4.3-贝叶斯判别分析
应用多元统计分析课后答案-朱建平版(前9章)
第二章2.1.试表达多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=的联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。
2.2设二维随机向量12()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设12()X X '的均值向量为()12μμ'=μ，协方差矩阵为21122212σσσσ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其联合分布密度函数为1/21222112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪'=---⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭x x μx μ。
2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----=-- 其中1a x b ≤≤，2c x d ≤≤。
求〔1〕随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； 〔2〕随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； 〔3〕判断1X 和2X 是否相互独立。
〔1〕解：随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()()()dx cd c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--⎰12212222222()()2[()()2()()]()()()()ddcc d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----⎰12122222()()2[()2()]()()()()dd cc d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------=+----⎰2212122222()()[()2()]1()()()()d cdcd c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a------=+=----- 所以由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a +，方差为()212b a -。
判别分析(3)贝叶斯判别
i
fi ( X )
（4.18） ）
q 式中， 式中， i ——归入第 i 总体的先验概率， i = k 时 归入第 总体的先验概率， 为 q k。
§4.3.1 贝叶斯准则
问题：待判样品X属于哪一类？？ qk f k ( X ) P (t | X ) = max P (k | X ) = max g ∑ qi fi ( X )
§4.3.2 判别效果的检验 个总体的判别函数后， 建立 k 个总体的判别函数后，这些判别函数的 判别效果如何需要检验。在实际应用中， 判别效果如何需要检验。在实际应用中，可将已 知类别的样品代入判别函数进行回判。 知类别的样品代入判别函数进行回判。如果判对 率在75％以上，则认为判别函数有效， 率在 ％以上，则认为判别函数有效，其常用的 公式为
§4.3.1 判别函数
| S − 1 |1 / 2 1 fk (X ) = exp[− ( X − X k )T S −1 ( X − X k )] 2 ( 2 π) m / 2
| 这里， 的逆矩阵的行列式。 这里，S −1 |为矩阵 S 的逆矩阵的行列式。上式表 是一个具体已确定的函数。 明 f k ( X )是一个具体已确定的函数。下面的问题 是要确定式（4.19）中的先验概率 q k ，对于q k 是要确定式 中的先验概率 的确定，实际应用中常用其频率来估计， 的确定，实际应用中常用其频率来估计，即 qk = nk 由此式（4.19）完全确定，于是 完全确定， 。由此式 完全确定 n + n +L+ n
d kl = ∑ (c jk − c jl )( x k ⋅ j − x l ⋅ j )
j =1
( k = 1,2,L , g; l = k + 1,L , g )
贝叶斯判别分析课件
02
03
与决策树比较
贝叶斯判别分析提供了更稳定的预测 ，而决策树可能会因为数据的微小变 化而产生大的预测变化。
05
贝叶斯判别分析的案例分 析
案例一：信用卡欺诈检测
总结词
信用卡欺诈检测是一个经典的判别分析应用场景，通过贝叶斯判别分析可以有效地识别 出欺诈交易，减少经济损失。
详细描述
信用卡欺诈检测是金融领域中一个非常重要的问题。随着信用卡交易量的增长，欺诈行 为也日益猖獗，给银行和消费者带来了巨大的经济损失。贝叶斯判别分析可以通过对历 史交易数据的学习，建立分类模型，对新的交易进行分类，判断是否为欺诈行为。通过
市场细分
在市场营销中，贝叶斯判别分析 可以用于市场细分，通过消费者 行为和偏好等数据，将消费者划 分为不同的群体。
02
贝叶斯判别分析的基本概 念
先验概率与后验概率
先验概率
在贝叶斯理论中，先验概率是指在考 虑任何证据之前对某个事件或假设发 生的可能性所做的评估。它是基于过 去的经验和数据对未来事件的预测。
的类别。
它基于贝叶斯定理，通过将先验 概率、似然函数和决策函数相结 合，实现了对未知样本的分类。
贝叶斯判别分析在许多领域都有 广泛的应用，如金融、医疗、市
场营销等。
贝叶斯判别分析的原理
01
02
03
先验概率
在贝叶斯判别分析中，先 验概率是指在进行观测之 前，各类别的概率分布情 况。
似然函数
似然函数描述了观测数据 在给定某个类别下的概率 分布情况。
后验概率
后验概率是指在考虑了某些证据之后 ，对某个事件或假设发生的可能性所 做的评估。它是基于新的信息和证据 对先验概率的修正。
似然函数与贝叶斯定理
四贝叶斯决策分析PPT课件
4.2.3 后验分析
4.1.2 主观的先验分布
主观的先验分布的确定具体分两种情况，现介绍如下: （1）有信息主观先验概率的确定。所谓有信息是指决 策者已经积累了处理类似决策问题的经验，或者通过对有
关专家咨询获得了对自然状态 的某些认识。
（2）无信息主观先验概率的确定。所谓无信息是指对
自然状态的 先验信息甚少或者完全没有信息。
4.2.1 贝叶斯定理
P
Ai
/
B
P(B
/ Ai ) P( Ai ) P(B)
P(B / Ai) P( Ai)
n
P(B / Ai) P( Ai)
i 1
(i 1, 2, , n)
4.2.1 贝叶斯定理
这个公式告诉我们，在已知P Ai和PB / Ai的条件下，
可以计算出P Ai / B 。这就是逆概公式，即贝叶斯定理。 在逆概公式中，P Ai 称为先验概率分布，P B / Ai 为条件概率，
4.2 贝叶斯定理与后验分析
4.2.1 贝叶斯定理 4.2.2 后验概率的确定 4.2.3 后验分析
4.2.1 贝叶斯定理
贝叶斯(1702-1763) Thomas Bayes是18世纪的一 位英国牧师，也是一位英国数学家。他发明了一个在 概率运算和风险决策中广泛适用的定理，即逆概计算 公式，被命名为贝叶斯定理。要了解什么是贝叶斯定 理，有必要先了解逆概公式，
频率是指在若干次试验中某一随机事件发生的次数 与试验总次数之比。频率不是从理论上分析出来的， 它是试验的结果，是可以观察的。
4.1.1 客观的先验分布
通过试验，得出频率，用它来代替概率，这样 得出的概率估计称为客观概率。例如，为了估计某 种新产品的销售情况，在正式投产前，先生产少量 产品，在几个试销点试销，观察应划为畅销或滞销 的试销点各有多少个，由此计算出畅销和滞销的频 率，从而得出这种新产品畅销、滞销的客观概率来。
贝叶斯判别分析在布氏杆菌常见种别鉴定中的应用
基 因分 型 的 １ ６个 Ｖ Ｎ Ｔ Ｒ位点 ， 并 通 过 筛 选 出 的有 意 义的 Ｖ ＮＴ Ｒ位点 作为 判 别 指标 建 立 Ｂ ａ ｙ ｅ ｓ 判 别模 型 。 １ ６个 Ｖ ＮＴ Ｒ位点分别为 ： Ｖ ＮＴ Ｒ ６ ， Ｖ ＮＴ Ｒ ８ ， ＶＮ Ｔ Ｒ１ １ ，
Ｓ ＡＳ ９ ． １软件进 行统计 分 析 ， 使 用逐 步判别 分 析筛选 有 统 计学 意 义的 Ｖ Ｎ Ｔ Ｒ位 点 ， 采用 Ｂ ａ ｙ ｅ ｓ 多 类 判 别 法 对 布 氏杆 菌 的种别 建立 判别模 型 。并 用 回代 法 和刀切 法
将 样本 数据 回代 评价模 型 的判别 效果 。
表１ ４ ６ １株布氏杆菌种别的构成情况
的判别 准则 可分 为 ３类 ， 一类为 Ｆ ｉ ｓ ｈ ｅ ｒ 判别分 析 ， 基 本 思 想是 投影 ； 一种 是距 离判 别分 析 ， 基 本 思想是 根据 各
样 本距母 体 的远 近做 出判别 ； 一 种是 Ｂ ａ ｙ ｅ ｓ 判别分析 ，
（ Ｂ ｒ ｕ ｃ ｅ ｌ ｌ ａ ｍｉ ｃ ｒ ｏ ｔ ｉ ） ， 鳍 型 布 氏杆 菌 （ Ｂ ｒ ｕ ｃ ｅ ｌ ｌ ａ ｐ ｉ ｎ ｎ ｉ ｐ ｅ ｄ ｉ — ａ ｅ ） 和鲸 型 布 氏杆菌 （ Ｂ ｒ ｕ ｃ ｅ ｌ ｌ ａ ｃ ｅ ｔ ａ ｃ ｅ ａ ） 判 别分 析是 常用 的分类 统计 方法 。它是先 根据 已 掌 握 的一批 明确 分类 的样 本 建立 判别 函数 ， 将 待 判 别 样 本 的数据 代入 判 别 函 数 中 ， 判 断其 类 型 。根 据 常 见
判 别模 型 的变量 筛 选 一般 有 向前 选 择 法 、 向后 选
贝叶斯判别、费希尔判别法的计算机操作及结果分析
贝叶斯判别、费希尔判别法的计算机操作及结果分析一、实验内容、目标及要求（一）实验内容选取140家上市公司作为样本，其中70家为由于“财务状况异常”而被交易所对其股票实行特别处理（Special Treatment，简称ST）的公司，另外70家为财务正常的公司。
为了研究上市公司发生财务困境的可能性，以“是否被ST”为分组变量，选择资产负债率、总资产周转率和总资产利润率几个财务指标作为判别分析变量，这三个指标分别从上市公司的偿债能力、资产管理能力和获利能力三个不同的角度反映了企业的财务状况。
（二）实验目标贝叶斯判别、费希尔判别法的计算机操作及结果分析。
（三）实验要求要求学生能熟练应用计算机软件进行判别分析并对结果进行分析，培养实际应用能力。
二、实验准备（一）运行环境说明电脑操作系统为Windows XP及以上版本，所需软件为SPSS 16.0。
（二）基础数据设置说明将数据正确导入SPSS，设置相应的变量值。
三、实验基本操作流程及说明（一）系统界面及说明同实验一。
（二）操作步骤1. 选择菜单项Analyze→Classify→Discriminate，打开Discriminate Analysis对话框，如图4-1。
将分组变量st移入Grouping V ariable列表框中，将自变量x1－x3选入Independents 列表框中。
选择Enter independents together单选按钮，即使用所有自变量进行判别分析。
若选择了Use stepwise method单选按钮，则可以根据不同自变量对判别贡献的大小进行变量筛选，此时，对话框下方的Method按钮被激活，可以通过点击该按钮设置变量筛选的方法及变量筛选的标准。
图4-1 Discriminate Analysis对话框2. 单击Define Range按钮，在打开的Define Range子对话框中定义分组变量的取值范围。
本例中分类变量的取值范围为0到1，所以在Minimum和Maximum输入框中分别输入0和1。
贝叶斯判别分析在独立学院学生考研中的运用
贝叶斯判别分析在独立学院学生考研中的运用——以宁波大学科学技术学院为例摘要：为了提高就业竞争力，越来越多独立学院学生选择考研。
考研对独立学院学生而言是一把双刃剑，如考研失败，其极有可能陷入就业困境。
以宁波大学科学技术学院为例，运用贝叶斯判别分析对经济管理类专业学生考研结果进行预测。
研究结果表明，该方法预测效果良好，有助于独立学院给予考研学生合理的建议。
关键词：判别分析；独立学院；考研一、引言国内学者对大学生考研的研究不太多，其研究主要集中在两个方面：一是对考研大学生的研究。
霍建勋（2005）通过对包头市考研大学生人格特征进行分析后指出，考研大学生的人格特征偏向于高恃强性、高兴奋性、高有恒性、高敏感性、高幻想性、高专业而有成就者人格因素,低世故性[1]。
牛永君（2010）对培养新升本科院校学生考研能力进行了研究，并从学校、院系和学生三个方面提出了相应措施[2]。
周婷（2007）调查了考研毕业生心理健康状况，发现考研毕业生在研究生入学考试前的心理健康水平低于其他毕业生, 焦虑情绪尤为明显[3]。
二是对大学生考研现象的研究。
李晓峰（2007）研究了“考研热”对本科教学秩序和专业素质培养的冲击，并从改革教学计划、加强管理和正确引导等方面提出了应对之策[4]。
高玉梅（2012）从经济学角度分析了大学生“考研热”形成的机理，并提出了缓解这种不合理现象的措施[5]。
钱桦（2008）从社会学角度分析了“考研热”现象，认为在现有的政策制约和文化环境下,角色预期与社会分层从根本上直接推动了这种现象生成[6]。
上述研究主要聚焦在普通公办高校大学生身上，通过检索中国知网（CNKI）所刊学术论文发现，没有学者对独立学院①大学生的考研问题进行研究。
独立学院及其学生具有与普通公办高校及其学生不同的特点，故上述研究成果不能直接应用于独立学院。
随着大学毕业生就业竞争日益激烈和研究生教育规模不断扩大，越来越多的独立学院大学生也开始选择考研。
贝叶斯分析
第四章贝叶斯分析Bayesean Analysis§4.0引言一、决策问题的表格表示——损失矩阵对无观察(No-data)问题a=δ可用表格(损失矩阵)替代决策树来描述决策问题的后果(损失):或损失矩阵直观、运算方便二、决策原则通常，要根据某种原则来选择决策规则δ，使结果最优(或满意)，这种原则就叫决策原则，贝叶斯分析的决策原则是使期望效用极大。
本章在介绍贝叶斯分析以前先介绍芙他决策原则。
三、决策问题的分类：1.不确定型(非确定型)自然状态不确定,且各种状态的概率无法估计.2.风险型自然状态不确定,但各种状态的概率可以估计.四、按状态优于：l ij ≤lik∀I, 且至少对某个i严格不等式成立, 则称行动aj按状态优于ak§4.1 不确定型决策问题一、极小化极大(wald)原则(法则、准则) a1a2a4minj maxil (θi, aj) 或maxjminiuij例:各行动最大损失: 13 16 12 14其中损失最小的损失对应于行动a3.采用该原则者极端保守, 是悲观主义者, 认为老天总跟自己作对.二、极小化极小minj minil (θi, aj) 或maxjmaxiuij例:各行动最小损失: 4 1 7 2其中损失最小的是行动a2.采用该原则者极端冒险，是乐观主义者，认为总能撞大运。
三、Hurwitz准则上两法的折衷，取乐观系数入minj ［λminil (θi, aj)＋（1－λ〕maxil (θi, aj)］例如λ=0.5时λmini lij: 2 0.5 3.5 1（1－λ〕maxi lij: 6.5 8 6 7两者之和：8.5 8.5 9.5 8其中损失最小的是：行动a4四、等概率准则(Laplace)用i∑l ij来评价行动a j的优劣选minji∑l ij上例：i∑l ij: 33 34 36 35 其中行动a1的损失最小五、后梅值极小化极大准则(svage-Niehans)定义后梅值sij =lij-minklik其中mink lik为自然状态为θi时采取不同行动时的最小损失.构成后梅值(机会成本)矩阵S={sij }m n⨯,使后梅值极小化极大,即:min max j i s ij例:损失矩阵同上, 后梅值矩阵为:3 1 0 23 0 8 11 4 0 20 3 2 4各种行动的最大后梅值为: 3 4 8 4其中行动a1 的最大后梅值最小,所以按后梅值极小化极大准则应采取行动1.六、Krelle准则：使损失是效用的负数(后果的效用化),再用等概率(Laplace)准则.七、莫尔诺(Molnor)对理想决策准则的要求(1954)1.能把方案或行动排居完全序；2.优劣次序与行动及状态的编号无关；3.若行动ak 按状态优于aj，则应有ak优于aj；4.无关方案独立性：已经考虑过的若干行动的优劣不因增加新的行动而改变；5.在损失矩阵的任一行中各元素加同一常数时，各行动间的优劣次序不变；6.在损失矩阵中添加一行，这一行与原矩阵中的某行相同，则各行动的优劣次序不变。
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Bayes 判别准则：
P(Gi
|
x)
max j
P(x
|
Gj
) ，判
x
Gi
注意：先验概率取法
(1)
无信息可用:取 p j 相等(2)
按样品比例分配:
pj
nj n
4
1 基本思想 2 两个总体的Bayes判别 3 多总体的Bayes判别
1.一般讨论
4.3.2 两个总体的Bayes判别
G1, G2 — p 维总体，密度 f1(x), f2 (x) ，各总体先验概率 p1 P(G1), p2 P(G2 ) ， p1 p2 1.
样品 x (x1, x2,, xp )T 属于 G1, G2 的后验概率为
P(G1 | x)
p1 f1(x) p1 f1(x) p2 f2 (x)
4.3 Bayes判别分析
1 基本思想 2 两个总体的Bayes判别 3 多总体的Bayes判别
4.3.1Bayes判别基本思想
距离判别只要求知道总体数字特征，不涉 及总体的分布函数，当参数和协方差未知 时，就用样本均值和协方差矩阵来估计。 距离判别方法简单实用，但没有考虑到每 个总体出现的机会大小，即先验概率，没 有考虑到错判的损失。贝叶斯判别法正是 为了解决这两个问题提出的判别分析方法
2．两个正态总体Bayes判别
设总体 G1,G2 服从正态分布 Gj ~ N(μ, Σ j ), 密度
f
j
(x)
(2
1 )p/2 |
Σ
j
|1/ 2
exp{
1 2
(x
μ
j
)T
Σห้องสมุดไป่ตู้
1 j
(x
μ
j
)}
看大小
p j f j (x) exp{ln p j ln f j (x)}
exp
12{(x
μ
j )T
若两类蠓虫协方差矩阵相等，假设总体Apf和Af均服从正 态分布，用Bayes判别法判别三个蠓虫属于哪一类？ (1.24,1.8)，(1.28,1.84)，（1.4，2.04）
x G2,
dˆ12 dˆ12
(x) (x)
dˆ22 dˆ22
(x) (x)
wj (x)
(x( j) )S1x
1 2
(x( j) )T
S1x( j)
ln
pj
dˆ
2 j
(x)
(x
μj)S1(x
μj )
2ln
pj
先验概率取 p1 p2 或 p j n j / n
误判率
x1, x2,, xn1 和 y1, y2,, yn2 来 自 G1, G2 全 体 训 练 样 本． N1, N2 -- G1, G2 样品被误判个数
d12
(x)
d
2 2
(x)
x G1, x G2,
w1 (x) w1 (x)
w2 (x) w2 (x)
一般准则
x G1, p1 f1(x) p2 f2 (x) x G2, p1 f1(x) p2 f2 (x)
9
样本Bayes判别准则
协方差矩阵不相等的Bayes判别准则
x x
G1, G2 ,
回代误判率: p pˆ N1 N2
n1 n2
交叉误判率：
p
pˆ *
N1*
N
* 2
mn
11
例4.3.1 6只Apf和9只Af蠓虫触角长度和翅膀长度数据: Apf：(1.14,1.78), (1.18,1.96), (1.20,1.86), (1.26,2.00), (1.28,2.00), (1.30,1.96) ； Af：(1.24,1.72), (1.36,1.74), (1.38,1.64),(1.38,1.82), (1.38,1.90),(1.40,1.70),(1.48,1.82),(1.54,1.82), (1.56,2.08).
Σ
1 j
(x
μ
j)
ln
|
Σj
|
-2 ln
p j}/(2
p
)2
exp{
1 2
d
2 j
(x)}/(2
)
p
/
2
大小相反
7
（1）两个总体协方差矩阵不相等的情形
Bayes判别准则化为广义距离准则
x
G1
,
x G2,
d12 d12
(x) (x)
d22 (x) d22 (x)
x G1, x G2,
P(G1 | x) P(G2 | x) P(G1 | x) P(G2 | x)
1 2
(x
μ
j
)T
Σ
1
(x
μ
j
)}
广义平方距离：
d
2 j
(x)
(x μ j )T
Σ1(x μ j ) 2ln
pj
ln
|
Σ|
d
2 2
(x)
-
d12
(x)
（2 w1
(x)
w2
(x)）
wj (x)
(μ j )T
Σ1x
1 2
(μ
j
)T
Σ1μ j ) ln
pj
后验概率准则：x G1,
x G2,
d12 (x) d22 (x)
k
max j
P(x
|
G
j
)
,判
x
Gi
p j P(x | Gj ))
j 1
后验概率
先验概率
P( Ai
|
B)
P( Ai B) P(B)
P( Ai )P(B | Ai )
k
---Bayes(逆概)公式
P( Aj )P(B | Aj )
j 1
3
贝叶斯判别准则
寻找空间 Rp {(x1, x2,, xp )T | xk R} 最优划分：
广义平方距离：
d
2 j
(x)
(x μ j )T
Σj1(x μ j )
ln
|
Σj
|
-2 ln
pj
,
j
1,2
马氏平方距离
协方差阵/先验 概率相等,即为 距离判别准则
（2）两个总体协方差矩阵相等情形
总体 G j
~
N (μ j , Σ) ,
密度
f j (x)
1
(2 ) p/2 | Σ |1/2
exp{
dˆ12 dˆ12
(x) (x)
dˆ22 dˆ22
(x) (x)
---广义平方距离准则
dˆ
2 j
(x)
(x
x(
j) )Sj1(x x(
j) )
ln
|
Sj
|
2ln
pj
协方差矩阵相等的Bayes判别准则
x x
G1 G2
, ,
当 w1(x) w2 (x) 当w1(x) w2 (x)
x
G1,
4.3.1 Bayes判别的基本思想
G1, G2 ,, Gk — p 维总体，密度 f j (x) ，各总体先验概率
k
p j P(G j ) ， Pj 1 ，样品 x (x1, x2,, xp )T G? j 1
将待判样品x判属给后验概率最大的总体
P(Gi | x)
pi P(x | Gi )
，P(G2 | x)
p2 f2 (x) p1 f1(x) p2 f2 (x)
两个总体的Bayes判别准则
x G1, P(G1 | x) P(G2 | x) p1 f1(x) p2 f2 (x) x G2, P(G1 | x) P(G2 | x) p1 f1(x) p2 f2 (x)