C根据题意，分M P ⋂=∅和M P ⋂≠∅两种情况，结合集合的基本运算，借助venn 图，即可得出结果.【详解】当M P ⋂=∅，由于对任意x M ∈都有x P ∉，所以M P M -=，因此()M M P M M M P --=-=∅=⋂；当M P ⋂≠∅时，作出Venn 图如图所示，则M P -表示由在M 中但不在P 中的元素构成的集合，因而()M M P --表示由在M 中但不在M P -中的元素构成的集合，由于M P -中的元素都不在P 中，所以()M M P --中的元素都在P 中，所以()M M P --中的元素都在M P ⋂中，反过来M P ⋂中的元素也符合()M M P --的定义，因此()M M P M P --=⋂.故选：C.【点睛】本题主要考查集合的应用，熟记集合的基本运算即可，属于常考题型.12.有四个命题：①若0a b >>，则11a b <；②若0a b <<，则22a b >；③若11a>，则1a >；④若12a <<且03b <<，则22a b -<-<；其中真命题的数量是（）.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D对于①、②、③、④利用不等式的基本性质证明命题成立.【详解】①0a b >> ,0ab ∴>,10ab ∴>,a b ab ab ∴>,11b a∴>,即11a b <，是真命题.② 0a b <<，∴0a b ->->，∴()()220a b ->->，即22a b >，是真命题.③11a > ，10a a-∴>，10a ∴>>，1a ∴>，是真命题.④ 03b <<，∴30b -<-<，又12a <<，∴22a b -<-<，是真命题.故选D .【点睛】本题主要考查不等式的性质的应用，是基础题.13.对三个正实数a 、b 、c ，下列说法正确的是（）A.存在（a 、b 、c ）的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a +均小于2B.存在（a 、b 、c ）的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a +中恰有两个小于2C.对（a 、b 、c ）任意值，1a b +、1b c +、1c a +都不小于2D.对（a 、b 、c ）任意值，1a b +、1b c +、1c a +中至多有两个不小于2【答案】B 假设12a b +<，12b c +<，可根据正实数的条件确定122b <<，根据不等关系可得11212b c a b b +>+--，利用函数思想可求得1132122b b b +≥--，即12c a +>恒成立，从而排除A ；通过特殊值可验证出B 正确，,C D 错误.【详解】若1a b +、1b c +、1c a +均小于2，则1a b +11++6b c c a ++<，但由基本不等式可得1a b +11++6b c c a ++≥∴1a b +、1b c +、1c a +不能均小于2，则A 错误当12a =，1b =，2c =时1131222a b +=+=<，1131222b c +=+=<，12242c a +=+=>∴存在(),,a b c 的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a +中恰有两个小于2，则B 正确当1a b ==，12c =时1112a b +=+=，11232b c +=+=>，1131222c a +=+=<∴存在(),,a b c 的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a +中有小于2的值，则C 错误当2a b c ===时，11115222a b c b c a +=+=+=+=∴存在(),,a b c 的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a +均不小于2，则D 错误本题正确选项：B【点睛】本题考查含逻辑联结词的命题真假性的判断，通常可采用特殊值的方式来进行排除；难点是本题中对于存在命题的排除，需借用函数恒成立的思想来进行求解，通过证明任意性来得到结论.14.已知0,0a b >>，则“1120182019420182019a b a b +++=”是“11(20182019)()420182019a b a b ++=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A本道题反复运用基本不等式a b +≥即可.【详解】结合题意可知,1201822018a a +≥=,1201922019b b +≥而1120182019420182019a b a b +++=,得到112018,201920182019a b a b ==解得1120182019120182019a b a b====,故可以推出结论,而当()1120182019420182019a b a b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭得到1120182019420182019a b a b +++≥=,故由结论推不出条件,故为充分不必要条件.【点睛】本道题考查了基本不等式的运用,关键注意a b +≥,即可,属于中等难度的题.三.解答题15.已知,a b R +∈，求证：11223332()()a b a b +≥+.【答案】证明见解析利用分析法进行证明，同时利用222a b ab +≥，即可证得.【详解】证明：由于a ，b ∈R +，要证11223332()()a b a b +≥+，即证（a 2+b 2）3≥（a 3+b 3）2，即证3a 2b 4+3a 4b 2≥2a 3b 3，即证3b 2+3a 2≥2ab ，由于3b 2+3a 2≥6ab ＞2ab ，故11223332()()a b a b +≥+．【点睛】本题考查证明方法中的分析法，及重要不等式的应用问题，是中档题.16.已知集合2{|60,}A x x x x R =--≤∈，22{|320,}B x x ax a x R =-+<∈，若A B R =R R 痧U ，求实数a 的取值范围.【答案】（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[3，+∞）先求出集合A ,B ，根据A B R =R R 痧U ,得出关于a 的不等式，解不等式可得实数a 的取值范围.【详解】解：A ＝{x |x 2﹣x ﹣6≤0，x ∈R }＝{x |﹣2≤x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣3ax +2a 2＜0，x ∈R }＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣2a ）＜0}，则∁R A ＝{x |x ＞3或x ＜﹣2}，∁R B ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣2a ）≥0}，若a ＝0，则∁R B ＝R ，满足条件．∁R A ∪∁R B ＝R ，若a ＞0，则∁R B ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣2a ）≥0}＝{x |x ≥2a 或x ≤a }，若∁R A ∪∁R B ＝R ，则03a a ⎧⎨≥⎩＞得a ≥3，若a ＜0，则∁R B ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣2a ）≥0}＝{x |x ≥a 或x ≤2a }，若∁R A ∪∁R B ＝R ，则02a a ⎧⎨≤-⎩＜得a ≤﹣2，综上a ＝0或a ≥3或a ≤﹣2，即实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[3，+∞）．【点睛】本题主要考查不等式的解法，以及集合的基本运算的应用，是中档题.17.某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－1k m +(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？【答案】（1）y ＝－16(1)1m m -++＋29(m ≥0)；（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．.（1）根据0,1m x ==(万件)求出2k =，求出每件产品的销售价格，则可得利润关于m 的函数；（2）利用基本不等式可求得最大值.【详解】(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－21m +(m ≥0)，每件产品的销售价格为1.5×816x x+(元)，所以2020年的利润y ＝1.5x ×816x x +－8－16x －m ＝－16(1)1m m -++＋29(m ≥0)．(2)因为m ≥0时，161m +＋(m ＋8，所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当161m +＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方18.已知集合22{|31,,}S m m n m n Z =+-=∈.（1）证明：若a S ∈，则1S a ∈S ；（2）证明：若1p q <≤，则112p q p q <+≤+，并由此证明S 中的元素b若满足12b <≤+2b =+；（3）设c S ∈，试求满足22(2c <≤+的所有c 的可能值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）c ＝（1）若a A ∈，则a m =+2231m n -=，m ,n Z ∈,得到1a均满足集合A 的性质，进而得到结论.（2）构造函数()()11f x x x x=+≥，分析其单调性，进而得到A中元素若满足12b <≤+，则2b =+.（3）设c A Î，结合（1）（2）中的结论，可得c 值.【详解】证明：（1）若a ∈A ，则a ＝m +m 2﹣3n 2＝1，m ，n ∈Z ，则22133m m a m n-===--m +（﹣n且m 2﹣3（﹣n ）2＝1，m ，﹣n ∈Z ，故1a∈A ，(2=（m +2m ﹣3n ）+（2n ﹣m此时（2m ﹣3n ）2﹣3（2n ﹣m ）2＝m 2﹣3n 2＝1，∈A ；（2）令f （x ）＝x 1x+（x ≥1），则()f x 在(1,)+∞上的单调递增，证明：设121x x ≤<，则2121212112111()()(()(1)f x f x x x x x x x x x -=+-+=--∵121x x ≤<，∴21x x -0>，1211x x -0>，故21()()f x f x -0>，即21()()f x f x >，()f x 在(1,)+∞上的单调递增∵1＜p ≤q ，f （1）＝2∴211p q p q+≤+＜；令b ＝m +且m 2﹣3n 2＝1，m ，n ∈Z ，∵12b ≤+＜，∴2＜b 12b +≤+，∴2＜2m ≤4，则m ＝2，n ＝1，则b ＝2（3）∵c ∈A ，且2c ≤（22，∈A ，且1≤2，由（2=2∴c ＝（2）2＝【点睛】本题主要考查集合与元素之间的关系，对勾函数的单调性，是集合、函数、不等式的综合应用，是中档题.。
2020-2021学年上海市普陀区同济二附中高一(上)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年上海市普陀区同济二附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分）.1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B等于．2．用列举法表示方程组的解集．3．已知集合A＝{1}，B＝{a，a2+1}，若A⫋B，则实数a的值为．4．已知方程2x2+4x﹣7＝0的两个根为x1、x2，则x12+x22＝．5．已知x＞0，则的最小值为．6．已知关于x的一元二次不等式x2+ax+1＞0解集为R，则实数a的取值范围是．7．用反证法证明命题“若实数a，b满足a2+b2＝0，则a，b全为0”的过程中，第一步应假设．8．已知集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}有两个子集，则实数a的取值集合为．9．关于x的不等式|x﹣6|+|x﹣3|≥k的解集为R，则实数k的取值范围是．10．已知a2x＝2（a＞0），则＝．11．已知全集U＝R，实数a，b满足a＞b＞0，集合M＝{x|＜x＜a}，N＝{x|b}，则∩N＝．12．若a＞0，b＞0，a+2ab+2b＝15，则ab的最大值为．二、选择题（本题满分20分，共4小题，每小题5分）13．若命题α为“x＝1”，命题β为“x2＝1”，则α是β的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分又不必要14．下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则＜15．已知3a＝2，那么log38﹣2log36用a表示是（）A．a﹣2B．5a﹣2C．3a﹣（1+a）2D．3a﹣a216．设A，B是有限集，定义：d（A，B）＝card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立三、解答题（本题满分76分，共5小题）17．解下列不等式（组）：（1）；（2）（a﹣1）x＞a2﹣1．18．（1）已知＝1，求的值．（2）若lga，lgb是方程2x2﹣4x+1＝0的两个实根，求ab的值．19．为了保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化硅转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月处理量最多不超过300吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y＝x2﹣200x+40000（0＜x≤300），且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．（1）设该单位每月获利为S（元），试将S表示成月处理量x（吨）的函数，若要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？（2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？20．（16分）已知关于x的不等式≤0的解集为M．（1）若a＝4时，求集合M；（2）若5∉M，求实数a的取值范围；（3）若实数3和5中有且只有一个属于集合M，求a的取值范围．21．（18分）已知符号[x]表示不大于x的最大整数（x∈R），例如：[1.3]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．（1）已知方程[x]＝3，求该方程的解集；（2）设方程[|x|+|x﹣1|]＝3的解集为A，集合B＝{x|2x2﹣11kx+15k2≥0}，若A∪B＝R，求实数k的取值范围；（3）在（2）的条件下，集合C＝{x|x2﹣ax+1﹣2a≤0，a∈R}，是否存在实数a，A∩C ＝A，若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B等于{x|1＜x＜2}．【分析】找出集合A和B中x范围的公共部分，即可确定出两集合的交集．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝{x|1＜x＜2}．故答案为：{x|1＜x＜2}．2．用列举法表示方程组的解集{（3，1）}．【分析】解出方程组的解集，再用列举法表示即可．解：解方程组，得，∴用列举法表示方程组的解集为{（3，1）}，故答案为：{（3，1）}．3．已知集合A＝{1}，B＝{a，a2+1}，若A⫋B，则实数a的值为0或1．【分析】根据A⫋B，从而得出a＝1或a2+1＝1，解得a＝0或1．解：∵A⫋B，∴a＝1或a2+1＝1，解得a＝0或1．故答案为：0或1．4．已知方程2x2+4x﹣7＝0的两个根为x1、x2，则x12+x22＝11．【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，进而求得结论．解：∵方程2x2+4x﹣7＝0的两个根为x1、x2，可得：x1+x2＝﹣＝﹣2，x1•x2＝＝﹣，故x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝4﹣2×（﹣）＝11，故答案为：11．5．已知x＞0，则的最小值为4．【分析】因为x＞0，直接利用基本不等式求出其最小值．解：∵x＞0，则≥2＝4，当且仅当x＝时，等号成立，故答案为4．6．已知关于x的一元二次不等式x2+ax+1＞0解集为R，则实数a的取值范围是（﹣2，2）．【分析】根据判别式列出不等式，求得a的取值范围．解：关于x的一元二次不等式x2+ax+1＞0的解集为R，则△＜0，即a2﹣4＜0解得﹣2＜a＜2，所以实数a的取值范围是（﹣2，2）．故答案为：（﹣2，2）．7．用反证法证明命题“若实数a，b满足a2+b2＝0，则a，b全为0”的过程中，第一步应假设a，b至少有一个不为0．【分析】根据已知条件，先求出原命题的否命题，即可求解．解：∵命题“若实数a，b满足a2+b2＝0，则a，b全为0”的否定为“若实数a，b满足a2+b2＝0，则a，b至少有一个不为0”，∴用反证法证明命题“若实数a，b满足a2+b2＝0，则a，b全为0”的过程中，第一步应假设a，b至少有一个不为0．故答案为：a，b至少有一个不为0．8．已知集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}有两个子集，则实数a的取值集合为0或1．【分析】由题意可知方程ax2﹣2x+1＝0有两个相等的实根，对a是否为0分情况讨论，分别求出a的值即可．解：∵集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}有两个子集，∴方程ax2﹣2x+1＝0有两个相等的实根，①当a＝0时，方程化为﹣2x+1＝0，解得x＝，此时集合A＝{}，符合题意，②当a≠0时，∴△＝（﹣2）2﹣4a＝0，∴a＝1，此时集合A＝{1}，符合题意，综上所述，a的值为0或1，故答案为：0或1．9．关于x的不等式|x﹣6|+|x﹣3|≥k的解集为R，则实数k的取值范围是（﹣∞，3]．【分析】由绝对值三角不等式可得|x+2|+|x﹣3|≥k的最小值，即可求得k的取值范围．解：|x﹣6|+|x﹣3＝|x﹣6|+|3﹣x|≥|（x﹣6）+（3﹣x）|＝3，∵关于x的不等式|x﹣6|+|x﹣3|≥k的解集为R，∴k≤3．故答案为：（﹣∞，3]．10．已知a2x＝2（a＞0），则＝．【分析】根据指数幂的运算法则即可求出．解：＝＝a2x+a﹣2x+1＝2++1＝．故答案为：．11．已知全集U＝R，实数a，b满足a＞b＞0，集合M＝{x|＜x＜a}，N＝{x|b}，则∩N＝{x|b}．【分析】推导出0＜b＜＜＜a，求出＝{x|x或x≥a}，由此能求出∩N．解：全集U＝R，实数a，b满足a＞b＞0，∴0＜b＜＜＜a，集合M＝{x|＜x＜a}，N＝{x|b}，＝{x|x或x≥a}，∴∩N＝{x|b}．故答案为：{x|b}．12．若a＞0，b＞0，a+2ab+2b＝15，则ab的最大值为．【分析】由已知可得a+2b＝15﹣2ab，结合a+2b≥2，解不等式即可求解．解：∵a＞0，b＞0，a+2ab+2b＝15，∴a+2b＝15﹣2ab，∵a+2b≥2，∴15﹣2ab≥2，∵ab＞0，∴解可得0＜ab≤，则ab的最大值为．故答案为：．二、选择题（本题满分20分，共4小题，每小题5分）13．若命题α为“x＝1”，命题β为“x2＝1”，则α是β的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分又不必要【分析】根据充要条件的定义，即可判断得出答案．解：当“x＝1”时，“x2＝1”成立，当“x2＝1”时，“x＝±1”故“x＝1”不一定成立，即“x＝1”是“x2＝1”的充分不必要条件，故选：A．14．下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则＜【分析】A，若a＞b，当c＝0时，ac2＝bc2，可判断A；B，令a＝3，b＝2，c＝2，d＝0，可判断B；C，利用不等式的性质可判断C；D，令a＝2＞﹣1＝b，可判断D．解：A，若a＞b，当c＝0时，ac2＝bc2，A错误；B，若a＝3，b＝2，c＝2，d＝0，满足a＞b，c＞d，但a﹣c＝1＜b﹣d＝2，故B错误；C，若a＞|b|，则a2＞|b|2＝b2，正确；D，若a＝2＞﹣1＝b，则＞﹣1，故＜错误．故选：C．15．已知3a＝2，那么log38﹣2log36用a表示是（）A．a﹣2B．5a﹣2C．3a﹣（1+a）2D．3a﹣a2【分析】先表示出a＝，结合对数的运算性质，从而得到答案．解：∵3a＝2，∴a＝，∴﹣2＝3﹣2（+1）＝3a﹣2（a+1）＝a﹣2，故选：A．16．设A，B是有限集，定义：d（A，B）＝card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立【分析】命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card （A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）＝card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）＝card（B∪C）﹣card （B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）＝card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）＝[card（A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）＝d（A，C），故命题②成立，故选：A．三、解答题（本题满分76分，共5小题）17．解下列不等式（组）：（1）；（2）（a﹣1）x＞a2﹣1．【分析】（1）结合分式及二次不等式的求法进行转化即可求解；（2）结合a﹣1的正负及一元一次不等式的求法进行分类讨论，即可求解．解：（1）原不等式组可转化为，即，解得﹣1＜x≤6；（2）当a＝1时，不等式的解集为∅；当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞a+1}，当a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a+1}，故当a＝1时，不等式的解集为∅；当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞a+1}，当a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a+1}．18．（1）已知＝1，求的值．（2）若lga，lgb是方程2x2﹣4x+1＝0的两个实根，求ab的值．【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可；（2）根据根与系数的关系求出lga+lgb ＝2，根据指数幂的运算性质求出ab的值即可．解：（1）∵＝1，∴＝＝＝＝3；（2）若lga，lgb是方程2x2﹣4x+1＝0的两个实根，则lga+lgb＝2，则lg（ab）＝2，故ab＝100．19．为了保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化硅转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月处理量最多不超过300吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y＝x2﹣200x+40000（0＜x≤300），且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．（1）设该单位每月获利为S（元），试将S表示成月处理量x（吨）的函数，若要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？（2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【分析】（1）根据已知条件，结合利润＝总价值﹣总成本，列式即可得到函数关系，令S≥0，求解不等式即可；（2）利用基本不等式求解即可得到答案．解：（1）由题意可得，S＝300x﹣（x2﹣200x+40000）＝﹣x2+500x﹣40000（0＜x≤300），令S≥0，即﹣x2+500x﹣40000≥0，解得100≤x≤400，又0＜x≤300，所以100≤x≤300，故要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在[100，300]范围内；（2）每吨的平均出来成本为，当且仅当，即x＝200时取等号，所以该单位每月处理量为200吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．20．（16分）已知关于x的不等式≤0的解集为M．（1）若a＝4时，求集合M；（2）若5∉M，求实数a的取值范围；（3）若实数3和5中有且只有一个属于集合M，求a的取值范围．【分析】（1）结合一元二次不等式的解法即可直接求解；（2）由题意得＞0或5﹣a＝0，从而可求；（3）结合集合元素与集合关系进行分类讨论，当3∈M，5∉时，，当5∈M，3∉时，，解不等式组可求．解：（1）当a＝4时，原不等式可转化为，解得﹣，所以M＝{x|﹣}；（2）因为5∉M，所以＞0或5﹣a＝0，解得﹣1＜a≤5，所以a的范围{a|﹣1＜a≤5}；（3）若实数3和5中有且只有一个属于集合M，当3∈M，5∉M时，，解得3≤a≤5，当5∈M，3∉M时，，解得﹣，综上，a的取值范围{a|3≤a≤5或﹣}．21．（18分）已知符号[x]表示不大于x的最大整数（x∈R），例如：[1.3]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．（1）已知方程[x]＝3，求该方程的解集；（2）设方程[|x|+|x﹣1|]＝3的解集为A，集合B＝{x|2x2﹣11kx+15k2≥0}，若A∪B＝R，求实数k的取值范围；（3）在（2）的条件下，集合C＝{x|x2﹣ax+1﹣2a≤0，a∈R}，是否存在实数a，A∩C ＝A，若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据定义，直接求解即可；（2）先求出集合A，B中表示元素的范围，再根据A∪B＝R，分k＝0，k＞0和k＜0三种情况，求解k的取值范围即可；（3）由题意得到A⊆C，设集合C的解集为（x1，x2）（x1＜x2），得到，再由子集的定义列式求解即可．解：（1）由题意，方程[x]＝3，则x∈[3，4），所以该方程的解集为[3，4）；（2）因为[|x|+|x﹣1|]＝3，所以3≤|x|+|x﹣1|＜4，根据绝对值不等式的几何意义可得，A＝，又B＝{x|2x2﹣11kx+15k2≥0}＝{x|（2x﹣5k）（x﹣k）≥0}，当k＝0时，B＝{x|2x2≥0}＝R，则A∪B＝R，符合题意；当k＞0时，B＝，若A∪B＝R，则，解得k∈；当k＜0时，，若A∪B＝R，则，解得k∈．综上所述，实数k的取值范围为∪{0}∪；（3）因为A∩C＝A，则A⊆C且A＝，所以设集合C的解集为（x1，x2）（x1＜x2），则，所以，解得，故实数a的取值范围为．。
上海市华师大二附中2020-2021学年高一下学期期中数学试题
上海市华师大二附中【最新】高一下学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．求值arctan cot 3π⎛⎫= ⎪⎝⎭_________. 2．函数 ()f x =的定义域是____________.3．若tan 3θ=-，则()sin sin 2cos θθθ-=_____________.4．若()0,2x π∈，sin cos x x =-成立的x 的取值范围是___________. 5．若arcsin arccos 6x x π-=，则x =_________.6．函数()()cos1log sin f x x =的单调递增区间是____________.7．已知02πθ<<，将cos ,cos(sin ),sin(cos )θθθ从小到大排列___________8．若关于x 的函数sin y x ω=在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则ω的取值范围是_________ 9．已知,,44x y a R ππ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦、，且33sin 20,14sin 20.2x x a y y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，则cos （x+2y ）的值为____.10．设函数()sin 2sin 1cos 2cos x x f x x x-=+-，关于()f x 的性质，下列说法正确的是_________. ①定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；②值域是R ；③最小正周期是π； ④()f x 是奇函数；⑤()f x 在定义域上单调递增.二、单选题11．为了得到3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将3cos 2y x =的图象（ ） A ．向左平移4π B ．向右平移4π C ．向右平移8π D ．向左平移8π12．,,2παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,且tan cot αβ<，则必有（ ） A ．αβ< B ．αβ> C ．32παβ+< D ．32παβ+> 13．下列函数中以π为周期，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减的是（ ） A ．()tan cot1x y = B ．sin y x =C ．cos2x y =-D ．tan y x =- 14．下列命题中错误的是（ ）A ．存在定义在[]1,1-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式()cos cos2f y y =成立;B ．存在定义在[]1,1-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式()sin sin 2f y y =成立;C ．存在定义在[]1,1-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式()cos cos3f y y =成立;D ．存在定义在[]1,1-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式()sin sin3f y y =成立;三、解答题15．已知(),0,αβπ∈，并且()7sin 52παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，()()απβ-=+，求,αβ的值.16．若关于x 的方程sin 0x x a ++=在()0,2π内有两个不同的实数根,αβ，求实数a 的取值范围及相应的αβ+的值.17．已知函数sin cos 2sin cos y θθθθ=++. （1）设变量sin cos t θθ=+，试用t 表示()y f t =，并写出t 的范围；（2）求函数()y f t =的值域.18．用,,a b c 分别表示ABC 的三个内角,,A B C 所对边的边长，R 表示ABC 的外接圆半径.（1）2,2,45R a B ===︒，求AB 的长；（2）在ABC 中，若C ∠是钝角，求证：2224a b R +<；（3）给定三个正实数,,a b R ，其中b a ≤，问,,a b R 满足怎样的关系时，以,a b 为边长，R 为外接圆半径的ABC 不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一a b R表示c. 个）？在ABC存在的情况下，用,,参考答案1．6π 【解析】【分析】根据反正切函数求解.【详解】arctan(cot )arctan 336ππ== 故答案为：6π 【点睛】本题考查反正切函数，考查基本分析求解能力，属基础题.2．{|2()}x x k k Z π=∈【分析】根据偶次根式下被开方数非负列不等式，再解三角方程得结果.【详解】 cos 10cos 1cos 1cos 12()x x x x x k k Z π-≥∴≥≤∴=∴=∈故答案为：{|2()}x x k k Z π=∈【点睛】本题考查函数定义域以及解三角方程，考查基本分析求解能力，属基础题.3．32【分析】先弦化切，再代入得结果.【详解】()22222sin 2sin cos tan 2tan 963sin sin 2cos sin cos tan 1912θθθθθθθθθθθ--+-====+++ 故答案为：32【点睛】本题考查弦化切，考查基本分析求解能力，属基础题.4．5[,]44ππ【分析】先配方，再解三角不等式，即得结果.【详解】1sin 2sin cos sin cos x x x x -=-=-|sin cos |sin cos sin cos 04x x x x x x x π⎛⎫∴-=-∴-=-≥ ⎪⎝⎭， (0,2)x π∈，7444x πππ∴-<-<，04x ππ∴≤-≤，解得544x ππ≤≤. 故答案为：5[,]44ππ 【点睛】本题考查二倍角正弦公式以及解简单三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.5【分析】 根据反三角函数确定范围，再取正弦化简方程解得结果. 【详解】1arcsin arccos sin(arcsin arccos )62x x x x π-=∴-= 21cos(arcsin )sin(arccos )2x x x -= 因为arcsin arccos 6x x π-=，所以arcsin 0x >所以(0,1]x ∈，cos(arcsin )sin(arccos )x x ==221(1)22x x x --=∴=（负舍）；【点睛】本题考查解简单反三角函数方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6．[2,2),()2k k k Z ππππ++∈【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式，再根据正弦函数性质得结果.【详解】()()cos1cos1(0,1)log sin f x x ∈∴=单调递增区间为sin y x =单调递减区间且sin 0x >， 所以22,()2k x k k Z ππππ+≤<+∈， 故答案为：[2,2),()2k k k Z ππππ++∈【点睛】 本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．cos(sin )cos sin(cos )θθθ>>【分析】利用三角函数的正弦线知，当0x >时，sin x x <，结合余弦函数的单调性，即可得到答案．【详解】因为sin x x <，所以02πθ<<，sin θθ<，所以cos(sin )cos θθ>，令cos x θ=，所以cos sin(cos )θθ>，故答案为：cos(sin )cos sin(cos )θθθ>>.【点睛】本题考查利用函数的单调性判断函数值的大小，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意常见不等式“0x >时，sin x x <”的运用．8．3(,][1,)2-∞-⋃+∞【分析】 有最大值为，即在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有最高点，根据w 正负分情况讨论即可。
2019-2020学年上海市华师大二附中高一下学期数学期中考试试卷 带详解
【解析】
【分析】
通过换元，令 则 ，将函数零点转化为函数 的图象与直线 有三个交点，利用数形结合求得 的范围.
【详解】函数 ， ，令 则 ，函数 恰有三个零点，可转化为函数 的图象与直线 有三个交点，如图： 根据三角函数图象的性质可得 ， ，所以 ， 即 ，由 ，可得 ，所以 的取值范围是 .
④ 图像关于 中心对称;
⑤ 的最小正周期为 .
【答案】②③⑤
【解析】
分析：①根据 可判断；②由 、 可判断；③ 时， ，进而可得结论；④ 是奇函数图象关于 对称，结合周期性可判断；⑤由
，利用周期公式可得结论.
详解：① ,
,
, 不是 对称轴，①错误；
② ， ，
， 是 的最小正周期，②正确；
③ 时， ，
（1）求 值；
（2）将函数 的图像向左平移 个单位，再将所得函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图像，若函数 在区间 上存在零点，求实数k的取值范围.
18.已知 满足 ，若其图像向左平移 个单位后得到 函数为奇函数．
（1）求 的解析式；
（2）在锐角 中，角 的对边分别为 ，且满足 ，求 的取值范围．
【详解】 的递减区间是 ，又 ， ，所以 ，所以 ，所以 .
故选：B．【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，属于基础题.
14.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 米，肩宽约为 米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（）
（3）将函数 的图象向右平移 个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 倍后所得到的图象对应的函数记作 ，已知常数 ， ，且函数 在 内恰有 个零点，求常数 与 的值．
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题 (2)
上海市华东师范大学第二附属中学【最新】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若集合{}2|20A x x x =+-=，{}|1B x =<，则A B =______.2．若全集{}|26,U x x x Z =-≤≤∈，集合{}|2,3,A x x n n n N ==≤∈，则U C A =______.（用列举法表示）3．在如图中用阴影部分表示集合()U U U C C A C B _____.4．命题“设,,a b R ∈若0,ab =则0a =或0b =”的逆否命题是：________.5．已知集合{}|A x x a =<，{}2|540B x x x =-+≥，若P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______.6．已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为________________7．函数y =______.8．若关于x 的不等式210mx mx +->的解集为∅，则实数m 的取值范围为 ． 9．对定义域是f D 、g D 的函数()y f x =、()y g x =，规定函数()()()()(),,,,,,f gf g f g f x g x x D x D h x f x x D x D g x x D x D⎧∈∈⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩，设函数()()2f x x x R =-∈，()()231g x x x =-+≥，则函数()h x 的值域是______.10．设2019a b +=，0b >，则当a =______时，12019a a b+取得最小值.二、单选题11．已知集合{}|1,M y x y x R =+=∈，{}|1,N y x y x R =-=∈，则M N =（ ）A ．()1,0B ．(){}1,0C ．{}0D ．R12．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件 13．若110a b <<，则下列不等式中，①2ab b <；②22a b >；③2a b +<④2a bb a+>.成立的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．414．定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->，已知实数a b >，则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为（ ） A ．-a b B ．+a bC ．4D ．2三、解答题15．已知：a 、b 是正实数，求证：22a ba b b a++≥.16．解不等式组：9721212x x x ⎧≥⎪-+⎨⎪+≥⎩.17．缴纳个人所得税是收入达到缴纳标准的公民应尽的义务. ①个人所得税率是个人所得税额与应纳税收入额之间的比例；②应纳税收入额=月度收入－起征点金额－专项扣除金额（三险一金等）；③【最新】8月31日，第十三届全国人民代表大会常务委员会第五次会议《关于修改中华人民共和国个人所得税法的决定》，将个税免征额（起征点金额）由3500元提高到5000元.下面两张表格分别是【最新】和【最新】的个人所得税税率表： 【最新】1月1日实行：【最新】10月1日试行：（1）何老师每月工资收入均为13404元，专项扣除金额3710元，请问何老师10月份应缴纳多少元个人所得税？若与9月份相比，何老师增加收入多少元？（2）对于财务人员来说，他们计算个人所得税的方法如下：应纳个人所得税税额＝应纳税收入额×适用税率－速算扣除数，请解释这种计算方法的依据？18．已知集合{}22|190D x x ax a =-+-=，{}2|22,B y y x x y Z+==-++∈，集合|C x y x Z ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，且集合D 满足D B ≠∅，D C =∅. （1）求实数a 的值；（2）对集合{}()12,,,2k A a a a k =⋅⋅⋅≥，其中()1,2,,i a Z i k ∈=⋅⋅⋅，定义由A 中的元素构成两个相应的集合：(){},|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，(){},|,,T a b a A b A a b A =∈∈-∈，其中(),a b 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ，若对任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P . ①请检验集合B C ⋃与B D 是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；②试判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论.参考答案1．{}[]20,1-【解析】 【分析】解一元二次方程求得集合A ，解不等式求得集合B ，由此求得两个集合的并集. 【详解】由()()22210xx x x +-=+-=解得2x =-或1x =，故{}2,1A =-.1<得01x ≤<，故[)0,1B =.所以A B ={}[]20,1-.故答案为：{}[]20,1-.【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，考查一元二次方程的解法，考查不等式的解法，属于基础题. 2．{}2,1,1,3,5-- 【分析】分别求得集合,U A 的元素，由此求得U C A . 【详解】 依题意{}2,1,0,1,2,3,4,5,6U=--，{}0,2,4,6A =，所以{}2,1,1,3,5U C A =--.故答案为：{}2,1,1,3,5--. 【点睛】本小题主要考查集合补集的概念和运算，属于基础题. 3．详见解析 【分析】先用阴影部分表示U U C A B C ，再用阴影部分表示()U U U C C A C B .【详解】 依题意可知U U C AB C 表示为：故()U U U C C A C B 表示为：故答案为：【点睛】本小题主要考查利用文氏图表示集合的并集和补集的运算，属于基础题. 4．设,a b ∈R ，若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠. 【解析】 【分析】直接利用逆否命题的定义求解即可. 【详解】逆否命题是将原命题的条件与结论都否定，然后将条件当结论，结论当条件， 所以 “,,a b R ∈若0,ab =则0a =或0b =”的否命题是 “,,a b R ∈若0b ≠且0b ≠，则0ab ≠”, 故答案为“,,a b R ∈若0b ≠且0b ≠，则0ab ≠”.【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，属于简单题. 逆否命题是将原命题的条件与结论都否定，然后将条件当结论，结论当条件求得. 5．1a ≤ 【分析】解一元二次不等式求得集合B ，根据P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，判断出A 是B 的真子集，由此列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】 依题意()()254140xx x x -+=--≥，解得1x ≤或4x ≥.由于P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集，故1a ≤.即a 的取值范围为1a ≤. 故答案为1a ≤ 【点睛】本小题主要考查根据充分不必要条件求参数的取值范围，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 6．116【解析】211414()44216x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当x=4y=12时取等号.7．[)[]1,00,2-【分析】根据偶次方根被开方数为非负数，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】依题意2401010x x ⎧-≥⎪+≥⎨⎪≠⎩，2210x x x -≤≤⎧⎪≥-⎨⎪≠⎩，解得[)[]1,00,2x ∈-.故答案为[)[]1,00,2-.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查不等式的解法，属于基础题.8．[4,0]- 【解析】试题分析：当0m =时，不等式变形为10->，解集为∅，符合题意；当0m ≠时，依题意可得20{4040m m m m <⇒-≤<∆=+≤， 综上可得40m -≤≤． 考点：一元二次不等式．【易错点睛】本题主要考查不等式中的一元二次不等式问题，难度一般．有很多同学做此题时直接考虑为一元二次不等式，其二次函数应开口向下且与x 轴至多有一个交点，而忽略二次项系数为0时的情况导致出现错误．当二次项系数含参数时一定要讨论是否为0，否则极易出错． 9．1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】先根据()h x 函数的定义求得()h x 的解析式，由此求得()h x 的值域. 【详解】根据()h x 函数的定义可知()()()223,12,1x x x h x x x ⎧--+≥=⎨-<⎩，即()2276,12,1x x x h x x x ⎧-+-≥=⎨-<⎩，对于()22761y x x x =-+-≥，其图像开口向下，对称轴为74x =，所以当74x =时有最大值为2771276448⎛⎫-+⨯-= ⎪⎝⎭，没有最小值，即18y ≤.对于()21y x x =-<，21y x =-<-.故函数()h x 的值域是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故答案为1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查分段函数解析式和值域的求法，属于基础题.10．20192018-【分析】利用已知条件，将12019a a b+转化为2220192019a a ba ab ++，然后利用绝对值的性质结合基本不等式，求得最小值，并求得此时a 的值. 【详解】2120192019a a a b a b a b ++=+222122019201920192019a a b a a b =++≥-+，当且仅当22019a b a b =且0a <时等号成立，即20192018a =-. 故答案为20192018- 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查绝对值的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 11．D 【分析】根据y 的取值范围，求得M N R ==，由此求得两个集合的交集. 【详解】对于集合,M N ，两个集合的研究对象都是y ，且y R ∈，故M N R ==，所以M N R =.故选：D. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 12．B 【解析】根据等价命题，便宜Þ没好货，等价于，好货Þ不便宜，故选B ． 【考点定位】考查充分必要性的判断以及逻辑思维能力，属中档题． 13．C【分析】 根据110a b<<得到0b a <<，结合不等式的性质、基本不等式，对四个不等式逐一分析，由此判断出成立的个数. 【详解】 由110a b<<可知0b a <<. 由b a <两边乘以负数b 得2b ab >，故①正确.由0b a <<得()()22220,b a b a b a b a -=+->>，故②错误.由0b a <<，结合基本不等式有()()22a b a b -+-+=-<=③正确.由0b a <<，结合基本不等式有2a b b a +>=，故④正确. 综上所述，正确的个数为3个. 故选C. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查基本不等式的运用，属于基础题. 14．D 【分析】 将不等式111x a x b+≥--转化为高次分式不等式，求得不等式的解集，由此求得x 构成的区间的长度和. 【详解】原不等式111x a x b +≥--可转化为()()()220x a b x ab a b x a x b -+++++≤--①，对于()220x a b x ab a b -+++++=，其判别式()220a b ∆=-+>，故其必有两不相等的实数根，设为12,x x ，由求根公式得1x =，2x =.下证12b x a x <<<：构造函数()()22f x x a b x ab a b =-+++++，其两个零点为12,x x ，且12x x <.而()()220f a a a b a ab a b b a =-++⋅+++=-<，所以12x a x <<，由于b a <，且()()220f b b a b b ab a b a b =-++⋅+++=->，由二次函数的性质可知12b x a x <<<. 故不等式①的解集为(](]12,,b x a x ⋃，其长度之和为()1212x b x a x x a b -+-=+-+()22a b a b =++-+=.故选D.【点睛】本小题主要考查高次分式不等式的解法，考查一元二次方程、一元二次不等式的关系，考查新定义的理解和运用，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题. 15．见解析.【分析】由基本不等式得出22a b a b+≥，22b a b a +≥，然后利用同向不等式的可加性可得出证明. 【详解】由基本不等式得出22a b a b +≥=，22b a b a +≥=， 上述两个不等式当且仅当a b =时，等号成立，由同向不等式的可加性得2222a b a b a b b a +++≥+，即22a b a b b a++≥. 【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，属于中等题. 16．(][],31,5-∞-【分析】分别求得分式不等式和绝对值不等式的解集，求两者的交集得到不等式组的解集.【详解】 由97212x x ≥-+得970212x x -≥-+，()()50212x x x -≤-+，解得()1,2,52x ⎛⎤∈-∞-⋃ ⎥⎝⎦. 由12x +≥得12x +≤-或12x +≥，解得3x ≤-或1x ≥.所以不等式9721212x x x ⎧≥⎪-+⎨⎪+≥⎩的解集即()(][)(][]1,2,52,31,5,31,x x x ⎧⎛⎤=-∞-⋃⎪ ⎥⇒∈-∞-⋃⎝⎦⎨⎪∈-∞-⋃+∞⎩.故答案为：(][],31,5-∞-. 【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查绝对值不等式的解法，考查不等式组的求解，属于基础题.17．（1）何老师10月份应缴纳683.8元个人所得税，增加收入424.4元（2）详见解析【分析】（1）先计算出10月份的扣税，再计算出9月份的扣税，两者作差，计算出何老师增加的收入.（2）直接按当前级数税率计算，则多算了前面级数的金额，所以要扣除.这样计算可以减少运算量，能使财务人员迅速计算出个人所得税.【详解】（1）10月份，13404371050004694--=，∴30003%169410%259.4⨯+⨯=；9月份，13404371035006194--=，∴15003%300010%169420%683.8⨯+⨯+⨯=；增加收入683.8259.4424.4-=元；（2）速算扣除数等于按当前级数税率计算后，前面级数多算的金额，所以扣除， 如【最新】10月的表中，21030007%=⨯，1410900010%300017%=⨯+⨯，2660130005%900015%300022%=⨯+⨯+⨯，依此类推.【点睛】本小题主要考查实际生活中的数学应用，属于基础题.18．（1）2a =-（2）①B C ⋃不具有性质P ，B D 具有性质P ；()(){}1,2,2,1S =，()()(){}2,1,3,1,3,2T =②m n <，证明见解析【分析】（1）先求得集合,B C 所包含的元素，根据D B ≠∅，D C =∅，求得a 的值. （2）根据（1）求得,,B C D ，由此求得,B C B D ⋃⋃.①根据性质P 的定义，判断出B C ⋃不具有性质P ，B D 具有性质P .根据集合,S T 的定义求得,S T .②根据①所求,S T ，求得,m n ，由此比较出两者的大小关系.【详解】（1）对于集合B ，222y x x =-++开口向下，对称轴为1x =，当1x =时3y =，故{}1,2,3B =对于集合C ，由201x x -≥+，解得()12x x Z -<≤∈，所以{}0,1,2C =. 根据题意D B ≠∅，D C =∅，所以3D ∈，解得5a =或2a =-，经检验，5a =不符合DC =∅，故舍去，2a =-满足题意，即2a =-. （2）由（1）得{}3,5D =-，{}1,2,3B =，{}0,1,2C =，{}0,1,2,3B C ⋃=，{}5,1,2,3B D =-.①B C ⋃中,00B C B C ⋃-∈⋃∈，故B C ⋃不具有性质P ；B D 中任意元素,a B D a B D ∈-∉，故B D 具有性质P ；根据集合,S T 的定义，求得()(){}1,2,2,1S =，()()(){}2,1,3,1,3,2T =；②由①知，2,3m n ==，故m n <.【点睛】本小题主要考查二次函数函数值、一元二次不等式的解法，函数的定义域，考查新定义概念的理解和运用，属于中档题.。
最新上海华师大二附中高一(上)期中数学试卷及答案
2016-2017学年上海市华师大二附中高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每空3分，共42分）1．（3分）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∪B=．2．（3分）不等式≥0的解集为（用区间表示）3．（3分）已知A={（x，y）|4x+y=6}，B={（x，y）|3x+2y=7}，则A∩B=．4．（3分）已知全集U=R，集合P={x|x2﹣5x﹣6≥0}，那么∁U P=．5．（3分）已知集合A={1，3，2m+3}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=．6．（3分）设全集U=M∪N={1，2，3，4，5}，M∩∁U N={2，4}，则N=．7．（3分）满足{1，2}⊊M⊆{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是．8．（3分）已知x∈R，命题“若2＜x＜5，则x2﹣7x+10＜0”的否命题是．9．（3分）设x＞0，则的最小值为．10．（3分）若关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则关于x 的不等式cx2+bx+a＞0的解集是．11．（3分）在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意的实数x成立，则a的取值范围是．12．（3分）不等式x2﹣2x+3≤a2﹣2a﹣1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是．13．（3分）设实数a，b满足a+ab+2b=30，且a＞0，b＞0，那么的最小值为．14．（3分）定义满足不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的实数x的集合叫做A的B邻域．若a+b﹣t（t为正常数）的a+b邻域是一个关于原点对称的区间，则a2+b2的最小值为．二、选择题：（每题3分，共12分）15．（3分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R16．（3分）下列命题正确的是（）A．ac＞bc⇒a＞b B．a2＞b2⇒a＞b C．＞⇒a＜b D．＜⇒a＜b 17．（3分）条件“0＜x＜5”是条件“|x﹣2|＜3”的（）A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件18．（3分）对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界，若a，b∈R+，且a+b=1，则的上确界为（）A．B．C．D．﹣4三、解答题：（6+6+8+6+8+12分，共46分）19．（6分）解不等式组．20．（6分）记关于x的不等式的解集为P，不等式|x+2|＜3的解集为Q（1）若a=3，求P；（2）若P∪Q=Q，求正数a的取值范围．21．（8分）设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0，x∈R}，（1）若A∩B=A∪B，求实数a的值；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．22．（6分）若实数x、y、m满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称x比y远离m．（1）若x2﹣1比3远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab．23．（8分）某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为a千瓦时．本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.75元/千瓦时之间，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时（该市电力成本价为0.30元/千瓦时）经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为0.2a．试问当地电价最低为多少时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%．24．（12分）已知一元二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为（c，0），且当0＜x＜c时，恒有f （x）＞0．（1）当a=1，时，求出不等式f（x）＜0的解；（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a 的取值范围；（4）若不等式m2﹣2km+1+b+ac≥0对所有k∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．四、附加题：（每题4分，共20分）25．（4分）定义集合运算：A⊙B={z|z=xy（x+y），x∈A，y∈B}．设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为．26．（4分）关于不等式组的整数解的集合为{﹣2}，则实数k的取值范围是．27．（4分）设集合A={x|x2﹣2ax+a=0，x∈R}，B={x|x2﹣4x+a+5=0，x∈R}，若A 和B中有且仅有一个是∅，则实数a的取值范围是．28．（4分）设集合S={0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x﹣1∉A且x+1∉A，则称x为集合A的一个“孤立元素”．，那么集合S中所有无“孤立元素”的4元子集有个．29．（4分）设，则的最小值为．2016-2017学年上海市华师大二附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每空3分，共42分）1．（3分）（2013•江苏模拟）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∪B={﹣1，0，1，2，4}．【分析】根据集合的基本运算，即可．【解答】解：∵A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，∴A∪B={﹣1，0，1，2，4}，故答案为：{﹣1，0，1，2，4}，【点评】本题主要考查集合的基本运算比较基础．2．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）不等式≥0的解集为（﹣∞，﹣3）∪[2，+∞）（用区间表示）【分析】化分式不等式为不等式组求解，取并集得答案．【解答】解：由≥0，得或，解得：x≥2或x＜﹣3．∴不等式≥0的解集为（﹣∞，﹣3）∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪[2，+∞）．【点评】本题考查分式不等式的解法，考查数学转化思想方法，是基础题．3．（3分）（2016春•库尔勒市校级期末）已知A={（x，y）|4x+y=6}，B={（x，y）|3x+2y=7}，则A∩B={（1，2）}．【分析】联立两个集合中的方程得到一个方程组，消去y得到关于x的一元一次方程，从而解得两个集合的公共元素即构成两个集合的交集．【解答】解：联立两个集合中的方程得，解得：，则A∩B={（1，2）}故答案为：{（1，2）}．【点评】此题要求学生掌握两集合的交集是由两个集合中的解析式的交点坐标构成，以及掌握解析式没有交点即两集合的交集为空集．4．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）已知全集U=R，集合P={x|x2﹣5x﹣6≥0}，那么∁U P=（﹣1，6）．【分析】求出集合P中不等式的解集，确定出集合P，根据全集U=R，找出R中不属于集合P的部分，即可求出集合P的补集．【解答】解：由集合P中的不等式x2﹣5x﹣6≥0，因式分解得：（x+1）（x﹣6）≥0，解得：x≤﹣1或x≥6，得到集合P={x|x≤﹣1或x≥6}，又全集U=R，∴∁U P=（﹣1，6）．故答案为：（﹣1，6）．【点评】此题考查了补集及其运算，利用了转化的思想，是一道基本题型，求补集时注意全集的范围．5．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）已知集合A={1，3，2m+3}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=1或3．【分析】由B⊆A可知1=m2或2m+3=m2，求出m再验证．【解答】解：∵B⊆A，∴1=m2或2m+3=m2，解得，m=1或m=﹣1或m=3，将m的值代入集合A、B验证，m=﹣1不符合集合的互异性，故m=1或3．故答案为：1或3．【点评】本题考查了集合的包含关系与应用，注意要验证．6．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）设全集U=M∪N={1，2，3，4，5}，M ∩∁U N={2，4}，则N={1，3，5}．【分析】由M与N补集的交集，得到2与4不属于集合N，根据全集U即可确定出集合N．【解答】解：∵全集U=M∪N={1，2，3，4，5}，M∩∁U N={2，4}，∴N={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．7．（3分）（2007秋•闵行区期中）满足{1，2}⊊M⊆{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是15．【分析】根据真子集的定义可知，M至少含有3个元素，根据子集的定义知M 最多含有六个元素，采用列举法进行求解．【解答】解：∵{1，2}⊊M⊆{1，2，3，4，5，6}，∴M中至少含有3个元素且必有1，2，而M为集合{1，2，3，4，5，6}的子集，故最多六个元素，∴M={1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，5}或{1，2，6}或{1，2，3，4}，或{1，2，3，6}，或{1，2，3，5}或{1，2，4，5}或{1，2，6，4}或{1，2，5，6}或{1，2，3，4，5}，或{1，2，4，5，6}或{1，2，3，4，6}，或{1，2，3，5，6}或{1，2，3，4，5，6}一共15个，故答案为：15．【点评】此题是一道基础题，主要考查子集和真子集的定义，这也是解题的关键．8．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）已知x∈R，命题“若2＜x＜5，则x2﹣7x+10＜0”的否命题是若x≤2或x≥5，则x2﹣7x+10≥0．【分析】根据原命题，同时否定条件和结论写出否命题，从而可得答案．【解答】解：原命题为：“若2＜x＜5，则x2﹣7x+10＜0”，否定它的条件和结论，得：否命题为：“若x≤2或x≥5，则x2﹣7x+10≥0”，故答案为：若x≤2或x≥5，则x2﹣7x+10≥0．【点评】本题以命题为载体，考查命题的几种形式，解题的关键是正确写出命题的各种形式．注意区分否命题与命题的否定．9．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）设x＞0，则的最小值为．【分析】变形利用基本不等式即可．【解答】解：∵x＞0，∴=x+1+=，当且仅当，x＞0，即x=时取等号．故的最小值是．故答案为．【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．10．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）若关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集是．【分析】由条件可得a＜0，且﹣1+2=﹣，﹣1×2=．b=﹣a＞0，c=﹣2a＞0，可得要解得不等式即x2+x﹣＞0，由此求得它的解集．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，∴a＜0，且﹣1+2=﹣，﹣1×2=．∴b=﹣a＞0，c=﹣2a＞0，∴=﹣，=．故关于x的不等式cx2+bx+a＞0，即x2+x﹣＞0，即（x+1）（x﹣）＞0，故x＜﹣1，或x＞，故关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集是，故答案为．【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．11．（3分）（2013秋•商丘校级期末）在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意的实数x成立，则a的取值范围是．【分析】根据定义，结合不等式恒成立即可得到结论．【解答】解：由定义得不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意的实数x成立，等价为（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1对任意的实数x成立，即x2﹣x+1+a﹣a2＞0恒成立，则判别式△=1﹣4（1+a﹣a2）＜0，即4a2﹣4a﹣3＜0，解得＜a＜，故答案为：【点评】本题主要考查不等式的求解，根据定义结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键．12．（3分）（2012•平阳县校级模拟）不等式x2﹣2x+3≤a2﹣2a﹣1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是{a|﹣1＜a＜3}．【分析】把不等式的右边移项到左边合并后，设不等式的坐标为一个开口向上的抛物线，由不等式的解集为空集，得到此二次函数与x轴没有交点即根的判别式小于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．【解答】解：由x2﹣2x+3≤a2﹣2a﹣1移项得：x2﹣2x+3﹣a2+2a+1≤0，因为不等式的解集为∅，所以△=4﹣4（3﹣a2+2a+1）＜0，即a2﹣2a﹣3＜0，分解因式得：（a﹣3）（a+1）＜0，解得：﹣1＜a＜3，则实数a的取值范围是：{a|﹣1＜a＜3}．故答案为：{a|﹣1＜a＜3}【点评】此题考查学生掌握二次函数与x轴有无交点的判断方法，考查了一元二次不等式的解法，是一道综合题．13．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）设实数a，b满足a+ab+2b=30，且a＞0，b＞0，那么的最小值为．【分析】由已知，利用基本不等式可得，30﹣ab=a+2b，解不等式可求的范围，进而可求ab的范围，从而可求的最小值【解答】解：∵a+ab+2b=30，且a＞0，b＞0，∴30﹣ab=a+2b（当且仅当a=2b=6时取等号）即≤0解不等式可得，∴ab≤18∴即最小值为故答案为：【点评】本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键．14．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）定义满足不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B ＞0）的实数x的集合叫做A的B邻域．若a+b﹣t（t为正常数）的a+b邻域是一个关于原点对称的区间，则a2+b2的最小值为．【分析】先根据条件求出﹣t＜x＜2（a+b）﹣t；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到a+b=t，最后结合基本不等式即可求出a2+b2的最小值．【解答】解：因为：A的B邻域在数轴上表示以A为中心，B为半径的区域，∴|x﹣（a+b﹣t）|＜a+b⇒﹣t＜x＜2（a+b）﹣t，而邻域是一个关于原点对称的区间，所以可得a+b﹣t=0⇒a+b=t．又因为：a2+b2≥2ab⇒2（a2+b2）≥a2+2ab+b2=（a+b）2=t2．所以：a2+b2≥．故答案为：．【点评】本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．二、选择题：（每题3分，共12分）15．（3分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．【解答】解：集合M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M，故选：B．【点评】本题考查二次不等式和绝对值不等式的解集，以及集合的基本运算，较简单．16．（3分）（2010秋•奉贤区期末）下列命题正确的是（）A．ac＞bc⇒a＞b B．a2＞b2⇒a＞b C．＞⇒a＜b D．＜⇒a＜b 【分析】当c＜0时，根据不等式的性质由ac＞bc推出a＜b，可得A不正确．当a=﹣2，b=﹣1时，检验可得B不正确．当a=2，b=﹣1时，检验可得C不正确．由0≤成立，平方可得a＜b，从而得到D正确．【解答】解：当c＜0时，由ac＞bc推出a＜b，故A不正确．当a=﹣2，b=﹣1时，尽管a2＞b2，但a＞b不正确，故B不正确．当a=2，b=﹣1时，尽管，但不满足a＜b，故C不正确．当时，一定有a＜b，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．17．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）条件“0＜x＜5”是条件“|x﹣2|＜3”的（）A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】正确求解含绝对值的不等式是解决该问题的关键，解出不等式以后利用集合之间的关系判断是什么条件．【解答】解：由“|x﹣2|＜3”解出﹣1＜x＜5，故“0＜x＜5”⇒“﹣1＜x＜5”，而反过来推不出，因此条件“0＜x＜5”是条件“|x﹣2|＜3”的充分但非必要条件．故选A．【点评】本题是不等式求解与充要条件判断的交汇问题，属于基础题．18．（3分）（2014•朝阳区校级模拟）对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界，若a，b∈R+，且a+b=1，则的上确界为（）A．B．C．D．﹣4【分析】由题意可知，求的是的最小值，并且a，b＞0，a+b=1，由此想到利用1的整体代换构造积为定值．【解答】解：∵≥，（当且仅当时取到等号）∴（当且仅当时取到上确界）故选B．【点评】这是一个常见的利用基本不等式求最值的问题，主要是利用题设构造积为定值的技巧．三、解答题：（6+6+8+6+8+12分，共46分）19．（6分）（2014秋•浦东新区期末）解不等式组．【分析】分别解不等式≤2与x2﹣6x﹣8＜0，最后取其交集即可．【解答】解：由≤2得：≥0，解得x＜﹣1或x≥1；由x2﹣6x﹣8＜0得：3﹣＜x＜3+，∴不等式组得解集为（3﹣，﹣1）∪[1，3+）．【点评】本题考查分式不等式与一元二次不等式的解法，考查集合的交并补运算，属于中档题．20．（6分）（2016秋•浦东新区校级期中）记关于x的不等式的解集为P，不等式|x+2|＜3的解集为Q（1）若a=3，求P；（2）若P∪Q=Q，求正数a的取值范围．【分析】（1）当a=3时，分式不等式可化为，结合分式不等式解法的结论，即可得到解集P；（2）由含有绝对值不等式的解法，得Q=（﹣5，1）．根据a是正数，得集合P ═（﹣1，a），并且集合P是Q的子集，由此建立不等式关系，即可得到正数a 的取值范围．【解答】解：（1）a=3时，即，化简得∴集合，根据分式不等式的解法，解得﹣1＜x＜3由此可得，集合P=（﹣1，3）．（2）Q={x||x+2|＜3}={x|﹣3＜x+2＜3}={x|﹣5＜x＜1}可得Q=（﹣5，1）∵a＞0，∴P={}=（﹣1，a），又∵P∪Q=Q，得P⊆Q，∴（﹣1，a）⊆（﹣5，1），由此可得0＜a≤1即正数a的取值范围是（0，1]．【点评】本题给出分式不等式和含有绝对值的不等式，求两个解集并讨论它们的包含关系，着重考查了分式不等式的解法、含有绝对值的不等式的解法和集合包含关系的运算等知识，属于基础题．21．（8分）（2014秋•浦东新区期末）设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0，x∈R}，（1）若A∩B=A∪B，求实数a的值；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【分析】（1）解x2+4x=0可得集合A，又由A∩B=A∪B可得A=B，即方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两根为0、﹣4，由根与系数的关系可得关于a的方程，解可得答案；（2）根据题意，由A∩B=B可得B⊆A，进而可得B=∅或{0}或{﹣4}或{0，﹣4}，分别求出a的值，综合可得答案．【解答】解：（1）A={x|x2+4x=0，x∈R}={0，﹣4}若A∩B=A∪B，则A=B，则有a+1=2且a2﹣1=0，解可得a=1（2）若A∩B=B，则B⊆A∴B=∅或{0}或{﹣4}或{0，﹣4}；①当B=∅时，△=[2（a+1）]2﹣4•（a2﹣1）＜0⇒a＜﹣1②当B={0}时，⇒a=﹣1③当B={﹣4}时，⇒a不存在④当B={0，﹣4}时，⇒a=1∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪{1}．【点评】本题考查集合间的相互关系，涉及参数的取值问题，解（2）时，注意分析B=∅的情况．22．（6分）（2016秋•浦东新区校级期中）若实数x、y、m满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称x比y远离m．（1）若x2﹣1比3远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab．【分析】（1）利用新定义即可求出x的取值范围；（2）利用新定义和不等式的性质即可证明．【解答】解：（1）由题设|x2﹣1﹣0|＞|3﹣0|，∴x2﹣1＜﹣3或x2﹣1＞3，即x2＜﹣2或x2＞4；由x2＞4，解得x＜﹣2或x＞2；而x2＜﹣2的解集为∅．∴x的取值范围为{x|x＜﹣2，或x＞2}．（2）对任意两个不相等的正数a、b，有，∵=（a+b）（a﹣b）2＞0，∴＞．即a3+b3比a2b+ab2远离．【点评】熟练掌握不等式的解法和证明是解题的关键．23．（8分）（2008•黄浦区一模）某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为a千瓦时．本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.75元/千瓦时之间，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时（该市电力成本价为0.30元/千瓦时）经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为0.2a．试问当地电价最低为多少时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%．【分析】设新电价为x元/千瓦时（0.55≤x≤0.75），则新增用电量为千瓦时．依题意，有，由此能求出电价最低为0.6元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加20%．【解答】解：设新电价为x元/千瓦时（0.55≤x≤0.75），则新增用电量为千瓦时．依题意，有，即（x﹣0.2）（x﹣0.3）≥0.6（x﹣0.4），整理，得x2﹣1.1x+0.3≥0，解此不等式，得x≥0.6或x≤0.5，又0.55≤x≤0.75，所以，0.6≤x≤0.75，因此，x min=0.6，即电价最低为0.6元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加20%．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运算．24．（12分）（2016秋•浦东新区校级期中）已知一元二次函数f（x）=ax2+bx+c （a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为（c，0），且当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．（1）当a=1，时，求出不等式f（x）＜0的解；（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a 的取值范围；（4）若不等式m2﹣2km+1+b+ac≥0对所有k∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）当a=1，时，，f（x）的图象与x轴有两个不同交点，由此能求出f（x）＜0的解集．（2）f（x）的图象与x轴有两个交点，由f（c）=0，设另一个根为x2，由此能求出f（x）＜0的解集．（3）由（2）的f（x）的图象与坐标轴的交点分别为，这三交点为顶点的三角形的面积为，由此能求出a的取值范围．（4）由f（c）=0，知ac2+bc+c=0，由c＞0，知ac+b+1=0，由此能求出实数m的取值范围．【解答】（本小题满分（14分），（1）（2）小题每题（3分），（3）（4）小题每题4分）解：（1）当a=1，时，，f（x）的图象与x轴有两个不同交点，∵，设另一个根为x2，则，∴x2=1，则f（x）＜0的解集为．…（3分）（2）f（x）的图象与x轴有两个交点，∵f（c）=0，设另一个根为x2，则，又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则，∴f（x）＜0的解集为…（6分）（3）由（2）的f（x）的图象与坐标轴的交点分别为这三交点为顶点的三角形的面积为，…（8分）∴故．…（10分）（4）∵f（c）=0，∴ac2+bc+c=0，又∵c＞0，∴ac+b+1=0，…（11分）要使m2﹣2km≥0，对所有k∈[﹣1，1]恒成立，则当m＞0时，m≥（2k）max=2当m＜0时，m≤（2k）min=﹣2当m=0时，02≥2k•0，对所有k∈[﹣1，1]恒成立从而实数m的取值范围为m≤﹣2或m=0或m≥2．…（14分）【点评】本题考查二次函数的性质和应用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．四、附加题：（每题4分，共20分）25．（4分）（2011•安徽模拟）定义集合运算：A⊙B={z|z=xy（x+y），x∈A，y∈B}．设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为18．【分析】根据定义A⊙B={z|z=xy（x+y），x∈A，y∈B}．计算出集合A⊙B的所有元素，再求出这些元素的和【解答】解：∵A⊙B={z|z=xy（x+y），x∈A，y∈B}．设集合A={0，1}，B={2，3}，∴x=0，z=0x=1，y=2，z=6x=1，y=3，z=12∴A⊙B={z|0，6，12}．集合A⊙B的所有元素之和为18故答案为18【点评】本题考查映射的定义，解题的关键是正确理解A⊙B={z|z=xy（x+y），x ∈A，y∈B}，根据定义中的规则列举出集合A⊙B的所有元素．26．（4分）（2014春•咸宁期末）关于不等式组的整数解的集合为{﹣2}，则实数k的取值范围是[﹣3，2）．【分析】先分别解出一元二次不等式，再对k分类讨论并画出数轴即可得出答案．【解答】解：由不等式组可化为．（1）当时，上述不等式组可化为，解集为{x|}，不满足原不等式组的整数解的集合为{﹣2}，故应舍去；（2）当时，上述不等式组可化为，作出数轴：可知必须且只需当﹣2＜﹣k≤3时，即﹣3≤k＜2，原不等式组的整数解的集合为{﹣2}．故k的取值范围是[﹣3，2）．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法、分类讨论和数形结合的思想方法是解题的关键．27．（4分）（2016秋•浦东新区校级期中）设集合A={x|x2﹣2ax+a=0，x∈R}，B={x|x2﹣4x+a+5=0，x∈R}，若A和B中有且仅有一个是∅，则实数a的取值范围是（﹣1，0]∪[1，+∞）．【分析】由题意可得，x2﹣2ax+a=0与x2﹣4x+a+5=0有且只有一个方程无解，故有①，或②．分别求得①和②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：集合A={x|x2﹣2ax+a=0，x∈R}，B={x|x2﹣4x+a+5=0，x∈R}，A和B 中有且仅有一个是∅，故x2﹣2ax+a=0与x2﹣4x+a+5=0有且只有一个方程无解，∴①，或②．解①可得a∈∅，解②可得﹣1＜a≤0，或a≥1，故实数a的取值范围是（﹣1，0]∪[1，+∞），故答案为（﹣1，0]∪[1，+∞）．【点评】本题主要考查一元二次方程的解的个数的判断方法，元素与集合的关系，属于基础题．28．（4分）（2016秋•浦东新区校级期中）设集合S={0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x﹣1∉A且x+1∉A，则称x为集合A的一个“孤立元素”．，那么集合S中所有无“孤立元素”的4元子集有6个．【分析】由S={0，1，2，3，4，5}，结合x∈A时，若有x﹣1∉A，且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案．【解答】解：∵S={0，1，2，3，4，5}，其中不含“孤立元”的集合4个元素必须是：共有{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集A的个数是6个．故答案为：6．【点评】本题考查的知识点是子集与真子集、元素与集合关系的判断，我们要根据定义列出满足条件列出所有不含“孤立元素”的集合，及所有4元集的个数，进而求出不含“孤立元素”的集合个数．29．（4分）（2016秋•浦东新区校级期中）设，则的最小值为25．【分析】将条件等价变形，利用基本不等式，即可得到结论．【解答】解：∵，∴1﹣2x＞0∴==13+≥13+=25当且仅当，即x=时，的最小值为25故答案为：25【点评】本题考查函数的最值，考查基本不等式的运用，正确变形是关键．。
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一(上)10月月考数学试卷及答案
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）10月月考数学试卷一、填空题1．集合{x|﹣2＜x＜3，x∈Z}可用列举法表示为．2．设集合，则集合A的子集的个数是．3．设集合A＝{1，9，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，则实数x的取值范围是．4．命题：“若a2+b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是．5．关于x的方程x2﹣10x+k＝0有两个异号根的充要条件是．6．设x，y∈R，则“|x|+|y|＜1”是“|x|＜1且|y|＜1”的条件．7．已知A＝{|a+1|，3，5}，B＝{2a+1，a2+2a，a2+2a﹣1}，若A∩B＝{2，3}，则A∪B＝．8．已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2k﹣1}，B＝{x|x﹣k≤0}，且A⫋B，则实数k的取值范围是．9．若关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集是．10．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，则称k是A的一个“孤立元”，已知S＝{1，2，3，4}，所有由S的2个元素构成的集合中，含有“孤立元”的集合个数是．11．已知m∈R，集合A＝{x|m≤x≤3m﹣1}，若A∩Z恰有一个元素，则m的取值范围是．12．已知f（x）＝x|x|，若对任意x∈[a﹣2，a+2]，f（x+a）＜2f（x）恒成立，则实数a的取值范围是．二、选择题13．若M、P都是全集U的子集，则图中阴影部分可以表示为（）A．M∪P B．∁U（M∩P）C．∁U（M∪P）D．∁U M∪∁U P 14．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0D．（a﹣b）c2≥0 15．有下列三个命题：①“x+y≠4”是“x≠1且y≠3”的必要非充分条件；②xy＜0是|x﹣y|＝|x|+|y|的充要条件；③已知m，n∈Z，则m2+n2＜5是m+n≤2的充分非必要条件；其中的真命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个16．已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+2+a，若集合A＝{x∈N|f（x）＜0}中恰有一个元素，则实数a（）A．有最大值，无最小值B．有最小值，无最大值C．既无最大值，也无最小值D．既有最大值，也有最小值三、解答题17．已知集合U＝{x|x＜9，x∈N*}，A＝{1，2，3，7}，B＝{1，3，4，5，6}，求∁U A和∁U （A∩B）．18．若抛物线y＝x2﹣（2a﹣1）x+a2﹣1与x轴的两个交点在y轴的同侧，求实数a的取值范围．19．已知a，b∈R，关于x的函数f（x）＝x2+ax+b，集合A＝{x|f（x）＝x，x∈R}，B＝{x|f （f（x））＝x，x∈R}．（1）若A＝{a}，求a、b的值；（2）若a∈N，b＝0且A＝B，求集合A．20．已知U⊆R为一个数集，集合A＝{s2+3t2|s，t∈U}．（1）设U＝{1，3，5}，求集合A的元素个数；（2）设U＝Z，证明：若x∈A，则7x∈A；（3）设U＝R，x，y∈A，且x＝m2+3n2，y＝p2+3q2，若mp﹣3nq＝，求x+y+mq+np 的最小值．2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．集合{x|﹣2＜x＜3，x∈Z}可用列举法表示为{﹣1，0，1，2}．【分析】利用集合的表示方法求解．【解答】解：集合{x|﹣2＜x＜3，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2}，故答案为：{﹣1，0，1，2}．【点评】本题主要考查了集合的表示方法，是基础题．2．设集合，则集合A的子集的个数是8．【分析】由题意，可求集合A中有2，3，4三个元素．而集合的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．可得正确答案．【解答】解：由于∈N，则5﹣x必为6的正约数，∴5﹣x＝1，2，3，6，∴x＝4，3，2，﹣1；又x∈N，∴x＝4，3，2．故集合集合A＝{2，3，4}，所以集合A子集个数为8个．故答案为：8．【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n 个元素，则集合M的子集共有2n个．3．设集合A＝{1，9，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，则实数x的取值范围是{3，﹣3，0}．【分析】根据A∩B＝B，根据集合的性质，列方程即可求得x的值、【解答】解：A∩B＝B，则B⊆A，根据集合的性质，当9＝x2，解得：x＝3或﹣3，当x＝x2时，解得x＝1或0，根据集合的互异性可知，x≠1，故x＝0，3或﹣3．故答案为：{3，﹣3，0}．【点评】本题考查集合的运算，考查集合的性质，属于基础题．4．命题：“若a2+b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0．【分析】逆否命题就是条件否定了当结论，结论否定了当条件，根据原命题，写出即可．【解答】解：“若a2+b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是：若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0．故答案为：若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0．【点评】本题考查了四种命题中逆否命题的写法，属于基础题．5．关于x的方程x2﹣10x+k＝0有两个异号根的充要条件是k＜0．【分析】根据根的判别式和根与系数的关系求出m的范围，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣10x+k＝0有两个异号根，∴，∴解得k＜0，∴“k＜0”方程x2﹣10x+k＝0有两个异号根的充要条件．故答案为：k＜0．【点评】此题考查了方程根与系数的关系，充分条件和必要条件的定义，属于基础题．6．设x，y∈R，则“|x|+|y|＜1”是“|x|＜1且|y|＜1”的充分不必要条件．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|x|+|y|＜1能够推出|x|＜1且|y|＜1，故“|x|+|y|＜1”是“|x|＜1且|y|＜1”的充分条件，由|x|＜1且|y|＜1推不出|x|+|y|＜1，如|x|＝且|y|＝，则|x|+|y|＞1，故“|x|+|y|＜1”是“|x|＜1且|y|＜1”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．7．已知A＝{|a+1|，3，5}，B＝{2a+1，a2+2a，a2+2a﹣1}，若A∩B＝{2，3}，则A∪B＝{﹣5，2，3，5}．【分析】由题意推出|a+1|＝2，求出a的值，验证A∩B＝{2，3}，求出A，B，然后求出A∪B．【解答】解：由A∩B＝{2，3}可得，2∈A，∴|a+1|＝2，a＝1或a＝﹣3，当a＝1时，此时B中有相同元素，不符合题意，应舍去当a＝﹣3时，此时B＝{﹣5，3，2}，A＝{2，3，5}，A∩B＝{3，2}符合题意，所以a＝﹣3，A∪B＝{﹣5，2，3，5}．故答案为：{﹣5，2，3，5}．【点评】本题是中档题，考查集合的基本运算，集合中参数的取值问题的处理方法，考查计算能力．8．已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2k﹣1}，B＝{x|x﹣k≤0}，且A⫋B，则实数k的取值范围是{k|k ≤1}．【分析】由集合的包含关系，A中所有元素都在B中，得到关于k的不等式，解出即可．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2≤x＜2k﹣1}，B＝{x|x﹣k≤0}，且A⫋B，∴2k﹣1≤k⇒k≤1；故答案为：{k|k≤1}．【点评】本题考查集合的关系问题，根据已知构造不等式是解答的关键．9．若关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．【分析】由不等式ax2+bx+c＜0的解集求出a、b和c的关系，判断a＜0；代入不等式为cx2+bx+a＞0化简并求解集即可．【解答】解：不等式ax2+bx+c＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），所以1和﹣3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，且a＜0；即，解得b＝2a，c＝﹣3a；所以不等式为cx2+bx+a＞0可化为﹣3x2+2x+1＜0，即3x2﹣2x﹣1＞0，即（3x+1）（x﹣1）＞0，解得x＜﹣或x＞1，所以不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．10．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，则称k是A的一个“孤立元”，已知S＝{1，2，3，4}，所有由S的2个元素构成的集合中，含有“孤立元”的集合个数是3．【分析】根据“孤立元”的定义知，由S的2个元素构成的集合中，含有“孤立元”的集合个数是，拿S中两个元素构成的集合个数减去S中相邻的元素构成的集合的个数．【解答】解：S中相邻元素构成的集合为：{1，2}，{2，3}，{3，4}，共3个；S中两个元素构成的集合个数为：，∴由S的2个元素构成的集合中，含有“孤立元”的集合个数是6﹣3＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了“孤立元”的定义，列举法的定义，组合数公式，考查了计算能力，属于基础题．11．已知m∈R，集合A＝{x|m≤x≤3m﹣1}，若A∩Z恰有一个元素，则m的取值范围是．【分析】先根据闭区间[m，3m﹣1]应满足①不空，②区间长度不超过2，求出，得到该区间包含的整数为1，2，3，再对这3个整数分类讨论即可求出m的取值范围．【解答】解：依题意，闭区间[m，3m﹣1]上恰有一个整数，则该区间应满足①不空，②区间长度不超过2，即，解得∴当有，∴该区间包含的整数为1，2，3，（1）当仅有1∈[m，3m﹣1]时，m≤1≤3m﹣1＜2，∴；（2）当仅有2∈[m，3m﹣1]时，m≤2≤3m﹣1＜3，∴，又∵m＝1时，区间[m，3m﹣1]＝[1，2]有两个整数，∴（3）当仅有3∈[m，3m﹣1]时，m≤3≤3m﹣1＜4，∴，与矛盾，故舍去，综上所述，m的取值范围是，故答案为：．【点评】本题主要考查了集合的元素个数问题，意在考查学生对这些知识的理解和掌握水平，是中档题．12．已知f（x）＝x|x|，若对任意x∈[a﹣2，a+2]，f（x+a）＜2f（x）恒成立，则实数a的取值范围是a＜﹣．【分析】首先结合二次函数的单调性判断f（x）的单调性，可得原不等式等价为x+a＜x 在x∈[a﹣2，a+2]恒成立，由参数分离和一次函数的单调性，解不等式可得所求范围．【解答】解：f（x）＝x|x|＝，可得f（x）在[0，+∞）递增，在（﹣∞，0]递增，且f（0）＝0，则f（x）在R上递增，由f（x+a）＜2f（x）可得f（x+a）＜f（）f（x）＝f（x），则x+a＜x在x∈[a﹣2，a+2]恒成立，即有a＜（﹣1）x在x∈[a﹣2，a+2]的最小值，可得a＜（﹣1）（a﹣2），解得a＜﹣，故答案为：a＜﹣．【点评】本题考查函数恒成立问题解法，运用函数的单调性和参数分离，转化为求函数的最值是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．二、选择题13．若M、P都是全集U的子集，则图中阴影部分可以表示为（）A．M∪P B．∁U（M∩P）C．∁U（M∪P）D．∁U M∪∁U P【分析】根据图象和集合之间的关系即可得到结论．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为既不属于集合A又不属于集合B的元素构成，所以用集合表示为∁U（M∪P）．故选：C．【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．14．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0D．（a﹣b）c2≥0【分析】A、令a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3，计算出a+c与b﹣c的值，显然不成立；B、当c＝0时，显然不成立；C、当c＝0时，显然不成立；D、由a大于b，得到a﹣b大于0，而c2为非负数，即可判断此选项一定成立．【解答】解：A、当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3时，a+c＝﹣4，b﹣c＝1，显然不成立，本选项不一定成立；B、c＝0时，ac＝bc，本选项不一定成立；C、c＝0时，＝0，本选项不一定成立；D、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项一定成立，故选：D．【点评】此题考查了不等式的性质，利用了反例的方法，是一道基本题型．15．有下列三个命题：①“x+y≠4”是“x≠1且y≠3”的必要非充分条件；②xy＜0是|x﹣y|＝|x|+|y|的充要条件；③已知m，n∈Z，则m2+n2＜5是m+n≤2的充分非必要条件；其中的真命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①由x+y≠4，与x≠1且y≠3，相互推不出，即可判断出真假．②根据xy≤0是|x﹣y|＝|x|+|y|的充要条件，即可判断出真假．③若m，n∈Z，m2+n2＜5，可得（m，n）为：（1，0），（2，0），（1，1），（﹣1，0），（﹣2，0），（﹣1，1），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，﹣1），共9组，即可判断出真假．【解答】解：①“x+y≠4”，推不出“x≠1且y≠3”，反之不成立，例如x＝5，y＝﹣1，则x+y＝4，因此“x+y≠4”是“x≠1且y≠3”的既不充分也不必要条件，因此①是假命题．②xy≤0是|x﹣y|＝|x|+|y|的充要条件，因此②是假命题；③若m，n∈Z，m2+n2＜5，则（m，n）为：（1，0），（2，0），（1，1），（﹣1，0），（﹣2，0），（﹣1，1），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，﹣1），共9组，都满足m+n≤2，反之不成立，例如：m＝3，n＝﹣1，∴m，n∈Z，则m2+n2＜5是m+n≤2的充分不必要条件，因此③是真命题．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+2+a，若集合A＝{x∈N|f（x）＜0}中恰有一个元素，则实数a（）A．有最大值，无最小值B．有最小值，无最大值C．既无最大值，也无最小值D．既有最大值，也有最小值【分析】由△＞0求出a＞2或a＜﹣2，再对a分两种情况讨论，利用零点存在定理即可求解．【解答】解：由题意可知，方程x2﹣（a+2）x+2+a＝0有两个不同的实根，∴△＝（a+2）2﹣4（2+a）＞0，解得a＞2或a＜﹣2，①当a＜﹣2时，∵f（0）＝2+a＜0，f（1）＝1＞0，∴必有f（﹣1）≥0，即1+a+2+2+a≥0，∴，又∵a＜﹣2，∴，②当a＞2时，a﹣2＞0，∴f（1）＝1＞0，f（2）＝2﹣a＜0，∴必有f（3）≥0，即9﹣3（a+2）+2+a≥0，∴a，又∵a＞2，∴，综上所述，实数a的取值范围为：[﹣，﹣2）∪（2，]，所以实数a的最大值为，最小值为﹣，故选：D．【点评】本题主要考查了方程的零点，考查了一元二次不等式和零点存在定理，是中档题．三、解答题17．已知集合U＝{x|x＜9，x∈N*}，A＝{1，2，3，7}，B＝{1，3，4，5，6}，求∁U A和∁U （A∩B）．【分析】化简集合U，根据补集与交集的定义计算即可．【解答】解：集合U＝{x|x＜9，x∈N*}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3，7}，B＝{1，3，4，5，6}，所以∁U A＝{4，5，6，8}；又A∩B＝{1，3}，所以∁U（A∩B）＝{2，4，5，6，7，8}．【点评】本题考查了集合的定义和运算问题，是基础题．18．若抛物线y＝x2﹣（2a﹣1）x+a2﹣1与x轴的两个交点在y轴的同侧，求实数a的取值范围．【分析】设方程x2﹣（2a﹣1）x+a2﹣1＝0的两根为x1，x2，根据题意可得，解不等式组即可求出a的取值范围．【解答】解：设方程x2﹣（2a﹣1）x+a2﹣1＝0的两根为x1，x2，由题意可知，即，解得a＜﹣1或1＜a＜，∴实数a的取值范围为：．【点评】本题主要考查了二次函数根的分布问题，注意△的范围和韦达定理的应用，是基础题．19．已知a，b∈R，关于x的函数f（x）＝x2+ax+b，集合A＝{x|f（x）＝x，x∈R}，B＝{x|f （f（x））＝x，x∈R}．（1）若A＝{a}，求a、b的值；（2）若a∈N，b＝0且A＝B，求集合A．【分析】（1）等价于x2+（a﹣1）x+b＝0有两个相等的实根a，利用△＝0和a2+（a﹣1）a+b＝0 即可求出a，b的值；（2）先化简两个集合的方程，由题意两方程同解，再对a分情况讨论求解．【解答】解：（1）由题意方程x2+ax+b＝x有两个相等的实根a，所以方程x2+（a﹣1）x+b＝0有两个相等的实根a，所以△＝（a﹣1）2﹣4b＝0且a2+（a﹣1）a+b＝0，解得a＝，b＝；（2）当b＝0时，f（x）＝x2+ax，关于集合A的方程f（x）＝x可化为x[x﹣（1﹣a）]＝0 （*），关于集合B的方程f（f（x））＝x可化为x4+2ax3+（a2+a）x2+（a2﹣1）x＝0，因式分解为x[x﹣（1﹣a）][x2+（a+1）x+（a+1）]＝0 （**），由条件A＝B可知，方程（*）和（**）同解，①当a＝0时，两方程为x（x﹣1）＝0和x（x﹣1）（x2+x+1）＝0，所以x＝0或1，所以A＝{0，1}；②当a＝1时，两方程为x2＝0和x2（x2+2x+2）＝0，所以x＝0，所以A＝{0}；③当a＝2时，两方程为x（x+1）＝0和x（x+1）（x2+3x+3）＝0，所以x＝0或﹣1，所以A＝{0，﹣1}；④当a＝3时，两方程为x（x+2）＝0和x（x+2）3＝0，所以x＝0或﹣2，所以A＝{0，﹣2}；⑤当a≥4时，方程（**）中x2+（a+1）x+a+1＝0，△＝（a+1）（a﹣3）＞0，有两个不同的解，此时方程（*）和（**）不同解，所以舍去；所以a＝0，A＝{0，1}；a＝1，A＝{0}；a＝2，A＝{0，﹣1}；a＝3，A＝{0，﹣2}．【点评】本题主要考查了集合相等的定义，考查解方程，意在学生对这些知识的理解掌握水平，是中档题．20．已知U⊆R为一个数集，集合A＝{s2+3t2|s，t∈U}．（1）设U＝{1，3，5}，求集合A的元素个数；（2）设U＝Z，证明：若x∈A，则7x∈A；（3）设U＝R，x，y∈A，且x＝m2+3n2，y＝p2+3q2，若mp﹣3nq＝，求x+y+mq+np 的最小值．【分析】（1）分别求出s＝t＝1、s＝1，t＝3、s＝3，t＝1、s＝1，t＝5、s＝5，t＝1、s ＝3，t＝5、s＝5，t＝3、s＝t＝3、s＝t＝5时，s2+3t2的值，由此能求出集合A．（2）由U＝Z，x∈A，求出x＝s2+3t2，从而推导出7x＝7（s2+3t2）＝（2s+3t）2+3（s﹣2t）2，由此能证明7x∈A．（3）求出xy＝（m2+3n2）（p2+3q2）＝3（mq+np）2+3，设mq+np＝6，推导出，设，得11b2+2bt+12﹣t2＝0，利用判别式法，能求出x+y+mq+np的最小值．【解答】解：（1）解：∵U⊆R为一个数集，集合A＝{s2+3t2|s，t∈U}．U＝{1，3，5}，∴当s＝t＝1时，s2+3t2＝1+3＝4，当s＝1，t＝3时，s2+3t2＝1+27＝28，当s＝3，t＝1时，s2+3t2＝9+3＝12，当s＝1，t＝5时，s2+3t2＝1+75＝76，当s＝5，t＝1时，s2+3t2＝25+3＝28，当s＝3，t＝5时，s2+3t2＝9+75＝84，当s＝5，t＝3时，s2+3t2＝25+27＝52，当s＝t＝3时，s2+3t2＝9+27＝36，当s＝t＝5时，s2+3t2＝25+75＝100，∴A＝{4，12，28，36，52，76，84，100}，8个．（2）证明：∵U＝Z，x∈A，∴x＝s2+3t2，∴7x＝7（s2+3t2）＝7s2+21t2＝（2s+3t）2+3（s﹣2t）2∈A．∴7x∈A．（3）解：xy＝（m2+3n2）（p2+3q2）＝3（mq+np）2+（mp﹣3nq）2＝3（mq+np）2+3，设mq+np＝6，∴，，设，整理得11b2+2bt+12﹣t2＝0，判别式法，△＝4b2﹣44（12﹣t2）≥0，得，即．∴x+y+mq+np的最小值为．【点评】本题考查集合的求法，考查元素是集合中的元素的证明，考查代数式的最小值的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
上海市浦东新区华东师大二附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
上海市浦东新区华东师大二附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共16.0分）1. 幂函数的图象过点(2,14)，则它的单调递增区间是 ( )A. (0,+∞)B. (−∞,0)C. [0,+∞)D. (−∞,+∞)2. 若函数f(x)={(3−a)x −3, x ≤7a x−6, x >7单调递增，则实数a 的取值范围是( )A. (94,3)B. [94,3)C. (1,3)D. (2,3)3. 已知函数f (x )的反函数为g (x )=3−log 2(x +1)，则f (−3)g (3)=( )A. 63B. −63C. 64D. −644. 若函数f(x)与函数g(x)=√1−xx是同一个函数，则函数f(x)的定义域是( )A. (−∞,0)B. (−∞,0)∪(0,1]C. (−∞,0)∪(0,1)D. [1,+∞)二、填空题（本大题共10小题，共40.0分） 5. 根据条件：a 、b 、c 满足，且a +b +c =0，下列推理正确的是__________.(填上序号)①，②，③，④6. 函数f(x)=x 2+mx +1的图象关于直线x =1对称的充要条件是____________．7. 若函数f(x)=(2m +3)x m2−3是幂函数，则m 的值为________．8. 已知正数a ，b 满足2ab +b 2=b +1，则a +5b 的最小值为______． 9. 不等式|x −8|−|x −4|>2的解集为______ ．10. 命题“如果√x −2+(y +1)2=0，那么x =2且y =−1”的逆否命题为________． 11. 若f(x)=log 2(x 2+2) (x ≥0)，则它的反函数是f −1(x)= ______ ． 12. 函数y =2x 2+2x+3x 2+x+1的值域为________________．13. 已知a =log 23，4b =25，则2a+b =________．14. 函数f(x)=lnx −14x +34x −1.g(x)=−x 2+2bx −4，若对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2−2x ．(1)当x<0时，求f(x)的解析式．(2)若关于x的方程f(x)=2m+1只有四个实根，求m的取值范围．16.某市居民生活用水收费标准如下：已知某用户1月份用水量为8t，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6t，缴纳的水费为21元．设用户每月缴纳的水费为y元．(1)写出y关于x的函数解析式；(2)若某用户3月份用水量为3.5t，则该用户需缴纳的水费为多少元？(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少水．17.已知m∈R，函数f(x)=lg(m+2)．x(1)若函数g(x)=f(x)+lg(x2)有且仅有一个零点，求实数m的值；(2)设m>0，任取x1，x2∈[t,t+2]，若不等式|f(x1)−f(x2)|≤1对任意恒成立，求实数m的取值范围．18.已知f(x)=a+|b|sinx，(a,b∈R)，x∈R，且函数f(x)的最大值为3，最小值为1．(1)求a，b的值；(2)(ⅰ)求函数f(−x)的单调递增区间；(ⅰ)求函数f(x)的对称中心．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查幂函数，由已知求出幂函数的解析式，然后由幂函数的性质求解即可． 解： 设幂函数的解析式为y =x α， 因为幂函数的图象过点(2,14)， 所以14=2α， 解得α=−2，所以函数的解析式为y =x −2， 因为−2<0，y =x −2为偶函数，所以函数在(0,+∞)单调递减，在(−∞,0)单调递增， 故选B ．2.答案：B解析：本题考查函数的单调性，分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 根据题意可得3−a >0且a >1，且两段函数在衔接点x =7处的函数值大小的比较，可得结果． 解：∵函数f(x)={(3−a)x −3, x ≤7a x−6, x >7单调递增，可得3−a >0且a >1．但应当注意两段函数在衔接点x =7处的函数值大小的比较， 即(3−a)×7−3≤a ，可以解得a ≥94， 综上，实数a 的取值范围是．故选B ．3.答案：A解析：本题考查互为反函数的图象的性质．令f (−3)=t ，则g(t)=−3，求出t ，g(3)，相乘即可． 解：由题知f (x )与g (x )互为反函数， 又g (x )=3−log 2(x +1)，所以g(3)=3−log 2(3+1)=3−2=1，令f (−3)=t ，则g (t )=3−log 2(t +1)=−3，解得t =63， 所以f (−3)g (3)=63， 故选A ．4.答案：B解析：【分析】此题考查函数的定义，函数定义域的求法，属于基础题．根据题意即可得出f(x)与g(x)的定义域相同，，从而要使得函数g(x)有意义，则满足{1−x ≥0x ≠0，解出x 的范围即可． 【解答】解：因为g(x)=√1−x x，所以{1−x ≥0x ≠0，解得x ≤1且x ≠0，又因为函数f(x)与函数g(x)=√1−x x是同一个函数，所以f(x)与g(x)的定义域相同，所以函数f(x)的定义域是(−∞,0)∪(0,1]， 故选B ．5.答案：③④解析：∵a >b >c ，且a +b +c =0，∴a >0,c <0,ac <0∴ab >ac ，④正确；∵c <b <a ，∴a −c >0，∴ac(a −c)<0，故①错；∵c <b <a ，∴b −a <0,c <0∴c(b −a)>0，故②错；∵c <a,b 2≥0，∴cb 2≤ab 2，③正确．下列推理正确的是③④，故答案为：③④．6.答案：m =−2解析：解：因为函数f(x)=x 2+mx +1的对称轴为x =−m2， 所以当对称轴为x =1时，−m2=1， 解得m =−2． 故答案为：m =−2．7.答案：−1解析：本题考查幂函数的定义的应用，属于基础题目．由幂函数的定义和函数的解析式可得2m +3=1，由此求得m 的值． 解：由题意可得2m +3=1，解得m =−1 故答案为−1．8.答案：72解析：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 正数a ，b 满足2ab +b 2=b +1，可得：a =1+b−b 22b>0，则a +5b =1+b−b 22b+5b =12(9b +1b )+12，利用基本不等式的性质即可得出． 解：∵正数a ，b 满足2ab +b 2=b +1， ∴a =1+b−b 22b>0，则a +5b =1+b−b 22b +5b =12(9b +1b )+12≥12×2√9b ×1b +12=72， 当且仅当b =13，a =116时取等号，故答案为：72．9.答案：{x|x<5}解析：通过对x分x≥8、4≤x<8、x<4讨论去掉绝对值符号即可得出．本题考查了含绝对值类型的不等式的解法，其中分类讨论去掉绝对值符号是解题的关键，属于基础题．解析：解：当x≥8时，不等式化为(x−8)−(x−4)>2，化为6<0，此时不等式的解集为空集⌀；当4≤x<8时，不等式化为(8−x)−(x−4)>2，化为x<5，此时不等式的解集{x|4≤x<5}；当x<4时，不等式化为(8−x)−(4−x)>2，化为2>0，此时不等式的解集{x|x<4}．综上可知：原不等式的解集为{x|x<5}．故答案为{x|x<5}．10.答案：如果x≠2或y≠−1，则√x−2+(y+1)2≠0解析：本题考查考查四种命题的定义和关系，根据四种命题之间的关系和定义即可得到命题的逆否命题．解：根据逆否命题的定义可知，命题的逆否命题为：如果x≠2或y≠−1，则√x−2+(y+1)2≠0，故答案为如果x≠2或y≠−1，则√x−2+(y+1)2≠0．11.答案：√2x−2 ( x≥1 )解析：解：由y=log2(x2+2)，得x2+2=2y，∴x2=2y−2，∵x≥0，∴x=√2y−2，y≥1，把x，y互换得：y=√2x−2(x≥1)．∴原函数的反函数是f−1(x)=√2x−2(x≥1)．故答案为：√2x−2(x≥1)．由已知函数解析式求解x ，然后把x ，y 互换得答案．本题考查函数的反函数的求法，关键是注意反函数的定义域应是原函数的值域，是基础题．12.答案：(2,103]解析：本题考查函数值域得求法，属于基础题．利用分离常数法，再结合一元二次函数配方法求解． 解：y =2+1x 2+x+1，因为x 2+x +1=(x +12)2+34≥34， 所以0<1x 2+x+1≤43，所以2<y ≤103，故答案为(2,103] ．13.答案：15解析：本题主要考查指数幂的运算，先把对数式化为指数式. 把指数式化为对数式是解题的关键． 解：由a =log 23，得2a =3， 由4b =25，得22b =52， 所以2b =5，所以2a+b =2a ·2b =3×5=15． 故答案为15．14.答案：(−∞,√142]解析：本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的定值由对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立， 可得f min (x 1)⩾g max (x 2)，又f(x)=lnx −14x +34x −1，易得f ′(x )=−(x−1)(x−3)4x ，当0<x <1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上递减， 当1<x <2时，f ′(x )>0，故f (x )在(1,2)上递增， 故f min (x )=f (1)=−12．g(x)=−x 2+2bx −4=−(x −b )2+b 2−4，当b ≤1时，g (x )在[1,2]上递减，故g max (x )=g (1)=2b −5≤−12，得b ≤94，又b ≤1，故b ≤1； 当1<b <2时，g max (x )=g (b )=b 2−4≤−12，得−√142<b ≤√142，又1<b <2，故1<b ≤√142；当b ≥2时，g (x )在[1,2]上递增，故g max (x )=g (2)=4b −8≤−12，得b ≤158，又b ≥2，故无解；综上所述，b 的取值范围是 (−∞,√142]．15.答案：解：(1)设x <0，则−x >0，则有f(−x)=(−x)2−2(−x)=x 2+2x ， 又由函数f(x)为偶函数， 则f(x)=f(−x)=x 2+2x ， 则当x <0时，f(x)=x 2+2x ，即函数f(x)在x <0上的解析式为f(x)=x 2+2x(x <0)；(2)若方程f(x)=2m +1有四个不同的实数解，则函数y =f(x)与直线y =2m +1有4个不同的交点， 当x =−1或1时，f(x)取最小值为−1，而y =f(x)的图象如图：分析可得−1<2m +1<0，即−1<m <−12 故m 的取值范围是(−1,−12).解析：本题考查偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，注意利用数形结合法分析．(1)设x<0，则−x>0，由函数的解析式分析f(−x)的解析式，进而由函数的奇偶性分析可得答案；(3)若方程f(x)=2m+1有四个不同的实数解，则函数y=f(x)与直线y=2m+1有4个交点，作出函数f(x)的图象，由数形结合法分析即可得答案．16.答案：解：(1)由题设可得y={mx,0≤x≤2,2m+3(x−2),2<x≤4, 2m+6+n(x−4),x>4.当x=8时，y=33；当x=6时，y=21，代入得{2m+6+4n=33, 2m+6+2n=21,解得{m=1.5, n=6.∴y关于x的函数解析式为y={1.5x,0≤x≤2, 3x−3,2<x≤4, 6x−15,x>4.(2)当x=3.5时，y=3×3.5−3=7.5．∴该用户3月份需缴纳的水费为7.5元．(3)令6x−15≤24，解得x≤6.5．∴该用户最多可以用6.5t水．解析：本题考查分段函数的实际应用，考查推理能力和计算能力，属于中档题．(1)由题设可得y={mx,0≤x≤2,2m+3(x−2),2<x≤4,2m+6+n(x−4),x>4.代入(8,33)和(6,21)即可求解；(2)令x=3.5即可求解；(3)令6x−15≤24即可求解．17.答案：解：(1)g(x)=lg(m+2x)+lgx2=lg(mx2+2x)，由g(x)=0，可得mx2+2x=1有且只有一个解，当m=0时，x=12成立；当m≠0时，△=4+4m=0，即m=−1，x=1成立．综上可得m=0或−1．(2)当x>0，设u=m+2x，可得函数u在x>0递减，由m>0，可得u>0，y=lgu递增，即f(x)在(0,+∞)递减，任取x 1，x 2∈[t,t +2]，若不等式|f(x 1)−f(x 2)|≤1对任意t ∈[19,1]恒成立，可得f(t)−f(t +2)=lg(m +2t )−lg(m +2t+2)≤1对任意t ∈[19,1]恒成立，即m +2t ≤10(m +2t+2)对任意t ∈[19,1]恒成立，整理可得9mt 2+18(m +1)t −4≥0对任意t ∈[19,1]恒成立，由m >0可得y =9mt 2+18(m +1)t −4在t ∈[19,1]递增，可得当t =19时，y 的最小值为9m ⋅181+18(m +1)⋅19−4≥0，解得m ≥1819．解析：本题考查函数的零点个数问题，注意运用分类讨论思想和方程思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用复合函数的单调性，以及转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．(1)由对数的运算性质和方程解法，讨论m 是否为0，结合二次函数的判别式即可得到所求值；(2)由题意可得m >0，x >0，f(x)递减，由题意可得m +2t ≤10(m +2t+2)对任意t ∈[19,1]恒成立， 整理可得9mt 2+18(m +1)t −4≥0对任意t ∈[19,1]恒成立，运用二次函数的单调性，解不等式即可得到所求范围． 18.答案：解：(1)由条件得{a +|b|=3a −|b|=1，解得a =2，b =±1．(2)(ⅰ)由于f(x)=2+sinx ，∴f(−x)=2−sinx ，故函数f(−x)的单调递增区间，即函数y =sinx 的减区间，故函数f(−x)的单调递增区间为[2kπ+π2,2kπ+3π2]k ∈z ．(ⅰ)根据函数y =sinx 的对称中心的坐标为(kπ,0)，k ∈z ，故函数f(x)=)=2+sinx 的对称中心为(kπ,2)，k ∈z ．解析：(1)由条件得{a +|b|=3a −|b|=1，由此求得a 和b 的值． (2)(ⅰ)f(−x)=2−sinx ，函数f(−x)的单调递增区间，即函数y =sinx 的减区间，从而得出结论． (ⅰ)根据函数y =sinx 的对称中心的坐标为(kπ,0)，k ∈z ，函数f(x)=)=2+sinx 的对称中心．本题主要考查分段函数的应用，函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质，属于基础题．。
2024-2025学年华东师大二附中高一数学上学期期中考试卷及答案解析
上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷1. 用Î或Ï填空：0______f .【答案】Ï【解析】【分析】空集中没有任何元素．【详解】由于空集不含任何元素，∴0ÏÆ．故答案为Ï．【点睛】本题考查元素与集合的关系，关键是掌握空集的概念．2. 实数a ，b 满足31a -££，13b -££，则3a b -的取值范围是________．【答案】[]12,4-【解析】【分析】根据题意利用不等式的性质运算求解.【详解】因为31a -££，13b -££，则933a -££，31b -£-£，可得1234a b -£-£，所以3a b -的取值范围是[]12,4-.故答案为：[]12,4-.3. 若全集{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，{}5A =，则a 的值是______．【答案】2或8【解析】【分析】由53a -=即可求解.【详解】因为{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，且{}5A =，所以53a -=，解得2a =或8a =.故答案为：2或8.4. 命题“1x >”是命题“11x<”的______条件.【答案】充分不必要【解析】【分析】解出不等式11x<，根据真子集关系即可【详解】11x <，即10x x -<，即()10x x -<，即()10x x -<，解得1x >或0x <，则“1x >”能推出“1x >或0x <”，而“1x >或0x <”不能推出 “1x >”，故命题“1x >”是命题“11x<”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.5. 已知0x >，则812x x --的最大值为_____________.【答案】7-【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为0x >，所以828x x +³=，当82x x=，即2x =时等号成立，所以881212187x x x x æö--=-+£-=-ç÷èø，即812x x--的最大值为7-，故答案为：7-.6. 已知(21)y f x =+定义域为(1,3]，则(1)y f x =+的定义域为__________．【答案】(2,6]【解析】【分析】根据3217x <+£可得317x <+£，即可求解.【详解】由于(21)y f x =+定义域为(1,3]，故3217x <+£，因此(1)y f x =+的定义域需满足317x <+£，解得26x <£，故(1)y f x =+的定义域为(2,6]，故答案为：(2,6]7. 已知关于x 的不等式210ax bx ++<的解集为11,43æöç÷èø，则a b +=______．【答案】5【解析】【分析】由题意得11,43是方程210ax bx ++=的两个根，由根与系数的关系求出,a b 即可.【详解】由题意可知，11,43是方程210ax bx ++=的两个根，且0a >，由根与系数的关系得1134b a +=-且11134a´=，解得12,7a b ==-，则5a b +=.故答案为：58. 设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为______.【答案】89【解析】【分析】根据1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，由Δ≥0，解得 23m £，然后由()2212121222x x x x x x ++×=- ，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.【详解】因为1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，所以()()22482320m m m D =-+-³，解得 23m £，所以112222322,2x x x x m m m +=×-=+，则 ()2212121222x x x x x x ++×=- ，()22232222m m m +-=-´， 2232m m =-+， 237248m æö=-+ç÷èø，所以2212x x +的最小值为2237823489æö-+=ç÷èø，故答案为：899. 若函数()f x 满足R x "Î，()()11f x f x +=-，且1x "，[)21,x Î+¥，()()()1212120f x f x x x x x ->¹-，若()()1f m f >-，则m 的取值范围是______.【答案】()(),13,-¥-È+¥【解析】【分析】由题意，()f x 在[)1,+¥上单调递增，函数图像关于1x =对称，利用单调性和对称性解不等式.【详解】因为1x "，[)21,x Î+¥，()()()1212120f x f x x x x x ->¹-，所以()f x 在[)1,+¥上单调递增，R x "Î，()()11f x f x +=-，则函数图像关于1x =对称，若()()1f m f >-，则111m ->--，解得3m >或1m <-.所以m 的取值范围是()(),13,-¥-È+¥.故答案为：()(),13,-¥-È+¥.10. 已知{}{}22230,210,0A x x x B x x ax a =+->=--£>，若A B Ç中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意，得{}{}223013A x x x x x x =+-=<-或，{}{2210,0=|B x x ax a x a x a =--£££+；因为，所以若A B Ç中恰含有一个整数，则{}2A B Ç=，则，即，两边平方，得，解得，即实数的取值范围为；故填．考点：1．集合的运算；2．一元二次不等式的解法．11. 已知函数()3(1)1f x x =-+，且()()22(1,0)f a f b a b +=>->，则121a b ++的最小值是________.【答案】2【解析】【分析】利用()3(1)1f x x =-+，单调性与对称性，可知，若有()()2f m f n +=，则必有2m n +=成立.再利用基本不等式求121a b ++的最小值即可.【详解】∵3y x =在R 为单调递增奇函数，∴3y x =有且仅有一个对称中心()0,0，∴()3(1)1f x x =-+单调递增，有且仅有一个对称中心()1,1，又∵()()22(1,0)f a f b a b +=>->，∴22a b +=，则()214a b ++=，∴()1211221141a b a b a b æö+=+++éùç÷ëû++èø()411441a b a b +éù=++êú+ë1424é³+=êêë，当且仅当()411a b a b+=+即0,2a b ==时，等号成立，∴121a b++的最小值是2.故答案为：2.12. 如图，线段,AD BC 相交于O ，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x，90ABO DCO Ð=Ð=°，则x 的取值个数为________.【答案】6【解析】【分析】画出等效图形，分9AD =和x 两种情况由勾股定理求出对应x 值即可；的【详解】如图，因为90ABO DCO Ð=Ð=°，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x ，因为直角三角形ADE 中，斜边AD 一定大于直角边AE 和DE ，所以9AD =或x ，当9AD =时，可分为AE x =，此时由勾股定理可得()222159x ++=，解得x =CE x =，此时由勾股定理可得()222159x ++=，解得5x =；CD x =，此时由勾股定理可得()222519x ++=，解得1x =；当AD x =，可分为()222915x ++=，解得x =()222195x ++=，解得x =；()222519x ++=，解得x =所以x 的取值个数为6，故答案为：6.【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够画出等效图形再结合勾股定理解答.13. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A. 2(),()x f x x g x x== B. ()(),()()f x x x R g x x x Z =Î=ÎC. ,0(),(),0x x f x x g x x x ³ì==í-<î D. 2(),()f x x g x ==【答案】C【解析】【分析】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数()f x x =的定义域为R ，函数2()x g x x=的定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B 中，函数()()f x x x R =Î和()()g x x x Z =Î的定义域不同，不是同一函数；对于C 中，函数,0(),0x x f x x x x ³ì==í-<î与,0(),0x x g x x x ³ì=í-<î定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；对于D 中，函数()f x x =定义域为R，2()g x =的定义域为[0,)+¥，两函数的定义域不同，不是同一函数.故选：C.【点睛】本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.14. 设集合A ＝{x |x ＝12m ，m ∈N *}，若x 1∈A ，x 2∈A ，则（ ）A. (x 1+x 2)∈AB. (x 1﹣x 2)∈AC. (x 1x 2)∈AD. 12x x ∈A 【答案】C【解析】【分析】利用元素与集合的关系的进行判定.【详解】设112p x =，212q x =， 则12111222p q p qx x +=×=，因为p 、*N q Î，所以*N p q +Î，则x 1x 2∈A ，故选：C ．15. 如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚在这个过程中，小球的运动速度v （m /s ）与运动时间t （s ）的函数图象如图②，则该小球的运动路程y （m ）与运动时间t （s ）之间的函数图象大致是（ ）的的A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合图象分析即可.【详解】由题意，小球是匀变速运动，所以图象是先缓后陡，在右侧上升时，先陡后缓.故选：C.16. 设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ÎN ，定义1,()0,i i A A i A j Îì=íÏî，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ÎN 都满足()0i A B j =I 且()1i A B j =U ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i A B j =I ()i A j g ()i B j ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i A B j =U ()+i A j ()i B j ；其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】A【解析】【分析】根据题目中给的新定义，对于*,0i i N A j Î=（）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【详解】∵对于*i ÎN ，定义1,()0,i i A A i A j Îì=íÏî，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*A B A B N \=Æ=I U ，()()01i i A B A B j j \==I U ;，故①正确；对于②，若()0i A B j =I ，则()i A B ÏI ，则i A Î且i B Ï，或i B Î且i A Ï，或i A Ï且i B Ï；()()0i i A B j j \×=；若()1i A B j =I ，则()i A B ÎI ，则i A Î且i B Î； ()()1i i A B j j \×=；∴任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i i A B A i B j j j =×I （）（）；正确，故②正确；对于③，例如：{}{}{}1232341234A B A B ===U ,,,,,,,,,，当2i =时，1i A B j =U （）；()()1,1i i A B j j ==；()()()i i i A B A B j j j \¹+U ； 故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A ．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 已知关于x 的不等式122x a -£的解集为集合A ，40x B x x ìü-=£íýîþ.（1）若x A Î是x B Î的必要不充分条件，求a 的取值范围.（2）若A B =ÆI ，求a 的取值范围.【答案】（1）[]0,2（2）(](),24,-¥-+¥U 【解析】分析】（1）首先解不等式求出集合A 、B ，依题意B 真包含于A ，即可得到不等式组，解得即可；（2）首先判断A ¹Æ，即可得到240a +£或244a ->，解得即可.【小问1详解】由122x a -£，即1222x a -£-£，解得2424a x a -££+，所以{}2424|A x x a a -=££+，由40x x -£，等价于()400x x x ì-£í¹î，解得04x <£，所以{}40|04x B x x x x ìü-=£=<£íýîþ，【因为x A Î是x B Î的必要不充分条件，所以B 真包含于A ，所以244240a a +³ìí-£î，解得02a ££，即a 的取值范围为[]0,2；【小问2详解】因为A B =ÆI ，显然A ¹Æ，所以240a +£或244a ->，解得2a £-或4a >，即a 的取值范围为(](),24,-¥-+¥U .18. 已知函数()211y m x mx =+-+．（1）当5m =时，求不等式0y >的解集；（2）若不等式0y >的解集为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{13x x <或x >（2）(22-+【解析】【分析】（1）根据题意易得26510x x -+>，因式分解后利用口诀“大于取两边，小于取中间”即可得解；（2）由题意易得()2110m x mx +-+>的解集为R ，分类讨论1m =-与1m ¹-两种情况，结合二次函数的图像性质即可得解.【小问1详解】根据题意，得2651y x x =-+，由0y >得26510x x -+>，即()()31210x x -->，解得：13x <或12x >，故不等式0y >的解集为{13x x <或x >【小问2详解】由题意得，()2110m x mx +-+>的解集为R ，当1m =-时，不等式可化为10x +>，解得1x >-，即()2110m x mx +-+>的解集为()1,-+¥，不符合题意，舍去；当1m ¹-时，在()211y m x mx =+-+开口向上，且与x 轴没有交点时，()2110m x mx +-+>的解集为R ，所以()210Δ410m m m +>ìí=-+<î，解得22m m >ìïí-<<+ïî22m -<<+，综上：22m -<<+，故实数m的取值范围为(22-+.19. 某化工企业生产过程中不慎污水泄漏，污染了附近水源，政府责成环保部门迅速开展治污行动，根据有关部门试验分析，建议向水源投放治污试剂，已知每投放a 个单位（04a <£且R a Î）的治污试剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中()[](]1,0,5711,5,112xx xf x x x +ìÎïï-=í-ïÎïî，若多次投放，则某一时刻水中的治污试剂浓度为每次投放的治污试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中治污试剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能治污有效．（1）若只投放一次4个单位的治污试剂，则有效时间最多可能持续几天？（2）若先投放2个单位的治污试剂，6天后再投放m 个单位的治污试剂，要使接下来的5天中，治污试剂能够持续有效，试求m 的最小值．【答案】（1）7天； （2）min 2m =.【解析】【分析】（1）根据给定的函数模型求投放一次4个单位的治污试剂的有效时间即可；（2）由题设()5=11413x g x x m x --+׳-，将问题化为()()1375x x m x --³-在[6,11]x Î上恒成立，利用基本不等式求右侧最大值，即可得求参数最小值.【小问1详解】因为一次投放4个单位的治污试剂，所以水中释放的治污试剂浓度为()44,0547222,511xx y f x x x x +죣ï==-íï-<£î，当05x ££时，()4147x x+³-，解得35x ££；当511x ££时，2224x -³，解得59x ££；综上，39x ££，故一次投放4个单位的治污试剂，则有效时间可持续7天．【小问2详解】设从第一次投放起，经过()611x x ££天后浓度为()()()16511[]117613x x g x x m x m x x+--=-+=-+×---．因为611x ££，则130x ->，50x ->，所以511413x x m x --+׳-，即()()1375x x m x --³-，令5x t -=，[]1,6t Î，所以()()281610t t m t tt --æö³-=-+ç÷èø，因为168t t+³=，所以2m ≥，当且仅当16t t =，4t =即9x =时等号成立，故为使接下来的5天中能够持续有效m 的最小值为2.20. 对于函数()f x ，若存在0R x Î，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.（1）求函数23y x x =--不动点；（2）若函数()221y x a x =-++有两个不相等的不动点1x 、2x ，求1221x x x x +的取值范围；（3）若函数()()211g x mx m x m =-+++在区间(0,2)上有唯一的不动点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1-和3. （2）()2,+¥（3）(]1,1-U .【解析】【分析】（1）解方程23x x x --=，即可求出不动点；（2）由题意，方程()2310x a x -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，由0D >即可求出a 的范围，结合韦达定理和二次函数图象性质即可求出1221x x x x +的范围；的（3）由题意，()2210mx m x m -+++=在(0,2)上有且只有一个解，令()()221h x mx m x m =-+++，分()()020h h ×<，()00h =，()20h =和0D =四种情况进行讨论即可.【小问1详解】由题意知23x x x --=，即2230x x --=，则()()310x x -+=，解得11x =-，23x =，所以不动点为1-和3.【小问2详解】依题意，()221x a x x -++=有两个不相等的实1x 数根1x 、2x ，即方程()2310x a x -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，所以()22Δ34650a a a =+-=++>，解得5a <-，或1>-a ，且123x x a +=+，121x x =，所以()()2222121212122112232x x x x x x x x a x x x x ++==+-=+-，因为函数()232y x =+-对称轴为3x =-当3x <-时，y 随x 的增大而减小，若5x <-，则2y >；当3x >-时，y 随x 的增大而增大，若1x >-，则2y >；故()()2322,a ¥+-Î+，所以1221x x x x +的取值范围为()2,¥+.【小问3详解】由()()211g x mx m x m x =-+++=，得()2210mx m x m -+++=，由于函数()g x 在(0,2)上有且只有一个不动点，即()2210mx m x m -+++=在(0,2)上有且只有一个解，令()()221h x mx m x m =-+++，①()()020h h ×<，则()()110m m +-<，解得11m -<<；②()00h =，即1m =-时，方程可化为20x x --=，另一个根为1-，不符合题意，舍去；③()20h =，即1m =时，方程可化为2320x x -+=，另一个根为1，满足；④0D =，即()()22410m m m +-+=，解得m =（ⅰ）当m =时，方程的根为()2222m m x m m -++=-==（ⅱ）当m =()2222m m x m m -++=-==，不符合题意，舍去；综上，m 的取值范围是(]1,1-È.21. 对任意正整数n ，记集合(){1212,,,,,,n nnA a a a a a a=××××××均为非负整数，且}12n a a a n ++×××+=，集合(){1212,,,,,,n nnB b b b b b b =××××××均为非负整数，且}122n b b b n ++×××+=．设()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n b b b B b =×××Î，若对任意{}1,2,,i n Î×××都有i i a b £，则记a b p ．（1）写出集合2A 和2B ；（2）证明：对任意n A a Î，存在n B b Î，使得a b p ；（3）设集合(){},,,n nnS A B a b a b a b =ÎÎp 求证：nS中的元素个数是完全平方数．【答案】（1）()()(){}20,2,1,1,2,0A =，()()()()(){}20,4,1,3,2,2,3,1,4,0B =（2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合n A 与n B 的公式，写出集合和即可；（2）任取()12,,,n n a a a A a =×××Î，设()11,2,3,,i i b a i n =+=×××，令()12,,,n b b b b =×××，只需证明n B b Î，即可证明结论成立；（3）任取()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n a a a A a =×עע΢¢，可证明n B a a +¢Î，且a a a +¢p ，a a a ¢+¢p ，再设集合n A 中的元素个数为t ，设{}12,,,n t A a a a =×××，设集合(){},1,2,,,1,2,,n i i j T i t j t a a a =+=×××=×××，通过证明n n T S Í，n n S T Í，推出n n S T =，即可完成证明．【小问1详解】()()(){}20,2,1,1,2,0A =，()()()()(){}20,4,1,3,2,2,3,1,4,0B =．【小问2详解】对任意()12,,,n n a a a A a =×××Î，设()11,2,3,,i i b a i n =+=×××，则12,,,n b b b ×××均为非负整数，且()1,2,3,,i i a b i n £=×××．令()12,,,n b b b b =×××，则12n b b b ++×××+()()()12111n a a a =++++×××++()12n a a a n=++×××++2n =，所以n B b Î，且a b p ．【小问3详解】对任意()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n a a a A a =×עע΢¢，记()1122,,,n n a a a a a a a a +=++×××¢+¢¢¢，则11a a ¢+，22a a ¢+，…，n n a a ¢+均为非负整数，且()()()1122n n a a a a a a ++++×××++¢¢¢()()1212n n a a a a a a ¢=++×××++++××+¢×¢n n =+2n =，所以n B a a +¢Î，且a a a +¢p ，a a a ¢+¢p ．设集合n A 中的元素个数为t ，设{}12,,,n t A a a a =×××．设集合(){},1,2,,,1,2,,n iijT i t j t a a a =+=×××=×××．对任意i n A a Î(1,2,,)i t =×××，都有1i a a +，2i a a +，…，i t n B a a +Î，且i i j a a a +p ，1,2,,j t =×××．所以n n T S Í．若(),n S a b Î，其中()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n b b b B b =×××Î，设i i i c b a =-()1,2,,i n =×××，因为i i a b £，所以0i i i c b a =-³，记()12,,,n c c c a =×××¢，则12n c c c +++L ()()()1122n n b a b a b a =-+-+-L ()()1212n n b b b a a a =++×××+-++×××+2n n n =-=，所以n A a ¢Î，并且有b a a =+¢，所以(),n T a b Î，所以n n S T Í．所以n n S T =．因为集合n T 中的元素个数为2t ，所以n S 中的元素个数为2t ，是完全平方数．【点睛】关键点点睛：集合元素的个数转换为证明两个集合相等.。